CONDENSADORES Y CAPACITORES

Transcripción

1 CONDNADOR Y CAPACITOR n el pesente cpítulo nos pepmos estudi unos dispositivos que se hn eveldo como fundmentles en electicidd: LO CAPACITOR Los cpcitoes son dispositivos que son cpces de lmcen enegí eléctic en fom de cmpo eléctico. P constitui uno de tles dispositivos, es necesio pone en el espcio un conjunto culquie de cuepos conductoes cgdos en donde l menos uno de esos cuepos metálicos cgdos tiene cg difeente los otos. l númeo de cuepos cgdos que pueden constitui el eglo compuesto p fom ese dispositivo es un mínimo de dos. n l figu se epesent un eglo de este tipo: n ell se epesentn 3 cuepos conductoes con cg positiv uno con cg negtiv, uno de tles eglos cumple con l definición de cpcito. L met es conoce el cmpo eléctico del sistem, en cuo cso se dice que se conocen tods ls ccteístics del cpcito. Un constnte impotnte de cd uno de esos eglos genelidos es l constnte físic socid l sistem que sólo depende de l geometí de los cuepos su colocción ente ellos, se denomin CAPACITANCIA del cpcito. Po el momento no estemos inteesdos en el cálculo genelido de l cpcitnci, en su lug, l clculemos p csos pticules denomindos condensdoes. A los cuepos conductoes que componen un cpcito se les d el nome genéico de "plcs". ss "plcs", están elevds un cieto vlo de potencil ecod que un cuepo metálico cgdo se conviete en un on de potencil constnte po ello todos sus puntos tienen el mismo potencil. l pime elemento clásico po estudi seá el conocido CONDNADOR D PLACA PARALLA.

2 nte ellos, está el CONDNADOR D PLACA PLANA PARALLA, un epesentción de uno de ellos es l dd en l figu siguiente: n l figu se epesent un condensdo el, no ostnte, p se estudido, nuesto modelo idel, de ese condensdo dee cumpli ciets esticciones: l condensdo dee tene un áe "A" cu dimensión dee se mu gnde compd con ls dimensiones de l sepción "d" ente ls plcs. L nteio condición es necesi p pode despeci fundmentlmente, el "efecto de odes", en el cul el cmpo eléctico fom línes de Fue que slen po los odes del cpcito, povocndo un desvición del vecto de intensidd de cmpo eléctico e indicndo que pte de l enegí lmcend se "desode" po los etemos de ls plcs del cpcito, ve figu siguiente.

3 P pemiti que el efecto de odes se despecile, deemos olig l cpcito tene un elción de dimensiones Ae de plcs-espcio ente ells, como l indicd, l menos como un uen poimción. Ls plcs se socin con los vloes, poque como indicmos nteiomente, cd conducto que constitue un de ls plcs del cpcito, se elev un cieto potencil con tn sólo cglo. n l figu siguiente se epesent el cmpo eléctico en el condensdo que estmos estudindo, se ege l distnci "d" de sepción ente ls plcs del condensdo p epesent ls supeficies gussins de eploción. l condensdo de plcs plels tiene un cmpo eléctico ente sus plcs tl que, el vecto de intensidd de cmpo eléctico es unifome. P demostlo, es necesio plic el Teoem de Guss l inteio del condensdo como se muest en l figu siguiente: n l figu, se osevn dos cjits de píldos como supeficies gussins de eploción, p evlu el Cmpo eléctico dento del condensdo. n cd un de ells, h un tp cuo vecto de intensidd de cmpo eléctico es ceo, p l cjit en l plc positiv, l tpit sin cmpo es l iquied, que está más llá de l plc, no h cmpo deido que l densidd de cg σ está soe l supeficie inten de l plc, po ello en el inteio de l plc el cmpo es nulo evidentemente más l iquied de l plc fue de est últim, el cmpo tmién es ceo. iméticmente, se encuent en l plc cgd negtivmente, que l tpit con vecto de intensidd de cmpo eléctico nulo es l de l deech poque l densidd de cg σ se encuent soe l supeficie iquied de l plc cgd negtivmente, po los mismos onmientos nteioes, fue l deech de es plc, el cmpo es ceo. P l cjit de píldos iquied soe l plc de cg positiv, l tp con cmpo eléctico pesent un vecto de intensidd de cmpo eléctico plelo con mismo sentido que l difeencil de supefice, como lo muest l figu siguiente:

4 Mients que p l cjit de píldos soe l plc negtiv, l tp con cmpo tiene l popiedd de que el vecto de intensidd de cmpo eléctico es ntiplelo l vecto de difeencil de supeficie. P l cjit soe l plc positiv, el vecto de cmpo eléctico 3 es nulo. Mients que 4, es pependicul l difeencil de supeficie. Po su pte, l cjit p l plc negtiv, tiene nulo el vecto 4, el vecto 3 es pependicul l difeencil se supeficie. Al plic el Teoem de Guss ms supeficies gussins, p l integl de flujo tenemos: d d d d d cjit de píldos iquied que se conviete en 3 4 d d cos d cos d cos9 d cjit de píldos iquied que se educe : d cjit de píldos iquied d d d cos que finlmente d como esultdo: d cjit de píldos iquied

5 L distiución de cg eléctics en l plc positiv del condensdo l supondemos unifome po se mu gnde considese como poimd l infinito, en consecuenci l densidd de cg supeficil soe l plc idel, es constnte de nuev cuent l cg q enced en l cjit de píldos tiene el vlo: q σ sí que l plicción del teoem de Guss nos pemite escii: d cjit de píldos iquied σ e limindo tenemos l epesión de l mgnitud del cmpo eléctico: σ i l cg que se distiue en cd plc del condensdo tiene el vlo, como su áe es A, entonces l densidd supeficil de cg unifomemente distiuid en l plc positiv es: σ A en consecuenci, el vecto de intensidd de cmpo eléctico tiene l mgnitud: σ A Desollndo los mismos psos que nteiomente, peo ho con l cj de píldos soe l plc negtiv, tenemos: d d d d d cjit de píldos deech que se conviete en 3 4

6 d d cos8 d cos d cos9 d cjit de píldos deech 3 4 que se educe : d d d cjit de píldos deech 3 4 d que finlmente d como esultdo: d cjit de píldos deech L distiución de cg eléctics en l plc negtiv l igul que en l plc positiv, tiene su densidd de cg supeficil constnte de nuev cuent l cg q enced en l cjit de píldos tiene el vlo: q σ sí que l plicción del teoem de Guss nos pemite escii: d cjit de píldos deech σ en consecuenci, el vecto de intensidd de cmpo eléctico tiene l mgnitud: σ A que coincide totlmente son el vlo esultnte po l plicción del Teoem de Guss p l ot cj de píldos soe l plc positiv de cg. ste esultdo tods luces inteesnte, nos pemite concluí que el cmpo eléctico dento del condensdo es un CAMPO LCTRICO UNIFORM, p el cul el vecto de intensidd de cmpoe eléctico tiene el mismo vlo p todos los puntos inteioes del condensdo.

7 se vecto tiene l diección pependicul ls plcs con un sentido que v de l plc positiv l negtiv, coincide con l diección sentido en que seí empujd un "potdo de cg positivo" o un "cg de pue positiv". P continu desollndo el nálisis del condensdo, es necesio otene lguns conclusiones soe los CAMPO LCTRICO UNIFORM: Un cmpo eléctico unifome, tiene línes de fue ectilínes, plels espcids unifomemente, que indicn que el vecto de intensidd de cmpo eléctico tiene el mismo vlo en todos los puntos del cmpo. Ls supeficies equipotenciles del mismo, se otienen l igul l potencil eléctico con un constnte. L figu siguiente epesent uno de tles cmpos: P el cmpo eléctico unifome, en todos sus punto el vecto de intensidd de cmpo eléctico es ddo po el vecto: iˆ ˆj kˆ 3 en consecuenci l ecución gene ls 3 ecuciones difeenciles siguientes: ; 3 : ls cules l integse dn como esultdo l función:

