Leyes de Kepler. Antes de demostrar las tres leyes de Kepler, haré un análisis matemático de lo que es una elipse.

Transcripción

1 Leyes de Keple. Antes de demosta las tes leyes de Keple, haé un análisis matemático de lo que es una elipse. Una elipse (Fig.) es el luga geomético de un punto que se mueve en un plano de tal manea que la suma de sus distancias a dos puntos jos (llamados focos) de ese plano es siempe una constante, mayo que la distancia ente los dos puntos. Fig. Paa halla la ecuación de este luga geomético pocedo como sigue: Sea la suma de los segmentos P F y P F igual a una constante, más aún: P F+ P F = a, luego de la distancia del punto a los focos se sigue: P F+ P F = a ) q q (x + c) + y + (x c) + y = a ) q (x c) + y = a q (x + c) + y q ) x xc + c + y = 4a 4a (x + c) + y + x + xc + c + y q ) 4xc 4a = 4a (x + c) + y

2 q ) xc + a = a (x + c) + y ) x c + xa c + a 4 = a x + xa c + a c + a y ) a c x + c a a + a y = 0 ) a c x + a y = a c a Po oto lado a > c lo cual implica que a > c y de aquí que a c > 0, del hecho de que cualquie númeo elevado al cuadado es positivo, enombo b = a c, luego: a c x + a y = a c a ) b x + a y = b a ) x a + y b = De manea que la ecuación de la elipse (centada en el oigen) es: x a + y b = De aquí que si x = 0 entonces y = b de tal manea que OA = b También si y = 0 entonces x = a y así OV = a Del hecho que OA = b y de que OF = c además de que b = a c se sigue que a = b + c de donde se sigue que al uni el punto A con el F se tendá que AF = a Una manea altena de de ni a la elipse es a pati de una cónica. Dada una ecta llamada diectiz y un punto jo llamado foco fuea de la diectiz se de ne a una cónica como el luga geomético de tal manea que la azón de la distancia de algún punto en el plano (que contiene al foco y a la diectiz) y el foco ente la distancia que hay del punto a la ecta diectiz es siempe una constante positiva. De la gua, lo anteio se de ne como cónica siempe que: P F P A =

3 Fig. Luego paa obtene la ecuación de esta cónica (cuyo foco está a p unidades del oigen), se sigue: P F P A = ) p (x p) +y x = ) x = x xp + p + y ) x xp + p + y = 0 Esta cónica seá una paábola, una elipse o una hipébola según sea la natualeza del númeo, po ejemplo, la paábola es el luga geomético de tal manea que el segmento del punto al foco sea igual al segmento del punto a la diectiz, de manea que la ecuación anteio seá una paábola siempe que =. Si 6= entonces 6= lo cual implica que 6= 0 de lo cual: x xp + p + y = 0 ) x p x + y = p ) x p x + p ( ) + y = p + p ( ) 3

4 ) x p + y = ( )p +p = p ( ) ( ) ) p x + y p p ( ) = Después si una elipse, y si hipébola. > 0 ) 0 < < seá clao que la ecuación anteio es < 0 ) < se tendá que la ecuación anteio es una Destacando a la elipse (según mi cometido en este beve análisis), la elipse es una cónica cuya excenticidad (el númeo ) es mayo a ceo peo meno a la unidad, o lo que es lo mismo 0 < <. A continuación mostaé que si la cónica es una elipse, entonces = c a Si p x + y p p ( ) = epesenta una elipse, entonces en geneal: a = p ( ) y b = p, po oto lado, al se una elipse se tiene que b = a c y de aquí: c = a b, entonces: c = a b = p ( ) p = p ( ) p ( ) = 4 p ( ) ) c a = ) c a = 4 p ( ) = p ( ) Paa halla la foma pola de una cónica pocedo de la siguiente foma: 4

5 Fig. 3 Una vez más (po se cónica) P O P C = Po oto lado: P C = BD = DO + OB Y al considea que la distancia ente O y D es de c y a P O = se tendá: P C = c + cos Entonces: P O P C = ) c+ cos = ) (c + cos ) = ) c + cos = ) c = cos ) c = ( cos ) 5

