Capítulo 3. Figuras sólidas comunes

Transcripción

1 Capítulo Figuas sólidas comunes Recipientes cilíndicos, objetos cúbicos, cajas ectangulaes, dispositivos esféicos, ecipientes cónicos, tanques de sección inteio tansvesal tiangula, etc. son algunas conceciones de objetos geométicos sólidos comunes como: cubo, paalelepípedo, cilindo, esfea, etc. Tales objetos ocupan una poción del espacio y poseen una supeficie que los limita. A la supeficie que los limita se le llama áea supeficial. A la poción de espacio que ocupa se llama volumen, el volumen se mide en unidades cúbicas. Aceptaemos, también la degeneación de cietos sólidos en puntos, segmentos o egiones planas. Estudiaemos algunas figuas sólidas comunes, ecodaemos sus definiciones, ablaemos de sus elementos que lo confoman y de sus atibutos, dimensiones, áea supeficial y volumen. Estudiaemos también otos sólidos que no son muy comunes en la vida diaia peo son de inteés en el apendizaje de la matemática. Como lo emos venido aciendo en capítulos anteioes, investigaemos algunos poblemas pácticos de vaiación en el espacio y/o tiempo elativos a estos objetos..1 Cubo Imaginemos la constucción de una caja ceada de catón, aciendo los ecotes y dobleces (en línea punteada) según se indica en el dibujo, o bien ealice la Simulación cubo. l l l l l l l l l l La caja así constuida, epesenta en conceto, un cubo ideal, sólido o egión del espacio ceada po seis cuadados de lado l Elementos. A los cuadados se les llama caas de cubo, un cubo tiene seis caas. Los segmentos en común de dos caas se les llama aistas o lados, un cubo tiene doce aistas, los puntos en común de tes caas se les llama vétices, un cubo tiene oco vétices. El segmento que une dos vétices opuestos se le llama diagonal del cubo Dos caas que no se intesecan son paalelas y se llaman opuestas ente sí. Cada caa es pependicula a cuato caas adyacentes. El segmento que une dos vétices de una caa se llama diagonal de caa. El punto donde se intesecan las diagonales de un cubo se llama cento del cubo. Comúnmente el cubo se dibuja con dos caas oizontales y las otas veticales. A la caa oizontal infeio se le llama base, y la longitud de las aistas veticales se le llama altua.

2 Ota noción de cubo es la siguiente: Consideemos un cuadado de lado l fijo que llamaemos base, imaginemos un segundo cuadado igual y coincidente con el pimeo, taslademos, sin ota, este segundo cuadado una distancia l en diección pependicula a la base. Con esta taslación geneamos un cubo de lados l. Al i tasladando el segundo cuadado nos imaginamos la fomación de vaios cuadados paalelos al cuadado base. A estos cuadados les llamaemos cotes tansvesales o secciones planas del cubo. l l l sección plana del cubo, un cuadado paalelo a la base Áea supeficial. La supeficie del cubo lo constituyen sus seis caas. El áea supeficial del cubo es igual a la suma de las áeas de los seis caas. A ( l) = 6l Áea lateal. Se abla también de áea lateal de un cubo efiiéndose al áea de las 4 caas lateales, o sea el áea supeficial sin toma en cuenta las áeas de las caas supeio e infeio. A ( l) = 4l Volumen. Es igual su lado al cubo, V ( l) = l Obsevemos que el áea de cualquie caa es l, en paticula, es el áea de la caa infeio o sea la base. Entonces, el volumen de cubo se puede considea como, áea de la base l po la altua l. Si acemos vaia el lado de un cubo, vemos que su áea supeficial vaía con el cuadado de su lado, y su volumen vaía con el cubo de su lado. Decimos que ellos son función de su lado. Obsevación. Asumiemos que la supeficie que cube al sólido es pate del popio sólido. Se puede abla de sólidos que no contienen a su supeficie. Imagine un cubo que no contenga a su supeficie lateal. Poblemas popuestos 1. Dibuje dos cubos difeentes señalando todos sus elementos visibles y ocultos: aistas o lados, caas, vétices, diagonal y diagonal de caa.

3 . Cuántas diagonales tiene un cubo?, cuántas diagonales de caa tiene un cubo? Dibújelas.. (a) En qué se tansfoma un cubo cuando sus diagonales se tansfoman en diagonales de una caa? (b) En qué se tansfoma un cubo cuando su áea lateal es igual a su áea supeficial? 4. Un caja cúbica tapada tiene un áea supeficial de 56.7 cm.² Detemine su volumen. 5. Expese su áea supeficial de un cubo en téminos de su volumen. 6. Un cubo tiene un volumen de 51 u. Detemine cuántos cubos de 64 u contiene cubos elaboados de cieto mateial de 7.5 gs. /cm, tienen 4.7 cm de lado. Detemine la masa total de los 7 cubos. 8. Detemine la diagonal de un cubo de lado m. 9. Detemine el lado de un cubo si su diagonal mide 4 pulgadas. 10. Existen dos cubos difeentes de volumen 4.89 cm? 11. Si se vaía el volumen de un cubo, necesaiamente vaiaá su áea supeficial? Explique. 1. La diagonal de cubo decece a una azón constante de 5.6 p/min. a pati de 87.1 p. (a) Expese su lado en función del tiempo, (b) expese su áea supeficial y su volumen en función del tiempo, (c) detemine a los cuántos minutos el cubo se tansfoma en un punto, y (d) detemine la apidez con que decece su lado. 1. El áea supeficial de un cubo se incementa a azón constante de 10 cm²/min. (a) Expese su lado en función del tiempo. (b) Expese su volumen en función del tiempo y detemine su volumen a los 6.7 minutos tanscuidos. 14. El volumen del cubo es función de su lado V ( l) = l. Si el lado l del cubo sufe un incemento. (a) Esciba la longitud nueva que toma su lado, (b) esciba el volumen del cubo esultante, y (c) esciba el cambio de volumen y simplifique su expesión.. Paalelepípedo ectangula Imaginemos la constucción de una caja ectangula tapada, simila al poceso de constucción del cubo, peo aoa con caas ectangulaes (no necesaiamente cuadadas).

4 l a l l a Dica caja ectangula es una conceción del paalelepípedo ectangula o ecto (que le llamamos simplemente paalelepípedo), sólido ceado limitado po seis ectángulos. En el paalelepípedo ectangula se econocen elementos como los señalados en el cubo. En el paalelepípedo distinguimos caas opuestas iguales. Dos caas opuestas pueden se cuadados y las estantes ectángulos. A las longitudes denotadas con a, l y usualmente se les llama anco, lago y altua espectivamente. Se dice también que ellas epesentan las dimensiones del paalelepípedo. Po su puesto en algunos paalelepípedos dos dimensiones pueden se iguales, anco igual al lago este es el caso de un paalelepípedo con dos caas opuestas cuadadas. A igual que la geneación del cubo po medio de la taslación de un cuadado, el paalelepípedo se puede genea po medio de la taslación (sin otación) a una cieta distancia pependicula a la base ectangula, de un segundo ectángulo igual al ectángulo base. Es clao que en el paalelepípedo, las secciones paalelas o cotes tansvesales son ectángulos iguales ente sí. Áea supeficial. Es la suma de las áeas de sus seis caas. Dado que el paalelepípedo tiene caas opuestas paalelas, entonces. Áea supeficial = (áeas de caas, izquieda y deeca) + (áeas de caas, fente y atás) + (áeas de caas, infeio y supeio). Esto es, A = ( a + l + la) Al igual que en el cubo, se define el áea lateal del paalelepípedo, áea de las cuato caas lateales. Volumen. Se calcula con el poducto, Volumen = (áea de la base)(altua) = (anco)(lago)(altua), V = la Po supuesto esta elación acepta otas escituas V = al = al = al, etc. Si vaiamos las dimensiones del paalelepípedo, su áea supeficial y su volumen en,

5 geneal (no siempe), vaiaán, en este sentido el áea y el volumen son magnitudes vaiables que dependen de las pimeas. Se dice que el áea supeficial y el volumen del paalelepípedo son funciones de tes vaiables, A = A( a,, l) = ( a + l + a), V = V ( a,, l) = al La caja de mayo volumen. Investiguemos la siguiente situación. De un catón de 6 po cm, se desea constui una caja tapada ecotando cuadados de igual tamaño según se indica en el dibujo. Doblando a lo lago de las líneas punteadas y disponiendo acia adento los dos cejas extas. 6 Realice la Simulación caja ectangula tapada, o imagine la constucción de las cajas. Note que el lado del cuadado que se cota de la esquina epesenta la altua de la caja. Vemos también, que dependiendo de la longitud del lado de cuadado que ecotemos, así se tendemos cajas ancas peo de pequeña altua y volumen pequeño, cajas angostas peo altas y volumen pequeño, o no tan agostas y ni tan altas, y con volumen elativamente mayo. Po ejemplo, 6,00 cm,8 cm,8 cm 0,18 cm 0,18 cm,00 cm,6 cm 0,18 cm,6 cm,8 cm

6 6,00 cm,9 cm,9 cm 0,71 cm 0,71 cm,00 cm 1,58 cm 0,71 cm 1,58 cm,9 cm 6,00 cm 1,58 cm 1,58 cm 1,4 cm,00 cm 1,4 cm 0,16 cm 1,4 cm 1,58 cm 0,16 cm Calculando el volumen de cada uno de ellos notamos que, ente las tes cajas, se obtiene mayo volumen cuando se cota un cuadado de lado Dejamos al lecto la compobación de las dimensiones indicadas en los dibujos y la veificación de lo afimado del volumen mayo. Con otos cotes se pueden imagina otas cajas. Dado que el lado meno del catón ectangula es de, vemos que solamente podemos ecota cuadados de longitudes ente 0 y 1.5 cm. Es imposible, físicamente, po ejemplo, ecota cuadados con lados de cm cada uno, si el lado meno del catón es de cm. O sea pues, si denotamos con x, la longitud del lado del cuadado, la altua de la caja tiene como dominio de vaiación físico al intevalo [0, 1.5]. Que sucede en los extemos?, Cuando x = 0, simplemente no se ecota ningún cuadado y la caja se educe al popio catón plano con altua ceo y volumen ceo; cuando x = 1. 5, la caja se educe a una caja con anco ceo, alto 1.5 y lago 1.5, confomada po solamente cuato cejas lateales, su volumen también es ceo. De acuedo a lo explicado o visualizado en la simulación caja ectangula tapada, vemos que al cambia la magnitud x, en su intevalo físico, también cambia el volumen de las cajas, se dice que el volumen depende de la magnitud x, vemos también que ente todas ellas debe existi una caja de mayo volumen. Es deci, ay valo de x en dico intevalo paa el cual se obtiene una caja con mayo volumen. Paa detemina el valo de x paa el cual se obtiene la caja de mayo volumen, debemos, como lo emos eco con otos poblemas de máximos y mínimos, constui la función cuyo máximo estamos buscando. Paa este caso, debemos expesa el volumen en función de la vaiable x. Apoyémonos en dibujos.

