DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
|
|
|
- Benito San Segundo Naranjo
- hace 9 años
- Vistas:
Transcripción
1 Universia Metropolitana Dpto. e Matemáticas Para Ingeniería Cálculo I (FBMI0) Proesora Aia Montezuma Revisión: Proesora Ana María Roríguez Semestre 08-09A DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES
2 DERIVADAS DERIVADA EN UN PUNTO Sea una unción real e variable real einia en un intervalo abierto que contenga a c, la erivaa e en c se enota por (c) y se eine como: (c) ( c + ) ( c) lim 0 siempre que el límite eista y sea inito. Si el límite eiste y es inito ecimos que es erivable (erivable) en c. Si acemos c la einición se puee escribir así: ( ) ( c) ( c) lim c c Ejemplo: Daa la unción real e variable real einia por ( ), se tiene que ( + ) () ( + ) 7 () lim lim lim lim ( + ) 0 o también ( ) () () lim lim 7 lim 8 ( )( + ) lim lim ( + ) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA (c) es la peniente e la recta tangente e la gráica e la unción en el punto e coorenaas (, ( c) ) coorenaas (, ( c) ) c. Luego, la ecuación e la recta tangente a la gráica e la unción en el punto e c es: y c ( c) ( c)
3 Ejemplo: Daa la unción real e variable real einia por ( ), se tiene que la ecuación e la recta tangente a la gráica e en el punto (, 7) Es ecir, es: ( ) y 7 () ( ) y 7 o y FUNCIÓN DERIVADA Daa la unción real e variable real, la erivaa e la unción con respecto a la variable es la unción que le asigna su erivaa a caa elemento el ominio e para el cual () eiste. Ejemplo: Daa la unción real e variable real einia por ( ), se tiene que ( + ) ( ) ( ) lim 0 ( + ) lim 0 ( ) ( 6 + ) lim lim ( 6 + ) Luego, la erivaa e la unción es la unción einia por ( ) 6, es ecir, ': R R '( ) 6 Otras notaciones Aemás e () las otras notaciones para la erivaa son: y y (),,, ( () ) Teorema: Si una unción real e variable real es erivable en c, entonces es continua en c.
4 Derivaa en un intervalo Se ice que una unción es erivable en un intervalo abierto si tiene erivaa en caa punto el intervalo. Se ice que una unción es erivable en un intervalo e la orma [ a, b) o e la orma [ a, + ) erivable en el intervalo ( a, b) o ( a, + ) y si el límite eiste y es inito. ( a + ) ( a) + ( a) lim (erivaa por la ereca) + 0 Se ice que una unción es erivable en un intervalo e la orma ( a, b] o e la orma (, b] erivable en el intervalo ( a, b) o (, b) y si el límite eiste y es inito. ( b + ) ( b) ( b) lim (erivaa por la izquiera) 0 Se ice que una unción es erivable en un intervalo e la orma [ a, b] si es erivable en el intervalo ( a, b) y si los límites eisten y son initos. lim + 0 ( a + ) ( a) y lim 0 ( b + ) ( b) si es si es REGLAS DE DERIVACIÓN Sean y g unciones erivables en y c una constante. Entonces las unciones c, g y con g ( ) 0, son erivables en, y se veriica: g + g, g, g ( c ) ( ) c ( ) ( + g) ( ) ( ) + g ( ) ( g) ( ) ( ) g ( ) ( g ) ( ) ( ) g ( ) + ( ) g( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) g( ), g ( ) 0 [ g( ) ]
![( a + ) ( a) + ( a) lim (erivaa por la ereca) + 0 Se ice que una unción es erivable en un intervalo e la orma ( a, b] o e la orma (, b] erivable en el intervalo ( a, b) o (, b) y si el límite eiste y](/docs-images/48/21212499/images/page_4.jpg "es inito.")
