PROBLEMAS DE OPTIMACIÓN

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1 PROBLEMS DE OPTIMCIÓN. Con un chp de hojlt cudd de ldo 0 cm es peciso hce un cjón sin tp que teng volumen máimo. Se ecotn cuddos en los ángulos de l chp y se dobl está p fom el cjón. Cuál debe se l longitud del ldo de los cuddos cotdos? Si se ecotn cuto cuddos de longitud en cd esquin y se dobl l chp po ls linel discontinus, pece un cjón si tp de volumen el poducto de sus tes ists V ( 0 ) ( 00 0 ) 00 0 Epesión que pemite obtene el volumen de todo los cjones en función del ldo del cuddo ecotdo. P obtene el máimo se deiv y se igul ceo. ( 80) ± ( 80) ± V no es posible po ls dimensiones de l chp. P compob si p 0 se obtiene un máimo de volumen se compueb si V ( 0) < 0. V ( ) 80 V ( 0) Recotndo en cd esquin un cuddo le ldo 0 cm, se obtiene un cjón sin tp de volumen máimo. Siendo V má cm. En un ce tvés del desieto un utomóvil debe i desde l ciudd hst el osis P situdo 00 Km de distnci de. Puede povech p ello un cete ect que une ls ciuddes y B y que le pemite i un velocidd de 00 Km./h, mients que si v po el desieto l velocidd es de 0 Km./h. Sbiendo que l distnci más cot de P l cete que une ls ciuddes es de 00 Km. Detemin l ut que debe segui p i de P en el meno tiempo posible. Se pide minimiz el tiempo empledo en un tyecto que se ecoe dos velociddes distints. El ecoido totl es y, y el tiempo empledo en ello teniendo en cuent ls velociddes espectivs cd tyecto y que se tt de movimiento ectilíneo y unifom seá y T 00 0 P encont un elción ente e y se cude los dtos geométicos del poblem. Conocids ls distncis de P y de P C, medinte el teoem de Pitágos se clcul l distnci de C(00 Km). Si es l distnci de D, 00 es l de D C. plicndo ot vez Pitágos l tiángulo DCP, se obtiene l elción buscd.

2 ( 00 ) y 00 ( 00 ) y 00 sustituyendo en l epesión de T, se obtiene un función que pemite clcul el tiempo totl de ecoido en función de los kilómetos ecoidos po l cete. 00 T 00 p el mínimo de l función se deiv y se igul ceo. despejndo T ( ) ( 00 ) 0 ( 00 ) ( ) 00 ( 00 ) ( 00 ) ( 00 ) ( 00 ) ( 00 ) elevndo l cuddo ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 00 ) 00 7 km P compob que efectivmente es un mínimo, se compueb que T ((7 ) > 0 T ( ) ( 00 ) T ( 7) ( 00 7) > 0 Recoiendo los pimeos 7 Km po l cete y luego sliendo l desieto, se minimiz el tiempo del vije.. Se dese constui un lt de consevs en fom de cilindo cicul ecto de áe totl 0 cm² y volumen máimo. Detemin su genetiz y su dio. 0 El volumen de un cilindo como el de l figu viene epesdo po V h donde es el dio de l bse y h es l ltu del cilindo o genetiz. L elción ente y h se obtiene del dto del áe ltel totl del cilindo que es constnte, y que se clcul como sum del áe de un ectángulo y dos veces el áe de un cicunfeenci. 0 h 0 h 7

3 Sustituyendo l ltu en el volumen, se obtiene l epesión del volumen de todos los cilindo de áe 0 cm en función del dio de l bse. 7 V ( 7 ) 7 P clcul el máimo de l función se deiv y se igul ceo 7 V 7 0 ± ± ± (P el enuncido del poblem solo se dmite l solución positiv) L ltu del cilindo se clcul sustituyendo el vlo del dio en l ecución de l ltu en función del dio. 7 0 h P compob que efectivmente es un máimo se estudi si l segund deivd es negtiv en ese punto. V < 0 sí > 0 El cilindo de volumen máimo y áe totl de 0 cm, tiene po dimensiones h 0. Clcul el dio de l bse de un cono de volumen constnte p que su áe ltel se mínim. El áe ltel de un cono viene epesd po Rdio de l bse L g donde g Genetiz L genetiz del cono se puede elcion con l ltu y el dio medinte el teoem de Pitágos. L g L ² h² g ² h² P elcion l ltu y el dio se tiene en cuent que el volumen es constnte (V), y que su epesión es función de ests dos vibles. V ² h despejndo l ltu y sustituyendo en el L L ² h² 9V² 9V² 9V² V 9V² L ² ²² ² ² h h² ² ² ² ² L 9V

