Resolución de triángulos rectángulos

Transcripción

1 Resolución de tiángulos ectángulos Ahoa vamos a aplica las funciones tigonométicas paa esolve tiángulos ectángulos. Resuelve el siguiente tiángulo ectángulo: Ejemplo y 60 Empezamos notando que podemos utiliza la infomación de la tabla de esumen de valoes de las funciones tigonométicas de los ángulos notables (página??). Paa calcula el valo de podemos aplica la función coseno, pues esta función incluye a, x (que es el valo que conocemos) y al ángulo θ = 60 : sec θ = x = x sec θ = ()() = Paa calcula el oto cateto desconocido del tiángulo, tenemos vaios métodos: Pime Método: (Teoema de Pitágoas) y = = = 3 y = 3 Segundo Método: (Aplica sin θ) ( sin θ = y ) y = sin θ = sin(60 3 ) = () = 3 cm El ángulo, es el complemento del ángulo θ = 60, poque los dos ángulos agudos de cualquie tiángulo ectángulo suman 90. Entonces, = 90 θ = = 30. Y teminamos. Resuelve el siguiente tiángulo ectángulo: Ejemplo θ 3 /6

2 Empezamos obsevando que desconocemos la medida de la hipotenusa. Aplicamos el teoema de Pitágoas: = ( 3) + () = + = 6 = Ahoa vamos a calcula cada uno de los ángulos agudos del tiángulo ectángulo. Utilizamos la definición de tangente: tan θ = y x = 3 = 3 Del esumen de los valoes de las funciones tigonométicas (página??) vemos que θ = 30. Entonces, dado que: + θ = 90, se sigue que: Y teminamos. = = 60 Cuando los valoes de las funciones tigonométicas no estén en la tabla de esumen, tendemos que utiliza una calculadoa científica. Recueda antes de hace los cálculos que debes indica en la calculadoa que las medidas de los ángulos que utilizaemos están en gados sexagesimales. Tu pofeso de matemáticas te puede ayuda a configua la calculadoa paa que los cálculos se ealicen en gados sexagesimales y no en adianes. Ejemplo 3 Calcula la longitud de cada uno de los catetos del tiángulo ectángulo siguiente: 3 y 0 x De la figua, sabemos que = 3 cm, y θ = 0. A pati de las definiciones de las funciones tigonométicas sin θ y cos θ podemos calcula los valoes de y y x espectivamente. Paa eso, vamos a sustitui los valoes conocidos y despeja la incógnita en cada caso. Empezamos calculando el valo de x: cos θ = x x = cos θ = 3 cos(0 ).98 Ahoa calculamos el valo de y usando el mismo pocedimiento: sin θ = y y = sin θ = 3 sin(0 ) /6

3 El oto ángulo agudo mide 50, poque los ángulos agudos de un tiángulo ectángulo son complementaios. Y teminamos. Recueda que esolve un tiángulo significa calcula las longitudes de todos sus lados y las medidas de todos sus ángulos. Resuelve el siguiente tiángulo ectángulo a pati de la infomación dada: Ejemplo y 35 x Empezamos calculando el ángulo agudo desconocido. Dado que la suma de los tes ángulos intenos es 80 y uno de ellos es un ángulo ecto, tenemos que la suma del ángulo desconocido más 35 es igual a 90. Entonces, si es la medida del ángulo desconocido tenemos: 35 + = 90 = = 55 Paa calcula las longitudes de los lados aplicamos la definición de las funciones tigonométicas cos θ y sin θ: cos θ = x x = cos θ = cos(35 ) Ahoa calculamos el valo de y usando el mismo pocedimiento: sin θ = y y = sin θ = sin(35 ).93 Y teminamos. Algunas veces no vamos a tene el valo de algún ángulo agudo del tiángulo ectángulo y además, no estaá en la tabla de esumen (página??). En esos casos tendemos que aplica las funciones tigonométicas invesas. Funciones tigonométicas invesas Funciones que calculan el valo de un ángulo a pati del valo de una función tigonomética del mismo ángulo. Definición Las funciones tigonométicas son: Acoseno: acsin y Acocoseno: accos x 3/6

4 Acotangente: actan m Si nosotos conocemos que el seno de 30 = 0.5, cuando aplicamos este valo (0.5) a la función seno inveso nos devuelve 30. Es deci, una función invesa contesta a la pegunta: «Sé que el valo de la función tigonomética f (θ) es u. Cuánto vale el ángulo θ?» Nosotos sustituimos el valo u en la función tigonomética y nos devuelve el valo del ángulo θ. Ejemplo 5 Resuelve el siguiente tiángulo ectángulo: θ En este caso solamente conocemos uno de los ángulos del tiángulo: el ángulo ecto. Podemos empeza calculando la hipotenusa del tiángulo ectángulo aplicando el teoema de Pitágoas: = = ( ) + ( ) ( ( + ) + ) + = 6 = Teniendo las longitudes de los lados del tiángulo, podemos calcula cualquiea de los valoes de las funciones tigonométicas del ángulo θ: sin θ = y = cos θ = x = tan θ = y x = Ahoa, paa calcula el ángulo θ podemos aplica una función tigonomética invesa. Pime Método: (Aplica acsin y) ( ) θ = acsin y = acsin(sin θ) = acsin = 5 Segundo Método: (Aplica accos x) ( ) θ = accos x = accos(cos θ) = accos = 5 /6

5 Tece Método: (Aplica actan m) θ = acsin y = actan(tan θ) = actan ( ) = 5 El oto ángulo agudo del tiángulo ectángulo debe medi: 90 5 = 75. Una intepetación geomética de las funciones sin θ y cos θ que nos seviá paa esolve algunos poblemas es la siguiente. Considea una cicunfeencia unitaia, y en ésta taza un adio, como se muesta en la siguiente figua: sin θ cos θ Obseva que las funciones tigonométicas están epesentadas po segmentos de ecta que esultan de las poyecciones, hoizontal paa el coseno y vetical paa el seno, poque si la hipotenusa del tiángulo ectángulo mide, entonces, sin θ = y = y = y y también, cos θ = x = x = x θ Céditos Todo debe hacese tan simple como sea posible, peo no más. Albet Einstein Este mateial se extajo del libo Matemáticas II escito po Efaín Soto Apolina. La idea es compati estos tucos paa que más gente se enamoe de las matemáticas, de se posible, mucho más que el auto. Auto: Efaín Soto Apolina. Edición: Efaín Soto Apolina. Composición tipogáfica: Efaín Soto Apolina. Diseño de figuas: Efaín Soto Apolina. 5/6

6 Poducto geneal: Efaín Soto Apolina. Año de edición: 00 Año de publicación: Pendiente. Última evisión: 7 de septiembe de 00. Deechos de auto: Todos los deechos esevados a favo de Efaín Soto Apolina. México. 00. Espeo que estos tucos se distibuyan ente pofesoes de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados ente otos pofesoes y sus alumnos. Este mateial es de distibución gatuita. Pofeso, agadezco sus comentaios y sugeencias a la cuenta de coeo electónico: [email protected] 6/6