( ) ( ) ( ) i j ij B (1.1) Y que su volumen se expresa en términos del producto punto de vectores como: ( )

Transcripción

1 Te de Estdo Sólido 5/Septiembe/008 Min Eugeni Fís Anguino. Pob que, b b, b π π π Donde los vectoes b i cumplen l siguiente elción: b πδ i j ij Po constucción geométic, los dos conjuntos de vectoes y b constituyen el volumen totl del eglo de un ed biti. Po definición de geometí vectoil, sbemos que el áe de un plelogmo de ldos A y B viene dd po: A B (.) Y que su volumen se expes en téminos del poducto punto de vectoes como: Que es el volumen de un plelepípedo con ldos A, B, C. A ( B C ) (.) Y que, po definición, los vectoes son culquie conjunto de vectoes que no son coplnes ente sí, los vectoes b deben cumpli simismo est condición. P que el poducto punto dé como esultdo el témino δ ij, hy que nomliz los vectoes b l volumen totl genedo po los vectoes, expesdo de cuedo l ecución (.): V Y y que los vectoes no son coplnes, cumplen con l elción cíclic:,, Peo culquie combinción de l fom (.) tendá el mismo vlo numéico que el volumen, po lo que de quí podemos ve que el equisito p que los vectoes b sen unitios (po el témino π) es que sen de l fom, b b, b π π π (.)

2 Te de Estdo Sólido 5/Septiembe/008 Min Eugeni Fís Anguino. P l edes de Bvis fcc (fce centeed cubic), bcc (body centeed cubic) y hexgonl, clcul b, b, b. Luego, pob que se cumplen ls siguientes elciones: Red Diect Red Recípoc fcc bcc bcc fcc hexgonl hex gonl (otd 0 ) P l ed de Bvis bcc, los vectoes pimitivos son: ( yˆ+ zˆ xˆ), ( zˆ+ xˆ yˆ), ( xˆ+ yˆ zˆ) (.4) Ese es uno de los conjuntos posibles de vectoes pimitivos. Clculmos los espectivos vectoes b de cuedo con ls ecuciones demostds en el ejecicio nteio. xˆ yˆ zˆ ( yˆ + zˆ ), Y los poductos cuz son: ( ) ( yˆ yˆ+ zˆ zˆ) 4 ( xˆ+ zˆ ), ( xˆ+ yˆ) Sustituyendo en los vloes p los b: π π π b ( yˆ+ zˆ), b ( xˆ+ zˆ), b ( xˆ+ yˆ) (.5) Lo que coesponde l conjunto de vectoes pimitivos p un ed de Bvis fcc, de ldo 4π. P l ed de Bvis fcc, los vectoes pimitivos son: ( yˆ+ zˆ), ( xˆ+ zˆ), ( x ) ˆ + y ˆ (.6) Y los mismos cálculos p el ejemplo nteio nos dn: ( yˆ+ zˆ xˆ), ( ) 4 4 ( xˆ+ zˆ yˆ), ( xˆ+ yˆ zˆ) 4 4 Po lo que sustituyendo en ls ecuciones p los vectoes pimitivos de l ed ecípoc obtenemos: π π π b yˆ+ zˆ xˆ, b zˆ+ xˆ yˆ, b ( xˆ+ yˆ ẑ) (.7) Lo que coesponde un ed de Bvis bcc de ldo 4π.

3 Te de Estdo Sólido P l ed hexgonl, los vectoes pimitivos son: ˆ ˆ ˆ ˆ x, x+ y, cz Y los coespondientes cálculos son: 5/Septiembe/008 Min Eugeni Fís Anguino c, ˆ ˆ * cx c * y ˆ cy, * z Entonces, los vectoes pimitivos de l ed ecípoc son: Lo que coesponde un ed hexgonl de ldo 4 4 b π ˆ ˆ xˆ yˆ, b π y, b π c z ˆ 4π y otd 0, pues los vloes p b coesponden con el coseno y seno de este ángulo, espectivmente. Además, l ed está encogid π c con especto de l ed oiginl.. Ejecicio 5. Ashcoft & Memin. ) Puebe que los vectoes pimitivos de l ed ecípoc stisfcen ( π ) b b b En l elción de ib se sustituye en téminos de los vectoes : b b b b π ( ) ( b b ) ( ) Y desollmos el numedo usndo l identidd vectoil ( A B) ( C D) ( A C)( B D) ( A D)( B C) b πδ : i j ij, sí como l elción de otogonlidd π π 0 0 π b ( b b) π b) Supong que se constuyen vectoes pimitivos pti de los b de l mism fom en que éstos se constuyen de los. Puebe que estos vectoes son los mismos. Es deci, puebe que b b π b b b Escibimos b en téminos de los, pti de l fómul del ejecicio :

4 Te de Estdo Sólido π 5/Septiembe/008 Min Eugeni Fís Anguino b b b b π π 4π b ( b b) b b b b b b De cuedo l ejecicio nteio, el témino en el denomindo es igul ( π ). P el numedo, plicmos l identidd vectoil A ( B C) B( A C) C( A B) : b b ( b ) ( b ) ( π ) ( 0) π 4π b ( b b) ( π ) π c) Puebe que el volumen en un cubo de l ed de Bvis pimitiv es V ( ) Esto y fue pobdo en el ejecicio.. 4. Ejecicio 5. Ashcoft & Memin ) Y fue pobdo en el ejecicio (ed hexgonl). b) P que vlo de c/ est popoción tiene el mismo vlo en mbs edes, l hexgonl diect y l ecípoc? Si c/ es idel en l ed diect, cuál es su vlo en l ed ecípoc? En l ed ecípoc, los vloes p c y son: 4π π c, c. c c De l fómul nteio, vemos que cundo se cumple que c c, entonces c c, Y p un ed idel, c 8. Po lo que c c 8 4

5 Te de Estdo Sólido 5/Septiembe/008 Min Eugeni Fís Anguino 5. Clcul el ángulo p el tetedo fomdo po uno de los puntos medios de l ed de Bvis El ángulo fomdo po estos puntos se puede obtene del nálisis geomético siguiente. Anlicemos l figu: el volumen del tetedo es V, el áe de ls cs es F y h es l longitud del segmento pependicul un vétice que v hst l c opuest. Estos cuto segmentos o ltitudes son igules po l simetí del tetedo, y se intesecn l cento cotándose en dos ptes y b, de tl fom que: h, b h, b 4 4 Cd un de ls piámides, que pecen en l siguiente figu, tienen bse tingul y ltu b, sí como volumen v. De tl fom que V 4v. Peo, ecodndo que el volumen de culquie piámide es / del volumen del pism con l mism bse y ltu, podemos escibi V Fh, v Fb Po lo que b h 4, h 4, entonces b. Aho, en l pime figu obsevmos que el ángulo β se elcion con y b po: cos β b / Peo como el ángulo que queemos encont α es tl que α + β 80 entonces: cosα cos β / α cos / 09.8'