4 Función que pemite clcul el áe ltel de un cono en función del dio de l bse. P clcul su mínimo se deiv y se igul ceo. ( ) ( ) 0 9V 9V 9V 9V L 9V 9V 0 9V 0 9V o 9V Dd l complejidd de l deivd se supone que el vlo obtenido es el mínimo de l función ó, se estudi el signo de l deivd en el entono del punto de optimción( o ). ( ) ( ) mínimo En Ceciente 0 Dececiente 0 o o o > <. Encont ente tods ls ects que psn po el punto (,) l que fom con ls ptes positivs de los ejes coodendos un tiángulo de áe mínim. Hll est áe. L fom cnónic de l ect buscd tiene l fom b y donde y b son los puntos de cote de l ect con los ejes e y espectivmente, y son demás ls longitudes de l bse y ltu del tiángulo dibujdo sobe los ejes coodendos. El áe de este tiángulo seá b p elcion y b se tiene en cuent que el punto (, ) petenece l ect y po tnto debe de cumpli su ecución b epesión que pemite despej un de ells(b) en función de l ot() b b sustituyendo en l epesión del áe se obtiene un función que pemite clcul el áe de los tiángulos que genen tods ls ects que psn po el punto P(, ) sobe los ejes b b El mínimo de l función se obtiene deivndo e igulndo ceo.

5 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 no tiene sentido en este enuncido. P compob que es un mínimo se sustituye en l > 0. segund deivd ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > 0 Po se positiv l función en lcnz un mínimo. El vlo de b se obtiene sustituyendo en l epesión de b. b L ect buscd es y y 8 0 y el áe del tiángulo que detemin con los ejes coodendos es u². Escibi el númeo como sum de dos enteos positivos tles que l sum del cuddo del pimeo y del cubo del segundo se mínim. Se piden dos númeos e y tles que S y Teniendo en cuent que dichos númeos hn de cumpli y Est ecución pemite elcion ls vible p de es fom epes l sum en función de un de ells eclusivmente. S y S ( ) y p encont el mínimo de l función sum se deiv y se igul ceo 8 S ( ) ( ) ( 8 ) 8 0 P compob cul de los vloes hce mínim l sum se cude l citeio de l deivd segund 8 8 S 0 Mínimo S S ( ) 0 Máimo Conocido el vlo de se clcul y 8 y L sum S se hce mínim con l esticción popuest( y ) p 8 y

6 7. De un espejo ectngul de cm. Se h oto un esquin en fom tingul de ctetos y 0 cm. espectivmente. Hll ls dimensiones del espejo ectngul de supeficie máim que se pued sc povechndo el nteio. Sen e y ls nchus del ldo myo y meno espectivmente que se deben cot p obtene de nuevo un espejo ectngul, tl como muest l figu. El áe del nuevo espejo seá S ( 90 ) ( 80 y) epesión en dos vibles(, y) que p optimiz se deben elcion p dej el áe en función de un sol vible. L elción se consigue en el tiángulo que se h oto medinte el teoem de tiángulos semejntes, teoem de Tles. y 0 ; y ( ) y ( ) S(, y) ( 90 ) 80 ( ) ( 90 ) 80 ( ) S ( 90 ) ( 80 y) simplificndo y odenndo se obtiene un epesión cudátic que pemite clcul el áe del espejo en función de l nchu ecotd en el ldo meno. S( ) ( 70 ) P obtene el máimo se deiv y se igul ceo S ( ) ( ) 0 ; 0 ; ; y ( ) 7' Con el citeio de l segund deivd se compueb que es un máimo S ( ) < 0 MÁXIMO Ls dimensiones del nuevo espejo seán 87 7 cm

