SENO Y COSENO PARA UN ÁNGULO EN EL PLANO CARTESIANO

Transcripción

1 SENO Y COSENO PARA UN ÁNGULO EN EL PLANO CARTESIANO Sugeencias paa quien impate el cuso: Se espea que con la popuesta didáctica pesentada en conjunción con los apendizajes que sobe el estudio de la tigonometía tienen los alumnos, estos logen una compensión aceptable del concepto de función tigonomética, de la popuesta se puede conclui que no basta con escibi definiciones en el pizaón y exhibi algunos ejemplos paa que los conceptos queden asimilado, el pofeso o pofesoa debe planea una estategia de enseñanza y apendizaje que pemita el desaollo de habilidades que gaanticen su compensión y no su sola memoización, lo anteio bajo la pemisa de que la enseñanza de las funciones tigonométicas es poque pemiten esolve poblemas de fenómenos peiódicos. Popósitos: 1. Intoduci los conceptos, tiángulo de efeencia y ángulo de efeencia. 2. Obtene el valo del seno y del coseno paa la medida de un ángulo en el plano catesiano. 3. Amplia el seno y coseno de ángulos agudos a cualquie medida. EL PROBLEMA DE LA PARTÍCULA Una patícula en movimiento sigue en el plano catesiano una tayectoia dada po la ecuación. x + y = Si pate del punto A ( 5,0) en diección contaia a las manecillas del eloj y se detiene en el punto B a una distancia de 3π unidades, cuál es su nueva posición en el plano? Con el popósito que los alumnos epesenten con alguna figua geomética la situación planteada en el poblema pegunta: 1. Qué figua geomética coesponde a la ecuación de la tayectoia que sigue la patícula? Luego pogama las peguntas siguientes: Unidad 3. Funciones Tigonométicas 3-27

2 2. De qué longitud es la cicunfeencia? 3. Cuál es la longitud del aco AB? 4. Cuál es la medida x del ángulo cental que lo subtiende? 5. En qué cuadante estaá el punto B? 6. Cuáles podían se las coodenadas del punto B? Los alumnos popondán espuestas paa la pegunta 6, las cuales quedaán anotadas en el pizaón en espea de conoce cuál es la coecta. Paa encontala, pimeo pocede a extende el concepto de las azones tigonométicas seno y coseno paa ángulos agudos a cualquie ángulo. Paa ello inicia con un ángulo positivo en el plano catesiano que esté en el pime cuadante, coespondiente a ángulos agudos. Figua 1 Concepto clave: 8. Tiángulo y ángulo de efeencia Si en la figua 1 se identifica al punto sobe la cicunfeencia del lado final del ángulo con P ( a, b ) y se taza desde dicho punto una pependicula hasta el eje de abscisas en el punto Q, se fomaá el tiángulo OQP ectángulo llamado tiángulo de efeencia y al ángulo agudo con vétice en el oigen se le conoce como ángulo de efeencia, como se muesta en la figua Unidad 3. Funciones Tigonométicas

3 Figua 2 De la figua 2, pedi las longitudes de los lados del tiángulo de efeencia: OQ =, PQ = y OP = Si en este caso se epesenta con x a la medida del ángulo de efeencia y con la longitud de la hipotenusa, entonces el tiángulo de efeencia es el de la figua 3. Figua 3 Pedi a los alumnos que apliquen las azones tigonométicas seno y coseno al ángulo de efeencia de medida x, paa obtene: b sen x = = odenada del punto P Unidad 3. Funciones Tigonométicas 3-29

4 a cos x = = abscisa del punto P P ( a, b) Paa un ángulo de segundo cuadante, el punto sobe la cicunfeencia seá po lo que cambia la posición del tiángulo y la medida del ángulo de efeencia, tal como apaece en la figua 4. Pegunta: 7. Po qué la medida del ángulo de efeencia es π x? Los alumnos obtendán al aplica las azones tigonométicas seno y coseno b a sen π x = y que cos ( π x) =. al ángulo de efeencia paa obtene que ( ) Figua 4 Quien impate el cuso decidiá si popone valoes paa x con el fin de que los alumnos, con ayuda de la calculadoa veifiquen que sen ( π x) = sen x y que cos ( π x) = cos x, o emitise a la demostación popuesta en la sesión 3.6 del libo popuesto como bibliogafía básica, paa finalmente obtene los esultados mostados a continuación. De la pimea identidad se concluye que: 3-30 Unidad 3. Funciones Tigonométicas

