1 Inductancia interna de conductores

Transcripción

1 Cmpos y Onds nductnci inten de conductoes Pág. nductnci inten de conductoes En est sección se efectún ls deducciones de l inductnci inten de distints geometís de conductoes, que conducen un coiente estcioni con un densidd de coiente unifome en tod l sección tnsvesl, esto es, no se conside quí l incidenci del efecto pelicul... Definiciones L inductnci popi de un inducto se define como: Λ L ( Flujo conctendo A ) [ H] () donde l unidd de inductnci es el henio (heny), Λ es el flujo totl conctendo del inducto, e es l coiente que cicul po el inducto. Un unidd de flujo conctendo coesponde un líne de flujo que concten un espi del inducto. Si tods ls línes de flujo conctenn tods ls espis del inducto, el flujo totl conctendo esult: Λ N Φ W vuelts () [ ] donde Φ es el flujo totl poducido po el inducto, y N es el númeo de veces que l coiente del inducto concten l flujo totl. Cundo no todo el flujo concten tods ls vuelts, el flujo totl conctendo es meno l indicdo po (). Es conveniente eslt que en l expesión (), y po consiguiente en l (), N está inteviniendo dos veces: un en l deteminción del flujo totl Φ, el cul es el deido l coiente que cicul po ls N espis; y ot vez p indic qué cntidd de veces l coiente que cicul po el inducto es conctend po el flujo totl Φ (o viceves, qué cntidd de veces el flujo totl Φ concten l coiente que cicul po el inducto). L inductnci definid po () se conoce como utoinductnci o inductnci popi, deido que los conctenmientos son poducidos po el popio inducto. En el cso de conductoes isldos, l inductnci deid l flujo inteno l conducto, se denomin inductnci inten. Ls línes de flujo intens conctenn sólo un poción de l coiente totl. En sistems de conductoes, como po ejemplo en cles coxiles o en línes de conductoes plelos, l inductnci popi del sistem de conductoes compende un pte deid l flujo inteno los conductoes (inductnci inten) y ot pte deid l flujo confindo en el medio compendido ente los conductoes (inductnci exten)... Conducto cilíndico mcizo Se un conducto cilíndico mcizo de dio, ecoido po un coiente de densidd unifome J. L plicción diect de l ley cicuitl de Ampee un tyectoi inten l conducto ( < ), y teniendo en cuent que B es constnte lo lgo de dich tyectoi, esult: Bd l Bdl µ J µ () que conduce l expesión (emplendo coodends cilíndics): B µ θ () d dφ Figu. Conctenmientos de flujo pciles dento de un conducto cilíndico. Consideemos ho el flujo conctendo en el inteio del conducto. P ello efiámonos l Figu. Osévese que en l delgd cp de espeso d, el difeencil de flujo po unidd de longitud esult:

2 Cmpos y Onds nductnci inten de conductoes Pág. d Φ Bd µ d (3) De cuedo lo menciondo en elción l expesión (..), el difeencil de flujo conctendo de este elemento de flujo es el difeencil de flujo multiplicdo po l fcción de coiente contenid dento de l tyectoi que encie l flujo. P hce un nlogí con el cso del inducto, se dee detemin N, es deci l cntidd de veces que el flujo inteio l conducto, concten l coiente. Como est conctención es pcil, es deci no todo el flujo concten tod l coiente; o se, N es l fcción de coiente contenid dento de l tyectoi (de dio genéico < ) que encie l flujo (N <, ): J N J () entonces el difeencil de flujo conctendo esult, cominndo (..), (3) y (): d Λ µ 3 d (5) y el flujo totl conctendo inteno l conducto, po unidd de longitud es: µ 3 µ Λ d (6) 8 De cuedo l definición de inductnci popi dd po (..), y teniendo en cuent que (6) d el flujo totl conctendo (po unidd de longitud) inteio l conducto, l inductnci inten po unidd de longitud del conducto esult: Λ µ Li (7) 8 Es inteesnte compo este esultdo en se consideciones de enegí. L enegí lmcend en el cmpo mgnético deido l inductnci inten del conducto (que petendemos detemin) puede esciise: Li (8) Donde si L i es l inductnci po unidd de longitud, W es l enegí lmcend po unidd de longitud. Po ot pte, semos que dich enegí dee se igul : B Hdv B dv (9) µ Hciendo: dv d () l enegí lmcend po unidd de longitud esult: µ µ 3 µ µ d d µ 6 6 y despejndo L i de (8) y (): L i µ 8 que coincide con l expesión (7). () ().3. Conducto cilíndico hueco Se un conducto cilíndico hueco, de dios y ( < ), ecoido po un coiente de densidd unifome J. P detemin l inductnci inten de este conducto, es necesio conside dos egiones (Figu 3) en ls cules l fcción de l coiente que cicul po el conducto, conctend po ls línes de flujo en cd egión esponde difeentes leyes: Región ( < ): N ()

