Universidad de Antioquia

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1 Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas Grupo de Semilleros de Matemáticas Semática Funciones Trigonométricas inversas Matemáticas Operativas Taller 4 0 La trigonometría es el campo de las matemáticas que tiene como objeto de estudio a los triángulos y la relación entre sus lados y los ángulos que estos forman, así como las funciones que surgen de dichas relacionesfunciones trigonométricas. Su origen etimológico deriva de los vocablos griegos τ ριγωνo trigōnon que significa triángulo y µετ ρoν metron que significa medida. La historia de la trigonometría y en particular de las funciones trigonométricas puede abarcar un período de alrededor de 4000 años. Esta disciplina, como la vemos actualmente, no fue el resultado de sólo un grupo de indivuiduos o una cultura, sino que fue un proceso en el que participaron grandes civilizaciones. Culturas como la egipcia y babilonia tuvieron conocimiento previo sobre teoremas que involucraban proporciones que relacionaban las magnitudes de triángulos rectángulos, pero carecían del concepto de medida de un ángulo. La tablilla babilonia Plimpton figura?? contiene una columna de números que se cree, constituye una de los primeros registros sobre funciones trigonométricas. Los astrónomos babilonios mantuvieron un registro de mediciones realizadas sobre el movimientos de planetas y estrellas y de eclipses, labores que requerían familiaridad con la medición de distancias angulares. Aunque los trabajos de Euclides y Arquímides no incluyen trigonometría en el sentido estricto de la palabra, contienen problemas geométricos que son enunciados por medio de leyes trigonométricas. Las primeras tablas trigonométricas fueron aparentemente recopiladas por Hiparco de Nicea 80-5 a.c., quien es conocido como el padre de la trigonometría. Objetivo general Estudiar las funciones trigonométricas inversas. Objetivos específicos. Calcular el valor exacto de expresiones que incluyen las funciones inversas de seno, coseno y tangente.. Identificar los dominios y codominios de las funciones inversas de seno, coseno y tangente así como sus propiedades. 3. Determinar el corrimiento de fase de una función senoidal. Copyright c 0 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática,

2 Copyright c 0 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática,. Introducción Recordemos que la función inversa de una función biunívoca f : X Y de f, denotada por f, es la función f : Y X definida por: f y = x y = fx Observación. Para una función biunívoca f : X Y se cumple que:. f : Y X.. Dominio de f = rango de f. 3. Rango de f = dominio de f. Por la definición de función inversa f b = a b = fa, y por tanto el punto de coordenadas a,b pertenece a la gráfica de f si, y sólo si el punto b,a pertenece a la gráfica de f. Así, la gráfica de f es la misma que la de f excepto que los roles de los ejes x e y se cambian. Observemos que los puntos a,b y b,a son simétricos respecto a la recta y = x y por tanto lasgráficasdef yf sonsimétricasadicharecta.. Funciones trigonométicas inversas.. Función seno inverso La función seno no es biunívoca f fx = x para todo x X 5. ff y = y para todo y Y 3 sen 7 5 = sen = sen = Restringimos el dominio de la función seno al intervalo [ /, /]: b a y f a,b a b y = x b,a f x

3 Copyright c 0 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 3 3 Definición. Función seno inverso. La función seno inverso, denotada por sen, se define como para Observación.. 3 y = sen x x = seny x y y. El dominio de sen es [,] y su imagen es [, ] [ sen : [,], ]. Notación: y = sen x y = arcosenx 3. Para verificar que y = sen x es necesario probar que Actividad.. Halle el valor de. sen. sen seny = x y y 3. arcosen 4. sen 3 5. sen 0 6. sen Recordemos que a,b está en la gráfica de sen si, y sólo si, b,a está en la gráfica de sen Proposición. Propiedades de sen... sen sen x = x, x. sen senx = x, x

