PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (1)

Transcripción

1 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN (1) Sugeencia paa el pofeso Hace énfasis ante los estudiantes aceca de la siguiente impotante aplicación del Cálculo Difeencial, pues la esolución de polemas de optimización es una de las fomas en que más se utiliza el Cálculo en otas áeas del conocimiento. Lo que haemos ahoa constituye una de las pincipales aplicaciones del Cálculo Difeencial, utilizado en muy divesas áeas del conocimiento. Con fecuencia en los pocesos industiales, científicos y tecnológicos se usca optimiza las condiciones en que se llevan a cao, así como los esultados que se otienen. Po ejemplo, se petende envasa el mayo volumen de un poducto empleando la meno cantidad posile de mateial, otene el mejo efecto de un medicamento con la meno dosis administada, enconta el númeo de atículos que deen vendese paa otene la máxima ganancia, etc. Eso es optimiza un poceso y el Cálculo es una heamienta muy útil paa logalo. P R O C E D I M I E N T O Paa esolve un polema de optimización, ásicamente se dee pocede de esta manea: 1. A pati del enunciado del polema, otene la función que queemos optimiza, de modo que dependa de una sola vaiale.. Aplica uno de los citeios paa enconta los valoes extemos de una función.. Intepeta los esultados con ase en la natualeza del polema planteado. Unidad 4 Compotamiento Gáfico y Polemas de Optimización 4-8

2 Sugeencia paa el pofeso Empeza planteando cuato polemas que se esolveán contando con la ayuda de peguntas y afimaciones incompletas que se deeán completa. Ejemplo 1 Polema del ectángulo inscito Qué dimensiones dee tene un ectángulo inscito en una cicunfeencia de 5 cm de adio, paa que su áea sea la máxima posile? Hace algunas pecisiones: 1. En una cicunfeencia de 5 cm de adio pueden insciise una infinidad de ectángulos difeentes.. El áea de un ectángulo se calcula A h. Según la posición en que se uica el ectángulo inscito, vaían sus dimensiones ase y altua y po lo tanto vaía su áea. h h h h 4. En todos los casos: a) La diagonal del ectángulo mide 10 cm, que es el diámeto de la cicunfeencia. Unidad 4 Compotamiento Gáfico y Polemas de Optimización 4-9

3 ) Po el teoema de Pitágoas: h + 10 ; de donde: h Ejecicio Completa la siguiente tala paa veifica que en efecto, difeentes valoes de y h poducen ectángulos inscitos de áeas difeentes. en cm h 0 10 en cm A h en cm Po qué 0 10? Osevando los valoes de la tala anteio, no es difícil conclui que si toma valoes ente 6 y 8 cm, el áea alcanza los valoes más altos. Podíamos tata de afina cada vez más la apoximación al valo máximo del áea, vaiando los valoes de de 0.1 en 0.1 en el intevalo [6,8], localiza un nuevo intevalo donde quede atapado el máximo y segui mejoando la apoximación. Sin emago, ahoa se tienen conocimientos de Cálculo suficientes paa esolve el polema con toda pecisión. Otengamos una expesión que nos dé el áea del ectángulo inscito, como función de la ase y la altua: Unidad 4 Compotamiento Gáfico y Polemas de Optimización 4-0

4 A h, peo encontamos que la altua del ectángulo depende de la ase y del diámeto de la cicunfeencia: h con lo que: A( ) pocedimientos que conocemos paa calcula máximos y mínimos. 100, función a la que podemos aplicale uno de los Sugeencia paa el pofeso Hace las opeaciones necesaias paa que el alumno siga el desaollo muy de ceca. da ( )( ) ( ) d finalmente: A'( ). A ()0;. 0 1 ; de donde 100 0, 100, 50, Usando el citeio de la segunda deivada: 1 4 ( )( )( ) 4. A''( ) (100 1 ) ( ) ( ) 00 ( ( ) ( ) 150) Unidad 4 Compotamiento Gáfico y Polemas de Optimización 4-1

5 5. A ''( 50) 50 (50 150) - 4 < 0 ( ) A() tiene un máximo en 50, es deci, el ectángulo de áea máxima mide 50 cm de ase. Su altua es h , se tata de un cuadado! 6. El áea máxima es A h cm. La gáfica de la función A( ) 100 es la siguiente: Sugeencia paa el pofeso Es el momento de compaa la utilidad de cada uno de los pocedimientos apendidos paa enconta valoes extemos, veamos qué haíamos tenido que hace, si a pati del paso númeo 4 aplicamos el citeio de la pimea deivada. 4. El valo 50 Pasos 5 y 6. divide al eje X en dos intevalos: (, 50) y (, ) Intevalo (, 50) ( 50, ) Valo de 7 8 Valo de A () Signo de A () Unidad 4 Compotamiento Gáfico y Polemas de Optimización 4 -

