Semana 6. Razones trigonométricas. Semana Ángulos: Grados 7 y radianes. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es...

Transcripción

1 Semana Ángulos: Gados 7 adianes Razones tigonométicas Semana 6 Empecemos! Continuamos en el estudio de la tigonometía. Esta semana nos dedicaemos a conoce halla las azones tigonométicas: seno, coseno tangente, así como sus invesas. Ente las aplicaciones de la tigonometía a los tiángulos se tiene que pueden se útiles en la navegación, agimensua, astonomía, aquitectua (sobe todo cuando se deben medi altuas o hace diseños en planos), ente otas. Ponle mucha atención a esta sesión paa que puedas avanza satisfactoiamente. La tigonometía estudia las elaciones eistentes ente los lados ángulos de un tiángulo. Qué sabes de...? Revisa lo tabajado en la semana anteio (ángulos en posición estánda ángulos cuadangulaes), además del teoema de Pitágoas, paa que puedas establece coneiones ente los conceptos matemáticos. El eto es... A los obeos de mi edificio les encantan las matemáticas, de hecho, cuando tabajan las aplican. Esta mañana el seño Joge le popuso a su compañeo de tabajo, Neptilio, lo siguiente: se necesita paa epaa la lámpaa que está en la paed, una escalea de 6m de longitud que su etemo infeio esté a 1,m de la paed. Detemina a qué altua está la lámpaa de la paed cuál es el ángulo de inclinación de la escalea en elación con el piso. No vaas a utiliza instumentos de medidas! Auda a Neptilio a enconta la solución. Sugeencia: has un gáfico de la situación. 20

2 Semana 7 Razones tigonométicas Es mu pobable que le des espuesta a una de las peguntas planteadas poque a has tenido la opotunidad de ealiza poblemas similaes; a la ota le daás espuesta a medida que avances con la lectua del mateial. Vamos al gano Razones tigonométicas de un ángulo Paa defini las funciones tigonométicas de un ángulo, pimeo se coloca éste en posición estánda después se selecciona un punto P(,) sobe el lado teminal de α, denotamos la distancia OP como (ve figua 18). Obseva además que si se taza una pependicula al punto P, se foma un tiángulo. Qué tipo de tiángulo es? P(,) Vétice 0 α Lado inicial Lado teminal Figua 18 Figua 19 Hipotenusa 90º α Cateto adacente Cateto opuesto Obseva en la figua 19, que el ángulo agudo α está fomado po un cateto la hipotenusa. El cateto que foma al ángulo α, junto a la hipotenusa se llama cateto adacente el cateto estante es el cateto opuesto a dicho ángulo α. Como a sabes, una función es una elación diecta ente cantidades, en este caso, ente los lados del tiángulo. Si tomamos como efeencia el tiángulo ectángulo obtenemos: 204 El coseno de α se define como la azón del cateto adacente sobe la hipotenusa. cos α = El seno de α se define como la azón del cateto opuesto sobe la hipotenusa. sen α = La tangente de α es la azón del cateto opuesto sobe el adacente. tan α =

3 Razones tigonométicas Semana 7 Funciones tigonométicas invesas Pueden obtenese otas azones tigonométicas, con sólo invetise las componentes de las azones mostadas; éstas funciones son ecípocas a las anteioes. La secante de α es la azón de la hipotenusa sobe el cateto adacente. sec α = La cosecante de α es la azón de la hipotenusa sobe el cateto opuesto. csc α = La cotangente de α es la división ente el cateto adacente el opuesto. cot α = Las azones tigonométicas coseno secante del mismo ángulo son invesas ente sí, al igual que el seno la cosecante, la tangente la cotangente. Veamos algunos ejemplos que nos aclaen como utiliza las azones tigonométicas: 1. Detemina las azones tigonométicas de un ángulo en posición nomal, cuo lado teminal está en el segundo cuadante la tan β = - (ve 4 figua 19). cateto opuesto al ángulo β Po lo anteio sabes que tan β = cateto adacente al ángulo β Entonces, el opuesto es el adacente es 4. Como está en el segundo cuadante el signo de cualquie pa odenado seá (-,+), podemos asocia el coseno con la componente el seno con la componente. Así que el cateto opuesto lo ubicamos en el eje positivo el adacente 4 en el eje negativo. Obseva la gáfica que ilusta este ángulo (ve figua 20). (, ) θ Figua 20 20