5 b sen x = = odenada del punto P De la segunda identidad se concluye que: a a abscisa del punto P cos x = = = En la figua 5 se muesta el tiángulo y el ángulo de efeencia, cuando el ángulo está en el tece cuadante, paa el cual el punto sobe la cicunfeencia seá P ( a, b) sen x. Como en el caso anteio, pimeo veifica o demosta que ( π ) = sen x y que cos ( x π ) = cos x, paa que con ayuda de estas identidades los alumnos concluyan que también se cumple con lo siguiente: sen x = cos x = odenada del punto P abscisa del punto P Figua 5 Antes de mosta el tiángulo y ángulo de efeencia, cuando el ángulo sea de cuato cuadante, da tiempo a los alumnos paa que ellos lo ealicen, al final debeán tene la situación plasmada en la figua 6. Unidad 3. Funciones Tigonométicas 3-31

6 Figua 6 Con este modelo geomético y la paeja de identidades tigonométicas ( 2 π ) = y ( 2 ) sen x sen x cos π x = cos x, los alumnos debeán obtene exactamente la misma conclusión que en los casos anteioes, con lo cual se estableceá el concepto clave 9. Concepto clave: 9. El valo del seno y del coseno de la medida de un ángulo en el plano catesiano Sin impota en que cuadante se encuente el punto P de la cicunfeencia, se cumple que: sen x = cos x = odenada del punto P abscisa del punto P De esta manea se ha logado amplia el concepto de azón tigonomética de un ángulo agudo a un ángulo cualquiea. Si se desea se puede ejemplifica como enconta el valo de seno y coseno paa la medida x del ángulo cuyo lado final contiene al punto P de coodenadas e inclusive enconta el valo de x Unidad 3. Funciones Tigonométicas

7 Po ejemplo, si el punto P ( 15, 8) petenece al lado final de un ángulo en el plano catesiano, encuenta: a) El valo del seno y del coseno paa la medida x de dicho ángulo. b) La medida x del ángulo, en adianes y en gados. La es =, pegunta po qué? Po el concepto clave 8, se concluye que 8 sen x = y 15 cos x =. Señala que el valo del seno y del coseno, también pueden se negativos, dependiendo del cuadante donde se encuente el ángulo. Paa obtene la medida del ángulo, pegunta en que cuadante está y apoyase de la figua del tiángulo y ángulo de efeencia coespondiente, en este caso de la figua 5. Con seno, sen ( x π ) =, de donde x = sen + π = adianes. Con coseno, cos ( x π ) 15 =, de donde 1 15 x = cos + π = adianes. x π = sen x π = cos y po lo tanto, y po lo tanto, Al pedi que veifiquen con la calculadoa que en efecto 8 15 sen ( ) = y cos ( ) =, tal vez sea necesaio po su impotancia, ecodales que la calculadoa debe esta en modo Rad y explicales cómo hacelo. Si al esultado anteio se le aplica el concepto clave 6 obtendán que la medida en gados del ángulo es de Pedi que veifiquen con su 8 15 calculadoa que en efecto, sen ( ) = y cos ( ) =, indicándoles que la calculadoa debe esta en modo Deg. Unidad 3. Funciones Tigonométicas 3-33

8 Ejecicio 1. Encuenta el valo de seno y coseno paa la medida x del ángulo cuyo lado final contiene al punto P y la medida del ángulo, en adianes y en gados. a) P ( 4,3) b) P ( 7, 24) Ahoa se está en condiciones paa que espondan el poblema inicial, poque de la espuesta a la pegunta 3 que AB = 3π, de la espuesta a la pegunta 4 que 3 π x = y como consecuencia del concepto clave 8, se concluye lo siguiente: 5 Abscisa del punto 3π B = 5 cos = Odenada del punto 3π B = 5 sen = Paa temina la sección, los alumnos debeán poba que en efecto el punto encontado B ( , ) petenece a la cicunfeencia dada en el poblema Unidad 3. Funciones Tigonométicas