6.1. SUPERFICIE PRISMÁTICA Y PRISMA

Transcripción

1 SUPERFICIE PRISMÁTICA Y PRISMA 6.. SUPERFICIE PIRAMIDAL Y PIRÁMIDE 6.. CUERPOS REDONDOS SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Objetivos: Detemina áeas de supeficies. Detemina volúmenes de sólidos. 14

2 Inicialmente veamos algunas definiciones. 6.1 SUPERFICIE PRISMÁTICA Y PRISMA Sea d la poligonal de un polígono convexo y sea g una ecta que no es paalela al plano que contiene al polígono. Se denomina SUPERFICIE PRISMÁTICA CONVEXA INDEFINIDA de geneatiz g y diectiz d, al conjunto de puntos p que petenecen a ectas paalelas a g que intesecan a d. g P d En cambio la definición de Pisma seía: Sea un polígono convexo y sea g una ecta que no es paalela al plano que contiene al polígono. Se denomina PRISMA CONVEXO INDEFINIDO de geneatiz g y diectiz d, al conjunto de puntos p que petenecen a ectas paalelas a g que intesecan al polígono. Aquí se está definiendo al sólido. 144

3 Si g es una ecta pependicula al plano que contiene a la base y si consideamos la egión limitada ente dos planos paalelos a la base, tenemos un Pisma Recto definido. Base Supeio Caa Lateal Aista Base Infeio Las definiciones que sugen paa este cuepo están ilustadas en el dibujo anteio. La distancia ente las bases se denomina altua y se la denota con la leta ÁREA DE LA SUPERFICIE DE UN PRISMA. El áea de la base es el áea de una figua plana, po lo geneal un polígono, po tanto su calculo se lo ealiza igual que en geometía plana. El áea de la supeficie lateal, se la deteminada allando el áea de cada una de las caas lateales y luego abá que sumalas. Si la base es un polígono entonces las caas lateales son ectángulos y si el polígono es egula bastaá con alla al áea de una caa y multiplicala po el númeo de lados. El áea total seá igual a la suma del áea lateal con el doble del áea de una de las bases. Es deci: A = A + A T L B 6.1. VOLUMEN DE UN PRISMA. El volumen de todo pisma está dado po el poducto del áea de una base po la altua. Es deci: V = A B 145

4 Ejecicio popuestos Se necesita constui una piscina como se indica en la gáfica. Si el meto cúbico de agua tiene un costo de 1 dóla Cuánto gastaía en llena la piscina? θ = actan10 0m 6m 1m m θ Resp. $ SUPERFICIE PIRAMIDAL Y PIRÁMIDE Sea un polígono convexo. Sea V un punto tal que no petenece al plano que contiene al polígono. Se denomina SUPERFICIE PIRAMIDAL O ÁNGULO POLIÉDRICO al conjunto de puntos petenecientes a semiectas que tienen como oigen a V y que intesecan a la poligonal del polígono. V d 146

5 Si consideamos, también, semiectas que intecepten al polígono, tenemos una egión sólida que se denomina Piámide Indefinida. Si consideamos la egión supeio de la supeficie piamidal limitada infeiomente po un plano tenemos una piámide definida o simplemente una piámide de altua, y si el pie de la altua de la piámide equidista de los vétices de la base tenemos una piámide ecta. Las definiciones se ilustan en la figua. V 6..1 ÁREA DE LA SUPERFICIE PIRAMIDAL. La base es un polígono, igual que en los pimas, po tanto el áea de esta supeficie se la detemina de la misma foma como ya se a mencionado. El áea de la supeficie lateal, se la deteminada allando el áea de cada una de las caas lateales y luego sumalas. Si la base es un polígono entonces las caas lateales son tiángulo y si el polígono es egula bastaá con alla al áea de una caa y multiplicala po el númeo de lados. El áea total seá igual a la suma del áea lateal con el áea de la base. Es deci: AT = AL+ AB 6.. VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE. El volumen de toda piámide está dado po: V 1 = A B 147

