Trigonometría. Positivo

Transcripción

1 Seminaio Univesitaio de Ingeso 17 Tigonometía La tigonometía es una de las amas de la matemática, cuyo significado etimológico es la medición de los tiángulos. Se deiva del vocablo giego tigōno: "tiángulo" y meton: "medida". La tigonometía estudia las elaciones ente los ángulos y los lados de los tiángulos. Paa esto se vale de las azones tigonométicas, las cuales son utilizadas fecuentemente en cálculos técnicos. Po lo tanto, el objetivo de ésta es establece las elaciones matemáticas ente las medidas de las longitudes de los segmentos que foman los lados de un tiangulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manea que esulte posible calcula los unos mediante los otos. Sistema de medición de ángulos Recodamos algunas cuestiones elacionadas con los signos de los ángulos y las unidades en que se miden los mismos. Signos de los ángulos: Tomaemos como ángulo positivo aquel que se obtiene de hace ota una semiecta en sentido antihoaio. Y como Angulo negativo aquel que se obtiene de hace gia una semiecta en sentido hoaio. Positivo Negativo Sistema de medición de ángulos Analizaemos dos sistemas difeentes que se usan paa expesa la medida de un ángulo. Estos sistemas son el Sistema Sexagesimal y el Sistema Cicula 1. Sistema sexagesimal Este sistema utiliza como unidad de medida de los ángulos, el gado sexagesimal ( o ). La evolución completa coesponde a 6 o. El gado sexagesimal posee submúltiplos (minutos y segundos), los cuales veifican las siguientes equivalencias: 1 o coesponde a 6 1 coesponde a 6 9

2 Seminaio Univesitaio de Ingeso 17. Sistema cicula. Este sistema utiliza como unidad de medida el adian (Rad.). Se define un adian de la siguiente manea: Un ángulo tiene una medida de un adian (1ad) cuando descibe un aco de cicunfeencia cuya longitud es igual al adio de la misma Paa sabe cuantos adianes mide un ángulo deteminado, debemos sabe cuantas veces cabe el adio de la cicunfeencia en el aco de la misma ecoido po dicho ángulo. Podemos comenza con el ángulo llano (18º). Si queemos sabe cuantas veces enta el adio en media cicunfeencia veemos que lo hace veces. De esta manea podemos completa la evolución: Medida del aco descipto Medida del angulo en adianes medida del adio En este caso, la evolución completa coesponde a π Rad. De esta manea podemos establece una equivalencia ente el sistema sexagesimal y el cicula: π adianes equivalen a 18 o Razones tigonométicas El tiángulo ABC es un tiángulo ectángulo en C, lo que usaemos paa defini las azones seno, coseno y tangente, el ángulo α, coespondiente al vétice A, situado en el cento de cicunfeencia. El seno (sen) de un ángulo es la azón ente el cateto opuesto y la hipotenusa. 4

3 Seminaio Univesitaio de Ingeso 17 sen El coseno (cos) de un ángulo es la azón ente el cateto adyacente y la hipotenusa. c cos b La tangente (tg) de un ángulo es la azón ente el cateto opuesto y el cateto adyacente. a tg c La cosecante (cosec) de un ángulo es la azón ecípoca del seno. 1 cos ec sen a b La secante (sec) de un ángulo es la azón ecípoca del coseno. 1 sec cos La cotangente (cotg) de un ángulo es la azón ecípoca de la tangente 1 cot g tg Los signos de las azones tigonométicas en los cuato cuadantes, se esumen en el siguiente cuado: Relaciones ente las funciones tigonométicas Dado los ejes de coodenadas catesianas xy de cento O, y una cicunfeencia genéica (cicunfeencia de adio igual a la unidad) con cento en O; el punto de cote de la cicunfeencia con lado positivo de las x, lo señalamos E. Nótese que el punto A es el vétice del tiángulo y O es el cento de coodenadas del sistema de efeencia: A O La ecta, que pasa po O y foma un ángulo con el eje x, cota a la cicunfeencia en el punto B, la vetical que pasa po E cota la ecta en el punto D. 41

