TEMAS 6 Y 7 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

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1 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto TEMAS Y GEOMETRÍA EN EL ESACIO ECUACIONES DE RECTAS Y LANOS EJERCICIO es plelo plno que contiene l ect Escibe l ecución del. s hll l ecución de un plno, necesitmos un punto dos vectoes s, v, v s - smos l ect pmétics p hll un punto un vecto de (,,) v (,,) - Hllmos el vecto diecto de s v s (,,) - Ecución del plno ) ( EJERCICIO Hll l ecución del plno que contiene ests ects s Hllmos un vecto un punto de cd ect, p ello psmos pmétics Rect (,,) v (-,,) Rect s s (,,) v s (,-,) Como no son plels tommos un punto (,,) los dos vectoes v (-,,), v s (,-,) L ecución del plno es ( ) ( ) EJERCICIO Escibe l ecución del plno, π, que contiene l punto (,,-) l ect. Necesitmos un punto dos vectoes, v, Rect (,,) v (,-,) lno (,,-), v (,-,), (,,) -(-) - ( ) - 8

2 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto EJERCICIO que contiene l ect, plno, Hll l ecución del π es plelo. s Necesitmos un punto dos vectoes (,-,-), v (,,), s (-,,) () EJERCICIO es plno que contiene l ect l ecución del Detemin otogonl l plno π - -. Necesitmos un punto dos vectoes, v, n π smos l ect pmétics (-,,) v (,-,) L ecución del plno es -8() -(-) OSICIÓN RELATIVA EJERCICIO Ddos ls ects ; s ; ; plno el π hll l posición eltiv ente ) s b) π ) onemos ls dos ects en pmétics esolvemos el sistem s ; Rngo A Rngo A Sistem Incomptible No tiene solución (lels o se cun) Hllmos los vectoes diectoes v (-,, ), v s (,, ) Los vectoes no son plelos poque no son popocionles Ls ects no son plels, po tnto, SE CRUZAN. b) Como l ect está en pmétics, esolvemos el sistem ( - ).( ) / Sistem comptible detemindo Eiste un únic solución SE CORTAN EN UN UNTO. EJERCICIO Estudi, según los vloes del pámeto, l posición eltiv de ls ects s ( ) s obtén, si fuese posible, sus puntos de cote.

3 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto smos ls ecuciones pmétics esolvemos el sistem ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( s ) ( Igulmos los elementos de l digonl, po sepdo ceo -,, Cuto csos Cso I - 8 Sistem incomptible lels o se cun v (-, -8,), v s (,, ) s no es un ect sino un punto. Cso II Sistem incomptible lels o se cun v (-,,-), v s (,, ) No son plelos SE CRUZAN Cso III Sistem comptible detemindo. -, / SE CORTAN EN UN UNTO (,,) Cso IV R {,,-} Sistem incomptible lels o se cun v (-,,-) v s (,,) (-)() No puede se SE CRUZAN SOLUCIÓN Si -. s no es un ect sino un punto Si Se cotn en el punto (,,) Si R {,-}Se cun EJERCICIO 8 Clcul el vlo de p que ls ects s se coten en un punto, hll el punto de cote. smos l ects pmétics β β β s β β β Igulmos, po sepdo, los elementos de l digonl ceo - / Dos csos

4 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto Cso I Si / / Sistem comptible detemindo. Eiste un únic solución β, -/ SE CORTAN EN UN UNTO (-/,,/) Cso II Si / * Sistem Incomptible lels o se cun EJERCICIO 9 Estudi l posición eltiv de ests ects s smos ls ects pmétics esolvemos el sistem s 9 Sistem Incomptible. No eiste solución lels o se cun Hllmos los vectoes diectoes v (-,,) v vs (,.) No son plelos SE CRUZAN EJERCICIO ) Clcul el vlo de m p que ls siguientes ects sen coplnis s m b) Cuál seá l posición eltiv de s p ese vlo de m? ) que sen coplnis no se deben cu. Estudimos su posición eltiv (psmos s pmétics esolvemos el sistem) s m m 8 8 m m Igulmos, po sepdo, los elementos de l digonl ceo -m m - Cso I m - Sistem comptible detemindo. Eiste un solución. Se cotn en un punto. Cso II m - Sistem incomptible lels o se cun. Hllmos los vectoes diectoes v (-,,) v s (,-,) No plelos Se cun o tnto m - b) m - Ls ects se cotn en un punto SECANTES EJERCICIO ) Hll los vloes de m n p que los siguientes plnos sen plelos π - - π m n b) Obtén l ecución de un plno plelo π que pse po el punto A(, -, ). ) Si π π hn de se plelos, se tiene que n, m n m b) El plno buscdo h de se de l fom - D Si contiene l punto A, debe veificse ( ) D D - 9 9