7 8. Se conside un ciculo de dio. ) Pob que el ectángulo de áe máim inscito en el cículo ddo es un cuddo b) Considendo el cículo inscito en dicho cuddo, clcul el cociente ente ls áes de los cículos El áe de culquie ectángulo viene epesd po Áe Bse ltu P el ectángulo de l figu y Teniendo en cuent que l digonl del ectángulo coincide con el diámeto del cículo, se puede estblece un elción ente e y medinte el teoem de Pitágos elción que pemite epes y en función de ( R) y y R sustituyendo en l epesión del áe, se obtiene un función que pemite clcul el áe de culquie ectángulo inscito en un cicunfeenci de dio R en función únicmente de l longitud de l bse() R p simplific los posteioes cálculos, conviene intoduci l dento de l íz R P clcul el máimo de l función se deiv y se igul ceo. R ( ) R 8R R ( R ) R R 0 0 R R 0 ± R De ls tes posibles soluciones, l únic que tiene sentido es ectángulo no puede se ceo ni negtivo. Conocido el vlo de se clcul el vlo de y y R R { R} R ( R) R R, y que el ldo de un lo que demuest que el ectángulo óptimo es un cuddo. P compob que el óptimo es un máimo, se ecue l signo de l deivd pime, el cul solo depende del binomio R. ( R ) > 0 ceciente R eiste un máimo ( R ) < 0 dececiente

8 9. Descompone él númeo 00 en dos sumndos tles que el doble del cuddo del pimeo más tes veces el cuddo del segundo se mínimo. S y S ( 00 ) y 00 P obtene el mínimo de l sum se deiv y se igul ceo. S ( 00 ) ( ) ( 00 ) 0 0 y P compob que es mínim, se estudi el signo de l segund deivd S 0 > ( ) 0 0. Se divide un cued de longitud en dos ptes, no necesimente igules, p constui un cuddo y un cicunfeenci. Pob que de tods ls posibiliddes, l que encie un áe totl mínim suge cundo el dio del cículo es l mitd que el ldo del cuddo. Longitud del ldo del cuddo R Rdio de cículo Se pide optimiz l sum de ls áes de un cuddo y un cículo, siendo l sum de sus peímetos constnte. T Cuddo Cículo R L elción ente ls vibles(, R) se obtiene de l sum de peímetos. PT PCuddo PCículo R epesión de l que se puede despej el dio en función de l longitud del ldo del cuddo. R sustituyendo en l epesión del áe totl, se obtiene est en función únicmente de l longitud del ldo del cuddo. T R T ( ) R P clcul el áe mínim se deiv y se igul ceo. T ( ) ( ) ( ) 0 el dio se clcul sustituyendo el vlo de en su epesión R ( ) P compob que efectivmente es un mínimo, se estudi el signo de l segund deivd. 8 T > 0 lo cul demuest que el áe es mínim, y que se obtiene cundo el dio del cículo es l mitd que el ldo del cuddo.

9 . Hll ls dimensiones del ectángulo de áe máim que puede inscibise en el semicículo detemindo po y, y 0. Se pide ls dimensiones del ectángulo de áe máim inscito en l pte positiv del semicículo de dio centdo en el oigen. El áe del ectángulo de l figu es ( bse) ( ltu) y P elcion e y se tiene en cuent que l est inscito el ectángulo en el semicículo, el punto P(, y) petenece l semicículo y po tnto debe de cumpli su ecución( y ), po lo que se puede epes un vible en téminos de l ot. y ² Sustituyendo en l epesión del áe, se obtiene un función que pemite clcul el áe de culquie ectángulo inscito en un semicículo de dio en función únicmente de l longitud de l semibse(). y ² y ² (Not P fcilitl opeción de optimción es conveniente intoducil vible dento de l íz, simplific l deivd y l ecución esultnte) P clcul el ectángulo de áe máim, se deiv y se igul ceo ( ) ( ) 0 0 ± ± Puesto que e y están definids como longitud, solo se dmiten vloes positivos. El vlo de y se obtiene sustituyendo y y ² P compob que efectivmente es un máimo se cude l citeio del signo de l pime deivd en los lededoes del punto. MÁXIMO > 0 < 0 Si se tiene en cuent que es positiv y que su dominio está estingido l intevlo [, ], el signo de es el signo de l epesión.

