Universidad de Antioquia

Transcripción

1 . Inoducción Funciones igonoméicas de ángulos Insiuo de Maemáicas * Faculad de Ciencias Eacas Nauales Unviesidad de nquioquia Medellín, 5 de julio de 0 La igonomeía es el campo de las maemáicas que iene como objeo de esudio a los iángulos la elación ene sus lados los ángulos que esos foman, así como las funciones que sugen de dichas elaciones (funciones igonoméicas). Su oigen eimológico deiva de los vocablos giegos τ ριγωνo (igōnon) que significa iángulo µετ ρoν (meon) que significa medida. Figua La hisoia de la igonomeía en paicula de las funciones igonoméicas puede abaca un peíodo de alededo de 4000 años. Esa disciplina, como la vemos acualmene, no fue el esulado de sólo un gupo de indivuiduos o una culua, sino que fue un poceso en el que paicipaon gandes civilizaciones. Culuas como la egipcia babilonia uvieon conocimieno pevio sobe eoemas que involucaban popociones que elacionaban las magniudes de iángulos ecángulos, peo caecían del concepo de medida de un ángulo. La ablilla babilonia Plimpon (figua ) coniene una columna de númeos que se cee, consiue una de los pimeos egisos sobe funciones igonoméicas. Los asónomos babilonios manuvieon un egiso de mediciones ealizadas sobe el movimienos de planeas esellas de eclipses, laboes que equeían familiaidad con la medición de disancias angulaes. unque los abajos de Euclides químides no incluen igonomeía en el senido esico de la palaba, conienen poblemas geoméicos que son enunciados po medio de lees igonoméicas. Las pimeas ablas igonoméicas fueon apaenemene ecopiladas po Hipaco de Nicea (80-5 a.c.), quien es conocido como el pade de la igonomeía.. Ángulos Definición. (Ángulo). Un ángulo es la figua geoméica fomada po dos semiecas l que ienen un puno eemo en común. l : lado inicial del ángulo l : lado eminal del ángulo : véice del ángulo Noación: Univesidad de nioquia * Esa oba es disibuida bajo una licencia Ceaive Commons ibución - No comecial.5 Colombia.

2 Insiuo de Maemáicas, Univesidad de nioquia Ejemplo... l Definición. (Posición esánda de un ángulo).. Ejemplo... l.. Medida de ángulos α l Los ángulos se pueden medi en gados adianes. l l Véice coincide con el oigen Lado inicial coincide con el eje Ángulo posiivo: Ángulo negaivo: Definición. (Gadosseagesimales). Un gado( ) esla medida de un ángulocuoladoeminal se obiene al oa el lado inicia/60 de cicunfeencia en senido conaio a las manecillas del eloj. Un gado se divide en sesena minuos ( = 60 ) un minuo en sesena segundos ( = 60 ). Ejemplo β Univesidad de nioquia γ l 40 l 45

3 Insiuo de Maemáicas, Univesidad de nioquia De acuedo a su medida, los ángulos se pueden clasifica como Teminología Definición Ejemplo Ángulo agudo 0 < < 90 = 65 Ángulo obuso 90 < < 80 = 45 Ángulos complemenaios α β α+β = 90 α = 5 β = 65 Ángulos suplemenaios α β α+β = 80 α = 5 β = 65 Definición.4 (Radianes). Un ángulo cenal es un ángulo cuo véice esá en el ceno de una cicunfeencia. Un adián es la medida de un ángulo cenal subendido po un aco de longiud igual a la del adio de la ciunfeencia donde se encuena inscio. Ejemplo.4.. α α = adián α β β = adianes : lado inicial del ángulo l : lado eminal del ángulo : véice del ángulo Noación: γ Univesidad de nioquia γ = adianes δ δ = 6 adianes bsevación. Paa el caso en que =, la longiud de es esá veces en el aco : Ejemplo.5.. = 60 = adianes 80 = adianes 80 = adianes = 80 adianes adianes = 80 adian =

4 4 Insiuo de Maemáicas, Univesidad de nioquia Ejemplo.6.. ( ) 0 = 0 80 = 6 ( ) 45 = = 4 ( ) 60 = = 5 6 = 5 ( ) 80 = = 4 ( ) 80 = 40 = ( ) 80 = 70 Poposición. (Longiud de aco). Si es la medida en adianes de un ángulo cenal subendido po un aco de longiud s de una cicunveencia de adio, enonces s. = s. =. Funciones igonoméicas de ángulos agudos Definición. (Razones igonoméicas). Dado un iángulo ecángulo que enga a como uno de sus ángulos agudos, se definen las funciones igonoméicas seno (sen), coseno (cos), angene (an), secane (sec), cosecane (csc) coangene (co) del ángulo po medio de las azones: hip ad op sen = op hip cos = ad hip an = op ad csc = hip op sec = hip ad co = ad op Ejemplo.. Los valoes de odas las funciones igonoméicas paa = 45 esán dados po h sen45 = = cos45 = = an45 = = csc45 = = sec45 = = co45 = = Ejemplo.. Los valoes de odas las funciones igonoméicas paa = 0 = 60 esán dados po sen0 = sen60 = 0 h cos0 = cos60 = 60 Univesidad de nioquia an0 = an60 =

