Información importante

Transcripción

1 Universia Técnica Feerico Santa María Departamento e Matemática Coorinación e Matemática I (MAT021) 1 er Semestre e 2010 Semana 9: Lunes 17 viernes 21 e Mayo Información importante El control Q2A es el ía Martes 25 e Mayo. Los contenios serán comunicaos en el sitio web el curso. Se le solicita a los profesores insistir en sus estuiantes en los mecanismos e apoyo que se han implementao para el estuio. Horarios e atención e los profesores y apoyo CIAC. Cálculo Contenios Clase 1: Derivaas. Interpretación geométrica. Recta tangente y recta normal. Clase 2: Álgebra e erivaas. Regla e la caena. 1 Clase Aprenizajes esperaos Ientifica la erivaa en un punto como límite y reconoce su interpretación geométrica como límite e penientes (suavia asociaa). Calcula erivaas meiante efinición. Calcula erivaa e seno y coseno meiante efinición Encuentra rectas tangentes y normales a gráficas e funciones erivables Derivaas. Definición 1.1 (Derivaa). Sea I un intervalo abierto y 0 2 I. Sea f : I R! R una función. Diremos que f es erivable en 0 si f ( 0 + h) f ( 0 ) h!0 h eiste, en tal caso escribimos f 0 ( 0 )= h!0 f ( 0 + h) f ( 0 ) h MAT021 (Cálculo) 1

2 Universia Técnica Feerico Santa María Departamento e Matemática y iremos f 0 ( 0 ) es la erivaa e f en 0. La erivaa e la función f es aquella función, enotaa por f 0, tal que su valor en un número el ominio e f está ao por f 0 () = h!0 f( + h) f() h si este límite eiste. Si el límite eiste para too en el ominio e f, se ice que la función es iferenciable. Observación 1.1. Dom (f 0 ) Dom (f). Observación 1.2. Mencionar otras notaciones para la erivaa, como [f()] y D [f()]. Ejemplos tipo Si f() =c (constante), entonces f 0 () = 0. Si f() = n,entoncesf 0 () =n n 1 Si f() = p, entonces f 0 () = 1 2 p. (En eterminao punto e la emostración racionalizar) Si f() =a + b, luego f 0 () =a, que correspone a la peniente e la recta. Notar que si f(t) = 0 + v 0 t + at2 2 etermina la posición e una partícula para caa instante t, luego f 0 (t) etermina su velocia instantánea, e hecho f 0 (t) =v 0 + at. Mas aún si g(t) =f 0 (t) luego g 0 (t) =a, esecir f 00 (t) correspone a su aceleración. Demostrar que para f() =sen, f 0 () = cos() y que para g() = cos(), g 0 () = Si f() = 1 z, entonces f() = 0. e y sen(). Ejercicios Tipo Sea f monótona (estricta) creciente. Verificar que f 0 () > 0. Análogamente para f() monótona (estricta) ecreciente verificar que f 0 () < 0. Hallar meiante la efinición, la erivaa en = a e Respuesta: f 0 (a) = 4a +1 a 2 (2a 1) 2 f() = Daa la función continua f(), eterminar f 0 () y señalar su ominio, Respuesta: f() = f 0 () = 1 +2 si < si 1 1 si <1 4 6 si >1 Dom(f 0 ()) = R {1} MAT021 (Cálculo) 2

3 Universia Técnica Feerico Santa María Departamento e Matemática 1.3 Rectas normal y tangente. Definición 1.2 (Recta Tangente). Suponga que la función f es continua en 0. La recta tangente a la gráfica e f en el punto P ( 0,f( 0 )) es: 1) La recta que pasa por P ytienenpenientem( 0 ), aa por m( 0 )=!0 f( 0 + ) f() si el límite eiste. Es ecir: y f ( 0 )=f 0 ( 0 )( 0 ) 2) La recta = 0 si y f( 0 + ) f( 0 ) = ±1!0 +!0 f( 0 + ) f( 0 ) Observación 1.3. Realizar justificación geométrica e tal efinición. = ±1 Definición 1.3 (Recta Normal). La recta normal a una gráfica en un punto ao es la recta perpenicular a la recta tangente en ese punto. Observación 1.4. Note que si f 0 ( 0 ) 6= 0 entonces la recta normal que pasa por ( 0,f( 0 )) tiene ecuación y f ( 0 )= 1 f 0 ( 0 ) ( 0) Ejercicios Tipo Obtener las ecuaciones e las rectas tangente y normal para y = 3 en el punto (2, 8). Encuentre los puntos one la curva p + p y = p a tiene tangentes paralelas a los ejes coorenaos. Respuesta: Tangente horizontal para el punto (a, 0). Tangente vertical para (0,a). p 3 La recta tangente al gráfico e f() = 2 sen 1 2 cos en el punto A =( 0, 1/2) con 0 < 0 <, corta al eje X en el punto B = p! 3, 0.Determine 0 y calcule la longitu el trazo AB. 3 p 21 Respuestas: 0 = /3 yab = 6 Probar que la recta y = es tangente a la curva y = Cuál es el punto e tangencia? Corta esta recta a la curva en otro punto? Para qué valores e a, b y c las curvas f() = 2 + a + b, en el punto (2, 2)? Respuesta: a = 5, b = 12, c = 3. g() = 3 + c, tienen una recta tangente común 1.4 Diferenciabilia implica continuia. Teorema 1.1. Si una función f es iferenciable en 0, entonces f es continua en 0. Observación 1.5. Se pie intentar transmitir la intuición e este resultao, eventualmente a través e ibujos. No es necesario la emostración. MAT021 (Cálculo) 3

