Tema 2. Sistemas conservativos

Transcripción

1 Te. Sistes consevtivos Segn pte: Potenciles centles Un potencil U se enoin centl cno epene solente e l istnci n pnto fijo O. Tono n siste e efeenci cento en O, el potencil sólo epene e l cooen il U U ( ). fez gene po l pesenci e este potencil es U F U ( ) F( ) Consecenteente, n fez centl es qell qe está iigi hci, o ese, n pnto fijo O, y cyo ólo sólo epene e l istnci O. A continción eneos ls pinciples ccteístics el oviiento bjo n potencil centl. A) Se consev el oento ngl especto O El oento e l fez especto O es M F F ( ) y e l ley e Newton p el oviiento e otción especto O M t se conclye qe el oento ngl especto l cento e fez O es constnte v cte Coo consecenci, y v eben est contenios en el plno pepenicl l vecto, y l posición e icho plno no ví en el tiepo. óbit está conteni en ese plno. D l sietí el poble especto l otción según el eje efinio po el, en el plno e vecto, es conveniente to n siste e cooens poles ( ) l óbit, cento en el pnto O. B) El oviiento cple l ley e ls áes Respecto l siste e cooens poles, l posición y veloci tienen l expesión v El oento ngl especto O es

2 ( ) z y l conición e consevción e s ólo nos llev l constnte el oviiento Definios l veloci eol coo l eiv especto l tiepo, el áe S bi po el io vecto l ovese l ptícl en el plno e l óbit. v S eol t ley e ls áes estblece qe l veloci eol es constnte, es eci, se ecoen áes igles en tiepos igles. Eqivle l consevción el ólo el oento ngl. Coo eostción, spongos qe n ptícl se encent en el instnte t en l posición A, y en el instnte tt en l posición B. y B(tt) O S x A(t) ptícl ecoe en el intevlo t l istnci s. El áe bi es igl l áe el tiánglo AOB S ( ) con lo cl l veloci eol es S t t Intocieno l consevción el oento ngl, obteneos l fól teátic e l ley e l áes S t

3 C) Ecciones el oviiento Escibios l ley e Newton en cooens poles F one l celeción el cepo tiene l expesión con lo cl, l ley el oviiento es F y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t últi ección expes l consevción el oento ngl. D) Consevción e l enegí Se efine l enegí e l ptícl coo l s e l enegí cinétic y l enegí potencil E v U Deivno especto l tiepo, veos qe l enegí se consev, es n constnte el oviiento E v v U ( ) v ( U ( ) ) t E) Potencil centífgo. Potencil efectivo Utilizos l consevción e l enegí p integ el siste, y encont l solción qe efin s oviiento. En cooens poles v Con y el teoe e consevción el oento ngl, poeos eliin l vible ngl, esltno v Así, l enegí el siste qe efini coo fnción exclsivente e l istnci il, E ( ) U ( ) U ( )

4 Se copeb entonces qe el poble es siil l estio en l pie pte e este te (ináic e l ptícl en n ect), y qe l ptícl se ve soeti l potencil efectivo en l iección il U e f U ( ) fnción exclsiv e l vible il. El pie téino se ll potencil centífgo y lg n fez eplsiv il, ebi l otción especto O F) Tipos e oviiento U c egión ccesible p l ptícl es qell en l qe E U ( ) igl n ínio el potencil efectivo cles es constnte ( ṙ ) ef ef. Si E es U teneos estos e eqilibio en los. Es eci, son tyectois cicles cents en O. P enegís ligeente speioes estos ínios e potencil se pocen oscilciones en tono ls óbits cicles, qe p lgnos potenciles ton l fo e tyectois elíptics con no e los focos en O. os pntos e etoceso el oviiento il son ls solciones e E U. tyectoi se ntiene cot ente os cicnfeencis si existen os ef ( ) pntos e etoceso il. Si no, l ptícl lleg l infinito, o bien, ce l cento e fezs O. G) Cálclo e óbits. Fóls e Binet y Ptios e ls ecciones el oviiento F ( ) ( ) Sponeos qe l epenenci tepol e es e l fo ( t ) [ ( t )] con lo cl, ls eivs tepoles qieen l fo t t y

5 t t t Deivno especto l tiepo l ección qe efine el ólo el oento ngl, encontos con lo cl, l eiv segn qiee l expesión t Intocieno ests eivs tepoles en l ley el oviiento en l iección il, veos qe se stisfce ( ) F Eliinno con y e l consevción el oento ngl, llegos l conclsión e qe l óbit e l ptícl ( ) es solción e l ección ifeencil ( ) F Est ección se siplific con el cbio e vible con el eslto F qe se conoce coo l ª fól e Binet, p l óbit bjo n fez centl ( ) F. Nos sive p clcl l tyectoi e l ptícl si conoceos l fez centl, o p clcl l ley e fez si conoceos l tyectoi e l ptícl. ª fól e Binet elcion el cpo e velocies con l óbit e l ptícl. Es eci, nos peite conoce el ólo e l veloci en los istintos pntos e l óbit ecoi po l ptícl. Con los isos psos nteioes, v

