Derivadas de orden superior e implícitas
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- Veronica Miguélez Segura
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1 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Derivaas e oren superior e implícitas por Sanra Elvia Pérez Derivación implícita Las funciones que has estuiao hasta este momento son llamaas funciones eplícitas porque la variable epeniente se encuentra en función e la variable inepeniente, es ecir, se encuentra sola en un lao el signo igual que. Ejemplos e funciones eplícitas son: = = = + ( ) 4 ( + 8)( 7) Cuano la variable epeniente no se encuentra espejaa, sino que se localiza entro e la función, como en los ejemplos siguientes, se ice que la función es una función implícita. + = + = = + 5 Para eterminar la erivaa e las funciones eplícitas usa irectamente los teoremas que a has revisao. Para las funciones implícitas el proceimiento es un poco iferente. Observa cómo se eriva la función implícita + = UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.
2 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Proceimiento:. Los términos que contengas solamente ʹ s o constantes se erivan usano los teoremas corresponientes a vistos. + = Deriva los términos por separao: ( ) ( ) =? ( ) = 0 =. Los términos que posean s se erivan usano los teoremas vistos, pero al calcular la erivaa e un término en se anea el término. ( ) ( ) = ( ) = 0 = Observa cómo al erivar que para la erivaa es ( ) = aparece el término. Esto es porque ( ) = ʹ mientras UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.
3 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez. Se pasan el lao izquiero el signo igual (=) toos los términos en los que aparezca la. Del lao erecho se colocan los emás términos. Después e erivar los términos por separao, la erivaa quea: + = 0 Deja el término término, quea: el lao izquiero el signo igual (=) pasa al lao erecho el signo igual el = 4. Finalmente se espeja = = El resultao final es: = UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.
4 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez + Para corroborar que la erivaa es correcta encuentra un punto sobre la gráfica e =, etermina el valor e la peniente e la recta tangente en ese punto, encuentra la ecuación e la recta tangente por último grafica. Del curso e Geometría Analítica Estaística tienes que la ecuación + = correspone con una circunferencia e raio centro en el origen, por lo que un punto conocio es el punto (0,). Sabieno que = = 0, halla m 0 m = = 0 m = 0 Nuevamente el curso e Geometría Analítica Estaística, recuera que si una recta tiene peniente cero se trata e una recta horizontal, el curso e Funciones Ecuaciones, retoma el que su ecuación tiene la forma = k, es ecir, se trata e una función constante. La ecuación e esta recta es =, por que ebe cortar al eje en el punto (0, ). La gráfica e la circunferencia con centro en el origen e raio así como e su recta tangente en el punto (0, ) se muestra a continuación. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 4
5 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Circunferencia + = Recta tangente = Figura. Circunferencia recta, tangentes en el punto (0,). Ahora, se resuelven las erivaas e las tres funciones implícitas que se ieron e ejemplo. Es conveniente que analices con etenimiento las siguientes erivaas implícitas, a que muestran istintos puntos en los que ebes estar atento para erivar cualquier función implícita + + = = = + 5 UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 5
6 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo Deriva meiante el métoo e erivación implícita + = Proceimiento: + =. Los términos que contengan solamente ʹ s o constantes se erivan usano los teoremas corresponientes. ( ) ( ) ( ) = 0 =? =. Los términos que posean s se erivan usano los teoremas vistos, pero al calcular la erivaa e un término en se anea el término. Para erivar el término fórmula el proucto. u = uʹ = ( uv) = uvʹ + vu ʹ v =, usa la vʹ = ( ) = ( ) + ( ) ( ) = + UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 6
7 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez. Se pasan e lao izquiero el signo igual (=) toos los términos en los que aparezca la. De lao erecho se colocan los emás términos. Después e erivar los términos por separao: ( ) ( ) ( ) = 0 = + = la erivaa quea, + + = 0 4. Finalmente se espeja Los términos que contienen a se colocan e lao izquiero el signo e iguala. Los emás términos e lao erecho. + = Como aparecen os términos que contienen, antes e poer espejar, factoriza toma como factor común el término, ( + ) = = + UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 7