5 DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES DERIVADAS DE LAS FUNCIONES POLINÓMICAS CASOS PARTICULARES Derivaa e la unción constante: Daa la unción real e variable real einia por ( ) b, one b es un número real se tiene que: ( + ) ( ) b b ( ) lim lim lim ( b) 0, para too número real. Ejemplo Sea la unción real e variable real einia por ( ). Entonces ( ) 0 para too número real. Esto signiica que la recta tangente en cualquier punto e la gráica e tiene peniente cero, es ecir, la recta tangente en cualquier punto e la gráica e es paralela al eje. Derivaa e la unción ientia Daa la unción real e variable real einia por ( ) se tiene que: ( + ) ( ) + ( ) lim lim lim lim ( ), para too número real. Esto signiica que la recta tangente en cualquier punto e la gráica e es la recta es la misma recta. y, es ecir,
6 Derivaa e la unciones potencias Daa la unción real e variable real einia por se tiene que n n ( ) one n es un número entero positivo ( ) n, para too número real. Ejemplo: Daa la unción polinómica real einia por einición: ( ) ( + ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) se tiene que ( ). Veriiquémoslo por ( + ) lim 0 En particular, () 6 es: Es ecir,, luego, la ecuación e la recta tangente a la gráica e en el punto (, 9) ( ) y 9 () ( ) y 9 6 o y En general, aplicano los teoremas e erivaa e una constante, erivaa e una suma, erivaa e una constante por una unción y erivaa e una potencia, tenemos que: Daa la unción real e variable real einia por ( ) a 0 + a + K+ a n one a 0, a, K, an son números reales se tiene que: ' n ( ) a + a K + na n, para too número real. n Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ), se tiene que: ( ) En particular, (5) 8, ( ) 6, ( ), etc. ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) +, se tiene que 5
7 ( ) + En particular, (0), ( ), () 0, etc. 5 ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) 7, se tiene que: En particular, (0) 0, 57 () ( ) 5, ( ) 7, etc. DERIVADAS DE FUNCIONES RACIONALES CASO PARTICULAR Derivaa e la unción recíproca Daa la unción real e variable real einia por ( ), con 0 se tiene que: ( + ) ( ) ( ) lim + ( + ) lim lim lim ( ) + En general, aplicano el teorema e erivaa e un cociente, tenemos que: p( ) Daa la unción real e variable real einia por ( ) one p() y q () son polinomios q( ) con q( ) 0 se tiene que: q( ) p( ) p( ) q( ) ( ), para too número real con q ( ) 0. ( q( ) ) 6
8 Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) 5 + 6, se tiene que: + ( + ) ( 5) ( ( ) ( + ) 5 + 6) () + 78 ( + ), para ) Sea la unción real e variable real einia por n negativo. Entonces ( ) con n Hemos emostrao: ( ) n Z n + n ( ), luego 0 ( n) n ( ), con 0 y n un número entero n n n Derivaa e potencias enteras negativas Daa la unción real e variable real einia por se tiene que n ( ) n, para too número real 0. n ( ) one n es un número entero negativo, Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ), con 0, se tiene que: 5 ( ), para 0 ) Sea la unción real e variable real einia por Observa que ( ) 8 8, luego ( ) ( ), con 0, 8, para 0 7
9 DERIVADA DE LA FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA Daa la unción real e variable real einia por ( ) se tiene que: ( + ) ( ) + ( + )( + + ) ( ) lim lim lim lim lim, ( + + ) para too número real > 0. ( ) DERIVADA DE n PARA TODO NÚMERO REAL NO NULO n. En general se puee emostrar que: Daa la unción real e variable real einia por ( ) one n es un número real no nulo tiene que: n ( ) n Para los valores e para los cuales la unción esté einia. n Ejemplo: Sea la unción real e variable real einia por ( ), se tiene que: ( ), para too número real 0. En particular: ( 8) () 8 8
10 DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Derivaa e la unción seno Daa la unción real e variable real einia por ( ) sen ( ). Se tiene que ( ) ( + ) ( ) sen + sen sen cos + sen cos sen ( ) lim lim lim lim sen 0 ( cos ) sen + cos cos. ( sen) cos, para too número real. Derivaa e la unción coseno Daa la unción real e variable real einia por ( ) cos ( ). Se tiene que ( ) ( + ) ( ) cos + cos cos cos sen sen cos ( ) lim lim lim lim cos 0 ( cos ) ( cos) sen sen sen. sen, para too número real. Derivaa e la unción tangente Daa la unción real e variable real einia por ( ) tan ( ). Se tiene que () sen ( tan ) cos cos cos sen sen cos ( ) sec. cos ( tan π ) sec, para too número real ierente e + k π, k Z. 9
11 Derivaa e la unción secante Daa la unción real e variable real einia por ( ) sec ( ). Se tiene que ( ) () ( sec ) cos sen cos sen sec tan. Es ecir, cos π ( sec ) sec tan, para too número real ierente e + k π, k Z. Derivaa e la unción cosecante Daa la unción real e variable real einia por ( ) csc ( ). Se tiene que () ( csc ) sen ( csc ) csc cotan cos sen ( ) csc cotan., para too número real ierente e k π, k Z. Derivaa e la unción cotangente Daa la unción real e variable real einia por ( ) cotan ( ). Se tiene que () ( cot an ) sen cos sen ( sen ) sen cos cos csc. sen ( cotan ) csc, para too número real ierente e k π, k Z. 0