4 4 Copyright c 0 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Actividad.3. Halle el valor exacto de. sensen 3. sen sen sen tan Función coseno inverso La función coseno no es biunívoca cos 7 = cos = cos = Restringimos el dominio de la función coseno al intervalo [0, ]: 3 Definición. Función coseno inverso. La función coseno inversa, denotada por sen, se define como y = cos x x = cosy para Observación x y 0 y. El dominio de cos es [,] y su imagen es [0,]. Notación: y = cos x y = arcox cos : [0,] [0,] 3. Para verificar que y = cos x es necesario probar que Actividad.4. Halle el valor de. cos. cos cosy = x y 0 y 3. arco 4. cos 3 5. cos 0 6. cos e Recordemos que a,b está en la gráfica de la función coseno inverso si, y sólo si, b,a está en la gráfica de coseno:

5 Copyright c 0 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 5 Proposición.5 Propiedades de cos... cos cos x = x, x. cos cosx = x, 0 x Actividad.6. Halle el valor exacto de. cos cos.3. Función tangente inversa La función tangente no es biunívoca cos cos sen cos tan 3 5 = tan = tan = Restringimos el dominio de la función tangente al intervalo /, /: 3 Definición.3 Función tangente inversa. La función tangente inversa, denotada por tan, se define como y = tan x x = tany para 3 < y < y x R

6 6 Copyright c 0 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, Observación 4... El dominio de tan es R y su imagen es, tan : R. Notación: y = tan x y = arctanx 3. Para verificar que y = tan x es necesario probar que, tany = x y < y < El punto a,b está en la gráfica de tan si, y sólo si, b,a está en la gráfica de tan Proposición.7 Propiedades de tan... tan tan x = x, x R. tan tanx = x, < x < Actividad.8. Halle el valor exacto de. tantan.77. arctantan 3. sec tan 4 3. Ajuste con curvas senoidales Proposición 3.. Para las funciones fx = acosbx y gx = asenbx, con a,b 0 tenemos Período = b y Amplitud = a

7 Copyright c 0 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, 7 Observación 5... Para coseno y seno el período es por lo cual 0 bx 0 x b, b > 0. La amplitud de la gráfica está dada por el valor máximo que puede alcanzar la función: fx = cosbx fx = acosbx a cosbx a Actividad 3. Período y amplitud. Determina la amplitud y el período de y = cos3x y traza su gráfica. 3.. Corrimiento de fase Proposición 3.3. Para las funciones fx = acosbx+c y gx = asenbx+c, con a,b 0 tenemos Amplitud = a, Período = y fase = c b b Observación 6... Para coseno y seno el período es por lo cual para f y g: 0 bx+c c bx c c b x b c b, b > 0. Una onda de amplitud a se obtiene en el intervalo [ c b, b c b Actividad 3.4. Determina el período, amplitud y corrimiento de fase de y = senx+ y traza su gráfica. 4. Ejercicios [Ejercicios -9] Resuelva las ecuaciones trigonométricas dadas en los intervalos dados.. cos. tan 3 3. arcsen 4. arccos ] 5. cos sen 6. sen 7. tan cos 3 9. sen cos

8 8 Copyright c 0 Grupo de Semilleros de Matemáticas - Semática, [Ejercicios 0-4] Encuentra el valor exacto de cada expresión. 0. cos sen 3 5 cos. sen cos 5 3 cos 4 5. tan [ sen tan sen [ cos ] cos tan 4 3 [Ejercicios 5-8] Exprese algebraicamente en términos de x x > cos sen x 6. tan sen x 7. sec sen x Referencias ] 8. cot sen x [Ejercicios9-] Encuentre la amplitud, el periodo, el corrimiento de fase y traza la gráfica de la ecuación. 9. y = senx 0. y = cos x+. y = 5sen 5 x 4. y = 3cos x+ 3 [Ejercicios 3-4] Resuelva las ecuaciones trigonométricas en los dominios indicados. 3. sen x+cos x = tan x+tan x = 4 [] Notas de clase y talleres desarrollados por profesores de Departamento de Matemáticas de la para el curso Álgebra y trigonometría CNM-08: [] W. L. Hosch, The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry. Rosen Education Service, primera edición, 00. [3] E.W. Swokowski, J.A. Cole, Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, undécima edición, editorial Thomson, 006. [4] M. Sullivan., Álgebra y Trigonometría, séptima edición, editorial Pearson, 006.