6 7. A() tiene un máximo en 50, etcétea, el esto del pocedimiento es el mismo. Como ea de espease, se otiene el mismo esultado con cualquiea de los citeios, al estudiante le coespondeá decidi cuándo usa uno y cuándo el oto. Tal vez le paezca que en el caso que acaamos de analiza, otene la segunda deivada esultó un poco complicado y es pefeile el citeio de la pimea deivada. Ejemplo Polema de los númeos Enconta dos númeos eales que sumen 0 y su poducto sea máximo. Da unos segundos paa que los alumnos esuelvan el polema po tanteo. Ahoa hagámoslo fomalmente, paa pactica la utina con un caso sencillo. Llamemos x a uno de los númeos, el oto se podá expesa como y 0 - x Repesentemos el poducto como P x y, peo sólo podemos taaja funciones que dependen de una vaiale, po lo que sustituimos y y tenemos P(x) x (0 - x) 0x x Aplicando el citeio de la segunda deivada: 1. P (x) 0 x;. 0 x 0;. x P (x) - < 0 P(x) tiene un máximo asoluto. 5. P (10) - < 0; 6. Los númeos uscados son x 10 y y 10 Ejemplo Polema de la caja Se necesita constui una caja sin tapa, a pati de una lámina ectangula que mide 1 cm de lago y 16 cm de ancho. Se dee constui la caja cotando cuadados iguales en las 4 esquinas de la lámina, dolando hacia aia los lados y soldando. Enconta la medida del lado de los cuadados que deen cotase, paa otene la caja de volumen máximo. Unidad 4 Compotamiento Gáfico y Polemas de Optimización 4 -

7 Llamemos x al lado de los cuadados. 16 cm El volumen de la caja esultante se otiene V (A ase )(altua) 1 cm La ase seá un ectángulo que mediá de lago 1 x, po qué? El ancho de la ase de la caja seá 16 x. Po lo tanto el áea de la ase A (1 x)(16 x). La altua de la caja seá x cm. Ahoa podemos expesa su volumen V(x) (1 x) (16 x) x; V(x) 4x 74x + 6x Aplicando el citeio de la segunda deivada: 1. V (x) 1 x 148x x 148x x 7x ; 7 ± x ( 7) () 4()(84) 7 ± 61 7 ± x 1 9., x. Dadas las condiciones del polema, desechamos x 1 4. V (x) 4x V () 4() < 0. V máx (1 ())(16 ())() 450 cm Ejemplo 4 Polema de la lata Un faicante de aceite paa moto desea constui latas cilíndicas con capacidad de un lito, qué altua y qué adio deen tene las latas paa que el mateial con que se constuyan sea mínimo? Unidad 4 Compotamiento Gáfico y Polemas de Optimización 4-4

8 h El volumen de la lata se otiene V A h V π h 1000 cm, po qué? El áea de la lata, que deemos optimiza es A T A L + A ; donde A L es el áea lateal del cilindo, que se calcula A L π h. A T π h + π Función que depende de dos vaiales: y h, peo del volumen podemos 1000 despeja h: h, de manea que sustituyéndola tenemos π 1000 A( ) π + π, que al simplifica se educe a 000 π A( ) + π ; 1. A () π - + 4π ; π 0 ; π π π 4. A () 4000 π π + 4π 5. A (5.4196) > 0; A() tiene un mínimo asoluto. 6. La lata de un lito que equiee la mínima cantidad de mateial, es un 1000 cilindo de adio y h π V máx 1000 cm, A min π (5.4196) (10.885) + π (5.4196) cm Unidad 4 Compotamiento Gáfico y Polemas de Optimización 4-5

9 Ejecicio Resolve los siguientes polemas de optimización. 1. Enconta dos númeos eales cuya difeencia sea 10 y su poducto sea mínimo.. Otene dos númeos eales positivos, que sumen 50 y su poducto sea máximo.. Enconta dos númeos positivos cuyo poducto sea 100 y que su suma sea mínima. 4. Cuáles son las dimensiones del ectángulo de áea máxima, cuyo peímeto es 400 m? Enconta tamién el áea máxima. 5. A pati de una hoja cuadada de catón, que mide 0 cm po lado, dee constuise una caja, sin tapa, cotando cuadados iguales en las esquinas y dolando los lados. De qué dimensiones deen se los cuadados que se coten, paa que el volumen de la caja sea máximo? Enconta tamién ese volumen. Unidad 4 Compotamiento Gáfico y Polemas de Optimización 4-6