Universidad de Antioquia

Transcripción

1 Univesidad de ntioquia Facultad de Ciencias Eactas Natuales Depatamento de Matemáticas Gupo de Semilleos de Matemáticas (Semática) Funciones Tigonométicas Matemáticas peativas Talle 0 La tigonometía es el campo de las matemáticas que tiene como objeto de estudio a los tiángulos la elación ente sus lados los ángulos que estos foman, así como las funciones que sugen de dichas elaciones (funciones tigonométicas). Su oigen etimológico deiva de los vocablos giegos τ ριγωνo (tigōnon) que significa tiángulo µετ ρoν (meton) que significa medida. Figua La histoia de la tigonometía en paticula de las funciones tigonométicas puede abaca un peíodo de alededo de 4000 años. Esta disciplina, como la vemos actualmente, no fue el esultado de sólo un gupo de indivuiduos o una cultua, sino que fue un poceso en el que paticipaon gandes civilizaciones. Cultuas como la egipcia babilonia tuvieon conocimiento pevio sobe teoemas que involucaban popociones que elacionaban las magnitudes de tiángulos ectángulos, peo caecían del concepto de medida de un ángulo. La tablilla babilonia Plimpton (figua ) contiene una columna de númeos que se cee, constitue una de los pimeos egistos sobe funciones tigonométicas. Los astónomos babilonios mantuvieon un egisto de mediciones ealizadas sobe el movimientos de planetas estellas de eclipses, laboes que equeían familiaidad con la medición de distancias angulaes. unque los tabajos de Euclides químides no incluen tigonometía en el sentido esticto de la palaba, contienen poblemas geométicos que son enunciados po medio de lees tigonométicas. Las pimeas tablas tigonométicas fueon apaentemente ecopiladas po Hipaco de Nicea (80-5 a.c.), quien es conocido como el pade de la tigonometía. bjetivo geneal Emplea con habilidad las popiedades básicas de las funciones tigonométicas paa esolve poblemas geométicos que involucan tiángulos ectángulos. bjetivos específicos. Compende los conceptos de ángulo medida de un ángulo.. Relaciona ángulos cuas medidas están dadas en gados adianes.. Estudia la tigonometía del tiángulo ectángulo po medio las azones tigonométicas 4. plica la tigonometía del tiángulo ectángulo paa esolve poblemas geométicos. 5. Usa las popiedades peiódicas paa enconta valoes eactos de las funciones tigonométicas. Univesidad de ntioquia Copight c 0 Gupo de Semilleos de Matemáticas - Semática, Univesidad de ntioquia

2 Copight c 0 Gupo de Semilleos de Matemáticas - Semática, Univesidad de ntioquia. Ángulos Definición. (Ángulo). Un ángulo es la figua geomética fomada po dos semiectas l que tienen un punto etemo en común. Ejemplo... l l Definición. (Posición estánda de un ángulo).. Ejemplo... l.. Medida de ángulos l Los ángulos se pueden medi en gados adianes. l : lado inicial del ángulo l : lado teminal del ángulo : vétice del ángulo Notación: l Vétice coincide con el oigen Lado inicial coincide con el eje Ángulo positivo: Ángulo negativo: Definición. (Gados seagesimales). Un gado ( ) es la medida de un ángulo cuo lado teminal se obtiene al ota el lado inicia/60 de cicunfeencia en sentido contaio a las manecillas del eloj. Un gado se divide en sesenta minutos ( = 60 ) un minuto en sesenta segundos ( = 60 ). β Univesidad de ntioquia γ l l

3 Copight c 0 Gupo de Semilleos de Matemáticas - Semática, Univesidad de ntioquia Ejemplo De acuedo a su medida, los ángulos se pueden clasifica como 60 Univesidad de ntioquia Teminología Definición Ejemplo Ángulo agudo 0 < < 90 = 65 Ángulo obtuso 90 < < 80 = 45 Ángulos complementaios β + β = 90 = 5 β = 65 Ángulos suplementaios β + β = 80 = 5 β = 65 Definición.4 (Radianes). Un ángulo cental es un ángulo cuo vétice está en el cento de una cicunfeencia. Un adián es la medida de un ángulo cental subtendido po un aco de longitud igual a la del adio de la ciunfeencia donde se encuenta inscito. Ejemplo.4.. = adián β β = adianes : lado inicial del ángulo l : lado teminal del ángulo : vétice del ángulo Notación: γ γ = adianes 40 δ 45 δ = 6 adianes

