3.1. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN

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Juana Aguirre Escobar
hace 7 años
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1 .. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN La erivaa y ' f ' es la primera erivaa e y con respecto a, pero igualmente es posible realizar la erivaa e la erivaa, y y '' f ''. Lo que se conoce como la seguna erivaa e y con respecto a. En esta forma es posible realizar erivaas e erivaas para obtener erivaas e oren superior. Velocia y Aceleración En mecánica, si s f (t) a la posición en el instante t e un cuerpo en movimiento, entonces: La primera erivaa s a la velocia, y t La erivaa seguna s a la aceleración el cuerpo t en el instante t. Así la velocia es la rapiez e cambio e la posición y la aceleración es la rapiez e cambio e la velocia.( Esto es, la rapiez con que un cuerpo aquiere o piere velocia.). Ejemplo : Si f Cos, encontrar f f ( Cos ) + Cos Por la regla el proucto f Sen + Cos Reemplazano valores e las

2 erivaas Para obtener f, se vuelve a erivar a f : f ( Sen + Cos ) De la primera erivaa. f ( Sen ) + Sen ( ) + ( Cos ) Por la regla el proucto f Cos Sen Sen f Cos Sen Reemplazano valores e las erivaas Agrupano términos comunes Ejemplo : La posición e una partícula está aa por la ecuación: s f t t + 6t + 9t Done t se mie en seguno y s en metros. i. Halle la aceleración en el instante t. La función e velocia es la erivaa e la función e posición: s f t t 6t + 9t Función e posición s v( t) t t t La aceleración es la erivaa e la función velocia: a t + 9 Derivano la función e posición. s v 6t t t Seguna erivaa. ii. Qué valor tiene la aceleración a los 4 segunos? Ejercicios Propuestos: a ( 4) 6( 4) 4 m seg

3 Determine la primera y seguna erivaas e caa una e las siguientes funciones: f f ( t) t 7 t + t g r r + r h f ( s) ( s + 5) 8 6 g ( u) 7 9 y a y 0 b u + 8 y 4 + y + y.. DIFERENCIACION IMPLICITA Y POTENCIAS FRACCIONADAS No siempre se a el caso e que se puea epresar la función en la forma y f (), esto quiere ecir que no siempre es posible epresar a y en términos e, en ocasiones sucee que una misma función corta el eje en más e una ocasión como sucee en las funciones: + y 0 y 0 En las que y no aparece eplícitamente en términos e. Es posible que una posición e una función puea ser epresaa en términos e c, siempre y cuano la función puea a, b. ser efinia entro el intervalo cerrao [ ] Métoo e iferenciación implícita. Si una curva y f () es lo suficientemente suave en too su recorrio como para tener tangente en cualquiera e sus puntos, entonces varias e sus partes serán graficas e funciones iferenciables. Cuano se tienen ecuaciones e la forma 5 + 4y y 7 0

4 En one no es posible o fácil e espejar eplícitamente la variable epeniente en términos e la variable inepeniente. Utilizano el métoo e iferenciación implícita es posible eterminar el valor e. El métoo consiste en realizar la iferenciación término a término e caa uno e los componentes e la ecuación original. Esto es más claro si se analiza meiante la ayua e un ejemplo. Hallar para y ( y) + y 0 + y 0 y Derivano Implícitamente. Igualano a cero Derivaa e para es uno ( ). Despejano la erivaa. Como se puee apreciar el métoo consiste en plantear y espejar el término. En este tipo e ecuaciones es perfectamente valia la representación e la erivaa como, como y. Ejercicios Derivar las siguientes epresiones: 5 + y 5 + y + 4 y 6 4 y y y + y k y 6 y y + y c y y + y + y + y y 0 + y l Tangentes

