a) El sistema puede ser visto como dos capacitores en paralelo, donde cada capacidad es de la forma C i = ε i A i /d i. Entonces se obtiene:

Transcripción

1 Julio 8 Exmen de Electomgnetismo Solución Poblem ) El sistem puede se visto como dos cpcitoes en plelo, donde cd cpcidd es de l fom C i ε i i /d i. Entonces se obtiene: ( ε ε ) L ε L ε L + C C + C + 4d 4d 4d b) De l definición de cpcidd ε ε C C R Plntendo l mll se lleg un ecución difeencil: Que se esuelve imponiendo l condición inicil de condensdo descgdo, obteniéndose: V i R C v C c) Con el sistem en égimen, tbjmos en complejos V I C V C Un estimción del tiempo necesio p que el sistem lcnce el égimen está ddo po l constnte ccteístic RC. d) plicndo supeposición, l tensión en bones del condensdoen égimen : e) Notemos que los cmpos en cd zon son distintos, po lo tnto ls densiddes de cg tmbién lo seán. Entonces: j ε D ε D v C /5

2 Julio 8 Exmen de Electomgnetismo Solución Poblem ) En l egión ente ls plcs, po l segund ley de Newton: du qv qv m, usndo que u ( ) u u ( t) t + u () dt d qv tomndo que x( ) x( t) t + ut () Se t el tiempo que le llev l ptícul lleg l plc de l deech: x ( t ) d qv Sustituyendo esto en () t + ut d () qv De () p u(t )u t + u u t ( u ) u (4) qv Sustituyendo t en () y opendo u u qv m + (5) En l egión con cmpo mgnético, po l segund ley de Newton: u m c qu, siendo c (celeción centípet) y el dio de l mu semi-cicunfeenci que descibe l ptícul (6) q Se t el tiempo que ps l ptícul en l egión con cmpo, entonces como no cmbi el módulo de u y l ptícul ecoe un semicicunfeenci: π π mπ u t (7), independiente de u. u q t b) V t) V cos( π f t). ( Se quiee que cundo l ptícul vuelv inges l egión ente ls plcs, se celed hci l ot plc. Entonces V(t) debe cmbi su polidd con fecuenci f tl que: Si V ( t ) V V ( t + t ) V. ho como t <<t (t +t t ) l condición esult V ( t ) V cos( π f t ) ( ( n +) π π f t n + )π f n, n,,, πt L mínim fecuenci coesponde n: π f πt q mπ /5

3 Julio 8 Exmen de Electomgnetismo Solución c) P este dispositivo. Como de (6) Entonces K mu ( q ) m mu q u q m Poblem () Roto: Po l ecución de mpèe-xwell sbemos que D H J +. (.) t En est situción no hy ni coientes libes ni fuentes de cmpo eléctico (ni desplzmiento): J (.) D y po lo tnto H (.) Como consecuenci de esto, podemos fim que H deiv de un gdiente: H ψ (.4) Divegenci: Po ls ecuciones de xwell sbemos que. El vlo de l mgnetizción es kˆ, (, θ, ϕ) (.5), > y po lo tnto l divegenci es tnto p < como p >. Po definición H po lo que su divegenci es µ H (.6) µ Esto último, combindo con (.4), signific que se stisfce l ecución de Lplce p el potencil mgnetostático ψ ψ (.7) en ls egiones < y >. (b) El cmpo H puede tomse como el poducido po un densidd de cg mgnétic dd po ρ (volumétic) (.8) σ ˆ n (supeficil) (.9) sup. pti de (.5) se encuent diectmente que ρ (, θ, ϕ ) (.) en todo el espcio y que σ ( θ, ϕ) cosθ (.) en l supeficie de l esfe ( ) donde k ˆ n ˆ cosθ. (c) Como el poblem tiene simetí de evolución en tono l eje z, el potencil ψ (, θ, ϕ ) tiene l fom genel /5

4 Julio 8 Exmen de Electomgnetismo Solución C C ψ(, θ ) cos si θ + < ψ (, θ ) C C ψ (, θ ) cosθ + si > donde distinguimos ls egiones inteio () y exteio () de l esfe. Los coeficientes, C,, C se deteminn po ls condiciones de bode. n n n n (.) Es sencillo conclui que C C : de H sbemos que no pueden hbe fuentes monopoles p el cmpo. Hy un densidd de cg mgnétic en l supeficie de l esfe (que es l fonte que sep ψ y ψ ) lo cul d lug un discontinuidd de l componente noml del cmpo H : ( ) ( ) ˆ ψ ψ σ θ H H n (.) Esto conduce C C + (.4) y demás que no hy más téminos que los mostdos en (.) p ψ (los puntos suspensivos son todos téminos nulos); (.) debe se válido p todos los vloes de θ. P tene un potencil no-divegente en el oigen debemos tene C (.5) y p que se no-divegente p debemos tene (.6) Finlmente exigimos que el potencil se continuo en todo el espcio, y en pticul en l supeficie de l esfe: ψ (, θ ) ψ (, θ ) (.7) Po un ldo esto nos d que ; elegimos po simplicidd (unque esto no es pticulmente impotnte: el cmpo mgnético es independiente de estos coeficientes). Po oto ldo, del témino con cosθ, tenemos l ecución C (.8) que junto con (.4) nos pemite despej los coeficientes estntes:, C (.9) Po lo tnto, el potencil ψ es cos θ z, < ψ (, θ ) (.) cos θ, > y el cmpo coespondiente H ψ es 4/5

5 Julio 8 Exmen de Electomgnetismo Solución H kˆ < ( cosθ eˆ sen ˆ ) + θ eθ > L inducción mgnétic dd po µ ( H + ) es (usndo k ˆ cosθ eˆ senθ e ˆ ) µ kˆ µ ˆ ˆ (cos θ e ) k > θ < (.) (.) (d) El cmpo de est pte puede obtenese po l supeposición de los cmpos debido un esfe de dio R y mgnetizción ˆ k y el debido un esfe de dio R / y mgnetizción k ˆ. Figu : Supeposición El cmpo se divide en tes csos. Limitándonos l eje z ( θ ): P < R H kˆ 5µ kˆ (.) P R < < R P > R 4R ˆ H ˆ k + k µ ˆ k R R ˆ H ˆ k k µ ˆ k (.4) (.5) 5/5