Diferenciales e integral indefinida

Transcripción

1 Diferenciales e integral inefinia

2 El estuiante: Aplicará los conceptos e iferencial e integral inefinia, meiante la solución e problemas relacionaos con las ciencias naturales, las económico-aministrativas y sociales; tras conocer las reglas e iferenciación e integración inmeiata; mostrano una actitu analítica y participativa. INTRODUCCIÓN En iversos campos e estuio, como en el e la física, economía, aministración y e las ciencias sociales, se requiere realizar la estimación e una iferencia, o bien, interpretar un fenómeno como resultao inverso a la erivación. En esta unia se abora el concepto e iferencial, el cual permite hallar una aproimación e una iferencia requeria, recuperano, aemás, el concepto e erivaa. Asimismo, se presenta la integración como la operación inversa e la erivación. Se estuia, aemás, el concepto e antierivaa y se muestran los tres significaos e la constante e integración, ano a conocer las reglas e integración inmeiata y el métoo para integrar epresiones que contienen a u ; u ± a. Los temas aquí trataos tienen un sinfín e aplicaciones; las que refiere esta unia se relacionan con errores cometios en meiciones, leyes el movimiento, costo total, ingreso total y utilia total.

3 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA Nombre el alumno: Grupo: Número e lista: Aciertos: I. Desarrolla en tu cuaerno los siguientes ejercicios y subraya la opción que muestra el resultao correcto: 0 +. El resultao e = a) 5 b) 5 c) 0 ) 5. Encuentra lim a) 0 b) c) ) No eiste. Si f()= + 5, entonces el valor e f (-) es: a) 7 b) 5 c) 5 ) 4. La ecuación e la recta que pasa por el punto (, ) y tiene peniente es: a) y 7 = 0 b) + y + 7 = 0 c) + y 7 = 0 ) y + 7 = 0 5. El movimiento e una partícula está escrito meiante la función (t) = t, one t es el tiempo en segunos y (t) la istancia en metros recorria por la partícula en el tiempo t. Cuál es la velocia instantánea e la partícula? a) t m/s b) m/s c) m/s ) m/s 6. Cuál es la función que representa la siguiente gráfica? a) y = ( ) b) y = c) y = + ) y = + 7. La erivaa e y = a) y = 4 b) y = c) y = ) y = 4

4 UNIDAD I II. Respone las siguientes preguntas:. Qué es el incremento e una variable?. Cómo se lee?. Qué es una función? 4. Qué es la peniente e una recta? 5. Cómo se efine la erivaa e una función? 6. Si conoces la función y = f() que etermina una curva, cómo encuentras la ecuación e la recta tangente a la curva en uno e sus puntos? III. En las siguientes relaciones mostraas gráficamente, ientifica el ominio y el recorrio; aemás, señala la gráfica que correspone a una función.

5 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA. LA DIFERENCIAL En áreas en one se moela una situación meiante una función, como son meicina, mecánica, economía, física, sociología, entre otras, hay momentos que se requiere estimar una iferencia entre os valores e la función. Algunas veces, esta iferencia ebe eterminarse por meio el incremento e la función, mismo que apreniste a calcular en el semestre anterior; pero hay ocasiones en que se permite ar una aproimación e tal incremento, entonces se aplica la iferencial. Acércate al concepto e la iferencial. Un globo lleno e helio queará suspenio en el aire mientras que el gas entro y el equipo unio a él, pesen menos que el aire en el que está flotano. En qué momento el globo alcanza la máima altura? I. Investiga en varias fuentes bibliográficas el concepto e iferencial e una función; posteriormente, en clase, comparte la información obtenia con tus compañeros. Cuano se encienen fuegos artificiales, se visualiza la eplosión unos segunos antes e oírla. Qué iferencia hay entre la velocia e la luz y la el sonio? A Activia II. En el curso e Matemáticas V estuiaste que el incremento e se calculó por meio e la epresión =, asimismo, el incremento e y con y = y y. A partir e esto y con base en tus conocimientos previos acerca e funciones, organízate con tus compañeros y en binas resuelvan lo siguiente:. Construyan en el plano la gráfica e y = e 4