5 Insiuo de Maemáicas, Univesidad de nioquia 5 Poposición. (Idenidades fundamenales). Paa cualquie ángulo agudo se cumple: Idenidades ecípocas: sec = cos Idenidades piagóicas: csc = sen an = sen cos sen +cos = +an = sec +co = csc 4. Funciones igonoméicas de númeos eales Definición 4.. Sea R P(,) un puno abiaio sobe el lado eminal de un ángulo cenal de adianes, ubicado a una disancia > 0 del oigen: Tenemos las siguienes definiciones: bsevación.. P(,) (, 0) = +. sen = cos = an =, 0 csc =, 0 sec =, 0 co =, 0 Las funciones sólo dependen del númeo eal no del puno P(,) del lado eminal. > 0: gia en senido conaio al de las manecillas del eloj. < 0: gia en el senido de las manecias del eloj. cos0 es el coseno de un ángulo de 0 adianes no de 0 : cos0 cos0 =. Si P(,) se ubica sobe la cicunfeencia uniaia, = P(,) (, 0) sen = = cos = = an = csc = = sec = = co = Univesidad de nioquia

6 6 Insiuo de Maemáicas, Univesidad de nioquia Ejecicio 4.. Encuene sen,cos an si P( 4, ) es el puno en la cicunfeencia uniaia que coesponde a un númeo eal > 0. Solución.. P(,) = P( 4, ) = ( 4) +( ) = P( 4, ) sen = = 5 cos = = 4 5 an = = 4 csc = = 5 sec = = 5 4 co = = 4 Ejecicio 4.. Encuene los valoes de odas las funciones igonoméicas paa = /4. Solución.. P(,) = P(,) = + = = = = = = = = P(, ) 4 sen = = cos = = an = = 4.. Dominio ango de las funciones igonoméicas. Dominio P(,) (, 0) sen = cos = an =, 0 csc = = sec = = co = = a) Dominio de seno = R b) Dominio de coseno = R { } c) Dominio de angene = R +n : n Z. Rango Univesidad de nioquia

7 Insiuo de Maemáicas, Univesidad de nioquia 7 a) implica Rango de seno coseno = [,] b) / / : Rango de angene = R 4.. Popiedades de las funciones igonoméicas Poposición 4. (Funciones paes-impaes). Paa cualquie númeo eal se iene: (, 0) (0,) (0, ) P(,) (, 0) Q(, ) Poposición 4. (Peiodicidad de las funciones igonoméicas).. Ejemplo 4... (, 0) P(,) (0, ) (0,) + (, 0) Q(, ). sen90 = sen(60 +0 ) = sen0 = sen( ) = = sen cos( ) = = cos an( ) = = = an, 0 sen(+) = = sen cos(+) = = cos an(+) = = = an, 0. cos (+ 6 = cos ) = cos 6 6 = Definición 4.. Sea un ánugulo en posición esánda cuo lado eminal N ace sobe cualquiea delosejescoodenados.elánugulo de efeencia deeselánguloagudo R quefomaelladoeminal de con el eje. Ejemplo 4... Univesidad de nioquia

8 8 Insiuo de Maemáicas, Univesidad de nioquia l (a) R = l (b) R = Figua Univesidad de nioquia (c) R = Los valoes de las funciones igonoméicas de un ángulo cualquiea esán deeminados po el ángulo de efeencia R : Poposición 4.. Dado un ángulo cuo ángulo de efeencia es R se iene que:. sen = ±sen R. an = ±an R 5. sec = ±sec R. cos = ±cos R 4. csc = ±csc R donde el signo + o depende del cuadane en el que se encuene. Ejecicio 4.. Encuene los valoes eacos de. sen5. cos 9 4 l 6. an = ±an R. an90 Solución... = 5 esá en el ece cuadane, R = 5 80 = 45 sen5 = sen45 =.. = 4 = + 6 esá en el pime cuadane, R = cos 6 4 = +cos 6 =.. = 90 esá en el pime cuadane, R = = 0 an90 = +an0 =. 5. Gáficas de las funciones igonoméicas Gáfica de la función seno 0 /4 / /4 5/4 / 7/4 sen 0 / / 0 / / 0 Gáfica de la función coseno / /

9 Insiuo de Maemáicas, Univesidad de nioquia 9 Refeencias 0 /4 / /4 5/4 / 7/4 cos / 0 / - / 0 / / / [] W. L. Hosch, The iannica Guide o lgeba and Tigonome. Rosen Educaion Sevice, pimea edición, 00. [] E.W. Swokowski, J.. Cole, Álgeba Tigonomeía con Geomeía nalíica, undécima edición, edioial Thomson, 006. Univesidad de nioquia