6 ) = c cos Si la diectiz estuviee del oto lado, a sabe; el deecho, la ecuación seá: = c + cos Ahoa paa deduci las leyes de Keple me basaé en la siguiente gua, consideando a M como el sol, a m algún oto planeta y F la fueza que se ejece sobe el planeta m. Fig. a Entonces:! =! u! u = cos bi + senbj! u = senbi + cos bj Y así: d u! h = d u! h = i d senbi + cos bj = u! cos bi i d senbj =! u 6

7 Y al tene esta infomación es fácil opea aitméticamente como sigue:! =! u ) d! =! v = d u! + d! u =! u +! u ) d! v = u! + d! u + +!u + d! u =! u +! u +! u +! u! u = " # u! + +!u Po oto lado:! F = F! u + F! u = m! a De donde: " F = m + y F = m # Estas ecuaciones igen el movimiento de m no impotando cual sea la natualeza de F. Si la fueza es cental (esto es que no hay componente pependicula a!, o lo que es lo mismo F = 0) se tiene que (de hecho debe se evidente que en este análisis planetaio la fueza es cental, pues la fueza va en la diección de la línea que une al sol y al planeta):! F = F! u ; siendo! F una fueza cental de atacción cuya magnitud es: F = G Mm, donde G es la constante de gavitación. Entonces: F = m ; = GM 7

8 "! F = F u! = m # u! = m! u ) = Lo cual es lo mismo (opeacionalmente): d d () = Po oto lado F = m + = 0 así que: d d + d = 0 () ) d d + d = 0 () ) d d = 0 ) d = h Donde h es una constante positiva, paa considea el movimiento de m de manea levógia. Sea z =, de donde: d = d z = dz z = dz d z d = dz h z d = h dz d ) d = d () h dz d 8

9 = h d z d = h d z d dd = h d z d (d) = h d z h (d) = h z d z (d) Y así: d = h dz d, d () = h z d z (d), d = h, z = Y al sustitui en d d () = se tiene: h z d z (d) h z 3 = z O lo que es lo mismo: d z (d) + z = h Y al esolve la ecuación difeencial se tiene: z = Asen + B cos + h Luego, se desea que sea mínima cuando = 0 (lo que quiee deci que z seá máxima), esto implica que el planeta m estaá lo más ceca posible a M. dz d j =0 = 0 = [A cos Bsen] =0 = A Entonces A = 0 d z (d) j =0 = [ Asen B cos ] =0 = B Al se B > 0 se tiene Entonces: d z (d) < 0 9

10 z = B cos + h ) = B cos + h ) = Y así = h +B cos h h + B, lo cual es la ecuación de una cónica cuya excenti- cos cidad es = h B, una vez más la ecuación de esta cónica seá una paábola, una elipse o una hipébola según sea h B mayo, meno o igual a Sin embago h B < pues las óbitas que ealizan los planetas al ededo del sol son ceadas, lo cual implica que la cónica debe se una elipse. Es así como se ha demostado la pimea ley de Keple, la cual a ma: Las obitas de los planetas al ededo del sol (con el sol como un foco) son elípticas. Luego:! v =! u +! u ) v = + Así que la enegía cinética de este sistema se puede escibi como: E c = mv = m " + # Paa halla la enegía potencial E p se hace como sigue: dw = F d = d (E p ) ) Z Z d (E p ) = F d = Z m d ) lim! [E p () E p ()] = lim! m ) lim! [E p () E p ()] = lim! m h i 0

11 ) E p () = m Y así la enegía mecánica de este sistema es: E = E c + E p = m " + # m Luego, = se sigue que: = h E = m E = m h h i h 4 h h + B cos o lo que es lo mismo = h + entonces: = 0 ) = 0, así que: d i m m y como d = h se sigue: + cos. Cuando = 0 = mh m Así se tiene el hecho de que: = h (+) y E = mh m Y de ello se sigue que: E = mh = mh m m = mh (+) h m (+) h = m(+) m (+) h = + m(+) h