6 4 UNIDAD I. Determinen los puntos P(, y ) y Q(, y ) tomano como = y = 6 y remárquenlos sobre la curva y = e 4, también localicen en el mismo plano el punto R(, y).. Encuentren la ecuación e la recta tangente (y tan ) a la curva y = e 4 en el punto P(, y ) y trácenla en el mismo plano. 4. Determinen y marquen el punto S(, y tan ) sobre la recta tangente antes encontraa en = Calculen y y = y y, así también la longitu y y. 6. Una vez esarrollaos los puntos anteriores, analicen y responan a las siguientes preguntas: a) Cómo es la longitu y = y respecto a y y? b) Qué sucee con estas longitues a meia que = = 6 se acerca al valor =? 7. En plenaria, con el apoyo e tu profesor, comparen sus respuestas. Definiciones e y f '() Las notaciones y' = f '() fueron introucias por Lagrange, mientras que las y f formas, se eben a Leibniz, quien las utilizó para simbolizar el paso el límite e y a y cambiano por. Es sabio que la erivaa e la función y = f() se representa por la notación y = f ' en one cabe recalcar que la epresión y es el símbolo que representa el límite el cociente y cuano tiene a cero, más no la fracción con numeraor y y enominaor.

7 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 5 No obstante, al aborar el curso e cálculo integral se hace necesario ar un significao por separao tanto e y como e. Si f () es la erivaa e la función y = f() para un valor particular e, y es un incremento e, la iferencial e y = f() se representa por el símbolo y = f() y se efine por: f ( ) = y y = f '( ) = Nota que la iferencial epene e os variables, e por epener f () e ella, y e. Ahora, si y = f() =, entonces f () = ; si estas epresiones son sustituias en la epresión anterior, tenemos si: y = f () entonces y = (). Pero y = O bien, = Es ecir, cuano es la variable inepeniente, la iferencial e es, y es iéntica a. De esta forma, la epresión que efine la iferencial puee en general escribirse como: Y se enuncia como: Dy = f () La iferencial e una función es igual al proucto e su erivaa por la iferencial e la variable inepeniente. y se lee iferencial e y se lee iferencial e Interpretación gráfica e y Los iferenciales y y se interpretan geométricamente. Observa las siguientes figuras:

8 6 UNIDAD I En caa una e éstas puees percibir lo siguiente: Figura a. Se tiene la curva e la función y = f() y su incremento se representa al pasar el valor = a a = a + h por: y = f ( a + h ) f ( a ) Figura b. Está trazaa la tangente a la curva en el punto P(a, f(a)), con peniente f (a). Puees percibir que el incremento e la tangente y al pasar el valor = a a = a + h, se aproima al incremento e la función, es ecir: f ' (a ) y y f ' ( a ) Figura c. El incremento e la variable inepeniente se esigna por y el incremento e la orenaa e la tangente por y, puees avertir que la iferencial y = RS es una aproimación el incremento y = RQ. Así, se tiene la efinición: y y = f ' ( a ) Y para un valor arbitrariamente elegio e la variable inepeniente, se tiene: y = f ' ( ) Nótese: y representa el cambio en la altura e la curva y = f() y y representa la variación en y a lo largo e la recta tangente, cuano varía en un valor =.

9 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 7 Incremento y iferencial I. Daa la función y = f (), el valor e y el incremento D pueen eterminar, y, y y y a partir e lo epuesto anteriormente. En equipos e trabajo e cuatro integrantes como máimo, completen las tablas, según se inica, y ajunten a la misma su proceimiento. A Activia. Si y =. y y y y Proceimiento:. Si y = 5. y y y y Proceimiento:. Si y = y y y y Proceimiento: II. El profesor elegirá el equipo que eponrá la solución e las tablas.

10 8 UNIDAD I Reglas e la iferenciación A Activia Como ya lo has estuiao, la erivaa e una función se calcula meiante el cociente e y Newton f ( + ) f ( ) = lim ; o bien, para facilitar este proceimiento en funciones complejas se aplican reglas e erivación según la estructura e caa 0 función. Recorano fórmulas. I. Revisa tus notas el semestre anterior referente a las fórmulas para erivar funciones algebraicas y completa la siguiente tabla: Se enuncia: La erivaa e la función constante es igual a cero. Fórmula: c = 0 La erivaa e la función ientia es igual a uno. La erivaa e la potencia e una variable respecto a sí misma e eponente constante es igual al proucto el eponente por la variable elevaa al eponente isminuio en una unia. c = c cn = cn n La erivaa el proucto e una constante y una función es igual al proucto e la constante y la erivaa e la función. La erivaa e la potencia e una función e eponente constante es igual al proucto el eponente y la función elevaa al eponente isminuio en una unia, y esto por la erivaa e la función (Regla e la caena). c( u) = c ( u) c cn ( u) n ( u) n - = ( u) La erivaa e la suma algebraica e os funciones es igual a la suma algebraica e las erivaas e ichas funciones. uv = ( u ) ( v) + ( v) ( u )