5 Con el métoo e la iferenciación implícita es posible calcular el valor e la tangente a, y, lo que se logra sustituyeno una función para cualquier pareja e valores aos en la ecuación e la erivaa los valores aos e y y. Ejemplo : Hallar la peniente e la tangente en el punto (, ), para la función + y + y 7 Se realiza la iferenciación en ambos laos el signo igual tenieno en cuenta que se trata e erivaas e potencias y prouctos, las que se obtienen por los métoos que ya se han visto. + + y + y 0 ( + y) ( + y) ( + y) Despejano ( + y) Derivano respecto a Agrupano términos Para el caso particular el punto (, ) se tiene: (, ) Evaluano para el punto ao El valor e la peniente para el punto ao es 4 5 Rectas Normales La recta normal a una curva en un punto ao se interpreta como la recta perpenicular a la recta tangente a la función en ese punto. Una aplicación e este concepto es el ángulo e inciencia e los rayos luminosos en una lente e aumento. Ejemplo: Hallar la ecuación e las rectas normal y tangente a la curva:

6 y 6 + 4y en el punto (,) Se realiza iferenciación con relación a en ambos laos e la iguala ( y + 4) ( y + 4) ( y + ) y Por iferenciación Implícita. (, ) ( ) Agrupano términos en Evaluano para el punto ao. y Ecuación e la recta tangente. y Ecuación e la normal En esta forma es posible obtener las ecuaciones e las rectas normal y tangente a una, y. función continua para un punto ao como Ejercicios propuestos: En los siguientes ejercicios, encontrar las ecuaciones e la recta normal y tangente a la gráfica en el punto ao:.. + y y en P (, ). 5. Sen ( y) + 4 y 4 en P, en (, ) + y 5 en P(, 4 ) y 00 y 4. π 6. + en P (, ) + y y en P, Potencias enteras negativas e una función iferenciable Regla No..8 Potencias enteras negativas e una función iferenciable La erivaa e n y u, en un punto one u g() es

7 iferenciable y istinta e cero, está aa por: n n ( u ) n u Done n es un entero negativo. u Regla e la potencias para eponentes fraccionaos Si u es una función iferenciable e, y, q y p son enteros con q > 0, entonces: Regla No..9 p p q p q u u u q Siempre que u 0 si p q. Esta regla puee entenerse como la ampliación e la regla No. 6, en one se ha p reemplazo n por, y equivale al cualquier número racional. q Ejercicios Resueltos :. Encuentre toos los puntos e la gráfica e sea horizontal. y one la tangente a la función Por efinición, una línea recta horizontal tiene peniente cero, si la primera erivaa representa la peniente e la recta tangente a la función, el problema se resuelve buscano aquellos puntos para los cuales la primera erivaa se hace cero. Primera erivaa: y Para encontrar los puntos e tangencia horizontal se buscan los valores e para los cuales se cumpla que y 0, así: y 0

8 ( ) 0 Para que la iguala se cumpla, se requiere que, bien 0 que implica: 0, lo, ó que 0 y ( ) y y 4 7. La altura s en pies e una pelota sobre el piso a los t segunos está aa por s 6 t + 40 t Por efinición e velocia se sabe que la velocia instantánea está efinia con la primera erivaa evaluaa en el momento ao. a. Cuál es la velocia instantánea cuano t? Para conocer el valor e la velocia instantánea se evalúa la primera erivaa para el punto ao t : t s t ft seg b. Cuano es cero la velocia instantánea? La velocia instantánea se hace cero para cuano la primera erivaa e hace cero, es ecir para cuano la recta tangente a la función tiene peniente cero. s t t 40 t 40 5 seg 4. Encontrar, si y u u + y u +

9 Por efinición u, luego, si: u, y u y u u u 6u u u + Luego, la erivaa será: ( u 6u )( ) ( u)( u )( ) 6 u ( u ) Para epresar esta erivaa como, se utiliza la epresión u +, luego: 6u ( u ) 6( + ) ( + ) ( 6 + )( ) Hallar si y + y + y ( Derivaa Implicita ) Derivano Implícitamente, se tiene: 0 y + y + y + y 0 0 y + + y + Eliminano términos nulos: + 6y y Agrupano términos en y ( + 6y ) ( y) Factorizano: ( y) + 6y Despejano + ( ) + ( y) + y, se tiene:

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