10 Signo Signo > 0 < 0 > 0 En < 0 Máimo. Un pist de tletismo está fomd po un egión ectngul con un semicículo en cd etemo. Si el peímeto es de 00 metos, hll ls dimensiones de l pist p que el áe de l zon ectngul se máim. El áe del ectángulo viene epesd po y P elcion e y se tiene en cuent que el peímeto de l pist, que debe se 00m, se puede epes en función de ls vibles P y y y 00 y Sustituyendo en l epesión del áe obtenemos un función de un únic vible. 00 ( 00 ) El mínimo de l función se obtiene deivndo e igulndo ceo ( 00 ) conocido, el vlo de y se obtiene sustituyendo y P compob que es un mínimo, se estudi el signo de l segund deivd ( ) < 0 Ls dimensiones de l pist que hcen que el áe de l zon ectngul se máim son y

11 . Se l pábol y y un punto (p, q) sobe ell con 0 p. Fommos un ectángulo de ldos plelos los ejes con vétices opuestos (0, 0) y (p, q). Clcul (p, q) p que el áe de este ectángulo se máim. El áe del ectángulo de l figu viene epesdo po p q siendo p y q ls coodends de un vétice del ectángulo que se coesponden espectivmente ls longitudes de l bse y ltu del mismo. Teniendo en cuent que dicho vétice tmbién petenece l pábol, sus coodends deben cumpli l ecución de l pábol q p p iguldd que pemite epes el áe del ectángulo en función de un solo de l longitud de l bse(p). p (p p ) p p p Los vloes óptimos de l función son los ceos de l pime deivd. P compob si son máimos ó mínimos se ecue l citeio del signo de l segund deivd ( p o ) < 0 Máimo Si ( p o ) > 0 Mínimo ( p) p 8p ( p) 0 p 8p 0 ( ) ( ) p p 8 ( ) 8 < 0 Máimo 8 > 0 Mínimo El vlo de q en el máimo se obtiene sustituyendo en l ecución de l pábol q 9 El ectángulo de áe máim se obtiene sobe el vétice, 9

12 . Se conside un tiángulo ectángulo en el pime cudnte, detemindo po los ejes coodendos y un ect que ps po le punto (, ). Detemin los vétices del tiángulo cuy hipotenus tiene longitud mínim. L distnci ente dos puntos y B viene epesd po d ( B) ( b ) ( b ) plicndo est definición ls coodends de y de B ( B) ( 0 ) ( b 0) b d se obtiene un epesión p l distnci ente estos dos puntos en función de y b. P encont un elción ente y b que pemit epes l distnci en función de un sol vible, se tiene en cuent que l ect que ps po estos dos puntos tmbién debe ps po el punto P(, ). Est ect tie ne po epesión en fom cnónic y b P (,) b epesión que pemite despej b en función de b sustituyendo en l epesión de l distnci y simplificndo l máimo p fcilit los cálculos posteioes, se obtiene un función que epes l longitud de l hipotenus del tiángulo ectángulo constuido sobe los ejes en función de un únic vible d P obtene el mínimo de l función se deiv y se igul ceo. L epesión se puede deiv como cociente Deivndo como poducto d ( ) ( ) ( B) d 0 fctoizndo medinte el método de Ruffini, ó como poducto. 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) Sustituyendo en l epesión que elcion con b, se clcul b b { } P compob que en el punto (, ) l función pesent un mínimo, se ecue l citeio del signo de l ª deivd.