12 DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a Daa la unción real e variable real einia por ( ) a ln a, para too número real. ( ) a con a > 0 y a se tiene que: Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ). Entonces ( ) ln ) Sea la unción real e variable real einia por ( ). Entonces ( ) ln ln ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) e. Entonces ( ) e ln e e Demostrémoslo por einición: ( + ) ( ) ( ) lim 0 + e ( e ) lim e lim 0 0 e Observa que: Luego, (0 + ) (0) (0) lim lim 0 e 0 ( e ) () e lim e (0) 0 Sabemos que las gráicas e toas las unciones e la orma a y pasan por el punto ( 0,) y aemás la peniente e la recta tangente a caa una e las gráicas en ese punto es (0). Como einimos el número e como el número real en el cual la peniente e la recta tangente a y a en el punto ( 0,) es uno, resulta que: ( e ) () e lim e ( 0) e e 0
13 DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Sea una unción erivable estrictamente creciente o ecreciente en un intervalo I. Si ( ) 0 entonces es erivable en el punto corresponiente y () el rango e y ( ) ( y) ( ) Ejemplo: La unción real e variable real einia por ( ) Hallemos ( ) (5). Sabemos que one 0 es el punto el intervalo [,] ( ) tiene inversa en el intervalo [,] (5) ( cuya imagen es 5. 0 ). Determinemos primero a 0. Para ello allemos primero toos los valores el ominio cuya imagen es 5, es ecir, toos los valores que satisacen ( ) 5. ( )( + ) 0 ( ) Las soluciones e la ecuación anterior son: 0, y. Luego, 0 0, ya que esta es la raíz e la ecuación que pertenece al intervalo ao. Aora allemos ' ( ). En consecuencia Por lo tanto, ( ) '( ) 6 8 ' (0) (5) 8 (0) 8
![Sabemos que one 0 es el punto el intervalo [,] ( ) tiene inversa en el intervalo [,] (5) ( cuya imagen es 5. 0 ). Determinemos primero a 0.](/docs-images/48/21212499/images/page_13.jpg "Para ello allemos primero toos los valores el ominio cuya imagen es 5, es ecir, toos los valores que satisacen ( ) 5.")
14 DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE BASE a Daa la unción logaritmo e base a einia por Luego: es la inversa e ( ( ) log para > 0 se tiene que g ( ) a, entonces y) g ( ) a ln a y ln a ( ) ( log a ), para too número real > 0. ln a ln a a Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) log. Entonces ( ) ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) log. Entonces ( ) ln ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) ln. Entonces ( ) ln ln e ln
15 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Derivaa e la unción arco seno Daa la unción arco seno e enotaa por ( ) arcsen ( ) es la inversa e g ( ) sen, ( y) g ( ) cos sen y Luego: ( ) para (,) ( arcsen ), para too número real (,) se tiene que. Derivaa e la unción arco tangente Daa la unción arco tangente e enotaa por ( ) arctan ( ) para R se tiene que ( ) + ( arctan ), para too número real. + Derivaa e la unción arco coseno Daa la unción arco coseno e enotaa por ( ) arccos ( ) ( ) para (,) ( arccos ), para too número real (,) se tiene que.
16 Derivaa e la unción arco secante Daa la unción arco secante e enotaa por ( ) arcsec ( ) con > se tiene que También se escribe ( arcsec ) ( ), para too número real con >. Derivaa e la unción arco cosecante Daa la unción arco cosecante e enotaa por ( ) arccsc ( ) con > se tiene que También se escribe ( arccsc ) ( ), para too número real con >. Derivaa e la unción arco cotangente Daa la unción arco cotangente e enotaa por ( ) arccotan ( ) para R se tiene que ( arccotan ) ( ) +, para too número real. + 5
17 DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA Sea g erivable en y sea erivable en g (). Entonces la unción compuesta o g es erivable en, y se tiene que: ( o g) ( ) ( g( ) ) g ( ) Ejemplos: ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) ( ) 8. Entonces ( ) 8( )( ) ) Sea la unción real e variable real einia por ( ) cos ( sen ( + ) '( ) cos ( sen ( + )( sen ( sen ( + ) cos ( + ) ' ( ) cos ( sen ( + ) sen ( sen ( + ) cos( + ). Entonces ) Sea g la unción real e variable real einia por 7 g ( ) + +. Entonces ( ) g ( ) ) Sea w la unción real e variable real einia por ( ) ln ( sen ( + 8 ) ( + 8) w. Entonces ( + 8) cos ( 8) w ( ) sen + sen ( + 8) ( + 8) cos ( + 8) 8 w ( ) sen sen 6 5) Sea t la unción real e variable real einia por ( ) arcotan ( ) 5 t ( ) ( 6 ) 6 + ( ) t ( ) t. Entonces 6 ( ) 6
Cálculo Diferencial en una variable