7 6 x - x x - x x x - x x - x - x Puesto que la caja epesenta un paalelepípedo, su volumen es, V = x( x)( x), 0 x 1. 5 Esta es una función cúbica cuyas aíces son: 0, 1.5 y, tiene una valo máximo ente 0 y 1.5, el cual epesenta el volumen mayo. Dico valo máximo se puede obtene de manea exacta con la metodología del cálculo difeencial, o en foma apoximada con la ayuda de dispositivos de gaficación o bien de manea numéica po evaluación en la función encontada. Apoximemos su valo gáficamente usando el Matematica. Su gáfica en su dominio físico, y una ampliación alededo de su valo máximo,.5 V x

8 V x En la ampliación vemos que el volumen mayo es V =.6 y sucede cuando el lado del cuadado cotado mide x = 0.64 Llenado de un tanque. Se viete agua a un tanque a una azón constante de 0. m /min el cual inicialmente se encontaba vacío. La foma inteio del tanque y las dimensiones del mismo se indican en el dibujo. m 1 m 6 m 1 m m 1 m Es clao que al tanscui el tiempo el nivel de la supeficie del agua sube, es deci la altua del nivel del agua aumenta, investiguemos esta situación. Denotemos con t el tiempo que tanscue, con la altua del nivel de agua medida desde su fondo, y con V el volumen de agua contenida en deteminado tiempo t. Po la foma del tanque, conviene dividi el poceso de llenado en dos pates, antes de que el nivel de agua sobepase la altua de las gadas, y después de las sobepase. Antes de que sobepase. Tenemos, po un lado, dado que ingesan 0. m /min, entonces el volumen del agua dento del tanque en un tiempo t es V = 0.t ; y po oto lado, dado que la foma que adopta el agua dento del tanque se puede considea como un paalelepípedo,

9 su volumen se puede expesa como V = (6). Ya que ambas epesentan el mismo volumen, igualando estas expesiones tenemos = (0. 1) t = 0.05t Esta elación vale paa 0 1 0, po lo que t 1 o sea 0 t 400 Po tanto, tenemos la elación, ( t) = 0.05 t, 0 t 400 Después de que el nivel a sobe pasado la altua de las gadas, 1 m. el volumen del agua en el tanque se puede considea como la suma de volúmenes de dos paalelepípedos de agua, uno que compende la cantidad de agua ente las gadas, y oto que consiste en la cantidad de agua sobe las gadas Entonces V = 1()(6) + 4(6)( 1) = 4 1, y también V = 0.0 t ( t 400), igualando tenemos = (0.0 4) t = t Aoa esta elación deja de vale cuando el tanque se llena, o sea cuando =, po lo que el tiempo en que temina de llenase se encuenta con de = t Despejando t queda t =, 000 min (= oas y 0 min.). De modo que elación paa este caso es, ( t) = t + 0.5, 400 t, 000 Juntando las dos elaciones tenemos que la altua en función del tiempo duante el llenado es, Su gáfica catesiana es, t, 0 t 400 ( t) = t + 0.5, 400 t, 000

10 Notemos que la pendiente del segmento de ecta de la izquieda es dos veces mayo que la pendiente del segmento de la deeca, esto poque, el nivel del agua sube más ápido ente las dos gadas que sobe ellas. Paa 0 < t < 400 sube a una velocidad constante de 0.5 cm/min, paa 400 < t <, 000 sube a una velocidad constante de 0.15 cm/min. Además, notemos que en t = 400 min, ay un cambio busco en la velocidad con que sube. Poblemas popuestos 1. Detemine las dimensiones estantes de un paalelepípedo que tiene un lado de cm. de longitud, y que tenga el mismo volumen que un cubo de lado 4.7 cm. Se pueden popone vaios?. Detemine las dimensiones de dos paalelepípedos difeentes que tenga la misma altua y áea supeficial que un cubo de lado 4.5. Existen más?, sus volúmenes son difeentes?. Es cieto que, dos paalelepípedos con altuas iguales y áeas de sus bases también iguales, peo con ancos y lagos difeentes, tienen el mismo volumen? 4. Se tienen 56 cajas ectangulaes de cm, cada caja está completamente llena de cieto polvo que pesa cajas t 0.00lbs/cm. Detemine el peso del contenido de las Un depósito de foma de un paalelepípedo dispuesto oizontalmente contiene agua asta una altua de 0 cm. Paa apoxima el volumen de cieto objeto de aceo, se sumege completamente dico dispositivo dento del agua del depósito. Se obseva que la altua del nivel agua con el objeto completamente sumegido es de. cm. Sabiendo que áea de la base del depósito es de 10 cm², apoxime el volumen del objeto. 6. Con elación al poblema esuelto sobe el llenado del tanque con dos gadas. Suponga que se tata de un tanque con las mismas dimensiones peo con una sola gada. Expese la altua en función del tiempo de llenado. 7. La base de un tanque de foma de un paalelepípedo tiene un áea de 4.5 metos

11 cuadados. Dico tanque inicialmente contenía agua asta una altua de 0.5 m. A las 8:4 oas se inicia a vete agua a dico tanque con un flujo constante de 0.09 m /min, el llenado se suspende a las 9:00 oas. (a) Haga dibujos de la situación e identifique cuáles son las magnitudes vaiables y cuáles pemanecen constantes, (b) expese la altua del agua que ay dento del tanque en función del tiempo, (c) expese el volumen del agua que ay dento del tanque en función del tiempo, y (d) detemine con qué apidez sube el nivel del agua a las 8.40 oas, Sube con la misma apidez duante todo el poceso de llenado? Explique. 8. Se dispone de una oja metálica ectangula de 4 po 6 pg. Con ella se desea constui una caja ectangula sin tapadea cotando cuadados iguales en sus esquinas y doblando las cejas, como se indica en el dibujo. Realice las Simulaciones Caja 1 y Caja, y esponda. 6 x x x x 4 x x (a) Detemine los volúmenes de las cajas esultantes coespondientes a cotes de longitudes: x = 0.5, 4 y 4.5 cm. Quién de ellas tiene el mayo volumen?, note que los valoes dados son las altuas de las cajas, (b) usted puede escoge cieta longitud paa x del lado del cuadado cotado y foma una caja. Detemine el intevalo de valoes que puede toma paa x, (c) desciba cómo vaían los volúmenes de las cajas al ace vaia continuamente x en su intevalo de vaiación, (d) expese el volumen de las cajas en función de la magnitud vaiable x, y (e) gafique dica función en el intevalo de vaiación (físico) de x, y apoxime su valo paa el cual se obtiene la caja de mayo volumen. 9. Se tienen dos catones ectangula iguales de 1 po 5 cm. Se doblan de dos maneas difeentes paa foma las áeas lateales de dos paalelepípedos de base cuadada como se muesta en la figua.

12 Obviamente tienen la misma áea lateal, tienen el mismo volumen? Detemínelos. 10. Existe un conjunto infinito de paalelepípedos de base cuadada con una misma áea supeficial de 150 cm² y difeente volumen (esto se puede infei del poblema anteio). Hay unos muy altos peo con base muy pequeña, otos con altua pequeña y base gande, inclusive ay uno que es un cubo. (a) Sabiendo que el áea supeficial es de 150 cm², detemine las altuas y los volúmenes coespondientes si toma como longitudes de las bases a: 0.001,, 5, 8. cm. Quien tiene el mayo volumen?, (b) considee a dicos paalelepípedos como si se tataa de un paalelepípedo en el que al ace vaia el lado de su base, vaía su volumen manteniendo constante su áea supeficial, (c) expese su volumen en función del lado de la base. Cuál es el mayo valo que físicamente puede toma el lado de la base?, en este caso a qué se educe el paalelepípedo? 11. El desván de una casa tiene la foma y dimensiones que se indica en el dibujo. Se desea constui en su inteio un cobetizo ectangula con una capacidad de 100 m. Poponga vaias altenativas con sus dimensiones de constucción del cobetizo.

13 Con elación al poblema 11, al ace vaia la altua del cobetizo vaía su volumen. Se desea constui un cobetizo de foma de un paalelepípedo que tenga al menos 100 m. (a) Expese el volumen del cobetizo en función de su altua, (b) qué valoes puede toma la altua del cobetizo? Detemine su intevalo de vaiación. Visualice este poblema ealizando la Simulación Cobetizo. 1. Se desea constui una edificación que tenga la foma de un paalelepípedo sobe un teeno plano el cual tiene la foma de un tiángulo ectángulo. Los lados menoes del teeno miden 0 y 40 m. La pate fontal del edificio debe de coincidi con el lado mayo del teeno y las dos esquinas estantes deben queda sobe los lados menoes. Se necesita que el edificio tenga un espacio físico de 5,65m y no se pemite que el mismo tenga una altua supeio a los 40 m. (a) Se tienen vaias altenativas de constucción?, aga dibujos y explique, (b) ente todos esos edificios posibles de constui existe uno de meno altua? Explique. (c) Identifique las magnitudes vaiables y expese la altua de edificio en función de la longitud del lado fontal, (d) si la altua es meno que 40 metos, qué valoes puede toma el lado fontal?, (e) es cieto que el edificio de meno altua es el que tiene mayo áea de constucción? Expese el áea de constucción en función de su longitud fontal y detemine las dimensiones del edificio de meno altua. 14. Resuelva el poblema planteado en la Simulación caja abieta.. Cilindo 10 Imaginemos la constucción. Tomemos dos discos ciculaes de adio. Dispongámoslos uno sobe oto de tal manea que sus centos queden unidos po un segmento de longitud y sus adios sean pependiculaes a dico segmento. Así dispuestos los discos, envolvamos a su alededo una placa ectangula (flexible) de goso despeciable de altua y lago π, fomando un sólido ceado. Al sólido así fomado se le llama cilindo cicula ecto de adio y altua (le llamaemos simplemente cilindo). Po qué se tomó el lago de la placa ectangula envolvente es π?

14 π Ota manea de genea un cilindo ecto es ota una vuelta completa un ectángulo sobe uno de sus lados tomado como eje de otación fijo. Al lado usado como eje de otación se llama eje del cilindo, al lado paalelo al eje que gia se llama geneatiz. Cuando la altua del cilindo es pequeño compaado con su adio, al cilindo se le llama disco cicula y no se abla de altua sino de goso. Po ejemplo, una moneda de 10 cts. Una tecea manea de genea un cilindo, es considea inicialmente dos cículos concénticos con el mismo adio, uno de ellos lo dejaemos fijo y le llamamos base, el oto lo tasladamos paalelamente a la base una distancia.

15 En el poceso anteio, se genea una infinidad de cículos paalelos, se dice que las secciones planas paalelas o cotes tansvesales del cilindo son cículos de adio. La intesección de cualquie plano que contenga al eje de un cilindo, con su supeficie es un ectángulo de lados y. A esta egión se le llama cote axial. Áea supeficial. Consideando nuesta pimea definición de cilindo ecto cicula, su supeficie se puede considea fomada de dos cículos (las tapas) de adio y un ectángulo de lados π y (la supeficie lateal). Así su áea supeficial es, π S = S(, ) = + Volumen. El volumen del cilindo es igual al áea de su base cicula po su altua, π V = V (, ) = Si aceptamos a y como vaiables, vemos que S y V son funciones de dos vaiables. Lata de mayo volumen. Imagine la constucción de una lata de consevas que cumpla los siguientes equisitos. (1) Debe se de foma cilíndica. () Sus tapas y la pate lateal deben se soldadas según se muesta en el dibujo. () La longitud total de la soldadua debe se igual a 60 cm. Se nos pide que diseñemos la lata de consevas con esas caacteísticas que tenga la mayo capacidad de contenido posible. Solución. Pimeamente veamos que tenemos mucas posibilidades (teóicamente un númeo infinito) de constui latas con tales caacteísticas, y que ente ellas existe una que tiene mayo capacidad, o sea mayo volumen. Se tata de entende el poblema y ve que tiene sentido. Consideando las esticciones imaginemos y dibujemos algunas.