5 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto EJERCICIO Detemin, en función de, l posición eltiv de los siguientes plnos ( ) ( ) ( ) Estudimos l posición eltiv esolviendo el sistem (po deteminntes) ( ) ( ), - csos CASO I ) los cot. o oto ( el ) o o Tenemos dos plnos coincidentes ( CASO II - 8 ) ( ) ( ) ( ) ( Los tes plnos se cotn en un ect. CASO III - A los tes plnos se cotn en un punto. EJERCICIO Ddos los plnos π m m σ m estudi su posición eltiv según los vloes de m. Ls ecuciones de los plnos son m m m - Los coeficientes de ls incognits son popocionles si m. En tl cso, ls ecuciones son Los plnos son plelos, pues sus téminos independientes no siguen l mism elción de popocionlidd que los coeficientes de ls incógnits. - Si m, los plnos se cotn en un ect, pues el sistem es comptible indetemindo de ngo. EJERCICIO Hll l posición eltiv de los siguientes plnos según el vlo del pámeto µ µ µ π π - π, epesdo de fom implícit, es - Así, tenemos el sistem - Los coeficientes de ls incógnits son popocionles si. En tl cso, los plnos son plelos, pues sus téminos independientes no siguen l mism elción de popocionlidd que los coeficientes de ls incógnits. - Si, los plnos se cotn en un ect, pues el sistem es comptible indetemindo de ngo.

6 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto ÁNGULOS EJERCICIO Ddos ls ects, s clcul el ángulo que fomn ) s b) s π el plno π ; i j k ) Hllmos el vecto diecto de s (,, ) ) cos v v s (,,).(,,) 9,8 o v v s 9. 9 ' '' v s nπ (,,).(,,) b) sen,9 o v s nπ ' ' ' EJERCICIO Conside los plnos π - σ -. ) Clcul el ángulo que fomn π σ cundo. b) Hll p que π σ sen plelos. c) Detemin el vlo de p que σ σ sen pependicules. n ) n cos Un vecto noml π es n (,, ). Un vecto noml σ es n (,, ). n n n n cos,9 o ' ' ' n n b) Sus vectoes nomles hn de se popocionles c) Sus vectoes nomles hn de se pependicules (,,) (,,) - EJERCICIO Ddos ls ects s el punto (,, ); clcul el ángulo que fom l ect con el plno, π, pependicul s que ps po. sen ( ) d n d n - Un vecto diección de es d (,, ) (,, ) ( 8,, ) // ( 8,, ) d - Un vecto noml l plno π es n (,, ) sen d n d n ( ), d s o ' ' '

7 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto DISTANCIAS EJERCICIO 8 Clcul l distnci ente ls ects s [v ( ), v s, s ] dist, s v v s Buscmos un punto un vecto diección de cd ect Rect unto (,-,) Vecto v (,,-) Rect s unto s (,,-) Vecto v s (,,) s (,, ) [ v, v, ] 9 s s i v v s i j k (,, ) j k dist [v, v 9 ( ) s s, s, u v, ] v s EJERCICIO 9 Clcul l distnci ente ls ects s dist (, s) [ s, v, v s ] v v s,, ; v,, s,, ; v s,, - En l ect ( ) ( ) - En l ect s ( ) ( ) s s, v, v s 9 - (,, ) - v (,, ) (,, ) (,, ) ( ) ( ) 9 v s 9 o tnto dist (, s), 9 Ddos π clcul l distnci ente ) π b) EJERCICIO el punto (,, ), l ect el plno, ) dist (, π), b) dist (,) v v - Hllmos un punto un vecto diección de l ect (,, ) ; (,, ) - (,, ) (,, ) (,, ) 9 v - v (,, ) o tnto dist (, ), v

8 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto 8 EJERCICIO Clcul l distnci del punto (,, ) l ect. dist (,) v v - Hllmos un punto un vecto de (psmos l ect pmétics unto (-,,) Vecto (-/,,-/) (-,,-) (,, ) (,, ) ( 8,, ) 9 dv (,, ) 9 dv 9 o tnto dist (, ), 9 EJERCICIO Hll l distnci de l ect l plno π. d(,π) d(,π) (-,,) π.( ) d(,π) d(, π), 9 u LUGARES GEOMÉTRICOS EJERCICIO Hll el lug geomético de los puntos,, tles que l distnci de A se igul l tiple de l distnci de B, siendo A (,, ) B (,, ). Si (,, ) es un punto del lug geomético, tenemos que dist (, A) dist (, B), es deci ( ) ( ) ( ) 9 [( - ) ] 9 [ - ] EJERCICIO Obtén el lug geomético de los puntos que equidistn de los plnos π - - σ -. Si (,, ) es un punto del lug geomético, tenemos que dist (, π) dist (, ), es deci EJERCICIO Ddos los puntos A (-, ) B (, ), hll el lug geomético de los puntos,, dist (, A) del plno tles que el cociente de distncis se igul. Identific l figu esultnte. dist, B ( ) Si (, ) es un punto del lug geomético, tenemos que dist (, A) dist (, A) dist (, B) dist, B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - Es l ecución del eje Y, que en este cso es l mediti del segmento AB.

