Cálculo con vectores

Transcripción

1 Uidd didáctic 1 Cálculo co vectoes

2 1.- Mgitudes escles vectoiles. So mgitudes escles quells, como l ms, l tempetu, l eegí, etc., cuo vlo qued fijdo po u úmeo (co su uidd coespodiete). Gáficmete se epeset medite u puto e u escl (de hí el ombe). Algebicmete se epeset po medio de lets ltis o giegs (T, m, V, E, α, β,...). So mgitudes vectoiles quells que, como l posició, velocidd, l fue, etc., equiee p su complet especificció, o sólo su vlo uméico (co su uidd), sio tmbié, l diecció (oietció e el espcio) el setido (hci delte o hci tás) e los que se mifiest su cció. Gáficmete se epeset medite vectoes, que so segmetos oietdos (co u put de flech e uo de sus etemos) que tiee ls siguietes ccteístics: Oige o puto de plicció: es el puto dode comie el vecto, e este cso, el puto A. Etemo: es el puto dode temi el vecto (l put de l flech), e este cso, B. Módulo: es l logitud del vecto. Diecció: es l diecció de l ect dode se ecuet l de tods sus plels. Setido: es el idicdo po l put de l flech. Algebicmete se epeset po medio de lets ltis o giegs co u pequeñ flech ecim ( F, v, ω ). El módulo de u vecto se epeset co el mismo símbolo si flech (F, v, ω) o ete bs. ( F, v, ω )..- Descomposició de u vecto. Compoetes ctesis de u vecto. Descompoe u vecto: es hll u sistem de vectoes que poduc el mismo efecto que dicho vecto. Eiste ifiitos sistems de vectoes cpces de sustitui uo ddo, peo, efectos pácticos, csi siempe se utili u sitem de compoetes ctesis, (tes vectoes que tiee l diecció de cd uo de los ejes de coodeds que, po tto, so pepedicules ete sí). P descompoe u vecto,, se poect sobe u sistem de ejes de coodeds, siedo ls poeccioes,,,, los vectoes compoetes. Cumpliédose que: = + +. Uidd didáctic 1: Cálculo vectoil pg. 1

3 Se puede deci que es el vecto sum de los vectoes,,, tmbié se puede deci que,, so ls compoetes ctesis del vecto. Se suele epes e fució de los vectoes uitios, i, j, k, que tiee ls dieccioes de los ejes de coodeds: = i + j + k Dode,, so los módulos de ls compoetes ctesis: El módulo de u vecto, : = = + + Los coseos diectoes: so los coseos de los águlos que fom el vecto co cd uo de los ejes de coodeds. Su vlo, deducido pti de l figu de l pági teio, vedí ddo po: cosα = cosβ = cosγ = Los coseos diectoes cumple l codició: cos α + cos β + cos γ = 1 L sum de los cuddos de los coseos diectoes de u vecto es igul l uidd. Los módulos de ls compoetes ctesis viee ddos po: =. cos α =. cos β =. cos γ 3.- Opecioes básics co vectoes. Ddos dos vectoes de compoetes: L sum de dos vectoes: s + b L difeeci de dos vectoes: d = b = ( b) = i + j + k b = b i + b j + b k = = ( + b ) i + ( + b ) j + ( + b ) k + = ( b ) i + ( b ) j + ( b ) k El poducto de u escl,, po u vecto : = ( ) i + ( ) j + ( ) k El cociete de u vecto ete u escl,, distito de ceo: = i + j + k Vecto uitio e l diecció del vecto : es u vecto cuo setido diecció es l del vecto cuo módulo es l uidd. Se clcul: u = = i + j + k Uidd didáctic 1: Cálculo vectoil pg.

4 4.- Poducto de escl de dos vectoes. El poducto escl de dos vectoes, clcul: = i + j + k b = b i + b j + b k, se A pti de los módulos: b = b cos α A pti de ls compoetes ctesis: b = + + Águlo que fom dos vectoes: se clcul pti del poducto escl de esos dos vectoes, si se cooce sus coodeds ctesis que: b cos α = + + Po tto: cos α = b + + b + b 5.- Deivd de u vecto co especto u escl. L deivd de u vecto: = i + j + k, que ví e módulo o diecció, o e mbos l ve, especto u escl t, es oto vecto que tiee po compoetes l deivd de ls compoetes del vecto especto de t : d = dt d d i + dt dt d j + dt k Algus deivds elemetles: Fució Fució deivd f() = k f'() = 0 f() = f'() = -1 ' f() = 1 1 ' f'() = = Regls de deivció: Fució Deivd Sum f() = g() + h() f'() = g'() + h'() Poducto de u cte. po u fució f() = k g() f'() = k g'() Poducto f() = g() h() f'() = g'() h()+ g() h'() Cociete g() g'() h() g() h'() f() = f'() = h() ( h() ) Compuest: egl de l cde f() = g(h()) f'() = g'(h()) h'() Uidd didáctic 1: Cálculo vectoil pg. 3

5 Poblems de l Uidd Ddo el vecto = 4 i + 5 j - k, clcul: ) Sus compoetes ctesis, b) Módulo del vecto, c) Los coseos diectoes, d) Águlo que fom co cd eje de coodeds..- Ddo el vecto = 7 i - j - 3 k, clcul: ) Sus compoetes ctesis, b) Módulo del vecto, c) Los coseos diectoes, d) Águlo que fom co cd eje de coodeds. 3.- Ddos los vectoes = 3 i - j b = -4 i + j, clcul: ) Vecto sum su módulo. b) Vecto difeeci el águlo que fom co el eje X. c) El vecto c = - 3 b. d) El vecto uitio que defie l diecció setido de c. 4.- Ddos los vectoes = i + j -3 k, b = i - j + k, clcul: ) El vecto sum su módulo. b) U vecto uitio plelo l vecto sum. c) El vecto difeeci, b -. d) El águlo que fom el vecto difeeci co el eje Y. e) Vecto c = 4 + b. 5.- U vecto tiee po oige especto de cieto sistem de efeeci el puto O (-1,, 0) de etemo P (3, -1, ). Clcul: ) Compoetes del vecto OP. b) Módulo coseos diectoes. c) U vecto uitio e l diecció de él peo de setido cotio. 6.- Ddos los vectoes (1, -1, ) b (-1, 3, 4). Clcul: ) El poducto escl de mbos vectoes. b) El águlo que fom los dos vectoes. 7.- Ddos los vectoes (-, 3, 1) b (, -4, 5). Clcul: ) El poducto escl de mbos vectoes. b) El águlo que fom. 8.- Demost que el vecto uitio, cuos coseos diectoes so cosα = 1/3, cosβ = /3 cosγ = /3, es pepedicul l vecto b (6, -9, 6). 9.- Hll el vlo de m p que los vectoes = i + m j + 3 k b = 3 i - j + k se pepedicules Ddos los vectoes = - i + j + k, b = 3 i - j - k, clcul: ) el módulo de. b) El poducto escl de los dos vectoes Ddos los vectoes = 3 i - 4 j - k, b = - i - j - 5k, clcul: ) el módulo de. b) El poducto escl de los dos vectoes. 1.- L fue F = 4 i + 3 j está plicd e el puto P (1,). Clcul l distci del oige de coodeds l ect que cotiee F Si l posició de u objeto viee dd po el vecto = 3t i -t j + 5 k, epesdo e uiddes del S.I. clcul cuáto vle el vecto velocidd su módulo. Uidd didáctic 1: Cálculo vectoil pg. 4