6 ó en fnción e l vible v Pobles Reseltos.5 Un ptícl e s escibe n tyectoi cicl e io R qe ps po el cento e fezs O. Detein en fnción e, R, y e l veloci íni e l ptícl en s tyectoi, ) l ley e velocies, b) l ley e l fez c) l enegí potencil e l ptícl. y O R x y tyectoi en cooens poles es R cos coo se pee eci e l sigiente gáfic O R 9º x Respecto l vible obteneos y e qí, sin R cos Rcos tn ( tn ) R cos

7 Utilizno l ª fól e Binet, hllos l ley e veloci e l ptícl en fnción e l posición en l óbit v R R ó R v Debeos expes el eslto en fnción e l veloci íni e l s en l tyectoi. veloci lcnz s vlo ínio cno l cooen il se áxi, es eci, en R. Dicho vlo ínio es v in R con lo cl, l veloci e l ptícl stisfce v v in R P etein l fez centl F() qe gene este tipo e óbit tilizos l ª fól e Binet. Aho ( tn ) tn 8R cos cos con lo cl 5 8R 8R F F( ) 5 En fnción e l veloci íni, l fez centl tiene l expesión v ( ) in R F R fez tctiv, invesente popocionl l qint potenci e. enegí potencil stisfce U F( ) Integno est ección, con l conición e qe l enegí potencil se nle en el infinito, obteneos 5 vin v in ( ) ( ) R R U F R 5

8 .6 Un ptícl e s escibe n espil bjo l cción e n fez centl. Deci l ley e fez, si l espil está escit po l ección. O Utilizos l ª fól e Binet. En fnción e l vible, l óbit se escibe po l ección fez centl qe gene este tipo e oviiento stisfce F ( ) F ( ) Po tnto, es n fez tctiv invesente popocionl l cbo e l istnci l cento e fezs..7 Un ptícl e s se eve en n egión one existe n potencil centl e l fo U ( ) k, k >. P qé vloes e l enegí y el oento ngl l óbit seá n cicnfeenci e io con cento en O? Cál es el peíoo e evolción en es óbit? Si el oviiento e l ptícl se petb sepánolo e icho oviiento cicl, cál seá el peíoo e ls oscilciones iles leeo e. Po se el potencil centl se consev l enegí y el oento ngl especto O. En n óbit cicl e io, el eqilibio e ls fezs en l iección il se escibe F c F l fez centífg, y ( ) F( ) sieno c F l fez centl evl en. Po efinición, l fez centl eiv el potencil en l fo U F( ) k y es n fez tctiv, iigi hci el cento O.

9 fez centífg, gene po l otción especto l cento O es v F c con lo cl, el eqilibio e fezs, obteneos l veloci en l óbit cicl v k v enegí el siste es s e l enegí cinétic y l enegí potencil v k E U ( ) k k y el oento ngl p l tyectoi cicl es v k El hecho e qe l enegí e l ptícl se eno qe l enegí potencil en el infinito, en este cso eqivle qe se finit, inic qe l ptícl no pee escp l infinito. ptícl está tp en el cpo e fez. tyectoi cicl se escibe con veloci constnte v, sieno el peíoo e evolción igl π π T v k Cno l ptícl se ve esplz ligeente e est óbit cicl, s enegí potencil U() ite el esollo en seie U( ) U ( ) U ( )( ) U ( )( ) y e qí, l fez centl qe sfe l ptícl, en ls ineiciones e l óbit cicl, es F( ) U ( ) U ( )( ) Sponeos qe l petbción no fect l oento ngl e l ptícl, qe se ntiene constnte. fez centífg p posiciones cecns l oviiento cicl tbién ite el esollo F F F c k ( ) ( ) ( )( ) c ley e oviiento p el oviiento il es F( ) Fc ( ) t y sstityeno los esollos nteioes, obteneos l ección el oviiento en l vecin e l óbit cicl c

10 t U ( ) U ( )( ) F ( ) F ( )( ) c c Definios l vible p el oviiento petbo coo l istnci il l óbit cicl s ley e oviiento p l vible s es s [ U ( ) Fc ( ) ] s U ( ) Fc ( ) t El lo eecho es nlo en vit e l conición eqilibio en l óbit cicl, po lo qe obteneos finlente s [ U ( ) F ( ) ] s c t qe coespone n oscilción ónic cy fecenci e oviiento stisfce U ( ) Fc ( ) ω Evlno ls eivs espciles U ( ) k tenieno en cent el vlo constnte el oento ngl 6 k F c ( ) k obteneos l fecenci e oscilción el oviiento petbo leeo e l óbit cicl k ω p 6 y el peíoo e ls oscilciones iles π T p 6 k lo qe inic qe el oviiento e oscilción il es ás lento qe el oviiento obitl en n fcto 6.