6 Ejecicio popuestos Encuente el áea de la supeficie lateal de un tetaedo, cuyas caas lateales son conguentes, cuya apotema mide el tiple de la aista de la base y la cicunfeencia cicunscita a la base mide 4π cm. Resp. A = 1944 cm. Un ecipiente sin tapa tiene la foma de una piámide egula invetida, donde su altua mide pies y su base es un exágono inscito de una cicunfeencia de diámeto igual a pies. Se desea pinta 100 de estos ecipientes po dento y po fuea, paa lo cual se utilizaá pintua donde con un galón se puede pinta 470 pies cuadados. Detemine la cantidad de galones de esa pintua que se necesitaán paa pinta los 100 ecipientes. 0 Resp. 9 gal CUERPOS REDONDOS CILINDRO. El cilindo es un pisma cicula, es deci sus bases son cículos. Las dimensiones que lo definen es la medida del adio de su base y su altua. La supeficie lateal es un ectángulo, obseve la figua: π Entonces, el áea de la supeficie lateal seía: A L = π Y su áea total seía: A T = π + π = π ( + ) 148

7 Su volumen seía V = π 6.. CONO. El cono es una piámide cicula, es deci su base es un cículo Las dimensiones que la definen es el adio de su base y su altua. La supeficie lateal es un secto cicula g θ π Llamando g a la GENERATRÍZ del cono, obseve la figua anteio, el áea de la supeficie lateal seía: AL = 1 g θ π 1 π Peo θ = entonces A L = g = πg g g Su volumen seía: V 1 = π 149

8 6.. SUPERFICIE ESFÉRICA Sea C un punto del espacio y sea un númeo positivo. La supeficie esféica es el conjunto de punto tales que su distancia a C es igual a. C ESFERA. La esfea, en cambio, es el conjunto de puntos tales que su distancia al cento es meno o igual a. La Esfea entonces es la egión inteio con su fontea. El áea de la supeficie esféica es: Y su volumen es 4 V = π A = 4π Ejemplo Un cono ecto está inscito en una esfea de adio R y cento O. Si el volumen y adio del cono es 1π cm y cm espectivamente. Halle el áea de la esfea. O R SOLUCIÓN: Como el áea de la esfea es función del adio, entonces debemos encontalo. Llamemos a la altua del cono y al adio de la base del cono. El adio es dato del poblema y la altua puede se calculada debido a que nos popocionan el valo del volumen del cono. 150

9 1 V C = π 1 1π = π Aoa obseve la figua: () = 4 R O R R Aplicando El teoema de Pitágoas al tiángulo R R Tenemos Finalmente A E R R = = R = R = ( R) + 5 = ( 4) 8 R + R 5 65π = 4π = cm PIRÁMIDE TRUNCADA Analicemos un tonco de cono. g H G = H g = G g R 151

10 Note que: R = H = g G Su volumen es: ( R + R ) V = π + Demuestelo! El áea de su supeficie lateal es: A L = π R + g Demuestela! ( ) Ejecicios Popuestos Una esfea está inscita en un cono y la longitud del diámeto de la base del cono es igual a la longitud de la geneatiz del mismo, los cuales miden 10 cm. Detemine el volumen de la esfea. Resp. 500 π cm. 9. Una esfea está situada dento de un cilindo de manea que la altua y el diámeto del cilindo tienen la misma dimensión que el diámeto de la esfea. Detemine la elación ente el áea de la supeficie esféica y el áea de la supeficie lateal del cilindo. Resp. 1.. En una esfea de adio se tiene inscito un cilindo de tal manea que el diámeto del cilindo es conguente con el adio de la esfea. Calcule la elación ente el volumen del cilindo y el volumen de la esfea. Resp Sean dos esfeas concénticas, con la caacteística de que la esfea extena se encuenta cicunscita a un cono cuya geneatiz mide cm., y es igual en longitud al diámeto de su base; la esfea intena está inscita en el mismo cono. Detemine el volumen del espacio ente las dos esfeas. Resp. 7 π cm. π 5. Un globo esféico contiene oiginalmente cm de aie. Luego de inflalo más, se alla que su diámeto a cecido cm. Detemine el volumen de aie que se incementó. 76 Resp. Δ V = π cm 8 6. Un ecipiente en foma de cono ecto de 15 cm. de altua y adio tiene sus 7 pates llenas de elado, detemine la altua a del elado. 15

