CAPÍTULO 15: TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Transcripción

1 PÍTULO 15: TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Dante Gueeo-handuví Piua, 2015 FULTD DE INGENIERÍ Áea Depatamental de Ingenieía Industial y de Sistemas

2 PÍTULO 15: TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Esta oba está bajo una licencia eative ommons tibución- Noomecial-SinDeivadas 2.5 Peú Repositoio institucional PIRHU Univesidad de Piua 2

3 UNIVERSIDD DE PIUR apítulo 15: GEOMETRÍ FUNDMENTL Y TRIGONOMETRÍ LSES Elaboado po D. Ing. Dante Gueeo Univesidad de Piua. 13 diapositivas

4 PÍTULO 15 TRIGONOMETRÍ TEOREM V-1 1. Un cateto es igual a la hipotenusa po el seno del ángulo opuesto al pimeo. 2. Un cateto es igual a la hipotenusa po el coseno del ángulo compendido ente ambos. 3. Un cateto es igual al oto cateto po la tangente del ángulo opuesto al pimeo. 4. Un cateto es igual al oto cateto po la cotangente del ángulo adyacente al pimeo. DEMOSTRIÓN olocando el tiángulo ectángulo en unos ejes catesianos, se obtiene: b sen a 90º b asen a b sen cos b a cos c D.Ing. Dante Gueeo 1

5 TEOREM V-1 1. Un cateto es igual a la hipotenusa po el seno del ángulo opuesto al pimeo. 2. Un cateto es igual a la hipotenusa po el coseno del ángulo compendido ente ambos. 3. Un cateto es igual al oto cateto po la tangente del ángulo opuesto al pimeo. 4. Un cateto es igual al oto cateto po la cotangente del ángulo adyacente al pimeo. DEMOSTRIÓN b c Dado sen y cos entonces a a sen b / a b tg b c* ( tg) cos c / a c a b eemplazando tg cot b c* (cot ) c Poyección de un Segmento TEOREM V-2 La longitud de la poyección de un segmento sobe una ecta es igual a la longitud del segmento po el coseno del ángulo meno que foman segmento y ecta. DEMOSTRIÓN '' = poyección de = = ( cos x ) ' ' D.Ing. Dante Gueeo 2

6 Poyección de un Segmento TEOREM V-3 La longitud algebaica de la poyección de un vecto sobe un ecta oientada es igual, en valo y signo, al módulo del vecto po el coseno del ángulo que foman la diección positiva de la ecta y la del vecto. DEMOSTRIÓN Un vecto es un segmento con sentido; de foma que un extemo pecede al oto,. se le llama extemo inicial del vecto, y a extemo final del mismo. Módulo es su longitud. ' ' ' ' Poyección de un Segmento La poyección de un vecto es un segmento algebaico ' ' ; de foma que, en la ecta oientada, puede sucede que ' ' sea positivo o negativo, según peceda o siga a en la ecta. ' ' ' ' cuando el vecto y la diección positiva de la ecta foman un ángulo x agudo, la poyección esulta positiva y vale cos x; y cuado x es obtuso, esulta negativa, y vale también cos x, en cuyo caso cos x es negativo, intoduciendo el signo que necesita. D.Ing. Dante Gueeo 3

7 Poyección de un Segmento TEOREM V-4 La longitud algebaica de la poyección de una suma de vaios vectoes sobe una ecta oientada, es igual a la suma de las poyecciones de cada vecto sumando sobe la ecta. F' D F E' D' E ' ' ' Nota: Los teoemas V-3 y V-4 se aplican igual en el espacio. '' F'' '' '' D'' E'' Poyección de un Segmento DEMOSTRIÓN La suma de vaios vectoes es el vecto que se obtiene colocando los sumandos una a continuación del oto, de foma que el oigen de cada uno coincida con el extemo del anteio; y fomando un vecto cuyo oigen sea el oigen del pime sumando y cuyo extemo sea el extemo del último: Poyección de F ' ' F'' '' '' '' D'' E'' F' ' Poyección de F = poyección de + poyección de D + poyección de EF F' D F E' D' E ' ' ' '' F'' '' '' D'' E'' D.Ing. Dante Gueeo 4

8 Áea de la poyección de una Supeficie TEOREM V-5 El áea de la poyección de una figua plana sobe un plano, es igual al áea de la figua po el coseno del ángulo que foman su plano y el de la poyección. '' ' D ' D' ' Áea de la poyección de una Supeficie DEMOSTRIÓN La poyección de una figua sobe un plano está fomada po todos los pies de pependiculaes de los puntos de ella al plano. La poyección del ectángulo D, de supeficie S (que foma pate del tejado de una casa), es el ectángulo D, de supeficie S. S = D * D S = D * D Peo Y Luego O también D = D D = D * cos (x) S = D * D * cos (x) S = S * cos (x) ' D' D ' ' '' Quedando demostado el teoema cuando la figua plana es un ectángulo con uno de sus lados paalelo al plano de poyección. D.Ing. Dante Gueeo 5

9 Áea de la poyección de una Supeficie GENERLIZIÓN Paa genealiza dicho teoema al caso de una figua plana cualquiea, supondemos cubieta dicha figua po n ectángulos iguales a los del caso anteio, de supeficie S 1,S 2...S n. Donde S 1 = S 1 cos (x) S 2 = S 2 cos (x) : S n = S n cos (x) Sumando miembo a miembo y suponiendo que los ectángulos son tan estechos que llenan la figua y su poyección, tendemos: S 1 + S S n = S 1 cos (x) + S 2 cos (x) +. + S n cos (x) S = (S 1 + S S n ) cos (x) S = S cos (x) Áea de la poyección de una Supeficie EJERIIOS 1. Un teeno tiene foma de tiángulo, con hipotenusa 1 y un ángulo agudo. alcula su áea. (R: ½ (1) 2 Sen os ) Áea = ½. = (1) os 1 = (1) Sen Áea = ½ (1) os (1) Sen Áea = ½ (1) 2 os Sen D.Ing. Dante Gueeo 6

10 Áea de la poyección de una Supeficie EJERIIOS 2. La planta de una casa de un piso ocupa 150 m2. uántos metos cuadados de calamina se necesitaá paa techala, si el tejado tiene una inclinación de 30 especto a la hoizontal? (No se tendán en cuenta ni los aleos ni las supeposiciones). (R: m2 ) D S = 150 m 2 D S=? = 30 S = S * cos (x) 150 = S * cos (30 ) ' D '' ' S = 150 (2) / (3) 1/2 = m 2 D' ' D.Ing. Dante Gueeo 7