11 α.8 Un ptícl se lnz con veloci, iigi pepeniclente l io vecto, n istnci el cento O e n fez centl tctiv α. Clcl el tiepo e cí l cento e fezs. Utilizos el concepto e potencil efectivo. ley el oviiento p l cooen il se obtiene e l consevción e l enegí E U( ) one U() es l enegí potencil e l ptícl. Po efinición, α U( ) F( ) tono coo efeenci n enegí potencil nl en el infinito. Po tnto, l enegí qe expes en l fo α E P etein l tyectoi il e l ptícl, espejos l veloci il E α t tono el signo enos po se l veloci il negtiv (el io vecto ecece en el tiepo). Integno, el tiepo e cí sobe O es T E α E α Este tiepo pee clclse n vez eteino el oento ngl especto O y el vlo e l enegí e l ptícl. Po se l fez n fez centl, se consev el oento ngl especto O. Clclos s vlo tono coo efeenci el oento inicil el oviiento α α Aeás, se consev l enegí. Inicilente α α E Po tnto, el tiepo e cí está o po l integl

12 T α α α Con el cbio e vible ω obteneos / ω ω T α ω integl inefini tiene l solción / ω ω ω ω( ω) csin ω con lo cl / ω ω ω Finlente, el tiepo e cí eslt se T π csin 7 8 α 5 π 8 ω.9 Se soete n ptícl e s n fez centl k F, k >. Clcl s tyectoi. Cál ebe se s veloci inicil p qe ich tyectoi se n cicnfeenci e io y cento O? En fnción e l vible, l fez qe sfe l ptícl es F k y l ª fól e Binet nos ice qe l óbit ( ) es solción e l ección ifeencil k F solción es s e l solción genel e l ección hoogéne Acos, y n solción pticl e l ección, esto es, ( ) g

13 k coplet. Elegios est solción pticl coo l solción constnte, p tnto, k g p Acos( ) De qí, l óbit qe efini po p e cos( ) ección e n cónic e páeto p k p y excentici e A e k El ánglo es el foo po el eje pol, y el eje x.. Po tyectoi seá n cicnfeenci e io si e, y si p. Po tnto k Po se l fez centl, el oento ngl especto O se consev. Inicilente l ptícl llev n veloci V pepenicl l io vecto, po lo qe V veloci necesi p l óbit cicl es V k k V Aeás se copeb qe en l óbit cicl hy n eqilibio e ls fezs iles. fez centl ebe nlse con l fez centífg ebi l gio especto O k V. Un ptícl se eve en n óbit cicl e io, bjo l cción e n fez centl iigi hci n pnto O. Sen V,V x in los vloes áxio y ínio e s veloci. Clcl el peíoo e l óbit en fnción e estos tos.

14 V x in O x V in En el cso ás genel, l óbit cicl no tiene po qé est cent en O. Tono cooens poles con cento en O, l óbit es n elipse. Al se l fez centl, el oento ngl especto O es constnte. En los pntos one l veloci es áxi o íni, el vecto veloci no tiene coponente il, y es pepenicl l io vecto. Po tnto, el oento ngl stisfce V V x in Aeás, y qe los pntos e veloci áxi y íni se encentn en posiciones opests sobe l cicnfeenci e io in x Utilizno est expesión jnto con l ección nteio obteneos el oento ngl en fnción e los tos el poble VxVin V V Coo l fez es centl, se stisfce l ley e ls áes. Si T es el peíoo e evolción en l óbit cicl e io, cyo io vecto be n speficie π teneos π T De qí, poeos clcl, conocio el oento ngl, el peíoo e l óbit Vin T π VV x in x x V in in x

15 Pobles Popestos. Un ptícl e s se eve bjo el efecto e n fez centl e oo qe el ánglo α qe fo el vecto veloci y el io vecto es constnte. Clcl s tyectoi y el tiepo qe t en ce l oigen si pte e l posición en t, con veloci v. (P integ l ección el oviiento no hce flt conoce l fo exct e l fez centl) cosα v t Solción: vt tnα ln cosα T v cosα k. Un ptícl e s soeti l fez centl F ( ), k > sige n tyectoi cicl e io. Detein s enegí, oento ngl y veloci. Solción: k E, k, v k. Un ptícl se eve con veloci constnte v lo lgo e n líne ect qe ist b el oigen O. Se A el áe bi en el tiepo t po el vecto e posición qe v ese O l ptícl. Deost qe A/t es constnte en el tiepo e igl /, one es el oento ngl e l ptícl especto l oigen O.