ÁNGULOS Y LONGITUDES DE ARCO

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1 I.E LEÓN XIII EL PEÑOL MATEMÁTICA GRADO: 0 TALLER Nº: EMETRE I ÁNGULO Y LONGITUDE DE ARCO REEÑA HITÓRICA Un Poblema de Ángulos en la Antigüedad. El matemático giego Eatostenes (apox 76 9 a.c.) midió la cicunfeencia de la tiea a pati de lo siguiente: Noto que cieto día que el sol billaba diectamente hacia el inteio de un pozo pofundo en iena, al mismo tiempo en Alejandía, a 00 millas hacia el note (sobe el mismo meidiano), los ayo del sol billaban haciendo un ángulo de 7 especto al cenit (Alejandía). i bien los datos utilizados po Eatóstenes no ean tan pecisos como se están pesentando, logo con ellos una buena apoximación de lo que en ealidad es la cicunfeencia de la tiea. OBJETIVO GENERAL Adquii destezas en el manejo de ángulos y situaciones poblema elacionadas con ellos. OBJETIVO EPECÍFICO. Maneja el concepto de ángulo.. Identifica las difeentes unidades de medida de un ángulo.. Adquii destezas en la convesión de unidades de medidas de ángulos.. Entende y aplica la elación existente ente la medida de un ángulo cental y la longitud del aco que subtiende. PALABRA CLAVE Ángulo, adian, gados, longitud de aco, lado de un ángulo, velocidad angula, velocidad lineal. DEARROLLO TEÓRICO Un concepto fundamental paa el estudio de la geometía y de la tigonometía es el ángulo, básicamente se podía deci que esta figua geomética juega un papel deteminante en ambas teoías. A continuación pesentamos algunos conceptos con su espectiva ilustación. Rayo. (semiecta) El la pate de la ecta que inicia en un punto A y se extiende indefinidamente. El punto A es llamado el vétice u oigen del ayo A

2 Ángulo. Es la unión de dos ayos con vétice común, donde uno de los ayos seá llamado la inicial y el oto el lado final. A Ángulo en Posición Nomal. Un ángulo cuyo vétice esta en el oigen del sistema coodenado y su lado inicial coincide con el eje x, es llamado un ángulo en posición Nomal. y Lado Fina Lado Inicial x Nota El ángulo fomado po dos ayos se identifica señalando la diección y cantidad de otación desde el lado inicial hacia el lado final. Cuando este se encuenta en posición Nomal, se podá habla de ángulos positivos y negativos así: Lado Final Lado Final Lado inicial Angulo positivo, se mueve en sentido contaio a las manecillas del eloj Lado inicial Angulo negativo, se mueve en el sentido de las manecillas del eloj Ángulo Cental Un ángulo cuyo vétice esta en el cento de una cicunfeencia y sus lados la cotan es llamado un ángulo cental. UNIDADE ANGULARE La medida de los ángulos se ha deteminado midiendo la cantidad de otación necesaia, en sentido contaio a las manecillas del eloj, paa que el lado inicial coincida con el lado final. Existen básicamente dos unidades de medida paa ángulos utilizadas, los gados y los adianes. Gados on una medida de ángulos que se basa en la división de una cicunfeencia en 60 pates iguales, y estas a su vez en 60 subpates, llamadas minutos, que también son divididas en 60 pates iguales que llamaemos segundos; con base en esta patición se tienen las siguientes equivalencias.