9 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto 9 EJERCICIO Hll el lug geomético de los puntos del espcio que equidistn de A (,, -) B (,, ). Qué figu obtienes? Si (,, ) es un punto del lug geomético, tenemos que dist (, A) dist (, B) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Es el plno medido del segmento REASO AB (es pependicul AB ps po el punto medio de AB). EJERCICIO Hll l posición eltiv de ls siguientes ects escibe l ecución del plno que ls contiene s - osición eltiv de ls ects smos ls ects pmétics esolvemos el sistem ; s Rngo A Rngo A* Sistem Incomptible. No eiste solución lels o se cun. Hllmos los vectoes diectoes v (,, -), popocionles Ls ects son ARALELAS v s (,, -) Los vectoes son plelos poque son - Ecución del plno que ls contiene Necesitmos un punto dos vectoes, v, s Rect (-,,) Rect s s (-,,) v (,,-) s (,,-) Ecución del plno ( ) ( ) 9 EJERCICIO 8 ) Escibe l ecución del plno, π, pependicul pse po (,, -). b) Clcul l distnci del punto l ect. l ect, que v L ecución del plno seá D Sustituimos el punto (,,-) obtenemos D - D D π - π ) Un vecto noml l plno seá el vecto diección de l ect n (,, ) v b) d(,) v Hllmos un punto un vecto de (,-,) v (,-,) Hllmos (,-,) i j k v 9 v i j k (,, ) d(,), u v

10 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto EJERCICIO 9 ) Clcul el vlo de m p que los puntos (,, -), Q(, -, ), R(,, -) S(m,, ) sen coplnios, escibe l ecución del plno que los contiene. b) Obtén un punto simético de A(, -, ) especto del plno nteio. ) Escibimos l ecución del plno, π, que contiene los puntos (,, -), Q(, -, ) R(,, -) R ( ) ( ) ( ) (,,-), Q(,, ), (,, ) 8 Hllmos el vlo de m p que S(m,, ) π m 8 m b) () Obtenemos l ect,, que ps po A es pependicul π () Buscmos el punto, B, de intesección de π ( ) ( - ) ( ) B,, 9 () Si A'(,, ) es el simético de A especto de A, B es el punto medio de AA',,,, 9 9 A', EJERCICIO Hll l ecución de l pependicul común ls ects s Un punto genéico de es R(- µ, µ, - µ). Un punto genéico de s es S(, -, )., Un vecto genéico de oigen en etemo en s es RS ( µ, µ, µ ) Este vecto debe se pependicul s RS d (,, ) 8 RS µ RS d RS (,, ) µ 8 s µ 9 Así R,, ; S,, 8 RS,, // (,, )

11 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto o tnto, ls ecuciones de l pependicul común son 9 EJERCICIO Aveigu ls coodends del punto simético de (,, -) especto de l ect. ; clcul l distnci de () Hllmos l ecución del plno que ps po es pependicul n π v ),, ( k j i (,,) D D D - π () Resolvemos el sistem ente l ect el plno ( ello psmos l ect pmétics / Q(,,) () Si llmmos ' (,, ) l simético de, entonces Q es el punto medio de ' ( ),, ' L distnci de es igul l distnci de Q ( ) ( ) ( ), 9,,,, Q Q dist dist EJERCICIO es plno que contiene l ect Hll l ecución del ) pependicul l plno π -. b) Clcul el ángulo que fomn l ect el plno π. ) Necesitmos un punto dos vectoes (,-,), v (,-,), n π (,,) -( ) ( ) -