13 Sí Sí d d ( ) < 0 y d ( ) > 0 En eiste un mínimo ) > 0 y d ( ) < 0 En eiste un máimo Teniendo en cuent l fom de l epesión de d, su signo solo depende del binomio. 0 R ( ) ( ) > Signo ( ) > 0 R Signo( ) ( ) 0 R > d 0 < 0 d 0 > 0 M ( ) ( ) ( ) ( ) ÍNIMO Los vétices del tiángulo de hipotenus mínim son (, 0) y B(0, ).. Dos línes fées se cotn pependiculmente. Po cd líne vnz un locomoto (de longitud despecible), diigiéndose mbs l punto de cote; sus velociddes son 0 km/h y hn slido simultánemente de estciones situds, espectivmente, 0 y 0 km del punto de cote.. Hll l distnci l que se encuentn ls locomotos, en función del tiempo que ps desde que inicin su ecoido.. Hll el vlo mínimo de dich distnci..- Se pide clcul un epesión p l distnci de sepción de dos puntos móviles que se desplzn pependiculmente y con velociddes constntes en función del tiempo. Tomndo un sistem de efeenci como el de l figu y considendo el desplzmiento positivo, el ejecicio se educe clcul l hipotenus de un tiángulo ectángulo en el que l longitud de los ctetos seá función del tiempo. Tnscuido un tiempo t, l posición de los móviles vendá dd po s I 0t 0 s II 0t 0 po lo que l distnci de sepción ente los móviles seá s(t) (0t 0) (0t 0) 8000t² 000t t² 0t.- Se pide clcul el mínimo de l función s(t). 0t 0 s' (t) 0 80t² 0t igulndo ceo l deivd 0 S ' (t) 0 0t 0 0 ; t h. 0

14 . Dd l pábol y, se conside el tiángulo ectángulo T() fomdo po los ejes de coodends y l tngente l pábol en el punto de bscis > 0. Hll p que T() teng áe mínim. Se pide optimiz el áe del tingulo de l figu. Teniendo en cuent ls coodends de los vétices, el áe del tiángulo es b Áe y b se pueden epes en función de. P ello bstá con epes l ecución de l tngente l pábol en el punto P en fom cnónic. L tngente l pábol en el punto P(, ) en fom punto pendiente es y y donde y (), sustituyendo y cuy ecución genel es de l siguiente fom ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 y epesión que pemite obtene l fom cnónic y y identificndo con l ecución cnónic genéic se obtienen los coeficientes y b en función de b b Estos vloes pemiten obtene el áe del tingulo T en función de (bscis del punto de tngenci). ( ) ( ) P obtene el mínimo de l función, se deiv y se igul ceo ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 Solucion imgini 0 0 ± ±

15 Puesto que > 0, el posible mínimo está en P confim que es un mínimo se us el citeio de l segund deivd ( ) ( ) 0 f o >. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) compobndo p el vlo de clculdo 0 > P el áe del tiángulo es mínim. 7. Se conside un ventn como l que se indic en l figu (l pte infeio es ectngul; l supeio, un semicicunfeenci). El peímeto de l ventn mide m. Hll ls dimensiones e y del ectángulo p que l supeficie de l ventn se máim. (Epes los esultdos en función de ) El áe buscd se pede epes como sum de dos áes SC Áe del semicículo R Áe del ectángulo y 8 y R SC T P elcion e y se tiene en cuent que el peímeto es de m. ( ) y y y P P P R SC T sustituyendo en l epesión del áe, se obtiene est en función únicmente de. T 8 8 El máimo de l función se encuent deivndo e igulndo ceo. 0 8 T Teniendo en cuent que l segund deivd es meno que ceo y no depende de T se tt de un máimo.

16 El vlo de y se sc sustituyendo el vlo de en l epesión de y y 8. Se conside un tiángulo isósceles cuy bse (el ldo desigul) mide 0 cm y cuy ltu mide cm. En el se inscibe un ectángulo, cuy bse est situd sobe l bse del tiángulo. ) Epes el áe de dicho ectángulo en función de l longitud de su bse. b) Escibi el dominio de l función () y dibuj su gáfic. c) Hll el vlo máimo de dich función.. Se pide hll el áe del ectángulo sombedo en función de. bse ltu y P elcion e y se divide l figu en dos tiángulos ectángulos y se plic el teoem de Tles. y y Sustituyendo en l epesión del áe se obtiene l función pedid. y ( ) b. Si solo se tiene en cuent que es un función polinómic, su dominio es todo R. Si se tiene en cuent que () epesent áes, y ests, deben se myoes que ceo, el dominio se ve cotdo. D (0, 0) P hce l gáfic de l función y se tiene en cuent que es un polinomio de º gdo con coeficiente en negtivo, po lo que su gáfic es un pábol cóncv(biet hci bjo). P epesentl bst con clcul el vétice y los puntos de cote con los ejes. Cote con los ejes 0 OX(y 0)