3 60º un gio completo alededo de una cicunfeencia 80º / vuelta alededo de una cicunfeencia 90º / de vuelta º /60 de vuelta Ejemplos. Cuantas vueltas hay en º. Una egla de tes te ayudaá a soluciona el ejecicio. gados vueltas 60 x Luego: x vueltas. 60 Po lo tanto: x vuelta 0. Cuantos gados hay en / de vuelta. Una egla de tes te ayudaá a soluciona el ejecicio. vueltas gados 60 x Luego: 60 x gados. Po lo tanto: x 88gados. Expesa 6.º en téminos de gados, minutos y segundos. El ejecicio se educe a detemina cual es la equivalencia en minutos de 0.º, y si no es exacta, toma los decimales del nuevo valo paa enconta la cantidad de segundos, esto lo puedes ealiza mediante una egla de tes simple, así: gados minutos x Luego: x min min '. Obseve que la comilla denota los minutos y una doble comilla denotaá los segundos. Po lo tanto el ángulo es: x 6º' 0'' Actividad. Utiliza egla de tes paa detemina el númeo de vueltas que hay en: a) b) 8 c) 0 d) 780 e) f) 70 g) 0 h) 0. Utiliza egla de tes paa detemina cuántos gados hay en las siguientes vueltas. a). vueltas b) vueltas 7 c) de vuelta d) de vuelta. Lleve los siguientes ángulos a su foma de gados, minutos y segundos. a).7 b).69 c).68 d).6 Radianes También se puede defini ota unidad angula, el adián, que en las aplicaciones físicas es mucho más páctico y diecto que tabaja con gados. Dada una cicunfeencia de adio y un ángulo cental, se define un adian como la medida del ángulo cuando la longitud del aco que subtiende es igual al adio de la cicunfeencia. En la situación que pesenta la gafica de la izquieda, se tiene que ad, con.

4 Ejemplo Halla la medida en adianes del ángulo dado en la gafica, si se sabe que el adio de la cicunfeencia es. y Como la cicunfeencia adio,, y se sabe que., po lo. tanto, una egla de tes simple seá de ayuda paa enconta el x ángulo. ad x. Luego, al soluciona la egla de tes simple se tiene:. x ad Po lo tanto, el ángulo cental en una cicunfeencia de adio tes que subtiende una longitud de aco de. mide.666 ad. Del ejemplo anteio se puede conclui que: La magnitud de un ángulo medido en adianes está dada po la longitud del aco de cicunfeencia que subtiende, dividido po el valo del adio. Donde: - es la longitud de aco. - es el adio de la cicunfeencia. ; donde - es la medida del ángulo en adianes. Actividad Dada la gafica donde es la longitud del aco subtendido po el ángulo, K es la componente x del punto de intesección de la cicunfeencia con el eje X, encuente la medida de en adianes. Y a) =, K=;? b) =, K=.,? K X c) =, K=6,? d) =0, K=00,? e) =, K=60,?

5 LONGITUD DE ARCO Y AREA DEL ECTOR CIRCULAR Como, se puede obtene a pati de esta ecuación una expesión paa halla la longitud del aco subtendido po el ángulo, la cual está dada po: ; en adianes Ejemplo Detemine la longitud del aco de una cicunfeencia con adio cm, que es subtendido po un ángulo de ad.. En este caso se tiene: cm, ad y sabes que, po lo tanto: ad cm cm Po lo tanto, la longitud del aco subtendido po el ángulo es cm Actividad. En cada una de las siguientes actividades encuente la longitud del aco. a) 0cm ; ad b) 6cm ; ad c) cm ; ad. Encuente el valo del ángulo en adianes, dados el adio y la longitud de aco. a) cm ; cm b) 6mt ; 8mt c) millas ; millas Áea de un ecto Cicula. En un ciculo de adio, el áea A de un secto cicula deteminado po un ángulo cental (en adianes) esta dada po: A A Ejemplo Detemine el áea de un secto cicula deteminado po un ángulo cental ad de un cículo de adio mt.

6 . Es impotante que antes de aplica la expesión paa halla el áea del secto cicula se veifique A que el ángulo este dado en adianes, como sucede en este caso. Una vez veificado se tiene: m RELACION ENTRE GRADO Y RADIANE ( m) Con base en la expesión dada paa longitud de aco, puedes nota que una vuelta completa tiene una longitud de aco de, po lo tanto la medida en adianes de una vuelta completa seá: Esto es, el ángulo en adianes paa una vuelta completa es ad, po lo tanto: GRADO VUELVA RADIANE 60º gio completo alededo de una cicunfeencia ad 80 / vuelta alededo de una cicunfeencia ad e sigue de la tabla anteio que: GRADO RADIANE 60º ad 80 ad La elación anteio te pemitiá pasa con gan facilidad la medida de un ángulo en gados a adianes y cuando la tengas en adianes, pasala a gados. Ejemplos.. Un ángulo mide 60, cual seá su medida en adianes? Una egla de tes seá de utilidad paa soluciona el ejecicio. Gados Radianes x x 60 ad ad 80 Luego 60 equivalen a ad.. Un ángulo mide ad, cual seá su medida en gados? Una egla de tes seá de utilidad paa soluciona el ejecicio. Gados Radianes 80 x 80 x 00 Luego ad equivalen a 00. 6