12 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto sen v nπ v nπ (,,).(,,) b) ( ) 9 o EJERCICIO Detemin l posición eltiv de ls ects s, clcul l mínim distnci ente ells s ) osición eltiv smos ls ects pmétics esolvemos el sistem s Sistem Incomptible (lels o se cun) Hllmos los vectoes diectoes v (,,), v s (,,) opocionles Son plels. b) Como son plels d(,s) d(,s) s v s v s (,,-), s (,-,-), v s (,,) s (,-,) s v s (,, ) (,, ) (,,) 9 d(,s), 8 v s (,, ) EJERCICIO El plno π 8 cot los ejes coodendos en tes puntos; A, B C. Hll el áe del tiángulo con vétices en esos tes puntos. Obtenemos los puntos de cote del plno π con los ejes coodendos - Con el eje X - unto A (-,, ) - Con el eje Y -8 unto B (, -8, ) - Con el eje Z - unto C (,, -) AB (, 8, ) ; AC (,, ) Áe AB AC ' (, 8, ) 8 8, u EJERCICIO ) Escibe l ecución del plno, π, que ps po los puntos (,, -), Q (,, ) R (-,, ). b) Clcul el áe del tiángulo cuos vétices son los puntos de cote del plno π con los ejes coodendos. ) Necesitmos un punto (,,-) dos vectoes Q(-,-,), R(-,,) ( ) 8( ) ( ) 8 b) Hllmos los puntos de cote de con los ejes coodendos Con el eje X unto A,, Con el eje Y unto B,, 8 8 Con el eje Z AB,, ; AC,, 8 unto C,, 9 ' '

13 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto Áe AB AC ,, 9,8 u EJERCICIO Hll el punto simético de (,, ) especto l ect. [] Hllmos l ecución del plno, π, que ps po es pependicul D - - D D - [] Hllmos el punto, Q, de intesección de π ( ) ( ) ( ) Q,, 8 8 [] El punto Q es el punto medio de ', siendo ' el simético de especto Si ' (,, ) ',, EJERCICIO Detemin l posición eltiv de ls ects s ; hll l ecución de l pependicul común. - smos ls ects pmétics esolvemos el sistem s Rngo A Rngo A * Sistem incomptible Se cun o son plels Hllmos los vectoes diectoes v (-,,) v s (,,) No son popocionles SE CRUZAN - ependicul común Un punto genéico de es ( -,,- ). Un punto genéico de s es s (-,, ) El vecto s (-, - -, - ) es pependicul v v s RS d RS d s 8,, 8 8 µ µ ; 8 8 ; 8 s,, Así,, // (,, ) µ 8 8 s

14 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto 8 8 o tnto, ls ecuciones de l pependicul común son p 8 8 EJERCICIO 8 Obtén el punto simético de (, -, ) especto l plno π -. [] Hllmos l ecución de l ect,, que ps po es pependicul π [] Obtenemos el punto, Q, de intesección de π ( ) (- ) ( ) 9 9 Q,, [] Si llmmos ' l simético de especto de π, Q es el punto medio de '' (,, ) ',, 9 EJERCICIO 9 Ddos el punto (,, -) el plno π - -, clcul ) L ecución de l ect que ps po es pependicul π. b) El punto simético de especto π. c) Ecución del plno que ps po es plelo π. ) b) [] Aptdo ) [] Hllmos el punto, Q, de intesección de π ( ) - ( - ) -(- - ) Q,, [] Si ' (,, ) es el simético de especto, Q es el punto medio de '

15 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto ',, c) Un plno plelo π es de l fom D Como ps po (,, -) 9 D D -9 9 EJERCICIO Dds ls ects s, b clcul b p que sen otogonles coplnis. (,, ) ; dv (,, ) Escibimos l ect en pmétics s (,, ) ; dv s (, b, ) - que sen otogonles, h de se v v s b - que sen coplnis s, v, v s b b b Uniendo ls dos condiciones nteioes, tenemos que b b EJERCICIO Un cuddo tiene uno de sus ldos sobe l ect oto sobe s Clcul el áe del cuddo. v,, // v s,,. o tnto ls dos ects son El ldo del cuddo es l distnci ente s. ( ) ( ) plels. (,, ) s dv s ldo del dist (, s) dist (, s) v s cuddo ( ) u o tnto, Áe EJERCICIO Hll l ecución de l ect s que ps po (,, ) cot pependiculmente l ect. [] Hllmos el plno, π, pependicul que ps po D D D - [] Hllmos el punto Q de intesección ente π ( ) (-) () 9-8 / Q (,,,,

16 Tems Geometí en el espcio Mtemátics II º Bchilleto [] L ect pedid ps po Q Así s unto (,,) 8 Vecto v Q,,,, (,, ) EJERCICIO Detemin l ecución de un plno π plelo l plno de ecución - que dist uniddes del punto (,, ). Un plno plelo - es de l fom π D D dist, π Tenemos que hll D p que l distnci se u ( ) D D D H dos plnos D D EJERCICIO Hll l ecución de l poección otogonl, ', de l ect sobe el plno π -. [] Hllmos el puntode cote de l ect el plno π ( ) (-) ( - ) -/ (/, /, -9/) [] Hllmos oto punto culquie de (,,-) [] Clculmos l ect pependicul π que pse po s [] Hllmos el punto de intesección ente l ect s el plno π ( ) (-) (- ) -/ (/,/,-/) 9 unto,, [] L ect pedid es l que ps po Vecto,, (,, ) 9