4 4 Copight c 0 Gupo de Semilleos de Matemáticas - Semática, Univesidad de ntioquia bsevación. Paa el caso en que =, la longitud de es está veces en el aco : Ejemplo.5.. Ejemplo.6.. ( ) 0 = 0 80 = = 6 ( ) 45 = = 4 60 = adianes 80 = adianes 80 = adianes = 80 adianes adianes = 80 adian = 80 4 ( ) 60 = = 5 6 = 5 ( ) 80 = 50 6 Univesidad de ntioquia 6 4 = 4 ( ) 80 = 40 = ( ) 80 = 70 Poposición. (Longitud de aco). Si es la medida en adianes de un ángulo cental subtendido po un aco de longitud s de una cicunveencia de adio, entonces s. = s. =. Funciones tigonométicas de ángulos agudos Definición. (Razones tigonométicas). Dado un tiángulo ectángulo que tenga a como uno de sus ángulos agudos, se definen las funciones tigonométicas seno (sen), coseno (cos), tangente (tan), secante (sec), cosecante (csc) cotangente (cot) del ángulo po medio de las azones: hip ad op sen = op hip cos = ad hip tan = op ad csc = hip op sec = hip ad cot = ad op

5 Copight c 0 Gupo de Semilleos de Matemáticas - Semática, Univesidad de ntioquia 5 Ejemplo.. Los valoes de todas las funciones tigonométicas paa = 45 están dados po h sen45 = = cos45 = = tan45 = = csc45 = = sec45 = = cot45 = = Ejemplo.. Los valoes de todas las funciones tigonométicas paa = 0 = 60 están dados po sen 0 = sen 60 = 0 h cos0 = cos60 = 60 tan 0 = tan 60 = Poposición. (Identidades fundamentales). Paa cualquie ángulo agudo se cumple: Identidades ecípocas: sec = cos Identidades pitagóicas: csc = sen tan = sen cos sen + cos = + tan = sec + cot = csc. Funciones tigonométicas de númeos eales Definición.. Sea t R P(, ) un punto abitaio sobe el lado teminal de un ángulo cental de t adianes, ubicado a una distancia > 0 del oigen: Tenemos las siguientes definiciones: P(, ) t (, 0) = +. sen t = cost = tan t =, 0 csct =, 0 sect =, 0 cott =, 0 Univesidad de ntioquia

6 6 Copight c 0 Gupo de Semilleos de Matemáticas - Semática, Univesidad de ntioquia bsevación.. Las funciones sólo dependen del númeo eal t no del punto P(, ) del lado teminal. t > 0: gia en sentido contaio al de las manecillas del eloj. t < 0: gia en el sentido de las manecias del eloj. cos0 es el coseno de un ángulo de 0 adianes no de 0 : cos0 cos0 =. Si P(, ) se ubica sobe la cicunfeencia unitaia, = P(, ) t (, 0) sen = = cos = = tan = csc = = sec = = cot = Ejecicio.. Encuente sen t, cos t tan t si P( 4, ) es el punto en la cicunfeencia unitaia que coesponde a un númeo eal t > 0. Solución.. P(, ) = P( 4, ) = ( 4) + ( ) = P( 4, ) t sen = = 5 cos = = 4 5 tan = = 4 csc = = 5 sec = = 5 4 cot = = 4 Ejecicio.. Encuente los valoes de todas las funciones tigonométicas paa t = /4. Solución.. P(, ) = P(, ) = + = = = = = = = = P(, ) 4 sent = = cost = = tant = = csc t = = sec t = = cott = = Univesidad de ntioquia

7 Copight c 0 Gupo de Semilleos de Matemáticas - Semática, Univesidad de ntioquia 7.. Dominio ango de las funciones tigonométicas. Dominio P(, ) t (, 0) sen t = cost = tan t =, 0 a) Dominio de seno = R b) Dominio de coseno = R { } c) Dominio de tangente = R + n : n Z. Rango a) implica Rango de seno coseno = [, ] b) / / : Rango de tangente = R.. Popiedades de las funciones tigonométicas Poposición. (Peiodicidad de las funciones tigonométicas).. Ejemplo... (, 0) P(, ) (0, ) (0, ) t + t (, 0) Q(, ). sen 90 = sen( ) = sen0 = sen(t + ) = = sen t cos(t + ) = = cost tan(t + ) = = = tant, 0. cos ( 6 = cos + ) = cos 6 6 = Definición.. Sea un ánugulo en posición estánda cuo lado teminal N ace sobe cualquiea de los ejes coodenados. El ánugulo de efeencia de es el ángulo agudo R que foma el lado teminal de con el eje. Univesidad de ntioquia