11 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 9 Se enuncia: La erivaa e un cociente e funciones es igual al proucto el enominaor y la erivaa el numeraor, menos el proucto el numeraor y la erivaa el enominaor, too iviio por el cuarao el enominaor. Fórmula: II. También recupera el formulario que hiciste para erivar funciones trascenentes, compara tus fórmulas con las que a continuación se enlistan y reacta un formulario nuevamente, ahora con las características que especifique tu profesor. Funciones Simples Compuestas ln = Logarítmicas log = log e a a log ln( u ) = u ( u ) a log ( a u ) = e ( u ) u e = e e u e u = ( u ) Eponenciales a a = ln a au a u ln a u = uv = vu v ( u ) + uv nu () v potencial + eponencial

12 0 UNIDAD I Funciones Simples Compuestas sen = cos sen u u = cos ( u ) cos = sen tan( u) = sec u ( u) Trigonométricas tan cot = sec = csc tan( u ) = sec u ( u) cot( u ) = csc u ( u ) La operación para hallar iferenciales se llama iferenciación. Trigonométricas inversas sec = sec tan csc = csc cot sen arcsen = = cos = arccos = tan = arctan = + cot = cot = + arc sec = = arc sec csc = = arc csc sec( u ) = secutan u ( u) csc ( u ) = cscucot u ( u ) arcsenu = ( u u ) arccosu = ( u u ) arctan u = + u u = arc u cot + u u = arc u sec ( u u u ) arc u csc = ( u u u ) Habieno recorao las fórmulas para erivar funciones y sabieno que la forma e epresar la iferencial e una función es a partir el proucto e la erivaa por la iferencial e la variable inepeniente, se formulan las reglas para hallar las iferenciales, con sólo multiplicar caa una e las fórmulas anteriores por, como se muestra a continuación.. (c) = 0 u 9. ( ln u)= u. () = 0. (a u ) = a u ln a u. ( n ) = n n. (e u ) = e u u 4. (cu) = c u. (u v ) = vu v - u + u v ln u v 5. (u n ) = nu n u. (sen u) = cos u u

13 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 6. (u + v + w) = u + v + w 4. (cos u) = sen u u 7. (uv) = u v + v u 5. (tan u) = sec u u, etc. 8. u v = vu uv v 6. (arc sen u) = u u, etc. Así, tenemos que para encontrar la iferencial e una función, se halla la erivaa y ésta se multiplica por. Observa los ejemplos:. Halla la iferencial e: + y = Derivaa: y ( )() ( + ) 4 = = = = + 8 Diferencial: n = n y = + 8. Halla la iferencial e: = + / y = ln + ln( ) Derivaa: y = ( + ) = ( + ) / / ( + ) n m = m/ n

14 UNIDAD I Diferencial: y = +. Halla la iferencial e: y = sen ( ) Derivaa: y = 6 = arc sen = sen = csc sen Diferencial: y = En binas, realicen los siguientes ejercicios. Comprueben en su libreta e apuntes que la iferencial aa es correcta, hallen previamente la erivaa y anoten el resultao en el recuaro corresponiente. Función Derivaa Diferencial y = y = y = y = y = + y = ( + ) y = y = 6 y = e tan( ) tan y sec e = + y = 5 + y ln5 5 + = y = + y = + ln + + +

15 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA y = lncos y = tan Se ha mencionao que la iferencial puee aplicarse para encontrar una aproimación e ciertos valores, estimar el aumento o isminución e una longitu, un área o un volumen, o bien, eterminar el error cometio al cambiar un valor por otro en una meición. Pero, cómo se aplica? A continuación obtenrás la respuesta: La iferencial como aproimación el incremento Para eterminar en una función la variación que hay en la variable epeniente y, cuano la variable inepeniente cambia e un valor a otro, has aplicao el incremento y. Ahora porás aplicar también la iferencial y, tras avertir que la iferencial es una aproimación el incremento y puee ser sustituio el cálculo e y por y. Veamos: Observa otra vez la figura que muestra la interpretación geométrica e la iferencial, en ella puees eucir con claria que y = RQ y y = RS son aproimaamente iguales cuano = PR es muy pequeña. Cuano es necesario encontrar un valor aproimao el incremento e una función conviene, en la mayoría e los casos, eterminar la iferencial corresponiente y estimar su valor. Avierte que al pasar a +, f () = y pasa aproimaamente a f() + f () = y + y, lo cual implica que la fórmula que puee utilizarse para aproimar valores e una función es: f ( + ) f + f ' O bien, puee representarse esta fórmula como f ( +) y + y. Para la función y =, una forma e eplicar esta aproimación e la iferencial respecto al incremento es meiante el uso e cuaraos y rectángulos, como se muestra a continuación:

16 4 UNIDAD I Done: y = + = + = + Aquí: y y = = = y y y A continuación revisaremos algunos ejemplos en los que porás percibir lo útil que es aplicar la iferencial al estimar un aumento o isminución e una función, o simplemente hacer una aproimación.. Al calentar una lámina circular metálica e m e iámetro, éste aumenta. cm. Cuánto se incrementa aproimaamente su área? Solución La fórmula para calcular el área A e un círculo e iámetro es: A= π 4 El aumento en su área se tiene aproimaamente a partir el cálculo e la iferencial A, one =. cm y = 00 cm. A = π = π ( 00)(. ) = A = cm

17 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 5. Comparar el volumen eacto con el volumen aproimao e una cáscara esférica e 50 mm e iámetro eterior y mm e espesor. Solución La fórmula para calcular el volumen V e una esfera e raio r, o bien, iámetro es: 4 V = πr = π 6 Es claro que el volumen eacto e la cáscara es V = 94,78.9 mm (iferencia entre os esferas macizas e iámetros e 50 mm y 48 mm respectivamente), y un valor aproimao e V es V, cuyo valor se etermina como sigue: La erivaa e V respecto al iámetro es: V entonces, la iferencial es: V = π = π sustituyeno = 50 mm y = 48 mm 50 mm = mm, se tiene: V = π ( 50 mm) ( mm) V = mm Luego, el valor aproimao el volumen e la cáscara esférica es 96,50 mm (espréciese el signo negativo, pues sólo inica que Visminuye a meia que aumenta). Al comparar los os resultaos se aprecia que la aproimación es aceptable, pues, V V = mm mm = mm Esto se ebe a que es pequeño en comparación con.. Determinar por meio e incrementos y iferenciales en cuánto aumenta el área e un cuarao e m e lao, cuano éste se incrementa en mm y comparar estos resultaos por meio e una iferencia. Solución Se consiera: área A =, = y = 0.00 El incremento A cuano cambia e m a.00 m es: A = (. 00) = = A= m

18 6 UNIDAD I Y la iferencial A es: A = = ( 000. ) = A = m Al comparar estos resultaos por meio e una iferencia se tiene: - 06 A A = = 0-06 A A = 0 m Con esta iferencia, se aprecia que la aproimación es aceptable. 4. Al calentar una placa cuaraa metálica e 5 cm e longitu, su lao aumentó 0.04 cm. Cuál es el aumento en su área? Cuál es el aumento en su área aproimaamente? Es aceptable la aproimación? Por qué? Solución Se consiera: área A =, = 5 y = 0.04 El aumento en el área es el incremento A cuano cambia e 5 m a 5.04 cm, cuyo cálculo es: A = ( 5. 04) ( 5) = = 06. A = 06. cm Y la iferencial A es el aumento en el área aproimaamente: A = = ( 5)( 004. ) =. A =. cm Esta aproimación es aceptable, ya que al efectuar la iferencia entre estos resultaos se tiene: - 06 A A = = 0-06 A A = 0 m Con esta iferencia, se aprecia que la aproimación es aceptable. En algunos casos estas variaciones se mien en porcentajes, para este ejemplo como 0.04 es 0.666% e 5 y. es 0.5% e (5) = 5; por lo tanto, se concluye que si el lao e la placa se incrementa en 0.66%, el área aumentará aproimaamente 0.5%. 5. Si al enfriarse una placa cuaraa metálica e 0 cm e lao, éste isminuye 0.0%, en qué porcentaje isminuye su área? Solución 0.0 % e 0 es: ( 00. )( 0) = Se consiera: área A =, = 0 y = 0.006

19 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 7 Así, A = = ( 0)( ) = 04. El resultao 0.4 e 400 es: ( 04. )( 00) = Esto inica que el área isminuye 0.06%. 6. Determinar un valor aproimao e tan 46 por meio e iferenciales. Solución Se especifica la función y = tan y se halla su iferencial y = sec y se escompone 46, e manera que = 45 y =. π A partir e que tan 45º =, sec 45º = y º = ra = ra, se obtiene: 80 Así, y = tan(45º) y y = (sec 45º) (0.075) y = y = ( ) = ( ) y = Fórmula: f ( + ) y+ y Sustitución: tan 46º = tan (45º + ) Aproimación: tan 46º.05 Si buscas el resultao e tan 46 en las tablas trigonométricas o en la calculaora científica encontrarás que tan 46 = Estimar el valor e cos 59. Solución Se especifica la función y = cos y se halla su iferencial y = sen y. Se escompone 59 e manera que = 60 y =. Luego, se tiene: Fórmula: Sustitución: Aproimación: f ( + ) f () + f '() cos 59º = cos (60º º) cos 60º + sen (60º)( º) cos 59º + ( )=

