TEMA 5: CÁLCULO VECTORIAL

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1 IES Al-Ándlus. Dpto. Físic Químic. F.Q. 1º Bchilleto. Tem 5: Cálculo vectoil VECTORES TEMA 5: CÁLCULO VECTORIAL 5.1 Vectoes 5. Sistems de efeenci. Coodends. Componentes de un vecto. 5.3 Opeciones con vectoes: Sum, poducto po un númeo. Módulo de un vecto. 5.4 Vectoes unitios. 5.5 Poducto escl. Ángulo que fomn dos vectoes. 5.6 Descomposición de vectoes en sus componentes. L Físic ( culquie disciplin científic en genel), se encg de estudi quells ccteístics o popieddes de los cuepos que pueden se medids. Es deci, estudi mgnitudes físics. Eisten dos tipos de mgnitudes físics: Mgnitudes escles: P indic su vlo bst con indic un númeo l unidd coespondiente. Ejemplos de ests mgnitudes: Ms, Tiempo, Volumen, Tempetu, Densidd... Mgnitudes vectoiles: P indic su vlo no bst con indic un númeo un unidd (módulo), hbá que d infomción sobe en qué diección v, en qué sentido. Ejemplos de mgnitudes vectoiles: Velocidd, Fuez, Aceleción... Sobe ests mgnitudes vectoiles centemos nuesto estudio en este tem. VECTORES: un vecto es l epesentción mtemátic de un mgnitud vectoil. Consiste en un segmento oientdo, que contiene tod l infomción sobe l mgnitud que estmos midiendo. Se epesent po. Ptes del vecto: - Módulo: ( o ) : Longitud del segmento - Diección: L de l ect en l que se encuent el vecto (ect sopote). - Sentido: Viene ddo po l flech. Dento de l diección, seá ó -, dependiendo del citeio que hmos escogido en un pincipio. OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES: Sum: L sum de dos o más vectoes es oto vecto s = b

2 IES Al-Ándlus. Dpto. Físic Químic. F.Q. 1º Bchilleto. Tem 5: Cálculo vectoil - - Opuesto de un vecto: El opuesto del vecto es el vecto, un vecto con el mismo módulo diección que, peo en sentido contio. Poducto de un vecto po un númeo el: Al multiplic un vecto po un númeo el k, el esultdo es oto vecto c con ls siguientes ccteístics: Módulo: c = c = k Diección: l de Sentido: Igul que si k > 0 Contio que si k < 0 Vecto unitio: Se dice que un vecto es unitio cundo su módulo es 1. Se us p indic diección sentido. Supongmos un vecto culquie. Podemos obtene un vecto unitio en su mism diección sentido, dividiendo el vecto po su módulo. = u 5. SISTEMAS DE REFERENCIA. COORDENADAS DE UN PUNTO. COMPONENTES DE UN VECTOR. Siempe que quemos locliz un objeto, debemos indic su posición especto lgo que consideemos fijo. En un dimensión, bst con indic l distnci un punto que elijmos (punto de efeenci). En el ejemplo de l figu, podemos indic l posición del coche especto l ábol. En dos dimensiones, en el plno, que es l pte que estudiemos en el pesente cuso, necesitmos indic dos distncis dos ects que hbemos fijdo. Este conjunto de dos ects se denomin sistem de efeenci. Sistem de efeenci: Está fomdo, como hemos dicho, po dos diecciones (dos ects) que hemos fijdo en el plno. P mo fcilidd en los cálculos, ests dos ects siempe seán pependicules. Reciben el nombe de ejes coodendos ( eje, eje ). Llevn incopodo un sentido, indicndo con -. Cd diección de los ejes coodendos viene indicd po un vecto unitio: En diección : i En diección : j Estos vectoes unitios indicn demás el sentido positivo de los ejes. El punto de cote de los ejes coodendos se denomin Oigen de coodends ( O ). L posición de culquie punto del plno se efeiá especto ese punto. COORDENADAS DE UN PUNTO P: P locliz un punto del plno, bst con indic ls coodends, ls distncis los ejes coodendos. Coodend : distnci medid sobe el eje. Coodend : distnci medid sobe el eje Ls coodends se colocn ente péntesis, sepds po coms: P: ( P, P ) Not: L tece dimensión. En este cuso sólo ttemos poblems en el plno, en dos dimensiones. En el espcio eiste un tece dimensión, l que coesponde el eje z, pependicul l l. El vecto unitio coespondiente l eje z es el k.

