CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA

Transcripción

1 pítlo X INÉTIA DE UNA PARTÍULA. INTRODUIÓN El estdio de l ciétic costite pte impotte del estdio de l Mecáic poqe popocio elcioes ete el movimieto de cepo ls fes mometos qe sobe él ctú. Ls elcioes de l ciétic se pede obtee po plicció diect de ls lees de Newto del movimieto o bie tilido ls foms itegds de ls eccioes del movimieto qe d lg los picipios del tbjo l eegí, del implso l ctidd de movimieto o del teoem del mometo ciético. L iétic compede: - iétic de ptícl: fe celeció. - iétic de ptícl: tbjo eegí. - iétic de ptícl: implso mometo. - iétic e el plo de cepo ígido: fe celeció. - iétic e el plo de cepo ígido: tbjo eegí. - iétic e el plo de cepo ígido: implso mometo. - iétic tidimesiol de cepo ígido.. INÉTIA DE UNA PARTÍULA: FUERZA Y AELERAIÓN L ciétic de ptícl: fe celeció, es pte de l ciétic qe li los efectos povocdos po fes o eqilibds qe ctú sobe ptícl, p ello tiliemos los coceptos de l ciemátic l plic l segd le de Newto. * Depediedo de l geometí de l tectoi, los poblems se li tilido coodeds ectgles (o ctesis), omles tgeciles, poles o cilídics. 58

2 Segd le de Newto.- Relcio el movimieto celedo de ptícl co ls fes qe ctú sobe ell. Estblece: U ptícl sobe l qe ctú fe esltte F o eqilibd epeimet R celeció co l mism diecció qe l fe, sí como mgitd diectmete popociol l fe F R FR m m FR Dode: F = fe esltte qe ctú sobe R l ptícl. Not: d ve qe se plic l segd le de Newto, es ecesio medi l celeció co especto sistem de efeeci iecil. Este sistem de coodeds o ot pede est fijo o bie desplse e diecció detemid co velocidd costte (celeció igl ceo). E el cso de sistems o ieciles (sistems celedos), l segd le de Newto es válid siempe cdo se gege fe fictici llmd fe iecil, l cl es igl l podcto de l ms de l ptícl po l celeció del sistem, está e diecció coti l celeció del sistem... Eccioes de movimieto Se tili p evl l celeció de ptícl o de ls fes qe povoc el movimieto. Si se tili p detemi l posició, velocidd o tiempo de movimieto de l ptícl, etoces tmbié se velve ecesio coside l ciemátic e l solció. Ates de plic ls eccioes de movimieto, tce siempe DL p idetific tods ls fes qe ctú sobe l ptícl, demás estblec l diecció de l celeció de l ptícl o de ss compoetes. 59

3 ) Eccioes de movimieto: coodeds ectgles o ctesis (,, ) F Si ptícl se meve co especto sistem de efeeci iecil,,, ls fes qe ctú sobe ell l Tectoi F celeció se pede epes e témios de ss compoetes, po lo F tto l ecció de movimieto qed de l sigiete fom: i k j F m i F m j Sistem de coodeds ieciles F m k Ls eccioes escles de movimieto, e coodeds ectgles o ctesis (,, ), so ls sigietes: E l diecció : E l diecció : FX m X ; E l diecció : FY m Y F m Z Z Dode: V ; V ; V b) Eccioes de movimieto: coodeds omles tgeciles (-t) Si ptícl se meve sobe cv F b t coocid, s ecció de movimieto se pede escibi e ls dieccioes oml tgecil, como se idic cotició: F F t Ft m t t Tectoi Sistem de coodeds ieciles F m F bioml 6

4 Ls eccioes escles de movimieto, e coodeds omles tgeciles (-t), so ls sigietes: E l diecció : E l diecció t : F m, dode: Ft m t, dode: V dv t dt * El dio de cvt, e pto de l tectoi cvilíe, se clcl co l ecció sigiete: d d d d 3 / c) Eccioes de movimieto: coodeds cilídics (,, ) Si tods ls fes qe ctú F F sobe ptícl se descompoe e ss compoetes cilídics, l ecció de movimieto se epes F de l sigiete fom: F m F m Sistem de coodeds ieciles F m Ls eccioes escles de movimieto, e coodeds cilídics (,, ), so ls sigietes: E l diecció : E l diecció : F m ; E l diecció ϴ : F m F m Z Z ; Dode: ( ) ; ; 6