20 8 UNIDAD I 8. Estimar el valor e 5.. Solución Se especifica la función f = y se halla su iferencial f ( )=. Se escompone 5. e manera que = 5 y = 0.. Luego, se tiene: + Fórmula: f + f f ' Sustitución: 5. = (. )= +. Aproimación: Este resultao aparece en la calculaora como tan 46 = Al calentar una lámina circular metálica e 50 cm e iámetro, éste aumenta cm. Cuánto se incrementa su área aproimaamente?. Calcula el volumen aproimao e una cáscara esférica e 5 cm e raio eterior y 0.05 cm e espesor.. Encuentra el valor aproimao el volumen e una cáscara esférica e 00 mm e iámetro eterior y mm e espesor. 4. Determina cuánto aumenta aproimaamente el área e un cuarao e m e lao, cuano éste aumenta 5 mm. 5. Al calentar una placa cuaraa metálica e 5 cm e longitu, su lao aumentó 0.5 cm. Cuánto se incrementó su área? Cuánto aumentó aproimaamente su área? Es aceptable la aproimación? 6. Se enfría una placa cuaraa metálica e 60 cm e lao, isminuyeno éste 0.0%. Cuál es el porcentaje que isminuye su área? 7. Usa iferenciales para eterminar un valor aproimao e a) sen, b) cos 59, c) tan Estima el valor e (a) 6., (b) 7, (c), La pare lateral e un epósito cilínrico e m e iámetro y.5 m e altura ebe revestirse con una capa e concreto e cm e espesor. Cuál es aproimaamente la cantia e concreto en kilómetros que se requiere? 0. Si un aviaor vuela alreeor el muno a una altura e. km sobre el Ecuaor, cuántos kilómetros más recorre que una persona que hace su viaje a lo largo el Ecuaor?

21 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 9. Calcula aproimaamente el cambio en la superficie total e un cono circular recto, si el raio e m permanece constante y su altura e.5 m cambia a m. Errores pequeños Otra aplicación e la iferencial, como ya se mencionó, se a cuano se necesita estimar el error cometio en una meición. A tu alreeor es necesario eterminar meiciones físicas, en ocasiones ha e consierarse el valor eacto que es el valor meio o calculao, pero hay veces que se presenta un margen e error en la meia, y entonces se tiene un valor aproimao. La iferencia entre el valor aproimao y el valor eacto e una meia (incremento) es el error cometio en icha meia, llamaa error absoluto, y una aproimación e éste puee eterminarse por la iferencial; tal como se muestra: Si la función y = f () representa una meia física, su iferencial y = f () es una aproimación el error absoluto e icha meia. Para estimar si la aproimación el error absoluto es aceptable o no, éste se compara con el valor eacto, como se inica en la siguiente efinición. El error relativo es la razón entre la aproimación el error absoluto y el valor eacto, así: y f = = error relativo y f Se consiera que el error absoluto es aceptable si el error relativo es pequeño. El error relativo puee epresarse en porcentaje, para ello bastará multiplicarlo por 00; es ecir: y y ( 00)= error relativo epresao en porcentaje. En los siguientes ejemplos porás comprener la importancia e aplicar la iferencial, a partir e conocer el error cometio en una meición.. Hallar la aproimación el error absoluto cometio al calcular el área el piso e un cuarto cuarao que mie e lao. ± 0. m y que se esea alfombrar.

22 0 UNIDAD I Solución Se consiera: área A =, =. y = 0. El valor aproimao el error absoluto en el área es la iferencial A, A = = (. )( 0. )= 064. A = 064. m. Hallar el valor eacto y los errores absoluto y relativo obtenios al calcular el área e un círculo, si al meir su iámetro se halla que es 4. cm, con un máimo error e 0.05 cm. Aplicar la fórmula para eterminar el área a partir el iámetro. Estimar si el margen e error es aceptable. En la práctica, el valor eacto se esconoce, por lo que se toma como tal el meio o calculao. Solución La fórmula para calcular el área A e un círculo e iámetro es: A= π 4 El valor eacto e A se tiene cuano = 4.; entonces, π Valor eacto: A = = El error absoluto con que se obtiene A es el incremento A cuano cambia e 4. cm a 4.5 cm, es ecir: 4 Error absoluto: A = π π = = Un valor aproimao el error absoluto en el área es la iferencial A: Luego, el error relativo es: A = π = π( 4. )( 005. )= 0. Error relativo: A A = = 004., o bien,.4%. Como el resultao el error relativo es pequeño, se estima que el error cometio es aceptable.. Halla el valor eacto y los errores absoluto y relativo obtenios al calcular el volumen e un cubo e 0 cm e arista, con un máimo error en la meia e ésta e 0.0 cm.. Calcula el error absoluto y relativo cometio en el cálculo el volumen e una esfera, si su iámetro mie.5 ± 0. mm.