8 C 3,, que l igulse con un constnte genen ls ecuciones de ls supeficies equipotenciles, que tienen l fom nlític: constnte 3 que son ecuciones de plnos en el espcio de tes dimensiones, esos plnos son pependicules l vecto cus componentes ectngules son 3 ; ; es deci son pependicules pecismente l vecto de intensidd de cmpo eléctico: k j i ˆ ˆ ˆ 3. P conoce el potencil en un supeficie equipotencil, es necesio sustitui ls coodends de uno de los puntos de ese plno en l función potencil. l único polem es que el potencil en un punto sólo se conoceá con un constnte indetemind que puede evluse po un condición inicil soe l ecución difeencil, lo cul no necesimente es páctico. Po lo nteio, como l constnte es ditiv, ecod l fom funcionl del potencil: C 3,, p este cso, seí mu páctico eliminl si en lug de usc el potencil en un punto, encontmos l difeenci de potencil ente dos puntos: C C,,,, Osevmos que l constnte de integción indetemind h despecido, esto justific poqué es uscdo ms menudo l difeenci de potencil. 3 Clculemos ho l difeenci de potencil ente ls dos plcs del "condensdo de plcs plns plels", p ello, podemos supone, sin pedid de genelidd, que ls línes de fue son plels l eje de ls X, mients que l plc positiv pesent su c cgd eáctmente en el oigen del sistem coodendo. L figu siguiente esquemti el cmpo eléctico los pámetos que intevienen:

9 P encont l difeenci de potencil ente l plc positiv l negtiv, deemos clcul:,,,, peo d, entonces l difeenci de potencil es dd po: d como l mgnitud del vecto de intensidd de cmpo eléctico cumple: entonces l difeenci de potencil ente ls plcs del condensdo es dd po l elción: d. n consecuenci, como el cmpo eléctico dento del condensdo tiene el vlo: σ A entonces l difeenci de potencil se puede epes po: d d A.

10 Los condensdoes de plcs plels, en genel los cpcitoes de plcs, cumplen epeimentlmente que l difeenci de potencil "" ente sus plcs, l mgnitud de l cg "" que se deposit en cd un de sus plcs es popocionl es deci se tiene l popoción: A l constnte de popocionlidd "C" que conviete es popoción en un iguldd, se le denomin "CONTANT D CAPACIDAD DL CAPACITOR" o simplemente CAPACITANCIA, De tl mne que l cpcitnci cumple l ecución: C A pti de l elción d A puede despejse l cg otenemos: ε o d A s evidente de est epesión que l constnte de cpcidd o cpcitnci del condensdo de plcs plns plels es ddo po: C d A epesión que nos indic que l cpcitnci es función de l geometí del cpcito, en este cso del áe de ls plcs de l distnci de sepción ente ells, eistiendo un constnte de popocionlidd ente cpcitnci el cociente del áe de ls plcs dividid po l distnci de sepción que es nd menos que l pemitividd del vcío. st epesión es de vitl impotnci, que es l se de un epeimento po medio del cul se puede detemin l constnte de pemitividd del medio del que se ellen un condensdo. Cundo el condensdo no se ellen con nd, sino que está l vcío, el cálculo de l Cpcitnci de ese condensdo, undo con el cálculo del cociente áe dividid po l distnci ente plcs, se puede gfic plicndo l digm de dispesión l estdístic, puede encontse el vlo de l constnte de pemitividd en el vcío po medio del cálculo de l pendiente de l ect de mejo juste. L figu siguiente pesent un posile digm de dispesión, oteniéndose l ect de mejo juste, cu pendiente clculd po egesión linel, nos d el vlo de l pemitividd en el vcío:

11 n l figu se pesentn l cuv de juste, los pámetos mediles C, A d, el pámeto clculdo po juste ε. L pemitividd es un constnte socid l medio en que se desolln los epeimentos electostáticos. n pticul, cundo un condensdo de plcs plns plels se ellen con un dieléctico, l técnic nteio sugiee l fom de medi l pemitividd de culquie medio. Lo único que h que hce es difeentes condensdoes se les mide su cpcitnci sus espectivos vloes de ls elciones d A, un ve que se les ellen con el mteil l que se dese medi su pemitividd, finlmente se eli el nálisis de dtos p efectu l egesión linel que detemin el vlo de l constnte ε. l tjo de los Físicos epeimentlists, h pemitido otene conclusiones inteesntes soe l pemitividd de los medios físicos: L compción po medio de cociente de l pemitividd de un medio l pemitividd del vcío, un cntidd sin dimensiones que se denomin CONTANT DILÉCTRICA DL MATRIAL, κ que pemite escii l elción: ε κ donde κ tiene l popiedd de tene siempe un vlo que cumple l elción: κ lgunos utoes, denominn est constnte con el nome de PRMITIIDAD RLATIA, ε,soe todo en electónic, entonces se tiene l elción: ε ε ε es