3 Cmpos y Onds nductnci inten de conductoes Pág.3 Región ( < ): ( ) ( ) J N J () R R Figu. Regiones dento de un conducto cilíndico hueco, p el flujo conctendo inteno. Es deci, que sólo existe flujo conctendo en l Región ( < ). L plicción diect de l ley cicuitl de Ampee un tyectoi inten l conducto ( < ), y teniendo en cuent que B es constnte lo lgo de dich tyectoi, esult: Bd l Bdl µ J ( ) µ ( ) (3) que conduce l expesión (emplendo coodends cilíndics): µ ( ) B θ () ( c ) Consideemos ho el difeencil de flujo en el inteio del conducto, po unidd de longitud, el cul esult: d Φ Bd µ d (5) De cuedo lo menciondo en elción l expesión (..), el difeencil de flujo conctendo de este elemento de flujo es el difeencil de flujo multiplicdo po l fcción de coiente contenid dento de l tyectoi que encie l flujo. Es deci, cominndo (..), () y (5): µ dλ ( ) µ d ( ) ( ) + d (6) 3 y el flujo totl conctendo inteno l conducto, po unidd de longitud es: µ Λ 3 µ + d ln + ( ) ( ) (7) ( ) ( ) o se: µ µ Λ ln ( ) + ( c ) ln + ( 3 ) (8) De cuedo l definición de inductnci popi dd po (..), y teniendo en cuent que (8) d el flujo totl conctendo (po unidd de longitud) inteio l conducto, l inductnci inten po unidd de longitud del conducto esult: Λ µ Li + ( ) ln 3 (9) Otengmos ho l inductnci inten del conducto cilíndico hueco, en se consideciones de enegí. L enegí lmcend en el cmpo mgnético deido l inductnci inten del conducto (que petendemos detemin) puede esciise:

4 Cmpos y Onds nductnci inten de conductoes Pág. L i () Donde si L i es l inductnci po unidd de longitud, W es l enegí lmcend po unidd de longitud. Po ot pte, semos que dich enegí dee se igul : B Hdv B dv µ () siendo: v dv d () Entonces con () y (), l enegí lmcend po unidd de longitud esult: µ µ d 3 + d ( ) µ es deci: µ µ ( ) + ( ) + ( ) ln ln 3 (3) y despejndo L i de () y (3): W µ Li + ( ) 3 ln () que coincide con l expesión (9)... Conducto coxil Se un conducto coxil cilíndico fomdo po dos cilíndos concénticos, uno inteio mcizo de dio ecoido po un coiente de densidd unifome J, y oto exteio, hueco, de dios y c ( < < c), ecoido po un coiente (opuest l del conducto inteno) de densidd unifome J. P detemin l inductnci popi de este conducto, es necesio conside tes egiones (Figu 3) en ls cules l fcción de l coiente que cicul po el conducto, conctend po ls línes de flujo en es egión, deids dich coiente, esponde difeentes leyes: Región ( < ): J N () J Región ( < ): N () Región 3 ( < c): J J ( ) J J ( ) c N (3) J J c c c c R R R 3 Figu 3. Regiones dento de un conducto coxil, p el flujo conctendo inteno.

5 Cmpos y Onds nductnci inten de conductoes Pág.5 En coespondenci con estos vloes, sugiá el flujo conctendo en cd un de ls tes egiones definids, oteniéndose tes componentes de l inductnci popi del conducto coxil: Li L + L + L3 () Región L componente L p l Región, coesponde l inductnci inten de un conducto cilíndico, y otenid en el ptdo..: L µ 8 Región En l Región ( < ) esult: B dl B dl µ (6) que conduce l expesión (emplendo coodends cilíndics): B µ θ ( < ) (7) En l Región, en un delgd cp de espeso d, el difeencil de flujo po unidd de longitud esult: d Φ B d µ d (8) y el difeencil de flujo conctendo esult cominndo (..), () y (8): d Λ Nd Φ µ d (9) y el flujo conctendo en tod l Región esult: Λ µ µ d ln () Entonces: Λ µ L ln () Región 3 Si el conducto exteno fuese muy delgdo (es deci, c ), entonces de l expesión (3) esultí que N, y que el numedo siempe es meno que el denomindo. Po est zón, deido que nomlmente el conducto exteno es delgdo fente l distnci ente conductoes, suele despecise l contiución del témino L 3 l inductnci popi del conducto coxil. Sin emgo, continución no efectuemos tl suposición y se clculá es contiución, pimeo pti de l ley de Ampee, y luego en se consideciones de enegí. Aplicndo l ley de Ampee en l Región 3 ( < c) esult: c B3dl B3dl µ µ () c c c que conduce l expesión (emplendo coodends cilíndics): µ c B 3 θ ( < c) (3) c c En l Región 3, en un delgd cp de espeso d, el difeencil de flujo po unidd de longitud esult: µ c dφ 3 B 3 d d () c c y el difeencil de flujo conctendo esult cominndo (..), (3) y (): µ c µ c 3 dλ3 NdΦ3 d c d c c + (5) y el flujo conctendo en tod l Región 3 esult: ( c ) (5)