23 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA. Si ecimos que 080. es 09. = 08.. Cuál es la aproimación el error absoluto?, cuál es el error relativo? 4. La velocia aquiria por un objeto que cae libremente una istancia e 00 m a partir el reposo, está aa por v = h m/s. Calcula el error en v ebio a un error e 0.5 m al meir la altura. 5. Determina en cuánto aumenta el área e un cuarao e m e lao, mientras éste aumenta en un milímetro. Calcula el error absoluto, una aproimación e éste y el error relativo.. LA INTEGRAL INDEFINIDA Dese tu primer acercamiento a las matemáticas, has resuelto operaciones e tal moo que al separarlas e os en os, en el oren que las fuiste estuiano, se tienen operaciones mutuamente inversas; por tanto, se tienen: Suma y resta. Multiplicación y ivisión. Elevar a una potencia y etraer raíz. También has hallao funciones inversas, como: y = =± + 4 es y 4; y a ; y = log es = a y = cos es = cos = arc cos. En el curso anterior se estuió cómo puee obtenerse la función erivaa, a partir e una función erivable. Esta operación erivaa se epresa por: f = f ' Ahora, surge la pregunta hay una operación inversa a la erivaa?; es ecir, aa una función f(), eiste otra función F(), tal que F () = f()? Hay una imagen más familiar que una manzana? Pero verla caer a la misma velocia que una pluma en el vacío no lo es tanto. Galileo Galilei fue el primero en enunciar esta ley: Toos los cuerpos en el vacío caen con la misma velocia. Si se conoce la velocia e caía puee calcularse el espacio recorrio. El proceso que permite pasar e la velocia (erivaa) al espacio o esplazamiento (función primitiva) se llama integración. O bien, puesto que en cálculo integral se han empleao ya iferenciales, esta interrogante puee plantearse como: hay una operación inversa a la iferencial?. Es ecir, aa una función f(), eiste otra función F(), tal que F () = f()? Veamos: Si f() =, entonces puee ser F() =. Si f() =, entonces puee ser F() = +.

24 UNIDAD I 4 Si f() = 4, entonces puee ser F= + 5. Así también, A Activia Si f() =, entonces puee ser F() =. Si f() =, entonces puee ser F() = +. 4 Si f() = (4 + ), entonces puee ser F= + 5. Antierivaa? I. Organizaos en binas y hacieno uso e su formulario e erivaas y iferenciales, completen la línea y en respuesta a las preguntas.. es la erivaa e, y es la iferencial e. es la erivaa e, y es la iferencial e. es la erivaa e, y es la iferencial e 4. + es la erivaa e, y ( + ) es la iferencial e es la erivaa e, y es la iferencial e es la erivaa e, y es la iferencial e es la erivaa e, y es la iferencial e 8. e es la erivaa e, y e es la iferencial e 9. cos es la erivaa e, y cos es la iferencial e 0. sec es la erivaa e, y sec es la iferencial e. Encontraste más e una respuesta para alguna e estas preguntas?. Cuál tiene más respuestas?. Cuál tiene menos respuestas? 4. Tienen respuesta para las cuestiones: hay una operación inversa a la erivaa?, hay una operación inversa a la iferencial? 5. Previa investigación, qué nombre recibe icha operación inversa?