Tema 3 Cálculo Diferencial en una variable 3.1 Introucción Analizaremos en este Tema los conceptos funamentales acerca e las erivaas e las funciones reales e variable real. En el tema siguiente estuiaremos
UNIVERSIDAD DE CONCEPCION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Prof. Jorge Ruiz Castillo. 1.1 Repaso de propiedades de funciones inversas
Funciones Inversas UNIVERSIDAD DE CONCEPCION DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Prof Jorge Ruiz Castillo Repaso e propieaes e funciones inversas Sea f : A B una función biectiva sea f : B A su función inversa
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
CAPÍTULO 6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 6.1 FUNCIONES TRASCENDENTES (Áreas 1, y ) Las funciones trascenentes se caracterizan por tener lo que se llama argumento. Un argumento es el número o letras que lo
3 DERIVADAS ALGEBRAICAS
DERIVADAS ALGEBRAICAS DERIVADAS ALGEBRAICAS Entiénase la erivaa como la peniente e la recta tangente a la función en un punto ao, lo anterior implica que la función ebe eistir en ese punto para poer trazar
Cálculo I Derivadas de Funciones Trascendentes. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción Derivadas de funciones trigonométricas inversas 7
3.3. Derivaas e Funciones Trascenentes Julio C. Carrillo E. * Ínice. Introucción 2. Derivaas e funciones trigonométricas 3. Derivaas e funciones trigonométricas inversas 7 4. Derivaas e la función exponencial
Tema 6: Derivadas, Técnicas de Derivación
Matemáticas º Bacillerato CCNN Tema 6: Derivaas, Técnicas e Derivación.- Introucción.- Tasa e Variación Meia.- Derivaa e una unción en un punto..- Derivaas Laterales...- Interpretación geométrica e la
La regla de la constante. DEMOSTRACIÓN Sea ƒ(x) c. Entonces, por la definición de derivada mediante el proceso de límite, se deduce que.
SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 07. Reglas básicas e erivación razón e cambio Encontrar la erivaa e una función por la regla e la constante. Encontrar la erivaa e una función por la
LA DERIVADA UNIDAD III III.1 INCREMENTOS. y, esto es:
Página el Colegio e Matemáticas e la ENP-UNAM La erivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa LA DERIVADA UNIDAD III III. INCREMENTOS Se eine como incremento e la variable al aumento o isminución que
2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior
SECCIÓN 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior 119 2.3 Reglas el proucto, el cociente y erivaas e oren superior Encontrar la erivaa e una función por la regla el proucto. Encontrar
CURSO CERO DE MATEMATICAS. Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván. y José Manuel Rodríguez García
INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES CURSO CERO DE MATEMATICAS Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galván y José Manuel Rodríguez García UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Politécnica
{( ) ( ) ( ) ( )} 4. FUNCIONES. B y f es una función de A en B definida por y = x 2 1, = x + 3, encuentra 5 pares que pertenezcan a la
4 FUNCIONES 4 Conceptos básicos Sean A y B dos conjuntos dados, una unción de A en B es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de A uno y solamente uno de B En una unción: A es el dominio
2.4 La regla de la cadena
0 CAPÍTULO Derivación. La regla e la caena Encontrar la erivaa e una función compuesta por la regla e la caena. Encontrar la erivaa e una función por la regla general e la potencia. Simplificar la erivaa
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 11.1 ELEMENTOS FUNDAMENTALES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE CURVAS DOMINIO - Polinomio : D = R - Cocientes : D = R {puntos que anulan el denominador} - Raíces de índice par : D = {Lo
MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA INCREMENTOS x = x - x y2 = f(x2) y = y - y y = f(x )
Faculta e Contauría Aministración. UNAM Derivaa Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa MATEMÁTICAS BÁSICAS DERIVADA INCREMENTOS Se eine como incremento e la variable al aumento o isminución que eperimenta,
Regla de la cadena. Ejemplo 1. y = f (g(x)) Como las funciones son diferenciables son suaves.
1 Regla e la caena Hasta aquí hemos erivao funciones que no son compuestas. El problema surge cuano tenemos una función que es compuesta, por ejemplo, igamos que el precio e la gasolina epene el precio
( ) 2. Pendiente de una Recta Tangente. Sea f una función que es continua en x. 1. Para definir la pendiente de la recta tangente ( )
Derivaa e una Función Ínice.. Introucción.. Peniente e una recta tangente.. Derivaa e una función. 4. Derivaas laterales. 5. Derivaa e una función compuesta (Regla e la Caena). 6. Tabla e erivaas usuales.