4 Universia Técnica Feerico Santa María Departamento e Matemática Ejercicios Tipo Sea f() = 1/3. Muestre que f no es iferenciable en = 0 aunque es continua en 0 (el recíproco no se cumple en general). Sea f() =. Es iferenciable esta función en = 0? Es continua? Sea f() efinia como f() = si apple 1 a + b si >1 Determine a y b e moo que f sea continua y erivable en R. Respuesta: a = 3 y b =5. Daa la función Es f erivable en = 1? f() = si apple 1 1/ si >1 2 Clase Aprenizajes esperaos Calcula erivaas e funciones usano álgebra e límites y regla e la caena.. Resuelve problemas e variaciones relacionaas utilizano regla e la caena. 2.2 Álgebra e erivaas Teorema 2.1 (Álgebra e erivaas). Sean f,g funciones erivables: [ f() ± g()]=f 0 () ± g 0 () [ kf()]=kf0 () k 2 R Teorema 2.2 (Derivaas e las funciones trigonométricas) [ tan ]=sec2 [sec]=sec tan [ cot ]= csc2 [csc]= [ f() g()]=f0 () g()+f() g 0 () apple f() = f 0 () g() f()g 0 () g() [g()] 2 g() 6= 0 csc cot Teorema 2.3 (Derivaas e las funciones logaritmo y eponencial). 1. [ e ]=e 2. [ln()]= 1 Observación 2.1. Si es posible, esbozar la emostración e la erivaa el proucto o la regla el cociente. Observación 2.2. Mostrar la iea e la emostración e algunas fórmulas trigonométricas y también que (e ) 0 = e utilizano el límite funamental h!0 (1 + h)1/h = e MAT021 (Cálculo) 4

5 Universia Técnica Feerico Santa María Departamento e Matemática Ejercicios tipo Calcular las erivaas e las siguientes funciones: 1. f () = +cos 1 2 +e 2. f () = tan ln Observación: Notar que para f 0 (), 6= 1 y que para g 0 (u), u 6= 1. Consierano la interpretación e erivaa como ritmo e cambio, suponga que una población e 500 bacterias se introuce en un cultivo y aumenta e número e acuero con la ecuación: P (t) = t 50 + t 2 one t se mie en horas. Hallar el ritmo e cambio al que está crecieno la población cuano t = 2. Determinar si eiste algún valor e en el intervalo [0, 2 ) tal que los ritmos e cambio e f() =sec ye g() = csc sean iguales. 2.3 Regla e la caena Teorema 2.4. Si y = f(u) es una función erivable e u, y si aemás u = g() es una función erivable e, entonces y = f(g()) es una función erivable, con en otras palabras y = y u u [f(g())] = f 0 (g())g 0 () Ejercicios tipo Calcular la erivaa e y = arctan utilizano la regla e la caena (suponga por ahora que arctan es una función erivable). Calcular la erivaa e las siguientes funciones: 1. f () = e e e + e r q 2. f () = + + p sin + cos 3. f () = 2 + p 2 + tan Verificar la Regla General e las Potencias: Si y =[u()] n con u función erivable e y n número racional, entonces Sea g() =f y = n[u()]n +1, 8 6= 1yf 02. Calcular g 0 (). 1 1 u Respuesta: g 0 () = 2(+1)2 ( 1) 4 MAT021 (Cálculo) 5

6 Universia Técnica Feerico Santa María Departamento e Matemática Determine toos los A 2 R tales que la función y() =sen(sen) satisfaga la ecuación: Respuesta: A =1 Ay 00 () + tan y 02 =0 Un recipiente tiene forma e cono circular. La altura es e 10[m] y el raio e la base mie 4[m]. Se introuce agua en el recipiente a una velocia constante e 5[m 3 ] por minuto Con qué velocia se eleva el nivel el agua cuano la profunia el agua es e 5[m] si el vértice el cono está hacia arriba? Respuesta: h t = 5 h m i 4 min MAT021 (Cálculo) 6