16 (A) (B) (C) Todas ellas tienen foma cilíndica y nos imaginamos que la longitud total de soldadua en cada una de ellas es de 60 cm. Es deci, en todas ellas, la longitud de la soldadua vetical más la longitud de soldadua de dos tayectoias ciculaes (cicunfeencias) es igual a 60 cm. En (A), la lata es muy delgada y alta, los 60 cm. que debe tene la soldadua se gasta casi toda en la soldadua vetical, el adio es muy pequeño y la altua es casi 60 cm. En el caso extemo la lata cilíndica se degenea en un segmento, su adio es ceo, su altua es 60 y su volumen es ceo. En (C), la lata es casi un disco de goso pequeño, los 60 cm. de soldadua se usan en las soldaduas ciculaes, el adio es casi 15 π = 4.77 cm., po qué?, la altua es casi ceo. En el caso extemo la lata cilíndica se degenea en un pa de discos soldados, su altua es ceo, su adio es igual a 15 π y su volumen es ceo. Imaginando tamaños de otas latas cilíndicas, como el caso (B), con dimensiones no cecanas a los casos extemos nos damos cuenta que sus volúmenes son difeentes. Todo ello nos ace pensa, de manea coecta, que existe un conjunto infinito de posibilidades de pode constui la citada lata cumpliendo los equeimientos de diseño. Nos imaginamos también, con ceteza, que ente todas esas latas cilíndicas posibles (teóicamente) de constui existe una única de mayo volumen. Aoa, pasemos a ve el poblema en téminos de magnitudes vaiables continuas, y elaciones ente ellas. Paa ello, en vez de pensa en el mencionado conjunto infinito de latas cilíndicas con difeentes dimensiones, conviene pensa en un cilindo cuyas dimensiones se pueden ace vaia continuamente, manteniendo constante la longitud de la soldadua.

17 Claamente, las magnitudes vaiables que tienen que ve con este poblema son; su adio, el cual lo denotaemos con, y vaía continuamente en 0 15 π ; su altua, que lo denotaemos con, y vaía continuamente en 0 60 ; y su volumen, el cual lo denotaemos con V, y vaía continuamente en 0 V V. Imaginando cilindos como los platicados aiba. Vemos que su volumen depende de su adio en el sentido de que si acemos vaia su adio entonces vaía su volumen, simbólicamente V = V ( ). Descibamos su natualeza. Si su adio es ceo (su altua es 60), su volumen es ceo V (0) = 0. Paa adios pequeños, si acemos cece un poco su adio (aunque su altua disminuya), su volumen cece, es deci, V ( ) es ceciente paa esos valoes de. Po oto lado, si acemos cece su adio en valoes cecanos y menoes que 15 π su volumen decece, es deci, V ( ) es dececiente paa esos valoes de, en extemo, si su adio es igual a 15 π su volumen es ceo V (15 / π ) = 0. Dado que lo podemos ace vaia de manea continua, y como existe un volumen máximo, esto nos sugiee que existe un valo de M paa el cual el volumen alcanza su valo máximo V ( M ) = VMax. Po tanto, la gáfica catesiana de V = V ( ) tiene el aspecto siguiente. max V max V = V() Notemos que pecisamente en el punto máximo la función deja de cece e inicia a decece. Allí en el máximo el volumen ni cece ni decece. Aoa que emos visto que el volumen puede acese depende del adio, que tiene el compotamiento señalado, y que posee un valo máximo; pasemos aoa a constui la epesentación analítica de V = V ( ). Hagamos un dibujo con las vaiables. 0 m 15/π

18 Puesto que, en geneal, el volumen del cilindo depende de y, V = π y queemos escibi V en función de, debemos constui una ecuación de en téminos de y sustituila en V. Esa ecuación usualmente se constuye usando la condición del poblema y un dibujo de este, paa el poblema es; la longitud total de la soldadua debe de se 60 cm y se tata de solda dos tayectoias ciculaes de adio y una tayectoia ecta de longitud. Esto es 60 = 4π +, despejando y aciendo la sustitución indicada tenemos la expesión analítica de la función V, V π π ( ) = (60 4 ) Apoximemos el valo de paa el cual V alcanza su valo máximo, con el método de apoximaciones sucesivas. Demos valoes a en su dominio y deteminemos su coespondiente volumen. Iniciemos con los enteos, V El volumen máximo está ente y 4. Apoximemos la cifa de las décimas, V El volumen máximo está ente.1 y.. Podemos posegui de esta manea y detemina, ente qué valoes con una apoximación asta la cifa de las centésimas, se encuenta el valo de M ; y así sucesivamente, apoximanos a M tanto como queamos. Abandonemos este poblema dando la espuesta apoximada, La lata de consevas con una soladua de 60 cm que tiene el mayo volumen debe tene un adio de.1 cm. y una altua de 1 cm. Cómo puede deteminase esta altua? Si dispone de un dispositivo pa gafica, aga la gáfica en el dominio físico del poblema y veifique los valoes apoximados. Áea supeficial de un tanque. Un ecipiente tiene su inteio de la foma indicada en el

19 dibujo. Los dos cilindos están unidos veticalmente po medio de una pieza ectangula de base cuadada de lados m. Dico ecipiente se va llenando lentamente con aceite del tal manea que la supeficie de esa aceite se puede considea oizontal. Descibamos cómo vaía el áea de dica supeficie al cece su altua. 4 4 Solución. Denotemos con la altua del nivel de la supeficie, y con A = A( ) el áea de dica supeficie. Vemos que vaía en el intevalo (0, 8]. Podemos pensa, cuando = 0, no ay aceite y A (0) no está definida. Cuando la altua vaía en (0, ], la supeficie del aceite, las secciones planas paalelas, adoptan la foma de un cículo de adio 4, con áea 16π. Podemos pensa que cuando es exactamente igual a todavía la supeficie foma el mismo cículo, po tanto, si 0 <, A( ) = 64π Cuando la altua vaía en (, 6], la supeficie adopta la foma de un cuadado de lados, con áea 4. Podemos pensa que cuando es exactamente igual a 6 todavía la supeficie foma el mismo cuadado. Po tanto, si < 6, A( ) = 4 De manea simila podemos obtene que, si 6 < 8, A( ) = 9π Po lo tanto, el áea de la supeficie del nivel en función de su altua se expesa po la fómula, 16 π, si 0 < A( ) = 4, si < 6 9 π, si 6 < 8 Notemos que en los valoes de =, 6 y 8, el áea de la supeficie cambia buscamente de valoes. Se dice que la función es discontinua en dico valoes. Veamos su gáfica catesiana,

20 A Poblemas popuestos 1. Dibuje a mano alzada tes cilindos difeentes.. Dibuje a mano alzada dos discos ciculaes difeentes.. Detemine el volumen y áea supeficial de un tonco cilíndico ecto de.1 cm. de adio y de 1.4 cm. de altua. 4. El adio de un cilindo es y su altua es +. Expese su volumen y su áea supeficial en téminos de. 5. Cieto metal que usa paa fabica baas cilíndicas pesa 5 lb/pie. Cuánto pesaán baas cilíndicas de adio 1 pulgada y 1 pies de lago fabicadas con ese metal? 6. Existe un cilindo cicula ecto con volumen 1 m y áea supeficial 1 m²?, qué tipo de ecuación queda si se quisiea detemina sus dimensiones? 7. Detemine las dimensiones de un cubo, de un paalelepípedo y de dos cilindos que tengan un áea supeficial de 1 cm². Quien tiene el mayo volumen? 8. Un paalelepípedo y un cilindo tienen la siguiente caacteística: Ambos tienen bases con áeas iguales, y también tienen altuas iguales. Tienen el mismo volumen?, qué puede decise de sus áeas supeficiales? 9. El ectángulo dado se ota alededo del eje y una vuelta completa. El sólido que se genea se llama capa cilíndica. Imagine un tubo delgado de altua y = f ( x) y goso,

21 y f(x) 0 x x+ Realice la Simulación capa cilíndica (a) Dibuje la capa, (b) mueste que su volumen es V = π ( a b)( a + b) y, (c) si a es casi igual a b, es deci su goso x = a b es muy pequeño, mueste que la capa cilíndica se puede considea como fomada po una lámina ectangula de goso x, altua y y lago π a, y cuyo volumen esv = π ay x. Imagine la fomación de una capa cilíndica con un oja de papel ectangula. 10. El ectángulo dado se ota alededo del eje y una vuelta completa. El sólido que se genea se llama aandela. y y 0 a b x Realice la Simulación aandela. (a) Dibújela, (b) Mueste que su volumen es V = π ( a b ) y. 11. Calcule el volumen de cada uno de los sólidos que se foman al ota una vuelta completa según se indica. Realice la Simulación capas cilíndicas.

22 y y x x Se dispone de 1 m de cobe, con dica cantidad de cobe se desea constui cable cilíndico de mm de adio. Suponga que el volumen del mateial se conseva. (a) Detemine los metos lineales de alambe que se podían constui, (b) suponga que dico alambe debe aislase con un foo aislante de 1 mm de goso, apoxime la cantidad de metos cúbicos de aislante. 1. El tonco de cieta vaiedad de áboles es apoximadamente un cilindo ecto. Se sabe que su adio y su altua se incementan, espectivamente, en 0.5 y 1.5 pulgadas po semeste duante cieto peíodo de cecimiento. Si el adio de un ábol es 10 pulgadas y su altua es de 600 pulgadas. (a) Apoxime el incemento en su volumen en un semeste, (b) apoxime el incemento en su áea supeficial en un semeste. 14. Detemine las dimensiones de un cilindo que tenga un volumen de 16 m. Cuántos existen?, qué valoes puede asignase al adio?, que valoes puede asignase a la altua? 15. Detemine las dimensiones de un cilindo que tenga un áea supeficial de cms². Cuántos existen?, qué valoes puede asignase al adio y la altua? 16. Poponga las dimensiones de dos cilindos que tengan un áea supeficial de 40. plgs². Tienen el mismo volumen? 17. El volumen de un cilindo es de 50 cm. Podemos incementa o disminui su adio sin que su volumen cambie?, cambia su áea supeficial? Explique. 18. Están ingesando, de manea constante, 1. m de agua po aoa a un depósito cuyo inteio tiene la foma de un cilindo cicula ecto de. m de adio. Inicialmente el tanque estaba vacío. (a) Expese su altua en función del tiempo que tanscue duante el llenado, (b) detemine a qué velocidad sube el nivel de agua duante el llenado, (c) Si la altua del tanque es de. m. Detemine después de cuánto tiempo el tanque se llenaá. 19. Dibuje la foma y las dimensiones de una botella compuesta po cilindos sobepuestos veticalmente en la que el áea A de la supeficie del líquido en función de su altua este dado po,

23 5 π, 0 < < 4 A = A( ) = 16 π, 4 < 8 9 π, 8 < 1 0. Un cilindo ideal tiene un volumen de 100π centímetos cúbicos. Manteniendo constante dico volumen, su adio se puede ace vaia continuamente de ceo a infinito. Bajo dico poceso de vaiación su áea supeficial vaiaá. Se ve que el áea supeficial es función del adio. Constuya la expesión de su áea supeficial en función de su adio. Estúdiela, gafíquela, y compuebe con agumentos intuitivos que debe de abe un valo del adio paa el cuál su áea supeficial es meno. En cálculo se estudia con fomalidad este poblema. 1. Suponga que se le encaga la constucción de una lata de consevas que cumpla los siguientes equisitos. (a) Debe se de foma cilíndica y, (b) Su áea supeficial debe se de 100 cm². Le exigen que diseñe la lata de consevas con esas caacteísticas que tenga la mayo capacidad de contenido posible. Efectúe una investigación simila a la pesentada en el poblema esuelto de esta sección y de una solución aceptable al encago.. Con elación al poblema esuelto sobe la lata cilíndica de consevas con soldadua. Apoxime las dimensiones de la lata de consevas con capacidad de 500 cm que usa la meno longitud de soldadua.. Invente y esuelva un poblema de máximos y mínimos elativo a una lata cilíndica de consevas en las que involuce su áea supeficial y la longitud de su soldadua..4 Esfea Imaginemos la otación de una vuelta completa al ededo de su diámeto, en posición fija, de un semicículo de adio. El sólido así fomado se llama esfea. Una de sus caacteísticas pincipales es que todos los puntos sobe su supeficie están a una misma distancia del cento del semicículo que izo ota. A tal punto se le llama cento de la esfea. A todo segmento que une el cento de la esfea con un punto de su supeficie se llama adio de la esfea. Al todo segmento que pasa po el cento de la esfea y tiene como extemos puntos de la supeficie de la esfea se llama diámeto de la esfea, es deci, el diámeto es igual a dos veces el adio.