4 Seminaio Univesitaio de Ingeso 17 Po semejanza tiángulos: CB OC ED OE 1 Los puntos E y B están en la cicunfeencia de cento O, po eso las distancias OB y OE son el adio de cicunfeencia, en este caso, al se una cicunfeencia de adio 1, se veifica: CB CB sen OB 1 OC OC cos OB 1 CB DE DE tg OC OE 1 Reemplazando () en (1), tenemos: sen cos tg Consideando el tiángulo ectángulo ABC (según Fig. a), po el teoema de Pitágoas: CB OC OB Reemplazando () en (), y sabiendo que OB adio 1 tenemos: sen cos 1 Lo que llamaemos elación Pitagóica de la tigonometía, que también puede expesase: tg 1sec g ec 1cot cos 4

5 Seminaio Univesitaio de Ingeso 17 Razones tigonométicas de º, 45º, 6º Pueden obtenese fácilmente ealizando algunas consideaciones geométicas: a) M Dibujamos los tiángulos POM y MOQ, esultando: P O Q 6, lo que implica que el tiangulo POQ es equilateo, con: PQ PM MQ PM En estas condiciones obtenemos: sen y 1 tg 1 cotg sec cosec cos x 4

6 Seminaio Univesitaio de Ingeso 17 b) 45 El tiangulo POM es isósceles x y po el teoema de Pitágoas: x y Y siendo x y, eemplazando en la ecuación anteio, tenemos: Resultando: x x se escibe: Paa 1 x y sen45 cosec45 cos sec cotg tg c) 6 44

7 Seminaio Univesitaio de Ingeso 17. Paa obtene los lados OM y PM; compaa con la figua que coesponde a sen6 cosec6 1 cos6 sec6 tg 6 cotg 6 Las deducciones pecedentes pueden esumise en el siguiente cuado: Identidades tigonométicas Una identidad es una igualdad que se cumple paa todos los valoes pemisibles de la vaiable. A continuación, daemos una nómina de identidades (sin demosta) que entendemos esultando de conocimiento ineludible paa un estudiante de ingenieía. tg tg 1 tg tg tg tg 1 tg tg sen sen cos cos sen sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen cos cos cos sen sen tg tg 45

8 Seminaio Univesitaio de Ingeso 17 Resolución de un tiángulo ectángulo Resolve un tiángulo ectángulo es halla uno o más elementos desconocidos a pati de los elementos (lados y ángulos) conocidos. Relación ente los lados. Teoema de Pitágoas El cuadado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadados de los catetos. Relación ente los ángulos Los ángulos de un tiángulo suman 18 : Teoema del seno Los lados de un tiángulo son popocionales a los senos de sus ángulos opuestos Demostación: A B C sen A sen B sen C Paa demostalo aplicamos la estategia de la altua. Tazamos la altua h desde el vétice C. Los tiángulos AHC y BHC son ectángulos. Po tanto: h sen A h b sen A b a b b sen A a senb h sen A sen B senb h a senb a H Esta es la pimea de las igualdades buscadas. Si tazamos la altua desde el vétice B, elacionaíamos los lados a y c con sus ángulos opuestos, obteniendo: A C sen A sen C Se completa, así, la cadena de igualdades que queíamos demosta. 46

9 Seminaio Univesitaio de Ingeso 17 Teoema del coseno El cuadado de un lado es igual a la suma de los cuadados de los otos dos lados menos el doble poducto de dichos dos lados po el coseno del ángulo compendido ente ellos: Demostación: Tazamos la altua h, sobe el lado b: a b c bc cos A b a c ac cos B c b a ba cos C AH cos A AH c cos A c ) AH CH b AH bb c. ccos( cos A A Aplicando el teoema de Pitágoas a los tiángulos AHB y BHC y teniendo en cuenta las desigualdades anteioes, esulta: Restando: Despejando: a h HC h b c cos A h b c cos A bc cos A c h AH h c cos A h c cos A a c b bc cos A a b c bc cos A Defoma análoga se llegaía a las otas dos elaciones. 47