4 Semana 7 Razones tigonométicas Paa halla todas las azones tigonométicas, necesitas las tes medidas de los lados del tiángulo ectángulo sólo tenemos dos. Cuál nos falta?, qué se te ocue paa halla el tece valo? Eacto! Aplicando Pitágoas, tenemos = = 2 + () 2 = 2 = Ahoa podemos calcula las azones tigonométicas: cos β = = - 0,8 sec β = = - 1,2 sen β = = 0,6 csc β = = - 1, tan β = = - 0,7 cot β = = - 1,... Paa sabe más Retomando el poblema inicial, ilustamos la situación a tavés de un gáfico (ve figua 21). = 6 m =? β Figua 21 = 1, m Como podás obseva en la figua 21 se foma un tiángulo ectángulo. En este poblema se nos pide la altua el ángulo de inclinación. Es mu pobable que haas calculado la altua aplicando el teoema de Pitágoas; qué longitud vas a calcula la de una hipotenusa o un cateto? Sin embago, la altua de la paed puede hallase sin necesidad de aplica Pitágoas, solamente usando azones tigonométicas. Qué azón tigonomética usaías paa halla la altua? Puedes usa senβ o tanβ peo necesitaás el valo del ángulo β. 206

5 Razones tigonométicas Semana 7 Necesaiamente tienes que usa cos β = 0,2 paa despeja el valo de β, debemos elimina el coseno; paa ello podemos usa la función invesa llamada acocoseno la cual podemos escibi como: accos (β); en la calculadoa esta función apaece como cos -1. Al aplica el acocoseno, tenemos = cos -1 (cos β) = cos -1 (0,2) β = cos -1 (0,2) β = 7, Paa obtene el valo de β hacemos uso de la calculadoa. Sigue estos pasos: COS -1 SHIFT COS 0,2 = 7,22... Apaece en la pantalla este valo Finalmente, paa halla la altua usaemos tan 7,º = 1, ( hazlo usando la ota azón tigonomética!). Despejando, tenemos = tan 7,º 1,m =,87 1,m =,8m apo. La invesa del seno β, el acsen (β ) lo puedes halla al pesiona en la calculadoa la tecla sen -1, la invesa de la tangente, es el acotangente (β) la obtienes al pesiona tan -1. De acuedo a los datos del poblema descube cuál azón tigonomética aplica si es necesaio usa el teoema de Pitágoas. Aplica tus sabees 1. En los ejecicios del 1 al 6, usa la figua 22 ABC paa halla las azones tigonométicas. A 12 B β 1 α a) sen β b) tan β c) cos β d) cos α e) sen α f) tan α Figua 22 C - 2. Calcula las funciones tigonométicas de α si cos α = α, está en el II cuadante. 207

6 Semana 7 Razones tigonométicas. Pedo está con un gupo de amigos jugando con el volantín. Si la cueda de éste foma un ángulo de 70 con el piso tiene un lago de 20m (ve figua 2) qué tan alto puede vola su volantín? es posible que el volantín de oto compañeo, con la misma cantidad de cueda que el anteio vuele más alto o más bajo?, de qué depende? Suponemos que los volantines tienen la misma foma que la influencia del viento es igual paa ambos. 20 m A Figua 2 4. Un cable de tensión se adhiee a un poste de 2m de lago, fomando un ángulo de 60º con el suelo. Encuenta la distancia la longitud del cable tenso (Ve figua 24). 2 m 60º Figua 24. En la ampa de la figua 2, la tangente del ángulo de inclinación A es 2/ la altua 2m. Halla la distancia hoizontal la longitud de la ampa (ve Figua 2). 208 A Figua 2

7 Razones tigonométicas Semana 7 Compobemos demostemos que 1. Realiza los poblemas popuestos en la sección anteio foma un pequeño gupo paa pone en común los esultados. Tu facilitado te oientaá en caso de dudas. Enteguen un tabajo po gupo. 2. Tu facilitado los oganizaá paa que cada uno evalué el desempeño (con la guía de coevaluación) de algún compañeo del gupo. Posteiomente deben socializa sus opiniones. Guía de coevaluación Nombe del evaluado: Indicado Regula Bueno Ecelente Realizó los ejecicios popuestos. Disposición al tabajo en equipo. Respetó las decisiones del equipo. Domina las azones tigonométicas. 209