24 Notemos que las secciones planas paalelas pependiculaes a todo diámeto o cote tansvesal es un cículo. El cículo de mayo adio, el que tiene adio igual al de la esfea se llama cículo mayo. Áea supeficial. El áea de la es igual cuato veces el áea de su cículo mayo, A( ) = 4π Volumen. Esta dada po la fómula, Poblemas popuestos 4 V ( ) = π 1. Calcule el volumen y áea supeficial de una esfea de adio.7 cm.. Una esfea tiene un áea supeficial de cm². Cuál es su adio y su volumen?. Dada una esfea de adio R, diámeto D, áea supeficial A y volumen V. Demueste que, 1 A = π D, A = 6 πv, V = π D 6 A A 1 A V V =, R =, R = 6 π π 4π

25 4. Una esfea tiene 6.7 cm. de adio. Detemine su masa si sabe que el mateial que lo compone tiene una densidad de k gamos po centímeto cúbico. 5. Un tanque cuyo inteio es una semiesfea (mitad de una esfea) con su cicunfeencia mayo dispuesta oizontalmente, tiene un adio de 1.4 metos. Dico tanque contiene agua asta una altua de 0.67 metos. Detemine el adio del espejo de agua. Sugeencia. Haga el dibujo de un cote vetical sobe un diámeto, fome un tiángulo ectángulo y de ese dibujo constuya una ecuación. 6. Un paalelepípedo de base oizontal cuadada de lado b y altua esta inscita en una esfea de adio R (sus oco vétices están sobe la supeficie de la esfea). Expese el volumen del paalelepípedo en téminos de R y. Sugeencia. Haga el dibujo de un cote vetical paalelo a una de las caas lateales del paalelepípedo y que pase po el cento de la esfea, constuya un tiángulo ectángulo, y de este dibujo constuya una ecuación. 7. Un depósito está fomado po un cilindo oizontal en cuyos extemos están sobepuestos semiesfeas. El lago de la pate cilíndica es igual a cuato veces el adio de las semiesfeas. Detemine el adio de las semiesfeas si la capacidad del depósito es de 16,000 π / pies cúbicos. 8. El adio de una bubuja esféica cece a pati de cm. a una azón constante de 1. cm./s duante.7 s. Tomando t = 0 cuando su adio es cm. (a) Expese el adio en téminos del tiempo, (b) expese su áea supeficial en téminos del tiempo cuál es áea supeficial después de tanscuidos 1.5 seg.? (c) expese el tiempo tanscuido en téminos de su volumen, a los cuántos segundos su volumen es el doble del inicial?, cuál es su volumen final? 9. Un tanque esféico de adio 5cm, el cual se encontaba inicialmente vacío, se llena lentamente con agua. (a) Expese el áea de la supeficie del agua en función de la altua de dica supeficie. (b) Haga la gáfica de dica función 10. Imagine todos los cilindos ectos de base vetical inscitos en una esfea de adio 5 (la intesección de la esfea con un cilindo inscito son dos cicunfeencias) (a) Haga dibujos en pespectiva que muesten algunos cilindos inscitos e imagine otos. Ente todos ellos visualiza que existe uno que tiene mayo volumen?, explique, (b) Dicos cilindos se pueden genea al ace vaia la altua de un cilindo inscito. Ente qué valoes pueden vaia el adio y la altua del cilindo?, (c) considee al adio y la altua de los cilindos como magnitudes que se pueden ace vaia continuamente en los intevalos que deteminó en el inciso anteio. Haga cece la altua en su intevalo de vaiación y explique cómo vaía el volumen del cilindo. Diga en qué se degenean los cilindos en los dos casos extemos. Pesente la gáfica catesiana cualitativa del volumen en función de la altua. (d) Expese el volumen de los cilindos en función de su altua. Sugeencia. Paa constui esta elación use estategias similaes a las sugeidas en el poblema anteio. (e) Si dispone de un dispositivo de gaficación, apoxime la altua y su coespondiente volumen, del cilindo inscito de mayo volumen.

26 .5 Cono Imaginemos la otación, de una vuelta completa, de un tiángulo ectángulo de altua y base alededo del cateto vetical consideado como eje fijo. G G G G G G G G Tiangulo a ota Cono geneado Cote axial El sólido así geneado se llama cono ecto cicula, le llamaemos simplemente cono. El cateto fijo consideado como eje de otación se llama eje del cono, la longitud del eje del cono se llama altua del cono. La otación del oto cateto genea un cículo pependicula al eje, a este cículo se le llama base del cono, el adio de esta base cicula se llama adio del cono. La ipotenusa del tiángulo que ace ota se llama geneatiz G. El punto de intesección de la geneatiz con el eje se llama vétice del cono. Usualmente se dice que el cono tiene altua y adio, y se dibuja con eje vetical. Las secciones planas pependiculaes al eje, secciones tansvesales, son cículos, dicos cículos tienen su adio cada vez meno a medida que se acecan al vétice. Cualquie cote axial, es un tiángulo isósceles de base y altua, y lados iguales a G. Áea supeficial. Su supeficie se puede considea como fomada po (a) un cículo, a dico cículo se le llama supeficie de la base; y (b) la supeficie geneada po la otación de la geneatiz, al desplegalo sobe el plano es un secto cicula cuyo adio es igual a la geneatiz G del cono, y cuyo aco S, tiene longitud igual al peímeto de la cicunfeencia de la base, a dica supeficie se le llama supeficie lateal del cono.

27 G G supeficie lateal base cicula S G Áea supeficial = áea de la base + áea lateal del cono El áea de la base es π. Aoa, cómo detemina el áea de la supeficie lateal paa una altua y adio del cono? Deteminémosla po analogía. El secto cicula es análogo a un tiángulo isósceles; el adio del secto que es igual a la geneatiz del cono, es análogo a la altua del tiángulo y la base del tiángulo isósceles es análogo al aco del secto cicula, ello poque la altua del tiángulo es pependicula a la base del tiángulo isósceles y el adio del secto cicula es pependicula a la tangente del aco. Entonces el áea del secto debe de tene la misma estuctua que el áea del tiángulo isósceles, base po altua ente dos. b G G G G S De esta manea el áea del secto es igual a la longitud del aco S po el adio del secto G ente dos SG. La longitud del aco es igual al peímeto del cículo de la base S = π. Paa elaciona la geneatiz del cono o adio del secto, con el adio y altua del cono, ealizamos un cote axial y fomemos un tiángulo ectángulo. Po el teoema de Pitágoas G = +. Po tanto el áea supeficial del cono es, π A = + SG A(, ) = π + π + Volumen. Se puede demosta usando cálculo integal que el volumen del cono es igual a un tecio del volumen de un cilindo con la misma base y altua, V 1 = π

28 Poblema del llenado de un tanque cónico. Un tanque cuyo inteio tiene la foma de un cono en posición vetical con su vétice acia abajo, tiene 1 m de adio y 4 m de altua. Dico tanque inicialmente estaba vacío, luego se viete agua a azón constante de 0.1 m /min. Supongamos que en todo momento del llenado la cantidad de agua dento del tanque adopta foma cónica. Obviamente, duante el llenado, el adio, la altua y el volumen del cono de agua cecen. Respondamos a las siguientes peguntas. (a) Cuál es la capacidad del tanque?, (b) cómo cambia el volumen del cono de agua en el tiempo?, (c) después de cuántos minutos el tanque se llenaá?, (e) cómo cambia el volumen del cono de agua al cece su altua?, y (f) cómo cambia su altua en el tiempo? Solución. Hagamos dibujos en pespectiva del tanque y contenido de agua, en ellos debemos explicita todas las magnitudes que son constantes (datos) y las que son vaiables cono de agua 4 Tanque vacío Tanque con agua Denotemos las magnitudes vaiables. Con t el tiempo que tanscue duante el llenado, donde t vaía ente ceo y un valo finito que epesenta el tiempo en minutos que tada en llenase completamente t L, así 0 t tl ; con el adio del cono de agua 0 t ; con la altua del cono de agua 0 4; con V el volumen del cono de agua, vaiando desde ceo asta alcanza el volumen V T del tanque 0 V VT. a) Usando los datos del tanque tenemos VT = π (1) (4) = 4. m. b) Aquí tenemos que descibi cómo cece el volumen de agua dento del tanque al tanscui el tiempo. Dado que ingesan, con una apidez constante, 0.1 m /min, y el tanque estaba inicialmente vacio, entonces la elación ente el volumen del cono de agua y el tiempo duante todo el llenado es, V ( t) = 0.1 t, 0 t tl El volumen del agua dento del tanque cece de manea lineal duante todo el poceso. c) El tanque se llenaá cuando el volumen de cono de agua es igual a la capacidad del tanque, esto sucedeá pecisamente cuando t = tl. Usando la elación del inciso anteio y los datos del tanque cónico fomamos la ecuación,

29 Volumen del agua en el tiempo t L = capacidad del tanque cónico 0.1t L = 4. De donde t L = Po tanto, el tanque se llenaá, apoximadamente, después de 4 minutos de iniciado el llenado. d) Al i llenándose el tanque la altua, el adio y el volumen de cono de agua cecen y están 1 elacionadas po V (, ) = π. Se pide que descibamos cómo cece V al cece. Paa ace esta descipción es necesaio detemina la elación ente ellas, o sea constui una expesión de V en función de, V = V ( ). Esto se puede ealiza de la manea siguiente. Expesemos en téminos de y sustituyamos dica expesión en V = V (, ) Esa elación se constuye a pati de cietos dibujos que nos pemiten visualiza alguna elación geomética que los vincula duante todo el poceso de llenado. En este tipo de poblemas elacionados con llenados de tanques, como también de otos elacionados con figuas sólidas, los dibujos que pemiten detemina las elaciones geométicas que deseamos enconta, son los llamados dibujos en cote, ellos pueden se axiales, longitudinales o tansvesales, según el poblema que se quiea esolve. Imaginemos cota el dibujo en pespectiva de los conos, sobe un plano cualquiea que contenga a su eje. Dibujemos en el plano las aistas o filos que nos imaginamos ve. En los cotes veíamos los tiángulos isósceles. eje 4 4 Cote del tanque vacío Cote del tanque con agua Usemos el dibujo del lado deeco paa detemina la elación ente y. Vemos que allí podemos foma un pa de tiángulos ectángulos semejantes.