5 Not: Si =, etoces teemos coodeds poles (, ). E este cso, ls eccioes escles de movimieto se epes de l sigiete fom: E l diecció : E l diecció : F m ; dode: F m ; dode: ) (.3 PROBLEMAS RESUELTOS DE INÉTIA DE UNA PARTÍULA PROBLEMA Nº El vgó mieo, de 4 kg, es sbido po plo iclido tilido cble moto eléctico. Dte beve tiempo, l fe e el cble es F (3t ) N, dode t se epes e segdos. Si el vgó tiee pide iicil V m / s cdo s t, detemie l distci qe se meve e el plo cdo t s. No h ficció. F 5 8 Resolció P esolve este tipo de poblems, pimeo hgo el DL coespodiete lego plicmos ls eccioes escles de movimieto. E este cso tbjmos e coodeds ectgles o ctesis. Al hce el DL del vgó mieo otmos qe sobe el ctú tes fes: l fe e el cble F, s peso l fe de ecció oml. 6

6 N F ᶱ 5 8 ᶱ W=mg De l fig obsevmos qe sólo h celeció igl : FX m X, dode: X, po lo tto l ecció de movimieto es dv X dt Ls fes qe está e l diecció so: l fe F l compoete del peso igl m g se. Ests fes debe estse poqe está e diecció coti. Po lo tto, l ecció de movimieto qed de l fom sigiete: 3 t Odedo est ecció e itegdo teemos: m g se dv m dt V 4 dv t (3t 4 9,8 8 /7) dt Etoces: V (,667t 4,664t ) m/ s Evldo e t = s teemos: V= 4,m / s 63

7 PROBLEMA Nº El pqete tiee peso de 5 lbf se desli hci bjo po dcto, cdo lleg l pte cv AB, se despl 8 pies/s (ϴ = º). Si el dcto es liso, detemie l pide del pqete cdo lc el pto itemedio (ϴ = 3º) cdo lc el plo hoiotl (ϴ = 45º). Asimismo, clcle l mgitd de l fe oml sobe el pqete e. 45º 3º R = pies R = pies 8 pies/s 45º A B Resolció Se tt de poblem e coodeds omles tgeciles (-t), po lo tto ls eccioes escles de movimieto so ls sigietes: E l diecció : E l diecció t : F m, dode: Ft m t, dode: t V dv dt V dv R d P plic ls eccioes escles de movimieto, pimeo hgo el DL del pqete e posició clqie, tl como se obsev e l fig sigiete: Rect oml 45º R = pies w (45º- ϴ) R = pies 45º A Rect tgecil t B N 64

8 Se sbe: F m t t De l fig se obsev qe l úic fe e l diecció tgecil es l compoete del peso igl m g se (45 ), lego l ecció teio es igl : m g se (45 ) m V dv R d Odedo est ecció e itegdo, teemos: V V dv 8 g R se ( 45 ) d V [ g R cos(45 ) ( / ) 3 P clcl V V B evlmos l ecció de V p 3 45, espectivmete: * Si 3 V [3, cos(5 ) ( / ) 3 V 9,9397 pies / s * Si 45 V [3, cos( ) ( / ) 3 V B pies / s álclo de N (mgitd de l fe de ecció oml) cdo 3 P clcl N plico l ecció escl de movimieto e l diecció, es deci: F m Obsevdo l fig teio otmos qe ls fes e l diecció so: l fe de ecció oml N, qe llev sigo positivo poqe está diigid hci el ceto de l tectoi cicl, l compoete del peso igl m g cos (45 ), qe llev sigo egtivo poqe está e diecció coti N. Lego, l ecció teio es igl : Despejdo N evldo p N wcos (45 ) w V g R 3, obteemos: N 7,9bf 65

9 PROBLEMA Nº 3 El bo OA gí l bol de,5 lbf po tectoi cicl veticl. Si el bo tiee velocidd gl =,4 d/s celeció gl =,8 d/s e el istte = 3º, detemie l mgitd de l fe del bo sobe l bol. Igoe l ficció el tmño de l bol. Estblec, 4pies. Si smimos qe l velocidd comie despegse de l speficie del semicilido. =,4 d/s es costte, detemie el áglo e qe l bol P A O Resolció E este tipo de poblems, pimeo se hll l ecció de e fció de. P ello lio el tiáglo OA. ϴ A,4 pies De l fig se obsev qe el ldo OA del tiáglo OA es igl, este es igl l doble de deci: (,4cos ) pies, es O ϴ,4 pies (,8cos ) pies Hllmos e fció de Si deivmos po pime segd ve, especto l tiempo, l ecció (,8cos ) pies, obteemos: 66