25 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA II. En plenaria, con el apoyo e tu profesor, verifiquen sus respuestas. Con la activia antes realizaa, es eviente que sí hay una operación inversa a la erivaa; éste es el contenio el tema. Antierivaas Consiera que tienes la ecuación: F () = f() Así también, F () = = f() A partir e esto, cuál es la función F()?, es ecir, qué función F() cumple que su erivaa sea? Como ya sabes, si erivas la función F() =, obtienes F () =, así, iviieno por, se tiene F () = a partir e F=. A una función que cumple con estas características se le llama una antierivaa o primitiva e la función f() =. Se efine que si f() y F() son os funciones reales efinias en un mismo ominio. La función F() es una función antierivaa o primitiva e f(), o simplemente una antierivaa o primitiva e f(), si F() tiene por erivaa a f(). Esto es, Si F () = f(), entonces F() se enomina una antierivaa o primitiva e f(). Esta efinición puee arse también a partir e iferenciales, ao que f() y F() son os funciones reales efinias en un mismo ominio. La función F()es una función antierivaa o primitiva e f(), o simplemente una antierivaa o primitiva e f(), si F()tiene por iferencial a f(). Entonces, Si F () = f(), entonces F() se enomina una antierivaa o primitiva e f().

26 4 UNIDAD I La operación que permite obtener una antierivaa o primitiva F(), a partir e una función f(), recibe el nombre e integración; una antierivaa o primitiva también se enomina Integral. Una función es integrable si eiste F() y F = F' = f antierivaa e f(). enotará cualquier En la notación: f es el signo e Integral y se lee: integral e. f() se enomina integrano. La iferencial, inica que es la variable e integración. El signo e integración (S e suma) fue propuesto por Leibniz. Puees consierar que: La erivación y la integración son operaciones inversas. Así como: La iferenciación y la integración son operaciones inversas. En caa uno e los siguientes ejemplos, se a la antierivaa o primitiva F(), su iferencial F () corresponiente y el planteamiento con el símbolo e integral. Primitiva Diferencial Integral. F () = F '() = =. F () = sen F '() = cos cos = sen. F () = arc tan F ' ( ) = + + Completa la tabla eterminano la iferencial e caa una e las primitivas que se inican y epresa el planteamiento con el símbolo e integral. Primitiva Diferencial Integral. F () =. F () 4. F () = tan 4. F () = arc sen

27 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 5 5. F () = e 6. F () = ln Primitiva Diferencial Integral Constante e integración De lo anterior, se esprene que una función puee tener varias antierivaas o primitivas. En la siguiente tabla se muestran algunas primitivas e la función f() =, aemás se comprueba que F () = f(), lo cual es representao a su vez por meio el símbolo e la integral. Primitiva F () Diferencial F '() = Integral f () = F () F () = F '() = = F() = + F '() = = + F () = + 5 F '() = = + 5 F () = + F '() = = + F () = F '() = = F () = 0 F '() = = 0 F () = + F '() = = + En general, ao que c es un número real cualquiera, la función F () = + c es una primitiva para f () =. Luego, se sigue que: F () = + c F() = = + c La constante arbitraria c se enomina constante e integración. Encuentra cinco primitivas para caa función que se inica y escríbelas en la tabla verticalmente.. f () =. f () = 5 4. f () = e 4. f ( )= 5. f =

28 6 UNIDAD I Determinación e la constante e integración por meio e coniciones iniciales Cuano se conoce el valor e la integral para algún valor particular e la variable, es posible eterminar el valor e la constante e integración c e la epresión iferencial a integrar. A continuación se muestran algunos ejemplos:. Se pie hallar la función cuya primera erivaa sea y tenga el valor e cuano =. Solución: De acuero con las coniciones el problema eberá encontrarse la integral e la iferencial. Así, se tiene la epresión: = + c A partir e esto y con los valores otorgaos se plantea que: = + c e one: Por lo tanto, la función buscaa es: = + c = 8 c = 4 c + 4. Se pie hallar una primitiva F() e f() =, cuya gráfica pasa por el punto P(,). Si pasa por el origen, qué primitiva se obtiene? Solución: De acuero con las coniciones el problema, las primitivas e f() son e la forma: F() = + c. Como la primitiva pasa por P(, ), se tiene = y F() =. A partir e lo anterior: = + c c = c = = ()+ c

29 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 7 Por lo tanto, la primitiva buscaa es: F () = + Si pasa por el origen, c = 0 y la primitiva es F() =. Se pie hallar la función lineal que representa una recta cuya peniente es y pasa por el punto P(0, 4). Solución Como la erivaa e la función lineal es su peniente, se tiene: De one: Por pasar por el punto P(0, 4), resulta 4 = c. Por lo tanto, la función buscaa es: F () = f() = + c F() = + 4 Los problemas planteaos hasta este apartao contienen funciones con un término cuya integral es inmeiata, que se puee encontrar por simple inspección; más aelante aplicarás las reglas e integración en problemas e este tipo. Resuelve los siguientes problemas a partir e las coniciones iniciales aas. Hallar:. La función cuya primera erivaa sea 5 y tenga el valor e 8 cuano =.. La función cuya primera erivaa sea y tenga el valor e cuano =.. La función cuya primera erivaa sea y tenga el valor e 0 cuano =. 4. La función cuya primera erivaa sea y tenga el valor e 8 cuano = La función cuya primera erivaa sea y tenga el valor e cuano =.