30 4 Del cual fomamos la elación 1 = 4, po lo que = 4. Sustituyendo esta última ecuación en V = π /, y simplificando queda, V = V = π ( ) Ella nos infoma que el volumen del agua dento del tanque cece con el cubo de su altua. Ella nos puede infoma también el volumen del cono de agua paa cualquie altua. (e) Paa descibi cómo vaía la altua del cono de agua en el tiempo, es necesaio constui una expesión que elacione la altua con el tiempo. Es deci expesa en función del t, = ( t). Paa logalo, conviene evisa, qué elaciones de las que emos constuido, tienen que ve con las vaiables y t, y tata de enlazalas. Veamos, po un lado V = 0.1t, y po oto V = π 48. Estas dos ecuaciones expesan el volumen del cono de agua, la pimea en función del tiempo, y la ota, en función de su altua. Las podemos iguala pues epesentan el mismo volumen. Y si despejamos queda, ( t) = 4.8t, 0 t 4 π Es deci, la altua cece con la aíz cubica del tiempo. Esto debe se así, puesto que el agua ingesa con flujo constante, al inicio del llenado la altua debe cece muy ápido, al final sube más lentamente. Ella nos puede infoma también su altua paa cualquie tiempo duante el llenado. Su gáfica catesiana es,

31 Poblema del cono de meno volumen. Imaginemos el conjunto infinito de conos de base oizontal cicunscitos a una esfea de adio 10 cm. Hagamos algunos dibujos veamos que ente todos ellos ay un único cono de meno volumen. Lo que se quiee es apoxima las dimensiones del cono de meno volumen. Solución. Imaginemos la situación y agamos algunos Conos cicunscitos a una esfea de adio Usando nuesta imaginación y viendo los dibujos, notamos que ay conos con adios cecanos a 10, ellos tienen altuas muy gandes, y po tanto, volúmenes también muy gandes, a medida que su adio se apoxima a 10, su foma se apoxima a un cilindo de adio 10 y altua infinita. También vemos que ay conos con altuas cecanas a 0, con adios muy gandes y volumen también muy gandes; a medida que su altua se va apoximando a 0, su foma se apoxima a un cilindo de adio infinito y altua 0. Además, vemos también, que ay conos con adios y altuas, digamos, pequeñas, no muy

32 gandes, y po tanto, con volúmenes pequeños. Todo ello nos ace pensa, y acetadamente, que en dico conjunto existe un único cono de meno volumen. Realicemos aoa una discusión cualitativa en téminos de magnitudes vaiables. Pensemos el poblema dado como si se tatase de un cono de base oizontal cuyo adio, y altua, los podemos ace vaia con la condición de que siempe se mantenga cicunscito a la esfea, y veamos cómo vaía su volumen V. Podemos ace vaia en el intevalo (10, ), podemos ace vaia en el intevalo (0, ). Po supuesto, al ace vaia en su intevalo de vaiación, la altua vaía en su intevalo de vaiación (si a una lo acemos cece la ota debe decece). Al ace vaia ya sea o vemos que V vaía ente un valo mínimo V min, el cual coesponden al volumen del cono de meno volumen, a infinito [ Vmin, ). Hagamos vaia. Si acemos cece un poco a pati de cieto valo muy cecano a 0, vemos que su volumen V decece. Este compotamiento se mantiene asta que alcance cieto valo m, a pati de cuál, si acemos cece, entonces V también cece. En ese valo m de la altua, el volumen V, alcanza su valo mínimo V min. Si pensamos la vaiación de en (0, ) de manea continua, entonces V vaiaá de manea continua en [ Vmin, ). Esta discusión cualitativa pone de manifiesto que debe existi una dependencia funcional ente V y. Es deci, podemos escibi V en función de, V = V ( ). Su gáfica catesiana debe tene el aspecto siguiente. V V = V() V m A la ecta vetical =0, se le llama asíntota vetical, en ella, si tiende a 0 po valoes mayoes, entonces V tiende a infinito. 0 0 m La taea que sigue es detemina la expesión analítica V = V ( ), la cual nos pemitiá apoxima las dimensiones m y coespondiente adio del cono de meno volumen, y el valo de dico volumen meno V m.

33 Patamos de la elación geneal del volumen del cono en función de su adio y altua 1 V = π. Entonces, paa expesa V en función de, debemos de constui una ecuación que expese en téminos de y sustituila en V (, ). Lo mismo que en otos poblemas, esa ecuación debe de constuise a pati de dibujos, paa este caso, cotes de los objetos del poblema. Imaginemos uno de los conos cicunscitos a la esfea. Aoa imaginemos ace un cote a tavés de un plano vetical que contenga el eje del cono (y también un diámeto de la esfea). Dibujemos las figuas que imaginamos ve; un tiángulo isósceles de base y altua cicunscito a una cicunfeencia de adio 10. Tienen puntos de tangencia, la obsevación de esta popiedad nos seá útil más adelante. 10 Hagamos tazos auxiliaes que nos pemitan foma tiángulos que tengan algunas popiedades geométicas con las cuales podamos constui un sistema de ecuaciones que elacionen las vaiables pincipales y auxiliaes, y los datos. Tacemos la altua al lado oizontal del tiángulo isósceles, con el fomamos dos tiángulos ectángulos iguales de catetos y. Con él no podemos foma ninguna ecuación que contenga y.

34 Hagamos oto tazo a fin de foma oto tiángulo ectángulo. Tatemos de involuca el adio 10 de la cicunfeencia con las vaiables y. Tacemos desde el punto de tangencia P un adio de la cicunfeencia. Con el fomamos el tiángulo ectángulo (el adio es pependicula al segmento tangente). Su ipotenusa es 10 y cateto meno es Qué popiedad tienen los dos tiángulos ectángulos que emos constuido? Fijémonos que ellos son semejantes ente sí, pues ambos son ectángulos y compaten un mismo ángulo agudo. Apovecemos este eco y constuyamos una ecuación Con la infomación que explícitamente disponemos en los tiángulos no podemos aún foma ninguna ecuación de semejanza pues no tenemos dos paes de lados coespondientes. Es necesaio, po ejemplo, enconta el cateto vetical del tiángulo pequeño, pues así tendíamos dos paes de lados coespondientes. Cómo podemos detemina ese cateto? Con el teoema de Pitágoas. Denotémosle con x, entonces, x = ( 10) 10 = 0 y tenemos,

35 ( -0) De aquí, = Po tanto, = 10 0 Notemos que esta última elación cumple con la vaiación física ente el adio y la altua del cono: Si tiende a 0 po valoes mayoes que 0, entonces el denominado tiende a ceo, y po tanto, tiende a infinito; po oto lado, si tiende a infinito, el denominado 10 tiende a ( po qué?) y el cociente, o sea el adio tiende a 10. Esto nos da seguidad de que dica elación está coectamente constuida. 1 Sustituyendo la elación encontada en V = π, y simplificando, obtenemos la elación que expesa el volumen del cono cicunscito V, en función de su altua. 100π V = v( ) =, > 0 ( 0) Notemos que esta elación cumple con la vaiación física, si tiende a 0 po valoes mayoes que 0, entonces V tiende a infinito; y si tiende a infinito entonces V también tiende a infinito. Usando la función constuida, el valo de la altua paa el cual el volumen toma su valo meno, se puede apoxima con la ayuda de un dispositivo de gaficación.

36 Volumen Mínimo vol. mínimo Con la gáfica del MatLab podemos ve que la altua apoximada del cono cicunscito de meno volumen es de 40 cm. y que el volumen mínimo es de 880 cm apoximadamente; y su adio es de 14 cm. apoximadamente. Poblemas popuestos 1. Usando una oja de papel, constuya físicamente un cono de adio.5 cm y altua 10.. En todo cono, el áea lateal es mayo que el áea de la base?. El áea supeficial y el adio de cono miden 5 cm² y 5cm espectivamente. Calcule su altua. 4. La altua y volumen de un cono son pg. y 81π pg, espectivamente. Calcule su adio. 5. Un depósito tiene su inteio de foma cónica de.5 m de adio y.7 m de altua inteio. Dico depósito se encuenta completamente lleno de cieto líquido que pesa 1,0 kg/m. Detemine el peso del líquido dento del depósito. 6. Un sólido tiene la foma de un cono cuya base está pegada a una semiesfea. La altua de cono es z y los adios del cono y la semiesfea es z/5. Expese el áea supeficial y el volumen del sólido en téminos de z. 7. Constuya un cuadado de papel y tace una de sus diagonales. Gie media vuelta dico

37 cuadado alededo de la diagonal. (a) Qué sólido se genea?, (b) Expese su volumen en téminos de la longitud de esa diagonal. 8. Popone las dimensiones de dos conos con una misma áea supeficial. Tienen el mismo volumen? 9. Popone las dimensiones de dos conos con un mismo volumen y calcule su áea supeficial. 10. Se ace vaia el adio de un cono manteniendo constante su volumen. Explique cómo vaía su áea supeficial al vaia el adio en (0, ). 11. Existe una infinidad de conos con una misma áea supeficial de 00π cm.² Ente qué valoes vaían sus adios? 1. Un cono, un cilindo y una esfea tienen un mismo volumen. Quién tiene meno áea? Puebe con algunos casos paticulaes. 1. Un cilindo, un cono y una esfea tienen una misma áea supeficial. Quien tiene mayo volumen? Puebe con casos paticulaes. 14. Un cilindo con diámeto igual a su altua está inscito en una esfea de adio w. Expese el áea del cilindo en téminos de w. 15. Un cono está cicunscito a un cilindo de adio u y altua u. Expese el volumen del cono en téminos de u y de su adio. 16. Un cono está inscito en una esfea de adio R. El áea supeficial del cono es k ( k > 1) veces mayo que el áea de la base. Mueste que el volumen del cono está dado po 6 V = 8 π R( k 1) k. 17. Un cubo está inscito en un cono de adio 1 y altua. Detemine el volumen del cubo. 18. Un cubo de lado L está inscito en una esfea, la esfea está inscita en un cono cuyo diámeto es igual a su geneatiz, el cono está inscito en un cilindo. Expese el áea supeficial y el volumen del cilindo en téminos de L. 19. Considee la familia infinita de conos inscitos en una esfea con adio de 10 cm. Realizando la Simulación Cono, se puede visualiza que dicos conos se pueden genea aciendo vaia la altua de un cono inscito en la esfea. Constuya la fómula que expesa el volumen del cono en función de su altua. Use un dispositivo de gaficación paa gafica dica función. De la gáfica, apoxime las dimensiones de cono inscito de mayo volumen y dico volumen mayo. 0. Un tanque cuya supeficie inteio tiene la foma un cono con eje vetical y vétice acia abajo, tiene 6 pg de adio y 144 pg de altua. Dico tanque contiene, inicialmente,