7 Actividad Utilice las eglas de convesión y detemine las equivalencias de los ángulos notables pesentados en la siguiente tabla. GRADO RADIANE 0 6 GRADO RADIANE 7 6 MOVIMIENTO CIRCULAR abiendo que la velocidad media de un objeto se define como la distancia ecoida dividida ente el tiempo tanscuido, si un objeto se mueve con velocidad constante sobe una cicunfeencia de adio y si es la distancia ecoida en el tiempo t (obseve que es la longitud del aco que ecoe el objeto) entonces se define la velocidad lineal como: Velocidad Lineal: v t Confome el objeto ecoe la cicunfeencia, se genea una velocidad asociada con esta, suponga que es el ángulo cental que genea el desplazamiento del objeto sobe la cicunfeencia en el tiempo t, entonces la velocidad angula del objeto está dada po: Velocidad Angula: t Relación Velocidad Angula Velocidad Lineal: v, donde es el adio de la cicunfeencia. Ejemplo. Detemina la velocidad lineal de un disco del / pm (evoluciones po minuto) en el punto donde la aguja esta a pulgadas del cento del disco.. En este caso se tiene que pul, puedes obseva que a esta distancia del cento se detemina una nueva cicunfeencia. La velocidad angula en este caso esta dada vueltas po, luego: min uto pulg 7

8 vueltas 00 vueltas adianes 00 ad minuto minutos vueltas minutos Luego sustituyendo en la ecuación lineal se tiene que: 00 ad pul pul 00 minutos min pul Esto es, la velocidad lineal está dada po: 00. min EJERCICIO PROPUETO. Detemine la medida en adianes de cada uno de los siguientes ángulos. a) 0 b) -80 c) 6 d) e) -0. Detemine la medida en gados de cada uno de los siguientes ángulos. 7 a) ad b) ad. Un ángulo cental en una cicunfeencia de adio =m esta subtendido po un aco de longitud de 6 m. Detemine la medida del ángulo en gados y adianes.. Detemine la longitud de un aco que subtiende un ángulo cental de y tiene un adio de 0 mt.. Un aco de 00 mt. de longitud subtiende un ángulo cental en un cículo de 0 cm de adio. Detemine la medida del ángulo en gados y adianes.un secto cicula de millas de adio tiene una áea de 88 millas. Detemine el ángulo cental del secto. 7. El minuteo de un eloj tiene 6 pulgadas de lago. En minutos, Qué distancia ecoe la punta del minuteo? 8. Un péndulo oscila un ángulo de 0 cada segundo. i el péndulo tiene 0 pulgadas de lago. Qué distancia ecoes su extemo cada segundo? PEQUEÑO RETO c).ad d) ad e) ad 8 9. El adio de una ueda de automóvil es de pulgadas. i las uedas gian a una azón de evoluciones po segundo, Qué tan ápido se esta moviendo el automóvil? 0. El limpiado del paabisas de un automóvil mide 8 pulgadas de lago. Cuántas pulgadas cube el extemo del limpiado en / de evolución?. En una hoa, el minuteo de un eloj ecoe una cicunfeencia completa, y la manecilla de las hoas de habá movido de la cicunfeencia. A tavés de cuantos adianes se aban movido el minuteo y la manecilla de las hoas desde la :00 p.m. hasta las 6:, de un mismo día?. Utilice la infomación y la figua dada en la eseña históica paa detemina el adio y la cicunfeencia de la tiea.. Un pinto dibuja una secuencia de futas de la siguiente manea: una azul, una vede, una oja, una amailla, una azul, una vede, una oja, una amailla y así sucesivamente. Entonces el colo de la futa en el luga 77 de la secuencia es: a.) Azul b.) Vede c.) Roja d.) Amailla 8