UNIDAD 4: CIRCUNFERENCIA CIRCULO:

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1 UNIDD 4: CIRCUNFERENCI CIRCULO: CONTENIDO: I. CONCEPTO DE CIRCUNFERENCI: Es una cuva ceada y plana cuyos puntos equidistan de un punto llamado cento. Una cicunfeencia se denota con la expesión: O C, y se lee cicunfeencia de cento O y adio. II. CONCEPTO DE CÍRCULO: es el conjunto de puntos fomado po la unión de una cicunfeencia y su inteio. Un cículo es una egión. III. ELEMENTOS DE L CIRCUNFERENCI: Los más impotantes son: 1. Radio: () es el segmento que une el cento y un punto cualquiea de la cicunfeencia. 2. Cueda: es un segmento cuyos extemos son dos puntos de la cicunfeencia. 3. Diámeto: (d) es una cueda que pasa po el cento de la cicunfeencia. La medida del diámeto es el doble de la medida del adio. La cueda de mayo longitud en una cicunfeencia es el diámeto. 4. co: ( a ) es una poción cualquiea de la cicunfeencia. 5. Sagita o flecha: es el segmento que se levanta pependiculamente po el punto medio de una cueda y temina en un aco subtendido. 6. Semicicunfeencia: es un aco de cicunfeencia cuyos extemos son también los extemos de un diámeto. La cicunfeencia está fomada po dos semicicunfeencias que tienen en común el mismo diámeto. 7. Semicículo: Cada una de las dos mitades del cículo sepaadas po un diámeto. IV. LONGITUD DE L CIRCUNFERENCI: (L) se detemina mediante la expesión: el adio de la cicunfeencia y 3, Paa deduci la expesión L 2 L 2 donde es, se ealizan los siguientes pasos: a) se taza una cicunfeencia con cualquie adio. b) se coloca una cueda sobe la cicunfeencia. C) se mide la longitud de la cueda. d) se divide la medida de la cueda ente el diámeto de la cicunfeencia. 3, l ealiza el mismo pocedimiento con cicunfeencias de difeentes adios se obtiene que la azón ente la longitud de la cicunfeencia y su diámeto es siempe la misma. Este valo constante es el númeo pi caacteizado po se un númeo decimal no peiódico infinito, es deci, un númeo iacional. El númeo pi se simboliza con la leta giega y su valo apoximado es 3, Como la azón L d 2, donde es el adio de la cicunfeencia y se obtiene: L 2 ente la longitud de la cicunfeencia y el diámeto es se escibe: L d. Luego se despeja: L d. Finalmente, se eemplaza d po. Ejemplo: Se quiee coloca una cinta alededo de una supeficie cicula de adio 6 m. Cuántos metos de cinta se L 2 L 2 3, L 37, 68m necesitan? Se halla la longitud de la cicunfeencia de adio. opeaciones indicadas. m, se eemplaza el adio y se ealizan las

2 V. POSICIONES RELTIVS DE UN RECT Y UN CIRCUNFERENCI: Según su posición, una ecta puede se exteio, secante o tangente a una cicunfeencia que se encuente en el mismo plano. 1. Recta Exteio a una cicunfeencia: una ecta es exteio a una cicunfeencia cuando no tiene ningún punto en común, es deci, cuando la ecta y la cicunfeencia no se intesecan. Po ejemplo, en la siguiente figua la ecta l es exteio a la cicunfeencia de cento C. 2. Recta Secante a una cicunfeencia: una ecta es secante a una cicunfeencia cuando la inteseca en dos puntos. De acuedo con esto, toda ecta que contenga una cueda de la cicunfeencia es una ecta secante de dicha cicunfeencia. Po ejemplo, en la siguiente figua, MN es una cueda de la cicunfeencia de cento C y la ecta MN es secante a la cicunfeencia. M N 3. Recta Tangente a una cicunfeencia: una ecta es tangente a una cicunfeencia cuando ente sí tiene un solo punto en común, es deci, cuando la ecta inteseca a la cicunfeencia exactamente en un punto. Po ejemplo, en la siguiente figua la ecta m es tangente a la cicunfeencia de cento C exactamente en el punto. VI. POSICIONES RELTIVS DE UN PUNTO Y UN CIRCUNFERENCI: 1. Si el punto petenece a la cicunfeencia se dice que el punto está en la cicunfeencia. En tal caso: d T, O

3 2. Si el punto petenece al cículo se dice que el punto esta dento de la cicunfeencia. En tal caso: d T, O 3. Si el punto no petenece a la cicunfeencia ni al cículo se dice que el punto se encuenta en la pate extena de la cicunfeencia. En tal caso: d T, O Sobe las posiciones elativas de una cicunfeencia y la ecta se cumplen los siguientes teoemas: Teoema 1: si una ecta es tangente a una cicunfeencia, es pependicula al adio tazado al punto de tangencia. Teoema 2: una ecta en un plano de una cicunfeencia que sea pependicula a un adio en su punto sobe la cicunfeencia, es tangente a la cicunfeencia. Teoema 3: los segmentos tangentes tazados desde un punto exteio a una cicunfeencia son conguentes. Teoema 4: una tangente y una secante paalelas deteminan acos conguentes en una cicunfeencia. VII. CUERDS Y RCOS: Cuando un aco se encuenta en un lado difeente de un ángulo y los demás puntos del aco están en el inteio del ángulo, se denomina un aco inteceptado. Po ejemplo: El aco inteceptado po el es. El aco inteceptado po el es. Y E D Los acos inteceptados po el son y. Y D Los acos inteceptados po el son y.

4 I. NGULOS DE L CIRCUNFERENCI 1. NGULO CENTRL: Es el que su vétice es el cento y sus lados son dos adios. La medida del ángulo cental es igual a la medida del aco que detemina en la cicunfeencia. 2. NGULO INSCRITO: Es el que está fomado po dos cuedas y tiene el vétice en la cicunfeencia. Un ángulo inscito mide la mitad de la medida del aco que intecepta en la cicunfeencia. 3. NGULO SEMI-INSCRITO O DE SEGMENTO: Es el que tiene el vétice en la cicunfeencia y se foma con una cueda y una tangente a la cicunfeencia. 4. NGULO INSCRITO EN UN SEGMENTO: Es el que tiene el vétice en el aco de dicho segmento, pasando sus lados po los extemos del aco. 5. NGULO INTERIOR: Es el que tiene el vétice en el punto inteio de la cicunfeencia difeente del cento. Cuando dos cuedas se intesecan en un punto difeente del cento foman 4 ángulos inteioes. 6. NGULO ETERIOR: Es el que tiene el vétice exteio de la cicunfeencia. Puede fomase po 2 secantes, 2 tangentes o una tangente y una secante a la cicunfeencia.

5 RES FIGURS CIRCULRES 1. Secto cicula: es la intesección de un ángulo cental y el cículo. Áea del secto cicula: donde n es la medida del ángulo cental. 2. Segmento cicula: es la intesección de un cículo con uno de los semiplanos deteminados po una secante al mismo. Áea del segmento cicula = Áea del secto cicula O Áea del tiángulo O O 3. Zona cicula: sección compendida po dos cuedas paalelas. Áea de la zona cicula= a la difeencia de las áeas de los segmentos ciculaes cuyas cuedas son las coespondientes a la zona cicula. 4. Coona cicula: es el complemento del cículo de adio meno especto al cículo de adio mayo en dos cicunfeencias concénticas.

6 5. Tapecio cicula: es la sección de la coona cicula limitada po dos adios de la cicunfeencia mayo en dos cicunfeencias concénticas. tapecio