11 Resp. a = En un cono cicula ecto donde el diámeto de la base y su altua miden m., se inscibe oto cono cuya altua mide m. de manea que él vétice del cono inscito coincide con el cento de la base del cono cicunscito. Detemine el volumen del cono inscito. Resp. V π = 6 m 8. Dos esfeas tangentes extenamente tienen adios de longitud iguala 8 cm. y 1 cm. espectivamente. Las esfeas están situadas sobe la supeficie lisa de una mesa. Detemine la distancia ente los dos puntos de tangencia de las esfeas con la mesa. Resp. d = 8 6 cm 9. Si la longitud del adio de un cono ecto aumenta en un 5 % y la longitud de su geneatiz disminuye en un 60 %, detemine en qué pocentaje disminuye el áea de la supeficie lateal del cono. Resp. 50 % 10. En una caja cuya supeficie coesponde a la de un paalelepípedo ecto ectangula caben exactamente seis latas cilíndicas de adio. Cuál es la azón ente el volumen de las seis latas juntas y el volumen de la caja? Resp. 4 π 11. Una empesa necesita enlata poductos paa expotación. Los equeimientos son los siguientes: el envase debe se cilíndico con una capacidad de 400 cm y un diámeto de longitud igual a 15 cm. Si se desea coloca una etiqueta adesiva que ecuba la supeficie lateal extena, cuánto mateial debeá utiliza en la elaboación 0000 de 1000 latas. Resp. cm 1. Se tiene una oden de tabajo de 1000 cojinetes de bonce, los mismos que tienen la siguiente foma: 5 cm 4 cm 15

12 Sabiendo que en el poceso de fundición del bonce se tiene una pédida del 10% del meteial fundente, qué cantidad de bonce ( cm ) ay que considea en la fundición paa obtene el númeo de cojinetes que se desean? Resp π cm 1. Detemine el volumen de la pieza de aceo que se muesta en la figua: 8cm 8cm cm cm 4cm Resp. V = 4( 40 π ) cm cm 1cm 6.4 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Las figuas planas conocidas, como los tiángulos, ectángulos y cicunfeencias, pueden se giadas con especto a un eje y se genean los sólidos de evolución. Estos sólidos seán cuepos edondos. Consideaemos sólo ejes veticales u oizontales. 154

13 Ejemplo 1. Halla el volumen del sólido que se genea al gia la egión sombeada alededo del eje y. y a a a a a x SOLUCIÓN: Obseve que al ace gia 60 la egión sombeada alededo del eje y, se foma un sólido compuesto de un cono con un cilindo y en su inteio ay un vacío de una esfea. y a a a a a x Po tanto: Entonces V = V cono + V cilindo V esfea V = π a a + π = ( a) ( a) πa = πa + 8πa πa 7πa 155

14 Ejemplo Halla el volumen del sólido que se genea al gia la egión sombeada alededo del eje indicado. a a a a SOLUCIÓN: El sólido geneado está compuesto po un cilindo y un tonco de cono. a a a a Po tanto: Ejemplo 7 10 ( a + aa + ( a) ) a = πa + πa πa π V = π a a + = x 4 x + y 6 Sea R la egión limitada po x 0 y 0 Halla el volumen del sólido que se genea al gia R alededo del eje: a) y b) x SOLUCIÓN: a) alededo del eje y tenemos: y 6 x + y = 6 x = x 156

15 El sólido geneado esta compuesto po un cono y un cilindo, entonces V = V π 4 4 π 4 cono + Vcilindo = + = b) Alededo del eje x tenemos: ( ) ( ) π y 6 x + y = 6 x = x El sólido geneado es un tonco de cono, entonces: π V = 08 ( ) + ( )( 6) + ( 6) )( 4) = π Ejecicios popuestos Detemine el volumen del sólido que se genea al gia la egión sombeada alededo del eje indicado. cm 4cm cm 5cm 4cm 44 Resp. V = π cm 157

16 . En el tapecio de la figua, las longitudes de los segmentos AC y CE son π espectivamente m. y 1 m., la medida del ángulo CAB es. La figua es otada 4 60 alededo del eje PQ. Calcula el volumen, y el áea lateal del sólido de evolución geneado. Resp. 6 π m.. Al ota una vuelta completa, la pate sombeada del gáfico adjunto alededo del eje PQ, encuente el volumen del sólido geneado. Resp. 64 π u. 4. Al ota una vuelta completa, la pate sombeada del gáfico adjunto alededo del eje PQ, encuente su volumen y su áea lateal del sólido geneado. Resp. 71 π u Detemine el volumen del sólido geneado al ota la egión limitada po la semicicunfeencia definida po la ecuación x + y 4x 6y + 1 = 0, alededo 4 de la ecta y =. Resp. V = π y 1 x y x 6. Sea R la egión limitada po. Detemine el volumen del sólido de y 1 y 0 evolución que se genea al ota R alededo del eje x =. 7. Sea R la egión definida po ( x, y) { R / 0 y 5 x 4} R = x. Detemine el volumen del sólido que se genea al ota dica egión alededo de: a) eje x. b) la ecta x = Resp. a) V = π b) V = π 158