38 agua con una pofundidad de 18 pg. Se viete agua a su inteio de manea que la altua de su nivel sube con una apidez constante de 1.5 pg/min. (a) Expese su altua en función del tiempo que tanscue, (b) a los cuántos minutos se llenaá completamente el tanque?, (c) duante el llenado el agua adopta la foma de un cono, cuyo adio, altua y volumen cecen en el tiempo. Expese el adio del cono de agua en función de la altua, (d) expese el volumen del cono de agua en función de su altua, y (e) expese el volumen del cono de agua en función del tiempo duante el llenado. Cuánta agua abá en el tanque después de media oa de iniciase el llenado? 1. Un cono usado como eloj de aena tiene 4 cm de adio y 0 cm de altua. De dico cono salen 10 cm /min. Inicialmente dento del cono abía 00 cm de aena. La aena que cae sobe una supeficie plana oizontal va fomando un cono de aena cuyo adio es siempe igual a su altua. (a) suponga que la aena dento del cono-eloj adopta en todo momento la foma de un cono. A los cuántos minutos los conos de aena tienen el mismo volumen?, (b) a los cuántos minutos la altua del cono que se va fomando es igual a cm?, y (c) cuál es la altua de cono de aena que no a caído después de 1.4 minutos?. Existe un conjunto infinito de conos en el que cada uno de ellos tiene un volumen de 4π cm. Dicos conos tienen adios, altuas y áea supeficial, en geneal, difeentes. Dicas dimensiones se pueden considea como magnitudes que se pueden ace vaia continuamente en deteminados intevalos de vaiación físico. Física e idealmente, qué valoes puede toma el adio?, Expese su áea supeficial en función del adio. Apoxime, numéica o gáficamente, el adio del cono de meno áea supeficial con volumen 4π cm.. El adio y la altua de un cono se pueden ace vaia continuamente manteniendo constante su áea supeficial. Su áea supeficial es de 7 cm. (a) Detemine los intevalos en que se pueden ace vaia su adio y altua, (b) explique cómo vaía su volumen, ay un valo del adio paa el cual el volumen es máximo?, (c) expese su volumen en función del adio. Apoxime, numéica o gáficamente, el volumen del cono que tiene mayo volumen. 4. A un disco de papel de adio 6 cm. se le cota un secto, con la pate que queda (también un secto) se constuye un vaso cónico. (a) Imagine o aga dibujos de sectoes cotados y de vasos que se pueden constui con la pate que queda, vea que pasa con el volumen de los vasos cuando el ángulo α de los sectoes que quedan toman los valoes, 0, 0.1, 1,.5, 4.5, 6 y π adianes, (b) existe un valo de α paa el cual se puede constui un vaso de mayo volumen?, (c) considee el volumen de los vasos como una magnitud vaiable que se puede ace vaia, al vaia continuamente el ángulo α. Esboce cualitativamente, la gáfica catesiana del volumen del vaso en función de α. Expese el volumen en función de α. (d) Detemine el valo de α paa el cual se obtiene el vaso de mayo volumen. 5. Resuelva el poblema popuesto en la Simulación cilindo inscito en cono..6 Cono tuncado

39 Se puede considea como el sólido que queda al cota a un cono, pependicula a su eje, su punta. Se le llama cono tuncado. G G G G R Cono tuncado R- R Cote axial Áea lateal. Es el áea de la egión geneada po su geneatiz, A (,, ) ( ) ( ) ( ) L = AL R = πg R + = π R + + R La deducción de esta elación se pospone como poblema al lecto. Áea supeficial. Es la suma de las áeas de las dos bases ciculaes y de su áea lateal, Volumen. Está dado po, A (,, ) ( ) ( ) ( ) L = AL R = π R + + π R + + R π V = V R = R + + R (,, ) ( ) Notemos que tanto el áea lateal, el áea supeficial y el volumen del cono tuncado se pueden considea como funciones de tes vaiables, y ellas se educen a las elaciones coespondientes del cono cuando = 0. El poblema de la cubeta. Una cubeta tiene la foma de un cono tuncado con adios de 14 y 8 cm, y altua de 8 cm. Se viete agua a dica cubeta la cual estaba inicialmente vacía. Investiguemos cómo cambia el áea de la supeficie del nivel del agua al i subiendo dico nivel,

40 8 8 Solución. La supeficie del agua adopta la foma de un cículo. Denotemos con su adio y A su áea. De modo que A( ) = π, Usando esta elación, si queemos expesa A en función de, debemos expesa en función de y sustitui en A( ). La ecuación que elaciona con se constuye a pati de un dibujo en cote axial del coespondiente dibujo en pespectiva. En él podemos foma tiángulos semejantes t Hemos intoducido la vaiable auxilia t que se puede elaciona con a tavés de = 14 + t. De la semejanza de tiángulos fomamos la elación t 14 = 8. Eliminando la vaiable auxilia t de estas dos ecuaciones y simplificando tenemos que = (8 + ).. Sustituyendo esta última expesión en A( ), obsevamos que el áea de la supeficie del agua cece de manea cuadática con la altua, π A = A = + 4 ( ) (8 ), 0 8 Esta función nos infoma que el áea de la supeficie cece más ápidamente a mayo altua, así como también nos popociona el áea de la supeficie paa una altua dada. Dejamos al lecto la gaficación de dica función. Poblemas popuestos 8 1. Usando una oja de papel. Constuya el áea supeficial de un cono tuncado. Qué

41 foma debe tene la supeficie lateal si se distendiea sobe el plano?. Deduzca la fómula paa calcula el áea lateal de un cono tuncado. Use analogía ente figuas geométicas.. Todo cilindo es un caso especial del cono tuncado? Demueste que las elaciones de áea supeficial y volumen del cono tuncado se educen al las coespondientes del cilindo, si R = en el cono tuncado. 4. En el sólido siguiente, una semiesfea sobepuesto a un cono tuncado. El cono tuncado tiene adios R y R, y altua R. Expese su volumen en téminos de R. R R 5. En el siguiente depósito, del cono supeio fluye agua acia el cono infeio. Inicialmente, el cono supeio contenía 0 pg de agua y el infeio estaba vacío. Sabiendo que el flujo de agua de agua es de pg /min. (a) Expese el volumen del agua contenida en el cono supeio en función del tiempo que tanscue, (b) expese el volumen del agua contenida en el cono infeio en función del tiempo, (c) expese el volumen del agua contenida en el cono infeio en función de su altua, (d) expese la altua del nivel de agua contenida en el cono infeio en función del tiempo, y (e) detemine la altua mayo que alcanzaá el nivel de agua contenida en el tanque infeio. R R

42 4 6. En el tanque siguiente se viete agua asta llenalo completamente. Expese el áea supeficial del nivel de agua en función de su altua y gafique. Note que se debe constui una función con dos fómulas. a a a a a 7. Considee el cono tuncado. 5 5 Aea lateal 75π Aea lateal 75π El adio de su cicunfeencia infeio pemanece constante, igual a 5. Su altua y el adio de

43 la cicunfeencia supeio se pueden ace vaia con la condición de que se mantenga constante su áea lateal en 75π (a) Haga dibujos de algunas fomas que tomaía el cono tuncado al ealiza dicas vaiaciones, (b) detemine los intevalos de vaiación del adio y la altua. En qué se degenea el cono tuncado cuando el adio toma los valoes de los extemos de los intevalos de vaiación?, ay un valo del adio supeio paa el cual el cono tuncado se tansfoma en un cilindo?, (c) ente todos esos conos tuncados ay uno que tiene mayo volumen?, (d) gafique cualitativamente; el volumen del cono tuncado en función del adio vaiable, y el volumen del cono tuncado en función de su altua, (e) si se quisiea constui un depósito que tenga su inteio la foma de un cono tuncado con 75 pg² de áea lateal y que tenga el mayo volumen posible, cuáles deben se sus dimensiones? Apoxímelas..7 Sólidos con secciones tansvesales iguales y pismas El sólido siguiente se puede considea como geneado po la taslación (sin ota) de un tiángulo isósceles a tavés de una distancia L pependicula a la base. A este sólido se le llama pisma ecto de base o caa tiangula, en este caso es un tiángulo isósceles, sus secciones planas paalelas, también llamados cotes tansvesales, ellos también son tiángulos isósceles. La sección plana es un tiángulo isósceles Base L De manea simila se pueden genea sólidos tasladando egiones de cualquie foma (egiones compuestas comunes). Po ejemplo, pismas con secciones planas paalelas o cotes tansvesales constituidas po; cuadados, ectángulos, tapecios, paalelogamos, ombos, etc. O también sólidos cuyas secciones tansvesales son semicículos, segmentos de cículo, banda cicula concéntica, etc. A este tipo de sólidos se les llama también sólidos ectos de secciones tansvesales iguales. Decimos ectos poque su caa es pependicula al segmento L. La distancia L se llama lago o altua del sólido según se disponga oizontal o veticalmente. Estos sólidos tienen dos caas iguales. La supeficie que cube al sólido ente las dos caas se llama supeficie lateal. En ellos se distinguen también vétices, aistas y geneatices. En estos sólidos las aistas o geneatices son pependiculaes a ambas caas.

44 L L Pisma de base tapezoidal Pisma cuya base es un paalelogamo L L Sólido con base semicicula Pisma con base exagonal L L Pisma de base tiangula Solido con sección plana abitaia Notemos que los pismas, son un caso especial de sólidos con secciones tansvesales iguales, dicos sólidos son sólidos limitados po dos polígonos iguales (caas) y, con supeficie lateal fomado po pedazos de paalelogamos. En el mundo físico, este tipo de sólidos se concetizan en tanques o depósitos que se usan paa contene algún mateial, o bien en fomas constuctivas de cietos objetos: columnas de edificaciones, componentes sólidos de maquinaias, etc. Áea supeficial. Está constituida po dos veces el áea de la base más el áea de la supeficie lateal. Su áea depende de dos o más magnitudes lineales, A = (áea de la base) + áea lateal Volumen. Está deteminado po la elación siguiente,

45 V = (áea de la base)(lago ó alto) Dependiendo de la foma de la base, su volumen puede depende de dos o más vaiables. Poblema, llenado de una atesa. Una atesa de m de lago, tiene, apoximadamente, su sección tansvesal de foma de un tapecio isósceles cuya altua es de 0.75m, y lados supeio e infeio de 1 y 0.8 m, espectivamente. Se viete agua con un flujo constante de 0.04 m /min. (a) Apoximemos la capacidad de la atesa, (b) al tanscui el tiempo su volumen va aumentando con una apidez según ingesa agua. Expesemos el volumen del agua contenida en el tanque en función del tiempo y los minutos que necesita en llenase completamente, (c) Al llenase el tanque el agua adopta foma de un sólido de sección tansvesal tapezoidal, en el cual su base supeio, su altua y su volumen aumentan. Expesemos el volumen de agua contenida en función de la altua, (d) al tanscui el tiempo su altua sube. Expesemos su altua como función del tiempo, y compobemos que el nivel debe subi más lentamente al final que al inicio del llenado. Solución. Hagamos un dibujo en pespectiva y un dibujo en cote tansvesal de la atesa. Denotemos con t el tiempo que tanscue duante el llenado, con la altua del nivel de agua medida desde el fondo de la atesa, con x el anco de la supeficie de agua, y con V el volumen del agua en cieto tiempo x 0.8 x x 0.8 (a) V = (áea de la sección tansvesal)(lago) = (áea del tapecio)(lago) = = 1.5 m. (b) Suponiendo que cuando se inicia el llenado la atesa ella está vacía, y como ingesan constantemente 0.04 m /min, entonces el V en función de t es, V = 0.04t 0 t tf Como el volumen del tanque es de 1.5 m, y se llena completamente después de tanscuidos t F minutos entonces 1.5 = 0.4t F. De la cual t F =.7. Po tanto, el tanque se llenaá apoximadamente en media oa.