Derivación de funciones de una variable real
Capítulo 4 Derivación e funciones e una variable real 4.1. Derivaa e una función 4.1.1. Introucción Definición 4.1.1. Sea f : (a, b) R R y x 0 (a, b). Se ice que la función f es erivable en el punto x
Cálculo de Derivadas
Cálculo de Derivadas Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y v como funciones. Derivada de una constante Derivada de x Derivada de la función lineal Derivada de una potencia Derivada
Teoría Tema 1 Propiedades de funciones elementales. Ejemplos exponencial y logaritmo
página 1/9 Teoría Tema 1 Propiedades de funciones elementales. Ejemplos exponencial y logaritmo Índice de contenido Dominio de una función...2 Rango o recorrido de una función...3 Simetría...4 Periodicidad...5
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.- PRIMERAS DEFINICIONES Se denomina ángulo en el plano a la porción de plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común denominado vértice. Ángulo central es el ángulo
LA FUNCION SENO CONDOMINIO RESTRINGIDO. F(X)=sen x en el intervalo [, ] es creciente y por lo tanto inyectiva es. y el recorrido es [-1, 1] su grafica
![LA FUNCION SENO CONDOMINIO RESTRINGIDO. F(X)=sen x en el intervalo [, ] es creciente y por lo tanto inyectiva es. y el recorrido es [-1, 1] su grafica](/thumbs/55/35518346.jpg "LA FUNCION SENO CONDOMINIO RESTRINGIDO. F(X)=sen x en el intervalo [, ] es creciente y por lo tanto inyectiva es. y el recorrido es [-1, 1] su grafica")
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados,aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales Sin
4.1. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Escuela Colombiana e Ingeniería 4.. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Derivaa e y La erivaa e y se puee obtener como: y + Lim 0 Para calcular este límite se utilizan los siguientes conceptos previamente
4.2. Continuidad de una función en un punto. (A) Una función f es continua en un punto x=a, cuando se cumplen las siguientes condiciones:
4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 4.. Noción intuitiva de continuidad de una unción en un punto. La mayor parte de las unciones que manejamos a nivel elemental, presentan en sus gráicas una propiedad característica
Regla de la cadena. f (x) 1 x 3. d dx x3 1 x 3. (3x 2 ) 3 x. f(x) 3 d dx ln x 3. 1 x. para x70, d dx ln x 1. para x60, d dx ln( x) 1x.
74 CAPÍTULO 3 La erivaa EJEMPLO 4 Diferencie f ()=ln 3. Regla e la caena Solución Debio a que 3 ebe ser positiva, se entiene que 70. Así, por (3), con u= 3, tenemos Solución alterna: Por iii) e las lees
DERIVADA. Interpretación Geométrica Encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de ella.
DERIVADA Interpretación Geométrica Objetivo: Encontrar la peniente e la recta tangente a una curva en un punto ao e ella. Para precisar correctamente la iea e tangente a una curva en un punto, se utilizará
Universidad Abierta y a Distancia de México. 2 cuatrimestre. Cálculo diferencial. Unidad 3. Derivación
Universia Abierta y a Distancia e Méico cuatrimestre Cálculo iferencial Eucación Abierta y a Distancia * Ciencias Eactas, Ingenierías y Tecnologías Ínice Presentación e la unia 3 Propósitos 3 Competencia
Cálculo I. Índice Reglas Fundamentales para el Cálculo de Derivadas. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción 1. 2.
3.2. Reglas Funamentales para el Cálculo e Derivaas Julio C. Carrillo E. * Ínice 1. Introucción 1 2. Reglas básicas 3 3. El Álgebra e funciones erivables 4 4. Regla e la caena 8 * Profesor Escuela e Matemáticas,
TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE
TEORMAS DE WEIERSTRASS, BOLZANO, ROLLE Y LAGRANGE PROBLEMAS RESUELTOS + Dada F() =, escriba la ecuación de la secante a F que une los puntos (, F( )) y 4 (, F()). Eiste un punto c en el intervalo [, ]
MATE 3031. Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77
MATE 3031 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 77 P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 77 Qué es una función? MATE 3171 En esta parte se recordará la idea de función y su definición formal.
CALCULO DIFERENCIAL Escuela Colombiana de Ingeniería 5.1. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL ( ) f ( x) = a Enunciado. x h x. x h.