17 OY( 0) l cece de témino independiente, coincide con OX. (0, 0) b Vétice v y v f ( v ) c. El máimo de l función se hll deivndo e igulndo ceo. P compob, se us el citeio de l deivd segund. ( ) 0 ( ) < 0 Máimo El máimo de l función es () 9. Hll el dio de l bse y l ltu de un cilindo inscito en un esfe de dio R en cd uno de los siguientes csos ) El volumen del cilindo es máimo. El volumen de un cilindo es V ² h Como el cilindo está inscito en un cicunfeenci de dio R, se puede encont un elción medinte el teoem de Pitágos ente el dio de l bse del cilindo, l mitd de l ltu del cilindo y el dio de l esfe. h R² ² Medinte está epesión que elcion ls vible, se puede despej un en función de l ot, y de est fom encont un función que clcule el volumen de todos los cilindos inscitos en un esfe de dio R en función de un sol vible(en este cso h po se más fácil despej ²). V ² h h² h³ h² V R² h R² h ² R² P clcul ls dimensiones del cilindo de volumen máimo, se deiv l función V especto de h, se igul ceo y se despej

18 h² h² R V R² 0 R² 0 h el dio de l bse se obtiene sustituyendo el vlo de h en l epesión del dio R ² R² R² R P veific que es un máimo se sustituye el vlo de h en l segund deivd de V, y se compueb que es negtiv. V h V ( h) R < 0 (R es el dio de l esfe y po tnto positivo) El cilindo de volumen máimo inscito en un cicunfeenci de dio R debe tene po dimensiones R h R b) El áe ltel del cilindo es máim. El áe ltel de un cilindo es un ectángulo que po bse tiene l longitud de l cicunfeenci y po ltu l ltu del cilindo. L h De l ecución uili obtenid en el ptdo nteio, se despej h h R² ² se sustituyen en l epesión de L y se obtiene un función que pemite clcul el áe ltel de todos los cilindos inscitos en un cicunfeenci de dio R. L R² ² R²² P clcul el mínimo de l función se deiv y se igul ceo 0 R² ³ ( ) R L 0 R² ³ 0 R² ² 0 ± R²² R El único vlo ceptble p es, sustituyendo en l epesión de h se clcul l ltu R R² R h R² R² R P compob que efectivmente es un máimo se utiliz el citeio del signo de l pime R deivd en ls poimiddes de y que l segund deivd se complic bstnte. El signo de l pime deivd es el signo del numedo y si es un númeo positivo, el signo seá solo función de l epesión R² ²

19 R R L R² > 0 Ceciente R En hy un máimo R R L R² > 0 dececiente Ls dimensiones del cilindo de áe ltel máim inscito en un esfe de dio R son R h R 0. un ventn ectngul se le be un tiángulo equiláteo sobe el ldo supeio. Si el peímeto totl de l figu sí fomd es de m, detemin sus dimensiones p que el áe se máim. El áe de l ventn se obtiene como sum del áe de ectángulo más el áe del tiángulo. Po se un ectángulo, es y Po se un tiángulo, es ( bse) ( ltu) h Si se divide el tiángulo equiláteo en dos ectángulos, medinte el teoem de Pitágos se puede elcion con h. Sustituyendo en con lo que el áe totl qued (, y) y T De tods ls ventns de est fom, se buscn quells que tengn de peímeto, po lo que se puede estblece un elción ente e y que pemit despej un en función de l ot y de est fom epes el áe totl en función de un sol vible. Peímeto y y T ( ) ( ) P clcul el máimo de est función se deiv y se igul ceo.

20 T 0 sustituyendo en l epesión de y ( ) ( ) ( ) y P veific que efectivmente se tt de un máimo se compueb si < 0 ( ) ( ) 0 <. Se constuye un tiángulo ectángulo en el pime cudnte del plno, limitdo po los ejes coodendos y un ect que ps po el punto (,). Hll ls longitudes de los ldos del tiángulo de áe mínim. Igul que el poblem Epesión del áe del tiángulo en función de l longitud de l bse(), y sus dos pimes deivds. Mínimo de l función (, ) ( ) ( ) ( ) ( )