6 Cmpos y Onds nductnci inten de conductoes Pág.6 c Λ 3 o se: µ c c+ d 3 c ln c ( c ) ( c ) ( c ) µ + Λ 3 c c c + c Entonces: L 3 µ Λ 3 µ c ( ) ( c ) c ( 3c ) c µ c c ln ln + (6) c ( 3c ) c c c ln + (7) Otengmos l inductnci inten del conducto exteio del coxil en se consideciones de enegí. L enegí lmcend en el cmpo mgnético deido l inductnci inten del conducto (que petendemos detemin) puede esciise: W L 3 Donde si L 3 es l inductnci po unidd de longitud, W es l enegí lmcend po unidd de longitud. Po ot pte, semos que dich enegí dee se igul : B Hdv B dv µ (9) siendo: v dv d () Entonces con (9) y (), l enegí lmcend po unidd de longitud esult: c c c µ c µ d 3 c + d c c ( c ) µ es deci: c c c c c ( c ) ( c ) ( c ) c µ + c c µ + ln ln 3 () y despejndo L 3 de (8) y (): W µ c L3 c c que coincide con l expesión (7). ( 3c ) (8) c ln + () nductnci popi esultnte Con (5), () y (7) en l expesión (), se otiene l expesión finl p l inductnci popi po unidd de longitud de un conducto coxil: c c Li + + µ c c c + µ µ ln ln 3 8 ( c ) ( 3c ) ( c ) c c Li µ + + ln ln (3).5. Conductoes plelos Consideemos ho un p de conductoes plelos, cd uno de sección cicul de dio, sepdos ente sí po un distnci D, constituyendo uno el cicuito de etono p l coiente que cicul po el oto (Figu ). P detemin l inductnci popi del p de conductoes (líne ifil), es necesio conside tes egiones en ls cules l cntidd de coiente que cicul po uno de los conductoes y es conctend po ls línes de flujo deids l mism coiente, esponde difeentes leyes (ve Figu ): Región ( < ):

7 Cmpos y Onds nductnci inten de conductoes Pág.7 J N J () Región ( < D - ): N () Región 3 (D - < D + ): J J Si( ) Si( ) N (3) J D+ D- J R R S i J D R 3 Figu. Sección tnsvesl de dos conductoes cilíndicos plelos. En coespondenci con estos vloes, sugiá el flujo conctendo en cd un de ls tes egiones definids, oteniéndose tes componentes de l inductnci popi de l líne de conductoes plelos: L, L y L 3. Peo, ddo que el conctenmiento del flujo deido l coiente que cicul po uno de los conductoes, esult ditivo con especto l conctenmiento del flujo deido l coiente que cicul po el oto conducto, l inductnci popi de l líne de conductoes plelos esult: Li ( L + L + L 3 ) () Región L componente L p l Región, coesponde l inductnci inten de un conducto cilíndico, y otenid en el ptdo..: L µ 8 Región En l Región ( < D - ) esult: B dl B dl µ (6) que conduce l expesión (emplendo coodends cilíndics): B µ θ ( < ) (7) En l Región, en un delgd cp de espeso d, el difeencil de flujo po unidd de longitud esult: d Φ Bd µ d (8) y el difeencil de flujo conctendo esult cominndo (..), () y (8): d Λ Nd Φ µ d (9) y el flujo conctendo en tod l Región esult: D µ µ Λ d D ln () (5)

8 Cmpos y Onds nductnci inten de conductoes Pág.8 Entonces: Λ µ D L ln () Región 3 Si ien tl como suge de l Figu existen conctenmientos pciles de flujo en l egión (D- < D+), tods ests línes encien pcilmente l coiente de etono, y p distncis myoes D- y no existe coiente net conctend. Sin emgo, se supondá que est tece componente de flujo conctendo (y, po consiguiente l inductnci L 3 ) es despecile, fente l componente pesente en l Región. Po est zón, deido que nomlmente mos conductoes son muy delgdos fente l distnci que los sep, suele despecise l contiución del témino L 3 l inductnci popi de l líne de conductoes plelos. Λ3 L3 () nductnci popi esultnte Con (5), () y () en l expesión (), se otiene l expesión finl p l inductnci popi po unidd de longitud de un líne de conductoes plelos: µ D D Li µ + µ ln + ln (3) 8 y si se conside D», que es un cso fecuente en l páctic, esult: µ D Li + ln ()