12 = + m(+) h = m(+)( ) h ) Eh m = ) = Así que = = q + E h m + +E h + cos h h m cos se tansfoma en: Entonces la ecuación q de esta cónica está completamente deteminada po la excenticidad = + E h m, esto es, m descibiá una paábola, una elipse o una hipébola segúnqsea E, sin embago en este sistema m descibe una elipse y de ello se tiene que + E h m <, entonces: + E ) E h m h m < < 0 Y como m ha de se positiva (po se la masa de algún planeta) y del hecho de que cualquie númeo elevado al cuadado es positivo, se sigue que h m es positivo, y así E < 0. El esultado en este sentido es que la enegía mecánica de los planetas obitando al sol tienen enegías negativas, y así las "patículas" que no obitan al ededo del sistema sola sino que salen de él tienen enegías positivas y desciben óbitas hipebólicas. A pati de la infomación hasta aquí mostada, es muy simple deduci la segunda ley de Keple. Si el áea po debajo del adio y po aiba del eje de las cotadas estingida po la cuva descita po m la designo po A entonces su áea in nitesimal debeá se: da = d

13 Y del hecho de que d h = h ) d = se sigue: da = h De donde la velocidad aeola (lo cual es da ) es constante, a sabe: h. O dicho en otos téminos, de da = h se sigue que: A (t ) A (t ) = h (t t ) Lo cual demuesta pecisamente la segunda ley de Keple, la cual a ma: El adio vecto! del sol a un planeta ecoe áeas iguales en intevalos de tiempo iguales. Ahoa, en el caso actual, se sabe que m descibe una elipse, así que podé sin pédida de la genealidad, ja el cento en el oigen (Fig.b) de tal manea que la ecuación que descibe m sea: x a + y b = Fig.b Y po se elipse se sabe que = c a y que c = a b de manea que = a b a, lo cual implica que b = a Po oto lado, la suma de los adios (del mayo y del meno) es una constante, a sabe a, entonces en geneal: 3

14 d = + cos ; donde d es la distancia del foco a la diectiz y < paa tene a la cónica como una elipse. Paa medi la mayo longitud hoizontal de esta elipse se tiene la suma de los adios mayo y meno como sigue: a = (0) + () = d + cos(0) + d + cos() = d + + d De lo anteio se puede obtene un impotante esultado de la elipse. a = d + + d = d + + d + + = ( )d + (+)d = d d+d+ d = d Y del hecho de que b = a o escito como b a = se sigue: a = d = d b a ) d = b a d Y así puedo eescibi a = + cos como = b a + cos (donde se puede ve ahoa que si = 0 se tiene la ecuación pola de una cicunfeencia, donde el foco ahoa es el cento de esta y centada en el oigen, cuando sigue siendo una elipse se tiene que el foco está en el oigen de coodenadas). Del hecho de que = c a o a = c se tiene: d = b a = b c 4

15 ) d = b c Así que la distancia del foco a la diectiz se puede expesa como la azón del cuadado del semi eje meno y la distancia del foco al oigen. Aún más: = d + cos, entonces: = d + cos( ) = d Peo no es ota cosa que el segmento de ecta levantado desde F hasta que la ecta inteseque con un punto en la elipse, (dicho segmento se conoce como semi-latus ectum ). De manea que si se cota a la elipse con una ecta pependicula al eje de abscisas (o paalela a la diectiz) de tal manea que pase po el foco, el segmento de ecta compendido po los puntos donde dicha ecta intesecó a la elipse es d o lo que es lo mismo, b a ( el latus ectum ). Po oto lado note el lecto que del hecho de que = b = a se puede escibi = a( ) + cos b a + cos y de que Retomando paa el caso en el que analizo al planta: = h + cos a = (0) + () = h ) a = h + + h + + h = h ( ) = h a b ) b = h a Ahoa si T es el peiódo de m (que haga una evolución completa a su óbita) entonces como el áea de la elipse es ab se tiene (al hace uso de la segunda ley): 5

16 ab = h T ) T = 4 a b h = 4 a h h a = 4 a3 Lo cual muesta claamente la tecea ley de Keple, la cual a ma: Los cuadados de los peiódos de evolución de los planetas son popocionales a los cubos de su semieje mayo. Finalmente, de manea exacta se tiene que T = 4 GM a3 Y así han quedado demostadas las tes leyes de Keple. mostaé ota manea de demosta la segunda ley de Keple. petendo demosta que! a! b = j! a j! b sen Sin embago Peo pimeo Paa ello demostaé que es cieto que:!a! b = (! a! a )!b! b!a! b Sean! a,! b R 3 tales que! a = ha ; a ; a 3 i y! b = hb ; b ; b 3 i, y así se tiene lo siguiente. Po un lado: 0!a! b bi bj b a a a 3 b b b 3 A = ha b 3 a 3 b ; a b 3 b a 3 ; a b b a i ha b 3 a 3 b ; a b 3 b a 3 ; a b b a i = (a b 3 a 3 b ) + (a b 3 b a 3 ) + (a b b a ) Y po oto: (! a!!b! a ) b!a! b = h(a ) + (a ) + (a 3 ) i h (b ) + (b ) + (b 3 ) i (a b + a b + a 3 b 3 ) 6