46 (c) El volumen del agua dento de la atesa es, V = (0.8 + x) Fómenos tiángulos semejantes y encontemos una elación ente x y. Usemos la vaiable auxilia b de tal manea que, x = b b 0.8 b 0.75 b 0.8+b De la elación de tiángulos semejantes, b = 7.5 Po lo que, x = Que al sustitui en la expesión del volumen queda, V = V = + ( ) (d) Como po un lado, V = 0.04 t, y po oto lado, 0.04t = +. Po lo cual, V = , igualando t = 0 Esta es una ecuación cuadática en, po fómula tenemos, t 1.6 ( t) = 0 t 0.5 Puesto que es una función con aíz cuadada, paa t en su intevalo, cece más lento a medida que t tanscue. Sugeimos al lecto ealiza su gáfica en un dispositivo de

47 gaficación. Poblemas popuestos 1. Dibuje sólidos difeentes de secciones tansvesales, e identifique sus elementos pincipales.. Dibuje un sólido de lago 1 cm. cuya sección tansvesal es: (a) Secto cicula de adio 5 cm. y ángulo cental π 4, (b) un ombo de lados cm, (c) la egión limitado po dos cículos concénticos, y (d) un semicículo sobe puesto a la ipotenusa de un tiángulo ectángulo.. Detemine el áea lateal, el áea supeficial y el volumen de un sólido, si su sección tansvesal es un tiángulo equiláteo de lados k cm, y tiene un lago de 4k cm. 4. En los dibujos que siguen se pesentan las fomas y dimensiones (en metos) apoximadas de los inteioes de dos bodegas. Apoxime la capacidad de cada una de ellas Una viga de conceto tiene su sección tansvesal en la foma y dimensiones en metos que muestan en el dibujo. Detemine su volumen y áea supeficial si su lago es de 16 m (a) Expese el áea de la supeficie del agua en función de su altua, (b) dibuje la gáfica catesiana de dica función (está definida po dos fómulas) Note que paa = el áea de la supeficie cambia de compotamiento. Allí ay un punto pico.

48 7. Un depósito paa taslado de combustibles tiene 1.4 m de lago, y su sección tansvesal exteio tiene la foma de un exágono cuyos lados miden 1. m. Dos de sus lados son oizontales. Se sabe que cada meto cuadado de pintua paa su potección cuesta Q18.70 y el pinto coba Q5.6 po meto cuadado. Cuánto costaá pinta todo su exteio? 8. Se puede demosta usando cálculo integal que el volumen de un pisma de base tiangula tucado es, 1 V = ( a + b + c )(áea de la base) donde a, b y c denotan las longitudes de las aistas pependiculaes a la base. Dibuje un pisma que tiene como base un tiángulo equiláteo de lados cm. Con aistas pependiculaes de 4.5, 4,5 y 8 cm. Cuál es su volumen?, Cuál es su áea supeficial? 9. Un depósito cilíndico ecto de adio 5 pg y altua 10 pg contiene aceite exactamente a su mitad. Dico depósito se coloca oizontalmente sobe su lado, en ese momento inicia a sali aceite del depósito po un agujeo. Se sabe que el nivel del aceite decece con una apidez de pg/min. (a) Expese el áea de la supeficie del aceite en función de la altua, (b) expese el áea de la supeficie en función del tiempo, y (c) a los cuantos minutos el tanque quedaá vacío Fuga 10. Un tanque de 0 m. de lago, tiene su sección inteio tansvesal de foma de un tiángulo ectángulo con su cateto meno vetical. Los catetos de dico tiángulo miden 10 y 5 m. El tanque contiene inicialmente 100 m de agua. Luego se vieten, constantemente, 0 m /. (a) Deteminen la capacidad del tanque, (b) detemine la altua inicial del agua, (c) Expese el volumen del agua dento del tanque en función de su altua duante el llenado, y (d) Expese el volumen del agua dento del tanque en función del tiempo. A los cuántos minutos se llenaá completamente el tanque? 11. Un tanque de 0 m. de lago, tiene su sección inteio tansvesal de foma de un tiángulo isósceles con su lado meno oizontal. Los lados mayoes de dico tiángulo miden 10 m. y el lado meno mide 5 m. El tanque contiene inicialmente 100 m de agua. Luego se vieten, constantemente, 10 m /. Responda las misma peguntas del poblema anteio. 1. Se dispone de una lámina ectangula de m con el cual se desea constui un canalón de 5 m de lago y cuya sección tansvesal sea un tapecio isósceles. La base

49 infeio y los lados no paalelos del tapecio deben medi 0. m. (a) Imagine, aga dibujos y esponda: Es posible constui una infinidad de canalones?, tienen difeente capacidad o volumen?, se puede constui uno que tiene mayo capacidad? (b) Establezca vaiables y elaciones ente ellas, y detemine las dimensiones del canalón de mayo capacidad..8 Piámides egulaes Su base es un polígono egula, sus caas lateales son tiángulos que paten de un mismo punto llamado vétice de la piámide. El segmento que une el vétice con el cento del polígono egula se llama altua. Si la base es un polígono iegula, la altua es la longitud del segmento que pate del vétice y es pependicula a la base. a : altua a: apotema a Piámide egula de base cuadada Piámide iegula de base exagonal Áea supeficial. Es igual al áea de la base más áea lateal. Paa una piámide egula es igual a un medio del peímeto de la base po la apotema, (altua de cualquiea de sus tiángulos lateales) Volumen. Es igual a un tecio del áea de la base po la altua..9 Piámides ectas tuncadas Se foma al cota una piámide po un plano paalelo a su base. Base A Base B Piámide de bases ectángulaes (obelísco)

50 Áea supeficial. Áeas de las caas paalelas más áea lateal. 1 Volumen. V = ( A + B + AB ) Poblemas popuestos 1.. Detemine el áea supeficial de una piámide egula de base cuadada. Los lados del cuadado miden 8 cm. La altua de la piámide es también de 8 cm.. Una piámide cuya base un tiángulo equiláteo tiene una altua de 18.5 cm. Los lados del tiángulo miden 5.7 cm. Apoxime su volumen... Un pisma egula, es un caso especial de una piámide tuncada? 4. En la fómula del volumen de la piámide tuncada. Si A = B, volumen de qué sólido epesenta? 5. Una piámide tuncada 7.65 cm, tiene una altua de cm. Se sabe que una de sus bases tiene un áea de 7.65 cm. Detemine el áea de la ota base. 6.. En el sólido siguiente todas las aistas miden w.. Expese su volumen en téminos de w. 7.. Un depósito tiene la foma de una piámide egula con vétice acia abajo y base supeio oizontal. Dica base es un ectángulo de lados y 4 m. Su altua es de 6 m. Se viete agua dico depósito. Expese el áea de la supeficie del agua en función de la altua. La elación ente ellas es lineal?.10 Poliedos egulaes Son sólidos limitados po polígonos egulaes iguales. Las aistas de los poliedos tienen igual longitud. Existen cinco poliedos egulaes, Nombe Tetaedo Cubo Octaedo Dodecaedo Númeo de caas y sus fomas No. de aistas No. de vétices Áea supeficial Volumen 4 tiángulos equiláteos a² a 6 cuadados 1 8 6a² a 8 tiángulos equiláteos a² a 1 pentágonos egulaes a² 7.661a

51 Icosaedo 0 tiángulos equiláteos a².1817a Tetaedo (a es la longitud de su aista) Limitado po tiángulos equiláteos Cubo Limitado po cuato cuadados (ealice la Simulación cubo) Octaedo

52 Limitado po oco tiángulos equiláteos Dodecaedo Limitado po doce pentágonos

53 Icosaedo Limitado po veinte tiángulos equiláteos Poblemas popuestos 1. Dibuje un tetaedo y un octaedo.. Constuya físicamente un octaedo.. Detemine el áea supeficial y el volumen de icosaedo si se sabe que cada uno de los tiángulos equiláteos que confoman tiene una supeficie con áea de 8.56 cm². 4. El volumen de un octaedo es de 1.45 pg. Cuál es su áea supeficial? 5. Detemine las aistas de un tetaedo, un cubo, un dodecaedo y un icosaedo que tengan la misma áea supeficial de cm². Quién tiene el mayo volumen? 6. Si v es el númeo de vétices del poliedo, c es el númeo de caas, y a el númeo de aistas, usando datos de la tabla anteio, compuebe el teoema de Eule paa poliedos v + c a =. 7. Dento de un cubo dibuje un tetaedo de modo que sus aistas sean las diagonales de las caas del cubo (es posible dibuja dos difeentes) Use este dibujo paa expesa el volumen del tetaedo en téminos de su aista. 8. Dento de un cubo dibuje un octaedo de modo que sus vétices estén en el cento de las

54 caas del cubo. Use este dibujo paa expesa el volumen del octaedo en téminos de su aista. (Antes esuelva el poblema 7, el octaedo es la intesección de los dos tetaedos mencionados en dico poblema).11 Sólidos inclinados Se llaman así a los sólidos cuyas aistas, y/o geneatices, y/o ejes, no son pependiculaes a sus base. G G Cono cicula Paalelepípedo Cilindo cicula inclinado inclinado inclinado La distancia ente base y vétice o ente las dos bases se llama altua. Volumen del cilindo inclinado. Imagine la siguiente situación de dos conos ciculaes uno ecto y oto inclinado cualquiea, peo con el mismo adio y la misma altua. Tienen dicos conos el mismo volumen? Compaemos el volumen del cilindo ecto de línea punteada (con adio y altua ) con el coespondiente del cilindo inclinado (con el mismo adio y con la misma altua). Intuitivamente vemos que el volumen del sólido dento del cilindo ecto y fuea del cilindo inclinado (izquieda) es igual al volumen del sólido fuea del cilindo ecto y dento del cilindo inclinado (deeca). De esto se sigue que ambos deben de tene el

55 mismo volumen. Y como la misma obsevación se puede ace paa cualquie cilindo inclinado siempe que tenga la misma altua y adio. Entonces, el volumen del cono cicula inclinado es también: áea de la base po la altua, no impotando su gado de inclinación. π V = V (, ) = Volumen del cono inclinado. Imaginando el cono cicula inclinado como fomado po discos cilíndicos inclinados bien delgados, especialmente en el vétice (aga los dibujos). Po lo que vimos aiba sobe la igualdad de volúmenes de cilindos inclinados y uno ecto, todos con el mismo adio y altua, se sigue y concluye, que el volumen del cono cicula inclinado de adio y altua es igual al volumen de un cono ecto cicula con el mismo adio y la misma altua. (Notemos también existen otos conos con difeente adio y altua que tienen el mismo volumen). Entonces sin impota su inclinación su volumen está dado po, 1 π V = (, ) = Paa convencese de lo establecido sugeimos al lecto ealiza los dibujos mencionados. En geneal, los pocesos anteioes se puede utiliza paa infei que el volumen de un pisma (sólido con secciones tansvesales iguales), cuyas aistas no son pependiculaes a la base es igual al áea de la base po la distancia ente sus bases, y que el volumen de una piámide inclinada es igual a un tecio de la base po la altua. Poblemas popuestos 1. Constuya físicamente un paalelepípedo inclinado. Qué foma debe tene la supeficie lateal si se distendiea sobe el plano?. La supeficie lateal de un cilindo ecto cicula es un ectángulo. Qué foma debe tene la pate lateal de un cilindo inclinado cicula? Invente un pocedimiento paa deteminalo.. Detemine las dimensiones de un cono cicula inclinado a 45, que tenga un volumen de π u. 4. El depósito cuyo dibujo se muesta abajo está constuido con tubos cilíndicos inclinados. Dico depósito se va llenado lentamente con agua. (a) Las áeas de las supeficies del nivel de agua son ciculaes?, (b) Esboce la gáfica cualitativa del áea de su supeficie del agua conta la altua de dica supeficie.