3 IES Al-Ándlus. Dpto. Físic Químic. F.Q. 1º Bchilleto. Tem 5: Cálculo vectoil COMPONENTES DE UN VECTOR: Tmbién un vecto puede ponese en función del sistem de efeenci. Se puede epes el vecto como ls coodends de su etemo. se denominn componentes del vecto. =, ) ( (Ess componentes nos vienen indic cuánto h que vnz o etocede desde el oigen p lleg hst el etemo) (P un vecto que no empiece en el oigen, nos indicí qué cntidd tendemos que sum cd coodend del oigen del vecto, p obtene ls coodends del etemo.) Eiste ot fom de epes el vlo de un vecto, es en función de los vectoes unitios i, j Como puede vese en l figu, el vecto es igul l sum de los vectoes = Aho bien, = i = j Po lo tnto = i j Es deci, sbiendo ls componentes, tenemos dos foms de epes el vlo del vecto: - Pone ls componentes ente péntesis (, ) - Pone l sum de ls componentes, cd un compñd de su vecto unitio. = i j 5.3 OPERACIONES CON VECTORES. Un vez conocido el concepto de componente de un vecto, tenemos un hemient p pode eliz numéicmente opeciones con vectoes. Supondemos dos vectoes: = i j ; b = b i b j Sum de vectoes: s = b = ( i j ) (b i b j ) = ( b ) i ( b ) j Se sumn ls componentes po un ldo ls componentes po el oto. P est, l opeción es idéntic. Poducto de un vecto po un númeo el: c = k k R c = k i k j De ot fom c = ( k, k ) L división es un cso pticul de poducto. Dividi po k es lo mismo que multiplic po 1/ k. Módulo de un vecto: Recodemos que indicb el vlo numéico de l mgnitud se coespondí con l longitud del vecto. En el plno, se clcul fácilmente pti del teoem de Pitágos. = = L íz que se tom siempe es l positiv, que el módulo de un vecto debe se positivo siempe. Vecto que une dos puntos: PQ = ( Q - P ) i (Q - P ) j

4 IES Al-Ándlus. Dpto. Físic Químic. F.Q. 1º Bchilleto. Tem 5: Cálculo vectoil VECTORES UNITARIOS Y vimos que un vecto unitio es un vecto de módulo 1. Nos indic un diección un sentido detemindos. El vecto unitio coespondiente un vecto ddo seá un vecto que mntendá l mism diección sentido que, peo que tendá módulo 1. Recodmos que se clculb con i j u = = = A pti de lo nteio, podemos dej el vecto de est mne: De est fom tendemos sepdos el módulo del vecto po un ldo, l diección sentido po oto, lo cul puede se mu inteesnte en lguns situciones. u 5.5 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES. El poducto ente dos vectoes es mu difeente del poducto que conocemos p númeos. P comenz, eisten dos tipos de poducto ente vectoes: - Escl: El esultdo de l opeción es un númeo (un escl) - Vectoil: El esultdo de l opeción es un vecto. En este cuso estudiemos el poducto escl. Est opeción se epesent medinte un punto b = k, k R El poducto escl se clcul como b = b cos α donde α es el ángulo que fomn los vectoes b (se coge el meno ángulo) El poducto escl de dos vectoes puede se: Positivo ( > 0 ): Si α < 90º Nulo (= 0 ) : Si α = 90º (condición de pependiculidd) Negtivo ( < 0 ): Si α > 90º Tmbién puede clculse el poducto escl usndo ls componentes de los vectoes. Sbiendo que: = i j ; b = b i b j b = ( i j ) (b i b j ) = b i i b i j b j i b j j = = b b puesto que i i = 1 ; j j = 1 ; i j = 0 ; j i = 0 b = b cosα b = b b Ángulo ente dos vectoes: Con lo visto nteiomente, podemos clcul fácilmente el ángulo que fomn dos vectoes b, medinte su poducto escl, que en l epesión pece el coseno de dicho ángulo. b = b cosα b = b b cosα = b b b Condición de pependiculidd: dos vectoes b son pependicules si sólo si b = 0 Condición de plelismo: dos vectoes b son plelos si sólo si sus componentes e son popocionles = b b