12 L impotnci del epeimento descito, consiste en que l pemitividd de culquie medio es medile po medio de su uso: e diseñn distintos condensdoes con áes distncis de sepción difeentes, de tl mne que se otienen elciones d A con vloes distintos en númeo suficiente p ce un digm de dispesión estdísticmente decudo ente C vesus d A, como se epesentó en l últim figu. A continución, se ellenn esos condensdoes con el mteil l que se dese medi su pemitividd, enseguid se clculn los vloes de l cpcitnci de cd uno de esos condensdoes. l cálculo de ess cpcitncis se elií po ejemplo, efectundo un epeimento en el cul se usque el digm de dispesión vesus, donde l cpcitnci seí l pendiente de l ect de mejo juste de l egesión linel espectiv, es deci, se uscí l elición del digm de dispesión de l figu siguiente: Con este tipo de técnic epeimentl seí posile clcul ls pemitividdes de un seie de mteiles, ntulmente, el diseño de estos epeimentos no es tn simplist, si se dese encont vloes decudos, esos epeimentos deen elise jo condiciones mu especiles de islmiento, pesuición etc., en consecuenci cen en dominio de epeimentos de tecnologí sofisticd, nosotos nos confomemos con se que esos vloes hn sido clculdos decudmente fin de cuents podemos cont con ellos. n este momento seí decudo hl de ls uniddes de CAPACIDAD de un condensdo: A pti de l elción ente cg dquiid po cd plc del condensdo, l difeenci de potencil plicd sus plcs l cpcidd del mismo, es deci, usndo l ecución:

13 podemos defini ls uniddes de CAPACITANCIA: C Coulom Fd olt P tene un ide del oden de mgnitud de un Fd, hgmos el siguiente cálculo: upongmos un condensdo con distnci de sepción de centímeto, es deci de - metos, con un cg de Coulom en cd un de sus plcs, el cul se supone que tiene un cpcidd de Fd. Nos peguntemos del vlo de su áe: P ello utilimos l ecución que d el vlo de l cpcitnci de un condensdo de plcs plels: C en ese cso, el áe de ls plcs se clcul po medio de: d A sustituendo los vloes numéicos tenemos: C d A A Fd 9 7 m Coul 36 π newton m 36 π Coul m olt Coul newton m m m Coul Coul newton m newton m Un áe de ess dimensiones si se tt de un cuddo, tiene un dimensión po ldo dd po: l es deci, un longitud de más de 33 Km! m videntemente uno de tles condensdoes es difícil de constui, en consecuenci un condensdo de este tipo es poco páctico, po es ón, ls uniddes dmitids de cpcidd son del oden de micofdios, picofdios, nnofdios, etc. A pti de l ecución fundmentl de un condensdo de plcs plns plels, es posile encont ots uniddes de l constnte de pemitividd, es deci pti de: C d A

14 [ ε ] Fd m m Fd m unidd completmente equivlente l que hímos visto nteiomente es deci: Fd m Fd Coul ε. m m newton m [ ] isten oto tipo de condensdoes fundmentles inteesntes nli ellos son el esféico el cilíndico. CAPACITOR CILINDRICO D PLACA PLANA PARALLA ste cpcito es constuido con un conducto cilíndico mcio ectilíneo, en el cul se deposit un cg positiv, lededo de él se coloc centdo su eje con el eje del conducto nteio, un conducto en fom de cscón cilíndico de dio mo l del conducto centl, con un cg -. L longitud L de esos dos conductoes se supondá que es mucho mo que el dio eteno del conducto cilíndico hueco eteio, con l finlidd de evit en lo más posile el efecto de odes. L Figu siguiente muest un vist de un poción del condensdo cilíndico, sí como un vist de sección tnsvesl mostndo los pinciples pámetos de estudio.