Escela Colombiana e Ingeniería.. DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Aplicano la efinición e la erivaa se tiene: f a Ennciao. + f + f a a f ' Lim Lim Aplicano la efinición e la erivaa. 0 0 a a a a ( a f
y con la semiamplitud δ =1. 2.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN UNIDAD II II. ENTORNOS Se denomina entorno de un punto a en, al intervalo abierto ( δ a δ ) semiamplitud del intervalo. a, donde δ es la El entorno de a, en notación de conjuntos
DERIVADAS (1) LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. Sol: Sol: Sol: Sol: Derivada de una función potencial: Forma simple
DERIVADAS ( Derivada de una constante K K R F ( 0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. nº nº nº nº 4 nº 5 nº 6 Derivada de una función potencial: Forma simple r r R r. r LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES GUÍA N 11 CÁLCULO I. Profesor: Carlos Ruz Leiva DERIVADAS. Derivadas de orden superior. Ejemplos
UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS Profesor: Carlos Ruz Leiva GUÍA N CÁLCULO I DERIVADAS Derivaas e oren superior Ejemplos Hallar las siguientes
RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN f y LA DE SU INVERSA f -1
RELACIÓN ENTRE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN f y LA DE SU INVERSA f -1 Sabemos que la función inversa 1 Si f a b, entonces f b a 1 f (o recíproca) de f cumple la siguiente condición: Por lo tanto: 1 f f 1
CLASE 2. Sergio Stive Solano Sabié. Agosto de 2011. Catálogo de funciones básicas Transformaciones de funciones Combinaciones de funciones
CLASE 2 Sergio Stive Solano Sabié Agosto de 2011 CLASE 2 Sergio Stive Solano Sabié Agosto de 2011 Función lineal Definición 1.1 Decimos que y es una función lineal de x, si la gráfica de y es una recta.
1. Hallar la derivada por definición de f ( x) x x 1. Solución: para resolver la derivada aplicaremos la definición de la derivada: f '( x)
. Hallar la erivaa por efinición e f ( ) Solución: para resolver la erivaa aplicaremos la efinición e la erivaa: f '( ) lim 0 f ( ) f ( ) f ( ) f '( ) lim 0 ara allar la erivaa meiante efinición ebemos
Principios de graficación
Graicación Principios de graicación En algunas oportunidades tenemos que graicar una unción que es casi igual a las que a sabemos graicar, llamadas básicas, sólo que estas presentan elementos adicionales
Tipos de funciones. Clasificación de funciones. Funciones algebraicas
Tipos de funciones Clasificación de funciones Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación,
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Unia os Geometría Trigonometría 8. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 8. El círculo trigonométrico o unitario En temas anteriores, las funciones trigonométricas se asociaron con razones, es ecir con cocientes e
UNIDAD I CÁLCULO DIFERENCIAL
Vicerrectorao Acaémico Faculta e Ciencias Aministrativas Licenciatura en Aministración Mención Gerencia y Mercaeo Unia Curricular: Matemática I UNIDAD I CÁLCULO DIFERENCIAL Elaborao por: Ing. Ronny Altuve
Cuadro de derivadas. Cuadro de Derivadas. y = k La derivada de una cte es igual a cero. Es decir: y = 0
Cuadro de derivadas y = k La derivada de una cte es igual a cero. Es decir: 0 y = x y = + g(x) y = g(x) y = k y = g(x) La derivada de la función identidad es igual a. Es decir: La derivada de una suma
Derivación. (x c) que pasa por el punto fijo (c, f(c)) y el punto móvil (c + h, f(c + h)) cuando h tiende a 0.
Derivación Definición y propieaes básicas Definición. Una función f efinia en un entorno e un punto c R es erivable en c si y sólo si el ite f c = f fc + h fc f fc c := = h h c c eiste y toma un valor
Asíntotas en una función.
Asíntotas en una unción. Las asíntotas son rectas a las cuales la unción se va aproimando indeinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al ininito. Deinición: Si un punto, y )
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE
DERIVADAS ( Derivada de una constante K K R F ( 0 LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero. nº nº nº nº 4 nº 5 nº 6 Derivada de una función potencial: Forma simple r r R r. r LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL
MATEMATICAS GRADO DECIMO
MATEMATICAS GRADO DECIMO TERCER PERIODO TEMAS Funciones Trigonométricas. Funciones trigonométricas. Son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de
Límites y continuidad
Estudio de la continuidad de la función en el punto = : Comprobemos, como primera medida, que la función está definida en =. Para =, tenemos que determinar f() = + = 6 + = 8, luego eiste. Calculamos, entonces
Longitud, áreas y volúmenes. Trigonometría. Circunferencia de radio R Círculo de radio R. 1 Triángulo de base B y altura H A = (BH ) 2
Longitud, áreas y volúmenes Circunferencia de radio R Círculo de radio R A πr L πr Triángulo de base B y altura H A (BH ) Cuadrado de lado L A L Rectángulo de base B y altura H Superficie esférica A 4πR
La regla de la constante. La derivada de una función constante es 0. Es decir, si c es un número real, entonces d c 0. dx (Ver la figura 2.