8 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo Deriva meiante el métoo e erivación implícita = + 5 Proceimiento: = + 5. Los términos que contengan solamente ʹ s o constantes se erivan usano los teoremas corresponientes. ( ) ( ) ( ) = ( 5) = 0 =? =? UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 8
9 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez. Los términos que posean s se erivan usano los teoremas vistos, pero al calcular la erivaa e un término en se anea el término. Para erivar el término proucto. u = uʹ = ( uv) = uvʹ + vu v ʹ = vʹ =, usa la fórmula el ( ) = + ( ) ( ) = + Para erivar el término proucto. u = ( uv) = uvʹ + vu uʹ = v = ( ) = + ( ) ( ) = + ʹ vʹ =, usa la fórmula el UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 9
10 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez. Se pasan e lao izquiero el signo igual (=) toos los términos en los que aparezca la. De lao erecho se colocan los emás términos. = + 5 Después e erivar los términos por separao ( ) ( ) ( ) = ( 5) = 0 = la erivaa quea, + = + + ( + ) = + 0 Pon especial atención en el manejo el signo menos e la función original. Se coloca el signo la erivaa entre paréntesis, a fin e prevenir errores. Si multiplicas este signo, la erivaa quea: + = 4. Finalmente se espeja Los términos que contienen a se colocan el lao izquiero el signo e iguala. Los emás términos el lao erecho. ʹ ʹ = + Como aparecen os términos que contienen, antes e poer espejar, factoriza toma como factor común el término, ( ) + = = + UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 0
11 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo Deriva meiante el métoo e erivación implícita + = Proceimiento: + =. Los términos que contengan solamente ʹ s o constantes se erivan usano los teoremas corresponientes.. Los términos que posean s se erivan usano los teoremas vistos, pero al calcular la erivaa e un término en se anea el término. Antes e iniciar la erivación, para facilitar el cálculo, el enominaor se pasa al seguno miembro e la ecuación, + = ( ) + = ( ) ( ) ( ) = =? = ( ) =? ( ) ( ) ( ) = = = ( ) = ʹ UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.
12 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez. Se pasan e lao izquiero el signo igual (=) toos los términos en los que aparezca la. De lao erecho se colocan los emás términos. Después e erivar los términos por separao, la erivaa quea: + = ( ) + = 4. Finalmente se espeja Los términos que contienen a se colocan e lao izquiero el signo e iguala. Los emás términos e lao erecho.! +! =! =! = El métoo e erivación implícita es útil cuano la función no se encuentra espejaa, el métoo esarrollao es aplicable a too tipo e funciones implícitas. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.
13 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Derivaas e oren superior Las erivaas e oren superior (también llamaas erivaas sucesivas) se refieren a que una vez que se ha encontrao la erivaa e una función, ésta puee volver a erivarse. Por ello, a la erivaa se le conoce como primera erivaa ( ), a la erivaa e la primera erivaa se le llama seguna erivaa ʹ, así sucesivamente. Para calcular las erivaas sucesivas e una función, basta usar las reglas que a has manejao en varias ocasiones. Ejemplo Encuentra la tercera erivaa ( ʹ ʹ ) ʹ e la función 4 = La primera erivaa es ʹ = UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato.
14 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Para hallar la seguna erivaa, se eriva el resultao anterior, es ecir, ʹ = ʹ = ( ) Por último, para encontrar la tercera erivaa, calcula la erivaa e ʹ. ʹ ʹ = ʹ ʹ = 4 8 ( 8 + 4), que es el resultao buscao. Algunos ejercicios e erivaas sucesivas suelen complicarse si no haces con cuiao los cálculos. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 4
15 CDIN06_MAAL_Implícitas Versión: Septiembre 0 Revisor: Sanra Elvia Pérez Ejemplo Encuentra la seguna erivaa ( ʹ ) 5 ʹ e la función = La primera erivaa es = = = 5 ( ) Para hallar la seguna erivaa, se eriva el resultao anterior, es ecir, ʹ = ʹ = ʹ = 4 ( ) + ( ) , que es el resultao buscao. Como se puo observar en estos ejemplos e erivaas sucesivas, la seguna erivaa es la erivaa e la primera erivaa; la tercera erivaa, es la erivaa e la seguna erivaa así sucesivamente. UVEG. Derechos reservaos. Esta obra no puee ser reproucia, moificaa, istribuia, ni transmitia, parcial o totalmente, meiante cualquier meio, métoo o sistema impreso, electrónico, magnético, inclueno el fotocopiao, la fotografía, la grabación o un sistema e recuperación e la información, sin la autorización por escrito e la Universia Virtual el Estao e Guanajuato. 5
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