10 (,3 se ) pies / s ; (,8cos ) pies / s Evldo ests eccioes p 3, teemos:,6 pies / s ;,85 pies / s Hllmos cdo 3 P clcl ls compoetes sigietes: ( ) ; de l celeció, plicmos ls eccioes Reempldo los vloes coespodietes evldo p 3, obteemos:,7 pies / s ;,4656 pies / s álclo de F (mgitd de l fe del bo sobe l bol) cdo 3 P clcl F, pimeo se hce el DL de l bol lego plicmos ls eccioes de movimieto e coodeds poles. Rect e l diecció ϴ F N Rect e l diecció Rect hoiotl w O 67

11 m w F N cos wse ( ) g N cos3,5bf,5 bf ( se3 ) (,7 pies / s ) N,847bf 3, pies / s m w F F N se wcos ( ) g,5bf F (,847bf ) se3,5bf (cos 3 ) (,4656 pies / s ) F,3bf 3, pies / s álclo del áglo p qe l bol comiece despegse de l speficie del semicilido P qe l bol comiece despegse de l speficie del semicilido, se debe cmpli qe l fe de ecció oml (N) debe se ceo. Además, po codició: =,4 d/s, etoces: Aplicdo l ecció de movimieto e l diecció, teemos: m w F w se ( ) g Dode: ( ) (,56cos ) pies / s (,56cos ) pies / s se tg, 795 3, pies / s Lego:,4555d 6,987 68

12 PROBLEMA Nº 4 U ptícl tiee ms de,5 kg se ecet cofid movese e l hoiotl lis debid l otció del bo OA. Detemie l fe de l b sobe l ptícl l fe oml de l sobe l ptícl cdo gl costte e clqie istte. 3. L b gi co velocidd = d/s. Spog qe l ptícl tiee cotcto co solo ldo de l A,5m O Resolció Pimeo se hll l ecció de sigiete: e fció de. P ello lio el tiáglo ectáglo,5 m Del tiáglo, teemos qe: cos,5 (,5 sec ) m Hllmos e fció de Si deivmos po pime segd ve, especto l tiempo, l ecció (,5 sec ) m, obteemos: (,5 sec tg ) m/ s ; 3,5()(sec tg sec ) m/ s 69

13 Evldo ests eccioes p 3, teemos: ( /3) m/ s,667m/ s ; 3,849m/ s Hllmos cdo 3 Aplicdo ls eccioes de ciemátic de ptícls, e coodeds poles, teemos: ( ) ; Reempldo los vloes coespodietes evldo p 3, obteemos:,5398m/ s ;,6667m/ s álclo de F (mgitd de l fe de l b OA sobe l ptícl) N (fe oml de l ) cdo 3 P clcl F N, pimeo se hce el DL de l ptícl lego plicmos ls eccioes de ls compoetes (coodeds poles) de l segd le de Newto. Líe veticl Rect e l diecció ϴ F w=mg Rect e l diecció Líe hoiotl N m F N cos mg cos m N cos3 m,5 kg(9,8m / s )(cos3 ),5 kg (,5398m / s ) N 5, 796 N F F mg se N se m F (,5 kg)(9,8m / s ) se3 (5,796N) se3,5 kg(,6667 m / s ) F, 778N 7

14 PROBLEMA Nº 5 El collí qe tiee peso de 3 lbf, se desli sobe l b lis sitd sobe el plo veticl qe tiee l fom de pábol 4 /( cos ), dode se epes e dies e pies. Si l pide gl del collí es costte e igl = 4 d/s, detemie l mgitd de l fe tgecil de etdo P ecesi p cs el movimieto l mgitd de l fe oml qe ejece el collí sobe l b e el istte = 9º. P Resolció omo l ecció de es coocid: 4 /( cos ), etoces podemos hll e fció de. 4 ( cos ) 6 se ( cos ) 64( se cos ) ( cos ) Asimismo, como es coocido: = 4 d/s, etoces seá igl ceo ( = ). Hllmos cdo 9 P clcl ls compoetes sigietes: ( ) ; de l celeció, plicmos ls eccioes 7

15 Reempldo los vloes coespodietes evldo p 9, teemos: 8 pie / s (4 pie)(4d / s) 64 pies / s ( 6 pie / s)(4d / s) 8 pies / s álclo de P (mgitd de l fe tgecil de etdo ecesi p cs el movimieto) N (mgitd de l fe oml qe ejece el collí sobe l b) cdo 9. P clcl P N, pimeo se hce el DL del collí lego plicmos ls eccioes de movimieto e coodeds poles. Rect oml N P Rect tgete Rect hoiotl álclo de e fció de Se sbe: cos, se Deivdo e, especto, teemos: d 4se d ( cos ), d 4 d ( cos ) Dividiedo d ete d, ecoddo qe este cociete es igl l pediete de l ect, teemos: cos tg se w=3 lbf Not.- si evlmos p etoces: 45 9, F m P cos 45 N se 45 Pcos ( ) N se ( ) wse 3bf ( se 9 3bf ) 3, pies / s P N,675 bf... () (64 pies / s w g ) ( ) F m w P se ( ) N cos( ) wcos ( ) g 7