56 Ente todos los cilindos (inclinados o no) con la misma altua y volumen detemine el que tiene la meno áea supeficial. 6. Considee todos los cilindos ciculaes, inclinados o no, de volumen 0π pg y adio. pg. Cuál es el intevalo de vaiación de su geneatiz?, cuál es el intevalo de vaiación de su áea supeficial?.1 Secto esféico. Es el sólido que se genea al ota un secto cicula, de adio R y fleca, media vuelta, tomando la bisectiz del ángulo cental como eje de otación. R R a a Áea supeficial. La egión que limita al secto esféico está constituida po una pate esféica y ota cónica. Se puede demosta que el áea de la egión esféica es popocional a la longitud de la fleca,. Podemos obtene el áea de dica egión con egla de tes, sabiendo que es a

57 R, el áea esféica es igual al áea de la esfea de adio R. Así. R π R A esf De donde obtenemos, A = π R esf Usando la elación del áea lateal del cono, tenemos que el áea de la pate cónica es, A = π Ra cono Po tanto el áea supeficial del secto esféico está dada po, A = A( R,, a) = π R( + a) Se puede deduci que a = R. Despejando a de esta ecuación y sustituyendo en la ecuación anteio obtenemos el áea supeficial de secto esféico en función de solamente R y, ( ) A = A( R, ) = π R R + ( R ) Volumen. Se puede deduci que el volumen del secto esféico es popocional a la longitud de la fleca. Si = R, el volumen del secto esféico coespondiente al volumen de una esfea de adio R. Así que podemos plantea la egla de tes, R (4 ) π R V.1 Casquete esféico (, ) π V = V R = R Es el sólido que se genea al ota un segmento cicula (con fleca mayo o meno que su adio), media vuelta alededo de su fleca tomada como eje de otación.

58 R R a a Áea supeficial. Su supeficie está dada po una pate esféica y un cículo. Po tanto, su áea supeficial está dada po la expesión A = A( R,, a) = π R + π a Usando la elación, obtenemos, a = R, despejando R y sustituyendo en la ecuación anteio A = A a = π + a (, ) ( ) Despejando a de a = R, sustituyendo y simplificando obtenemos, A = A( R, ) = π (4 R ) Volumen. Su volumen se puede obtene patiendo de la elación. V = Volumen de un secto esféico Volumen de un cono Po lo que, 1 V = V R a = π R π a R (,, ) ( ) Usando la elación a = R, y simplificando podemos obtene las elaciones, π V = V ( R, ) = ( R )

59 π V = V (, a) = a 6 ( ).15.1 El casquete de mayo volumen. Investiguemos el siguiente poblema. Pongamos atención en la metodología y azonamientos empleados, a estas altuas, todo ello nos debe se bastante familia. Poblema. Existe una infinidad de casquetes con una misma áea esféica de π m, y en geneal, con difeente volumen. En dica familia infinita de casquetes existe un único que enciea mayo volumen. Nos inteesa detemina las dimensiones de este único casquete. Iniciemos ealizando una investigación cualitativa paa imagina la existencia de dica familia de casquetes y paa pecibi la existencia en ellos del casquete que enciea mayo volumen. Si tomamos un casquete de π m de áea esféica sobe una esfea con adio infinito entonces dico casquete es plano, su fleca es ceo, el casquete se degenea en un cículo de adio 1 m, este no enciea ningún volumen, es deci, su volumen es ceo. Si tomamos un casquete de π m de áea esféica sobe una esfea de adio gande, entonces dico casquete es casi plano, su fleca es muy pequeña compaado con el adio de la esfea, este casquete enciea un volumen muy pequeño. Imagine y aga dibujos. Si tomamos un casquete de π m de áea esféica sobe una esfea de adio elativamente no gande, entonces dico casquete ya no es tan plano, su fleca ya no es pequeña, y nos imaginamos que enciea más volumen que el anteio. Imagine y aga dibujos. Podemos imagina toma un casquete π m de áea esféica sobe una esfea donde su diámeto es solo un poco mayo que la fleca. Este casquete tendá mayo volumen que el anteio? Aquí no tenemos agumentos cualitativos paa esponde con cieta seguidad. Haga dibujos. Podemos imagina degenea el casquete de π m de áea esféica en una esfea cuyo diámeto sea igual a la fleca, aquí el casquete se degenea en el caso extemo de una esfea con áea supeficial de π m, es deci, el casquete enciea el volumen de la esfea cuya áea es π m. Po lo que su volumen es /6 m. Compuébelo! Seá este casquete degeneado en una esfea con volumen /6 m el que enciea mayo volumen? Ota vez no tenemos agumentos intuitivos paa esponde. Lo anteio nos pemite pecibi la existencia de una familia infinita de casquetes con una misma áea esféica de π m y difeente volumen. Esto nos lleva a pensa que ente todos ellos debe existi un único que enciea mayo volumen. Aoa, consideemos, a la familia infinita de dicos casquetes como geneada al ace vaia continuamente el volumen de un casquete manteniendo constante su áea esféica en π m. El poblema es aoa detemina sus dimensiones paa los cuales se obtiene el mayo

60 volumen. Esta taducción es necesaia acela, pues debemos investiga el poblema en téminos de magnitudes vaiables y elaciones ente ellas. Al ace vaia el volumen del casquete manteniendo constante su áea esféica; identifiquemos, explicitemos y denotemos las magnitudes constante y vaiables elevantes a usa. Su áea esféica es constante, π m. Las magnitudes vaiables son: Su volumen, V; su fleca, ; y su adio esféico, R. Apoyándonos en las discusiones anteioes y usando epesentaciones analíticas, deteminemos los intevalos físicos de vaiación de las vaiables, Paa V, 0 V V. max Cómo detemina el intevalo de vaiación paa? Veamos, sabemos que en todo casquete, 0 R. Aoa como A = π = π R, (áea esféica del casquete) entonces, R = π π = 1. Así que, 0 1. Po lo que, = 1, de donde = 1. Po lo tanto, 0 1. = 1, que implica Paa R, consideando R = 1, y como 0 1, entonces debe se cieto que, 1 R. Aoa veamos que V se puede descibi como función de. Apoyémonos en las discusiones cualitativas, imaginémonos. Vaya aciendo dibujos. Incementemos continuamente desde 0 asta 1. Si = 0 entonces V = 0. Si incementamos ceca de ceo entonces V se incementaá. Qué pasa con V cuando incementamos tomando valoes cecanos a 1?, V también se incementaá, o dececeá?, Cuándo = 1, V alcanza su valo máximo en /6? No podemos esponde con seguidad. Aunque no podemos esponde con seguidad las últimas peguntas, todo lo anteio nos pemite pecibi que V se puede pecibi como una función de, V es función de, V = V ( ). Imaginamos su compotamiento como se pesenta en las gáficas. Ellas son posibles vaiaciones que nos imaginamos. En algún valo en 0 1, V alcanza un valo máximo.

61 /6 =() 0 1 Paa pode avanza en la investigación del poblema, pasemos a investigalo analíticamente. Se tata de constui el modelo analítico funcional, V = V ( ), paa luego estudiala. Patamos de la elación geneal del volumen de un casquete, π V = ( R ) Usemos la condición de que su áea esféica es π, π = π R Despejando R de la condición, sustituyendo en la elación del volumen y después de simplifica obtenemos, Su gáfica con el Matlab es, π π V ( ) = 0 1

62 0.8 Máximo de V = V() vol. máximo Compaemos esta gáfica con las que constuimos cualitativamente. Vemos que ella se paece con una de las intuidas cualitativamente. Paa pecisa mejo el valo máximo, veamos un acecamiento de la gafica paa

63 0.741 Máximo de V = V() Vemos que el valo máximo de V es apoximadamente 0.74 m, y se alcanza cuando es apoximadamente 0.71 m. Esto quiee deci que cuando la fleca toma el valo de 0.71 m apoximadamente, el casquete alcanza su volumen máximo, siendo este valo de 0.74 m. Finalmente. Regesando al enunciado oiginal del poblema, toda la investigación ealizada nos pemite conclui; ente todos los casquetes de áea esféica π m, el que cube mayo volumen es el que tiene una fleca de 0.71 m apoximadamente. Siendo dico volumen máximo de 0.74 m. Dejamos al lecto el cálculo de su adio coespondiente. En cálculo de una y vaias vaiables tendá la opotunidad de investiga poblemas de máximos y mínimos, llamados poblemas de optimización, geométicos y en otos contextos, más geneales e impotantes..14 Zona esféica Es el sólido que se genea al ota, media vuelta alededo de su eje de simetía, una fanja cicula.

64 b b R a a R Áea supeficial. La supeficie que lo limita está constituida po una supeficie esféica y dos cículos. El áea de la supeficie esféica se puede calcula estando al áea de una esfea, el áea esféica de dos casquetes. Po tanto, se puede deduci que el áea supeficial está dada po la elación, A = A R a b = π R + a + b (,,, ) ( ) Volumen. Se puede calcula estando al volumen de una esfea el volumen de dos casquetes. Está dada po, 1 V = V (, a, b) = π ( a + b + ) 6.15 Too Sólido geneado al ota un cículo alededo de una ecta fija contenida en el mismo plano del cículo y fuea del mismo. Imagine el tubo inflado que usan algunas llantas de automóviles o bicicletas.

65 R R Out[]= Las elaciones paa calcula su áea supeficial y volumen se pueden deduci con cálculo integal. Ellas están dadas po Áea supeficial π A = A( R, ) = 4 R Volumen V = V ( R, ) = π R Poblemas popuestos 1. Dibuje en pespectiva un secto esféico.. Si = R. A qué se educe el casquete esféico?, a qué se educe la fómula de su volumen?

66 . Si = R. A qué se educe el secto esféico?, a qué se educe la fómula de su volumen? 4. Dibuje, (a) un too en pespectiva y (b) una zona esféica en pespectiva. 5. (a) Calcule el volumen y el áea supeficial del tubo cicula inflado utilizado en la llanta de una bicicleta, si el diámeto del tubo es de /4 de pg y su adio inteio es de 1 pg, (b) Apoxime el volumen de dico tubo consideándolo apoximadamente como un cilindo ecto, y (c) detemine el eo cometido en su apoximación. 6. Poponga las dimensiones de una zona esféica que tenga un áea de π m. 7. Poponga las dimensiones de una zona esféica que tenga un volumen de π 6 cm. 8. Detemine R y en too si su áea es de 4π y su volumen es de 4π. 9. El casquete de una esfea de adio R tiene una fleca y un cículo base de adio a. Deduzca que, a = R 10. Una zona esféica de una esfea de adio R tiene cículos a y b, y fleca. Deduzca que, ( ) ( 4 ) R = a + a + b 11. Deduzca la fómula paa calcula el áea de la pate esféica y el áea supeficial de una zona esféica. 1. Deduzca la fómula paa calcula el volumen de una zona esféica.