15 l vecto de intensidd de cmpo eléctico en este cso, tiene evidentemente simetí cilíndic, es deci es dil especto l eje del cilíndo del conducto inteio, es constnte soe supeficies cilíndics centds en el eje del sistem. n este cso, el vecto de intensidd de cmpo eléctico no es unifome, él depende de l distnci pependicul del punto donde se evlú l eje de simetí. Lo pimeo po eli es evlu l difeenci de potencil ente ls plcs, p ello deemos evlu inicilmente el vecto de intensidd de cmpo eléctico, p ello utilimos el Teoem de Guss soe un supeficie cilíndic cuo eje coincide con el eje del sistem. L figu nteio epesent l supeficie gussin que encie un poción de inteio del condensdo. longitud "h" de l plc e epesent en ell un elemento de supeficie soe l supeficie Gussin, en él se epesentn demás los vectoes de intensidd de cmpo eléctico, de difeencil de supeficie todos los puntos soe l supeficie Gussin. d, que son plelos en L cg depositd en l plc inteio del condensdo, tiene un densidd supeficil de cg dd po: σ e cilindo π R L donde L es l longitud totl del condensdo cilíndico. s densidd supeficil de cg es unifome. fectuemos l integl de flujo soe l supeficie gussin de dio : n ls tps del cilindo gussino, los vectoes de intensidd de cmpo eléctico los vectoes de elemento difeencil de supeficie son clmente plelos, po ello el poducto escl de esos vectoes es ceo soe ls tps de l supeficie gussin. ólo qued clcul l integl de flujo soe l pte edond del cilindo, en l cul según l figu, los vectoes de intensidd de cmpo eléctico de elemento difeencil de supeficie son plelos. n este cso se tiene:

16 d d cos d De tl mne que l integl de flujo soe el cilindo gussino es dd po: d d cilindo gussino soe ls tps d sec ción edond cilindo l utili el gumento que en ls tps los vectoes que se integn son pependicules, mients que soe l supeficie edond son plelos, tenemos: d cilindo gussino cos9 soe ls tps d sec ción edond cilindo d cos de donde ls integles se convieten en: d cilindo gussino soe ls tps sec ción edond cilindo d deido l simetí cilíndic del cmpo, soe l pte edond del cilindo l mgnitud del vecto de intensidd de cmpo eléctico, es constnte, sliendo de l integl dndo el esultdo: d cilindo gussino soe ls tps sec ción edond cilindo l segund integl del mieo deecho de est últim ecución es l integl que d e áe de l pte edond del cilindo, en consecuenci, deido que l supeficie de integción tiene dio "" longitud "h", l integl de flujo tiene el vlo: d d π h π h cilindo gussino L cg totl enced po el cilindo gussino es l cg que se distiue soe l sección de longitud "h" de l plc cgd positivmente del condensdo, l cul tiene dio R, po ello es l cg que se distiue en el áe π R n consecuenci, l cg "q" enced po l supeficie gussin, gcis que l densidd supeficil de cg σ es constnte, es dd po: h

17 q σ π R h π π R L R h L h Aplicndo el Teoem de Guss, otenemos: d cilindo gussino h π h ε L A pti de est últim ecución tenemos: h ε L π h π ε L pesión que nos indic que el vecto de intensidd de cmpo eléctico tiene su mgnitud dependiente invesmente de el dio desde el eje de simetí. n fom vectoil, el vecto de intensidd e cmpo eléctico puede escii se como: eˆ π ε L ρ ρ Pocedmos encont l difeenci de potencil ente ls plcs del condensdo cilíndico, en este cso, A pti de l elción ente vecto de intensidd de cmpo eléctico potencil eléctico, es deci, tomndo en cuent l epesión:

18 podemos otene el potencil en cd punto del cmpo eléctico dento de ls plcs de nuesto condensdo. n coodends cilíndics, el gdiente tiene l fom: ρ eˆ ρ eˆ ρ ϕ ϕ eˆ Utilindo est últim ecución l epesión vectoil del cmpo dento del condensdo, tenemos: eˆ eˆ eˆ ρ π ε L ρ ρ ρ ρ ϕ ϕ A pti de l iguldd de esos vectoes, tenemos l elción: eˆ eˆ ρ π L ρ ρ eˆ ρ en consecuenci tenemos l elción escl: π ε L ρ ρ cución difeencil que se esuelve po integción diect: dρ d ρ ln ρ C π ε L ρ π ε L ρ π ε L de tl mne que el potencil en cd punto de coodend cilíndic ρ,ϕ, ln ρ C π ε L, es ddo po: Nos intees l difeenci de potencil ente ls plcs del condensdo, po ello nos intees l difeenci de potencil ln C ln R C π ε L π ε L epesión que educiendo lgeicmente se conviete en:

19 ln C ln R C π ε L π ε L de donde: ln π ε L R Nos intees de l difeenci de potencil, no su vlo en sí, sino su vlo soluto, po ello tomemos como vlo de l difeenci del potencil que: utilindo l elción fundmentl de los cpcitoes, ln π ε L R C podemos escii: C ln π ε L R eliminndo, otenemos: C π ε L ln R epesión que nos d el vlo de l cpcidd de un cpcito ciliíndico de plcs plels.