5 IES Al-Ándlus. Dpto. Físic Químic. F.Q. 1º Bchilleto. Tem 5: Cálculo vectoil DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES EN SUS COMPONENTES. Ls cuestiones que nos plntemos continución son ls siguientes: - Conociendo ls componentes de un vecto: Podemos conoce su módulo oientción? - Conociendo el módulo de un vecto el ángulo que fom con lguno de los ejes coodendos Podemos conoce sus componentes? Ptiendo de ls componentes: = = cosα = senα = tgα = Descomposición (A pti del módulo el ángulo, obtene ls componentes) = cosα = senα = senα = cosα Además, h que tene en cuent los signos de cd componente (eso nos lo d el dibujo el citeio de signos) EJERCICIOS: 1. Ddos los vectoes = 4 i - 3 j, b = ( 0, ). Clcul: 1) b ) - 3) - b 4) 5) -7 b 6) - b 7) - 3 b 8) 9) b 10) b - 11) 3 b 1) u 13) u b 14) b 15) b 16) (-b ) 17) Ángulo ente b. Ddos los siguientes puntos del espcio: P: (, -1 ) Q: ( -1, 3 ), clcul: 1) = OP ) b = OQ 3) c = PQ 4) d = QP 5) b 6) c - d 7) 3 8) c 9) b 10) c 3 b 11) u c 1) u 13) (b c ) 14) ( b ) c 15) (b c ) 16) Ángulo ente c d 3. De ls siguientes pejs de vectoes: cuáles son pependicules ente sí cuáles no? 1) = (-1, 3) ; b = (, /3) ) c = i j ; d = - i - j 4. Clcul m p que los vectoes sen pependicules: 1) = m i 4 j ; b = - i m j ) c = (m, 3) ; d = (-1, ) 5. Clcul m p que los vectoes sen plelos: 1) = (m, -) ; b = (3, 6) ) c = - i m j ; d = - m i 4 j

6 IES Al-Ándlus. Dpto. Físic Químic. F.Q. 1º Bchilleto. Tem 5: Cálculo vectoil Descompone estos vectoes en sus componentes: º º 30º 30º 45º 0 7. Clcul el módulo los ángulos que fomn estos vectoes con los ejes coodendos: = i 3 j b = - i j c = 3 i - 4 j d = - j 8. ) Ddo el vecto = i - j, clcul un vecto b que se pependicul, que demás se unitio. b) Lo mismo del ptdo nteio con el vecto = ( 0, -1 ). 9. Clcul numéicmente el vecto sum en ls siguientes situciones: ) Qué conclusión podemos ete del hecho de que b < 0? b) "Dos vectoes plelos en el mismo sentido tendán el mismo vecto unitio" Veddeo o flso? c) "El poducto escl de dos vectoes d como esultdo oto vecto". Veddeo o flso? d) "Al multiplic un vecto po un escl, d como esultdo un vecto". Veddeo o flso? e) Coesponden ests dos epesiones l mismo vecto? = ( 1, ) ; = j i? f) "Sbiendo únicmente el módulo, podemos sbe sus componentes" Veddeo o flso? SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS: 1. 1) ( 4, -1 ) ) ( -4, 3 ) 3) ( 0, - ) 4) ( 8, -6 ) 5) ( 0, -14 ) 6) ( 4, -5 ) 7) ( 8, -1 ) 8) 5 9) 10) 41 11) 6 1) (4/5, -3/5) 13) j 14) ) ) 1 17) 16,87º. 1) (, -1) ) ( -1, 3 ) 3) ( -3, 4 ) 4) ( 3, -4 ) 5) ( 1, ) 6) ( ) 7) (6, -3) 8) 5 9) ) 45 11) (-3/5, 4/5) 1) 13) (30, -15) 14) (15, -0) 15) ) 180º 3. L pime sí, l segund no. 4. 1) m = 0 ; ) m = ) m = -1 ; ) m = 6. 1) 17,3 i 10 j ) 7,07 i 7,07 j 3) 5 i 8,66 j 4) -17,3 i 10 j 5) -14,14 i - 14,14 j 7. 1) = 13 α = 56,3º con eje ) b = 5 α = 116,56º con eje 3) c = 5 α = - 53,13º con eje 4) d = 1 α = 70º con eje 8. ) b 1 1 = tmbién ; b) b = i (tmbién el - i, ) 5 5, (L solución depende del sistem de efeenci el citeio de signos escogido) 1, 5 5