8 8 Copight c 0 Gupo de Semilleos de Matemáticas - Semática, Univesidad de ntioquia Ejemplo... l (a) R = l (b) R = Figua Univesidad de ntioquia (c) R = Los valoes de las funciones tigonométicas de un ángulo cualquiea están deteminados po el ángulo de efeencia R : Poposición.. Dado un ángulo cuo ángulo de efeencia es R se tiene que:. sen = ± sen R. tan = ± tan R 5. sec = ± sec R. cos = ± cos R 4. csc = ± csc R donde el signo + o depende del cuadante en el que se encuente. Ejecicio.. Encuente los valoes eactos de. sen 5. cos 9 4 l 6. tan = ± tan R. tan 90 Solución... = 5 está en el tece cuadante, R = 5 80 = 45 sen 5 = sen45 =.. = 4 = + 6 está en el pime cuadante, R = cos 6 4 = + cos 6 =.. = 90 está en el pime cuadante, R = = 0 tan90 = + tan0 =. 4. Ejecicios [Poblemas ()-(6)] Convieta los ángulos dados a continuación a adianes o gados, según el caso Detemine la longitud del adio de un cículo en el cual, un aco de 4 cm de longitud, subtiende un ángulo cental de La Tiea gia alededo de su eje una vez cada hoas, 56 minutos 4 segundos. Calcule el númeo de adianes que gia la Tiea en un segundo. 9. Una ueda de adio 5 pulgadas gia a 40 evoluciones po minuto. a) Halle la velocidad angula (adianes/minuto). b) Halle la velocidad lineal de un punto sobe la cicunfeencia (pies/minuto). 0. Dado un ángulo agudo cuo seno es 5, detemina los valoes de sen, cos tan.. Encuente los valoes de sen cos, dado que tan =. [Poblemas ()-()] Detemine el cuadante en el que se halla γ si:

9 Copight c 0 Gupo de Semilleos de Matemáticas - Semática, Univesidad de ntioquia 9. sen γ < 0 cosγ > 0.. cosγ > 0 tanγ < Juan eleva una cometa se da cuenta de que ésta se encuenta a 40 pies de altua, cuando ha soltado 800 pies de cueda. Suponga que la cueda está tensa. Cuál es el ángulo que foma la cueda con el piso? 5. Sobe un teeno llano se constue un edificio. Desde un punto a nivel del suelo se ve un eflecto empotado en la paed, a 8 metos del piso, fomando un ángulo de elevación de 50. Desde el mismo punto, la visual a la cumbe del edificio foma un ángulo de elevación de 65. Calcule la altua del edificio. 6. Cuál es la longitud de la somba poectada po un edificio de 0 m de altua cuando el Sol se ha elevado 5 sobe el hoizonte? 7. Detemina las longitudes de las diagonales de un ombo, conocidos los lados m n, el ángulo a ente ellos. [Ejecicios (8)-()] Detemine todos los ángulos lados desconocidos en cada uno de los tiángulos indicados d β β e 48.0 e f d d f a δ Univesidad de ntioquia h g b δ e 4.06 h [Ejecicios ()-(6)] Encuente los valoes de las seis funciones tigonométicas paa cada uno de los ángulos indicados

10 0 Copight c 0 Gupo de Semilleos de Matemáticas - Semática, Univesidad de ntioquia Refeencias [] Notas de clase tallees desaollados po pofesoes de Depatamento de Matemáticas de la Univesidad de ntioquia paa el cuso Álgeba tigonometía (CNM-08): [] W. L. Hosch, The itannica Guide to lgeba and Tigonomet. Rosen Education Sevice, pimea edición, 00. [] E.W. Swokowski, J.. Cole, Álgeba Tigonometía con Geometía nalítica, undécima edición, editoial Thomson, 006. Univesidad de ntioquia