SECCIÓN. Reglas básicas e erivación razón e cambio 07. Reglas básicas e erivación razón e cambio Encontrar la erivaa e una función por la regla e la constante. Encontrar la erivaa e una función por la
2.1. Derivada de una función en un punto
Capítulo 2 Diferenciación 1 2.1. Derivaa e una función en un punto Ritmo (o razón, o tasa) e cambio e una función en un momento ao. Peniente e la recta tangente. Aproximación por la peniente e las rectas
Para que un punto P(x, y) pertenezca a la circunferencia unitaria debe cumplir con la ecuación x 2 + y 2 = 1.
GUIA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS GRADO DECIMO FUNCIOENES TRIGONOMETRICAS El estudio de la trigonometría se puede realizar por medio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo,
PLAN DE ESTUDIOS DE MS
PLAN DE ESTUDIOS DE MS Temario para desarrollar a lo largo de las clases 11 y 12. CLASE 11: I. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAL. a) Revisión de conceptos Estructura de espacio vectorial. Propiedades de los
DERIVADAS. TVM (a, b) = = h. La tasa de variación media se puede interpretar como la pendiente de la recta AB de la figura siguiente:
Tasa de variación media DERIVADAS La tasa de variación media TVM de una unción ( en un intervalo (x, x se deine como: TVM (a, b ( x ( x x x Si consideramos x x + h, podemos expresar la TVM como: Interpretación
lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas Función Derivada Función compuesta Derivada y f x y f x y f g x
Tabla de derivadas Función Derivada Función compuesta Derivada k ' 0 ' ' n ' ' ' e ' n n n n ' n ' e a ' ln ln log a a a ' ' e a ln ln a Reglas de derivación log a ' ' ' ' ' ' ' ' ' ln ' ' ' ' e a a '
Función Logaritmo y exponencial. Función logaritmo natural
Función Logaritmo y exponencial Función logaritmo natural En términos matemáticos la función logaritmo natural es una herramienta de mayor utilidad que el logaritmo del álgebra elemental, el cual está
Concepto de función. Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B
Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna. Función
El proceso de calcular la derivada se denomina derivación. Se dice que ( ) es derivable en c si existe ( ), es decir, lim. existe
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN La derivada de una función () respecto de (x) es la función () (se lee f prima de (x) y está dada por: ()=lim (+h) () h El proceso de calcular la derivada se denomina
Logaritmo Natural. x I t dt = ln(x) = ln(x) > 0 para x (1, ) Observación 5. El primer teorema fundamental del Cálculo implica que
Logaritmo Natural Si n ya sabemos que x t n t = n+ xn+ + C, con C una constante. Definición. La regla e corresponencia ln(x) = x t t = x I efine una función con ominio D ln = (0, ). A esta función se le
3.1. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN
.. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN La erivaa y ' f ' es la primera erivaa e y con respecto a, pero igualmente es posible realizar la erivaa e la erivaa, y y '' f ''. Lo que se conoce como la seguna erivaa e
Cada grado se divide en 60 minutos (60 ) y cada minuto en 60 segundos (60 ). Así, por ejemplo, un ángulo puede medir = 38º
Sistemas e meición e ángulos Como en toos los elementos susceptibles a meiciones, en los ángulos se han establecio iversos sistemas e meición, entre ellos los más importantes son: El sistema seagesimal
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN
SESIÓN Nº 1 Derivaas e Funciones Trigonométricas, Eponenciales y Logarítmicas Ahora correspone revisar las fórmulas principales e erivación y algunos ejemplos e aplicación. FÓRMULAS DE DERIVACIÓN 1) (
Gráficamente: una función es continua en un punto si en dicho punto su gráfica no se rompe. Función continua en x = 0 Función no continua en x = 0
Funciones continuas Funciones continuas Continuidad de una función Si x 0 es un número, la función f(x) es continua en este punto si el límite de la función en ese punto coincide con el valor de la función
GLOSARIO DE REGLAS DE DERIVACIÓN
CÁLCULO GLOSARIO DE REGLAS DE DERIVACIÓN RESUMEN 1. Derivadas de funciones elementales o Derivada de una constante o Derivada de una función potencial (monomio) o Derivada de una raíz cuadrada (caso particular
2.5 Derivación implícita
SECCIÓN.5 Derivación implícita 4.5 Derivación implícita Distinguir entre funciones eplícitas e implícitas. Hallar la erivaa e una función por erivación implícita. E X P L O R A C I Ó N Representación gráfica
= y. Así pues, el domino lo forman los números x para los cuales existe el valor de f (x)
UAH Actualización de Conocimientos de Matemáticas para Tema 6 Funciones Concepto de función Dados dos conjuntos A y B, una función de A en B es una relación (una ley) que asigna a cada elemento de A uno
3.1 Definiciones previas
ÍNDICE 3.1 Definiciones previas............................... 1 3.2 Operaciones con funciones........................... 8 3.3 Límite e una función en un punto...................... 15 3.3.1 Operaciones
Profesor: Rafa González Jiménez. Instituto Santa Eulalia ÍNDICE
TEMA 5: DERIVADAS. APLICACIONES. ÍNDICE 5..- Derivada de una función en un punto. 5...- Tasa de variación media. Interpretación geométrica. 5..2.- Tasa de variación instantánea. Derivada de una función
Problemas de 4 o ESO. Isaac Musat Hervás
Problemas de 4 o ESO Isaac Musat Hervás 5 de febrero de 01 Índice general 1. Problemas de Álgebra 7 1.1. Números Reales.......................... 7 1.1.1. Los números....................... 7 1.1.. Intervalos.........................