17 = (a ) (b ) +(a ) (b ) +(a ) (b 3 ) +(a ) (b ) +(a ) (b ) +(a ) (b 3 ) + (a 3 ) (b ) +(a 3 ) (b ) +(a 3 ) (b 3 ) h (a b + a b ) + (a b + a b ) a 3 b 3 + (a 3 ) (b 3 ) i = (a ) (b ) +(a ) (b ) +(a ) (b 3 ) +(a ) (b ) +(a ) (b ) +(a ) (b 3 ) + (a 3 ) (b ) + (a 3 ) (b ) + (a 3 ) (b 3 ) h(a ) (b ) + a b a b + (a ) (b ) + a b a 3 b 3 + a b a 3 b 3 + (a 3 ) (b 3 ) i h = (a ) (b 3 ) a b a 3 b 3 + (a 3 ) (b ) i h + (a ) (b 3 ) a b a 3 b 3 + (b ) (a 3 ) i + h(a ) (b ) a b a b + (a ) (b ) i = (a b 3 a 3 b ) + (a b 3 b a 3 ) + (a b b a ) De manea que:!a! b = (! a! a )!b! b!a! b Y de lo anteio se sigue que:! a! b = j! a j! b j! a j! b cos = j! a j! b cos = j! a j! b sen De modo que:! a! b = j! a j! b sen Lo cual geométicamente signi ca que! a! b es el áea del paalelogano fomado po los vectoes! a y! b donde es el ángulo fomado ente ellos, de modo que! a! b es el áea del tiángulo deteminado po estos vectoes mediante el ángulo ente ellos. Ahoa, hay que ecoda que el momento angula es:! l =!! p 7

18 Donde!! p es el poducto vectoial del vecto de posición de una patícula cuya posición es! elativo a un oigen elegido y! p su momento. Luego: d! l = d(!! p ) = d!! p +! d! p = d! m d! +! d! p Peo d! m d! = 0 po se vectoes paalelos, así que: d! l =! d! p =!! F Debe nota el lecto que en el análisis planetaio! y! F son paalelos po se! d F una fueza cental, de manea que:! l =!! F = 0 y así el momento angula se conseva, de manea que si el sol está ubicado en el oigen (Fig. c) su momento angula al ededo de O es constante. Po oto lado, al consevase el momento angula se debe segui que!! p es constante entoncences! y! p deben pemaneca en un plano jo, lo que quiee deci que el planeta se mueve en el plano que contiene al sol. Fig. c 8

19 Según la segunda ley de Keple, aplicada a lo in nitamente pequeño se tendá de la gua c que si el planeta pasa de P 0a Q0 (puntos in nitamente cecanos) en un intevalo de tiempo el áea estaá deteminada po la gua Q0OP 0 (un tiángulo in nitesimal) cuya áea de hecho es da0. Sin embago si el planeta se encuenta en P y pasa de ese punto a Q (in nitamente cecano a P ) en un intevalo se sigue que el áea deteminada po los puntos OP Q es da, y po lo tanto se cumple que da0 = da, sin embago esa es la segunda ley de Keple que ahoa petendo demosta de oto modo. Y de la popiedad que ya expliqué del poducto vectoial y el tiángulo que detemian estos vectoes puedo a ma: da = j!! v j =!! p m = m j!! p j ) da = m j!! p j = l m Donde l epesenta la magnitud de!! p, peo ya se sabe que el momento se conseva entonces l es constante, más aún: da = l m Keple. el cual es constante, y así se ha demostado la segunda Ley de Ya po último, po mea cuiosidad se puede nota que (de la pime demostación que hice) da = h d donde = h entonces: da = d =! Y del esultado de esta demostación: da = l m De manea que: l m =! Así que se concluye que: l = m!. 9