16 P se 45 N cos 45 wcos9 3bf 3, pie / s ( 8 pie / s ) P N 6,865 bf... () Resolviedo ls eccioes () () obteemos: N,95bf P 4,77bf Po lo tto, ls mgitdes de ests fes so: P =,95 lbf N = 4,77 lbf 73

17 SISTEMAS DE OORDENADAS APÉNDIE A ) OORDENADAS ARTESIANAS O RETANGULARES (,, ) Los itevlos de ls vibles de ls coodeds, A d d d so ; ; Vectoes Uitios: E el eje : i E el eje : j E el eje : k E coodeds ctesis, vecto A pede epesse como A A i A j A k A A A L mgitd o módlo del vecto A viee ddo po: A A A A A Elemetos difeeciles de logitd, áe volme e coodeds ctesis d d d d - El desplmieto difeecil está ddo po: - El áe oml difeecil está dd po: d S d d d d d d - El volme difeecil está ddo po: dv d d d 74

18 ) OORDENADAS ILÍNDRIAS IRULARES (,, ) Los itevlos de ls vibles de ls coodeds, so P (,, ) A ; ; Vectoes itios: ; ; E coodeds cilídics, vecto A pede epesse como A A A A L mgitd de A es: A A A A Ls elcioes ete ls vibles (,, ) del sistem de coodeds ctesis ls vibles (ρ, Φ, ) del sistem cilídico so ls sigietes:, t, cos, se, Elemetos difeeciles de logitd, áe volme e coodeds cilídics - El desplmieto difeecil está ddo po: d d d d - El áe oml difeecil está dd po d S dd d d d d 75

19 - El volme difeecil está ddo po d d d d d d d d d d d d d 3) OORDENADAS ESFÉRIAS,, Los itevlos de ls vibles de ls coodeds, so ; ; Vectoes itios: ; ; E coodeds esféics, vecto A pede epesse como A A A A L mgitd de A es: A A A A Elemetos difeeciles de logitd, áe volme e coodeds esféics - El desplmieto difeecil es d d d Se d - El áe oml difeecil es d S se d d se d d d d 76

20 - El volme difeecil es dv se d d d d d se d sed se d sed se d d d d d 77

21 TABLA DE INTEGRALES APÉNDIE B Se: ( ), v v( ), b cos ttes, etoces: dv v vd (itegció po ptes), d d l e d e d l se d cos cos d se sec d t csc d cot sec t d sec csc cot d csc t d l sec cot d l se sec d l sec t csc d l csc cot d se 78

22 d t d sec d l d l d l 8 8 d l d l d l d l d l d l d d 3 / d d se d se 79

23 d l d se d se d l d d se d 3 d l d l d cos d l d l d l d d 3 8

24 d b l b b b d b b 3 4 l b b b d l b b d b b l b d l b b b b b d b 5b b b b d b l, si b b t b, si b d b b d b b b d b 3 d b d b 3 b b d d b b b l d b 3 b b l b b 3 bd 3b b 5b d b 3b b b 8

25 d b b b b d b d b b b 3 se cos d 4 se d 4 se t d t cot d cot 3 se d se cos 3 3 cos d cos se 3 d b 3 t d t l cos 3 cot d cot l se 3 sec d sec t l sec t cos b cos b se cosb d b b se d se cos cos d cos se d se cos cosd 3 csc d csc cot l csc cot se d se cos se cos d cos se cos d d 8

26 t d t t cot d cot cot d d sec d t sec sec csc d cot csc csc d d se b se b se seb d b b se b se b cos cos b d b b d cos se se d m se cos d se cos m se cos d cos 4 t d t m cos m m m m m 4 se se cos cos m m d d se d se cos d cos t d t se d se 4 e l d e 4 83

27 e d e e d e e seb d b b b se cos b e e cosb d b b b cos se b d se d se, d cos d cos, d t d t, ld l l d d l l l seh d cosh cosh d seh th d l cosh l coth d l seh sech d t seh sech d l t sech d th csch d coth 84

28 sech th d sech csch coth d csch d cos 3 3 d cos 6 d cos d cos d 3 3 cos 3 3 d cos 6 d 3 3 cos d cos d cos d d cos d cos 85