TEMA 1: Funciones elementales
MATEMATICAS TEMA 1 CURSO 014/15 TEMA 1: Funciones elementales 8.1 CONCEPTO DE FUNCIÓN: Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace
TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES
TEMA : CONTINUIDAD DE FUNCIONES 1. Continuidad de una función en un punto Entre las primeras propiedades de las funciones aparece el concepto de continuidad. Durante mucho tiempo fue asumida como una idea
Reglas de derivación (continuación)
Derivaas Reglas e erivación Suma [f() + g()] = f () + g () Proucto Cociente [kf()] = kf () [f()g()] = f ()g() + f()g () [ ] f() = f ()g() f()g () g() g() Regla e la caena {f[g()]} = f [g()]g () {f(g[h()])}
Matemática I (BUC) - Cálculo I
Matemática I (BUC) - Cálculo I Práctica 5: DERIVADAS Matemática I (BUC) / Cálculo I.. Calcular la derivada en el punto indicado, aplicando la definición: + 5 en ln( + ) en - + 7 en en. Calcular la recta
FECHA OBJETIVO CONTENIDO Semana. Introducir el tema de funciones ( tentativo)
Página 1 de 11 INA Uruca Bachillerato por madurez Cronograma 2011 de Matemáticas Profesora: Lordys Serrano Ramírez FECHA OBJETIVO CONTENIDO Semana Introducir el tema de funciones ( tentativo) inicio de
FECHA OBJETIVO CONTENIDO 12 DE MARZO. Introducir el tema de funciones
Página 1 de 11 INA Turismo Bachillerato por madurez Cronograma 2011 de Matemáticas Profesora: Lordys Serrano Ramírez FECHA OBJETIVO CONTENIDO 12 DE MARZO Introducir el tema de funciones inicio de clases
Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.4: La derivada y sus propiedades básicas. La Regla de la cadena. El concepto de derivada aparece en muchas situaciones en la ciencias: en matemáticas
FUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES.
FUNCIONES DERIVABLES. PROPIEDADES. TASA DE VARIACION MEDIA. Dada una unción y se llama TASA DE VARIACIÓN o INCREMENTO de a la variación que eperimenta cuando la variable independiente pasa de "a" a "a
Si x lr y > 1-x lr, y lr Dom( R2) = lr, Ran( R2) = lr. X y : y > 1-x. 1 y : y > 0. 2 y : y > RELACIONES. EN EL PLANO CARTESIANO.
R = { (, y) A B / + y > } Si lr y > - lr, y lr Dom( R) = lr, Ran( R) = lr Funciones en una variable Real Para aproimar el gráfico realizamos una tabulación: X y : y > -. y y : y > 0. y : y > -.. RELACIONES.
Tema 10 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II 2º Bachillerato 1. ( x) 2x x. Hay dos puntos: (1, 2) y (1, 2)
Tema 0 Aplicaciones de la derivada Matemáticas II º Bachillerato TEMA 0 APLICACIONES DE LA DERIVADA RECTA TANGENTE Escribe e 0 EJERCICIO : la ecuación de la recta tangente a la curva f en 0. Ordenada del
Sucesiones y Series. Capítulo O.
Capítulo O. Sucesiones y Series 0.1 Valor absoluto. Propiedades 0.2 Algunas fórmulas trigonométricas 0.3 Fórmulas de la geometría analítica del plano. Distancia entre dos puntos. Punto medio. Pendiente
Complejos, C. Reales, R. Fraccionarios
NÚMEROS COMPLEJOS Como ya sabemos, conocemos distintos cuerpos numéricos en matemáticas como por ejemplo el cuerpo de los números racionales, irracionales, enteros, negativos,... Sin embargo, para completar
Teoría Tema 9 Representación gráfica de funciones
página 1/24 Teoría Tema 9 Representación gráfica de funciones Índice de contenido Gráficas de funciones...2 Gráfica de una parábola...3 Gráfica de un polinomio de grado 3...6 Gráfica de un cociente de
DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE Derivada de una función en un punto. Función derivada. Sea f () una función de una variable definida en un intervalo abierto (a, b) y sea (a, b). Se dice que f es