30 8 UNIDAD I 6. La función integral e que tenga el valor e 00 cuano = Hallar una primitiva F() e f() = cuya gráfica pasa por el punto P(, ). Y si pasa por el origen? 8. Hallar la función lineal que representa una recta cuya peniente es y pasa por el punto P(0,4). Significao geométrico e la constante e integración La constante e integración tiene tres significaos: el significao analítico, antes aborao; el significao geométrico, el cual se muestra en este momento; y el significao físico, que se estuiará posteriormente. Gráficamente, la Integral es una familia e funciones epeniente e la constante e integración cuyas gráficas se obtienen por translación e una primitiva aa. Observa y analiza los siguientes ejemplos.. En el ejemplo (figura) se muestra una función constante f () = k, cuya integral es F () = k + c. Si c (constante e integración) toma iferentes valores, obtenemos una función primitiva según el valor asignao a c: c 0 F () = k + c F () = k F () = k F () = k F () = k + F () = k + Caa una e estas funciones representa una recta que corta al eje y en 0,,,, (que son los valores aos a c), y toas tienen la misma erivaa; es ecir, la misma peniente.

31 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 9 Toas las rectas pueen obtenerse traslaano cualquiera e ellas a lo largo el eje y, ya que el valor e c no afecta la peniente e la recta.. Ahora se muestra la función lineal f() =, cuya integral es F() = + c. Si conferimos a c nuevamente iferentes valores, obtenemos la función primitiva corresponiente: c 0 4 F () = + c F () = F () = F () = 4 F () = + F () = + Caa una e estas funciones representa una parábola que corta al eje y en 0,, 4,, son los valores asignaos a c, y toas tienen la misma erivaa; es ecir, la misma peniente para el mismo valor e. Toas estas parábolas pueen obtenerse traslaano cualquiera e ellas a lo largo el eje y, ya que el valor e c no afecta la peniente e la curva. Grafica y = F () + e En equipos e trabajo, máimo e cuatro integrantes, realicen lo siguiente: A Activia. Determinen la ecuación en la forma y = F() + c, e ocho posibles curvas, cuya peniente e la recta tangente en caa uno e sus puntos sea y calculen el valor e la peniente e la recta tangente en caa una e las curvas para =. Con los resultaos obtenios completen la siguiente tabla:

32 40 UNIDAD I Ecuación e la curva Peniente en =. Con base en los resultaos obtenios responan las siguientes preguntas: a) Qué ecuación representa la familia e curvas cuya peniente e la recta tangente en caa uno e sus puntos es? b) Qué lugar geométrico representan estas curvas? c) Qué lugar geométrico representa la peniente? ) Cómo es el valor e la peniente e la recta tangente e las curvas en =? Por qué? e) Cuál será el valor e la peniente e la recta tangente e las curvas en =? Y, en =?. En el plano cartesiano e la izquiera representen las gráficas e las curvas cuyas ecuaciones señalaron en la tabla anterior; y en el otro plano, la gráfica e la función f () =, que representa la peniente. Iniquen en la línea punteaa la operación que se sigue al pasar e una gráfica a otra, según la irección e la flecha.

33 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 4 4. En un acetato copien una e las curvas que graficaron, a continuación eslicen el acetato verticalmente sobre el plano one construyeron ichas curvas, hacieno coinciir la curva marcaa en el acetato con caa una e las curvas trazaas en el plano. Es posible hacerlo? Por qué? 5. Monitoreaos los equipos por su profesor, uno e ellos eberá eponer sus resultaos frente al grupo. Significao físico e la constante e integración Físicamente se a significao a la constante e integración en problemas e movimiento uniformemente acelerao, movimiento e un proyectil, caía libre, entre otros. El siguiente ejemplo ilustra tal significao.. Halla las leyes que rigen el movimiento e un punto que se esplaza en línea recta con aceleración constante. Solución: Con base en los conocimientos e cálculo y física se tiene que la aceleración a es constante y se etermina a partir e erivar la velocia v; es ecir, De one: v t = a v = a t Integrano se tiene: v = a t + c Para eterminar c, se supone a v como la velocia inicial v 0, así se tiene v = v 0 cuano t = 0. Entonces: v 0 = 0 + c c = v 0 Luego se tiene una ley que etermina la velocia: v = a t + v 0

34 4 UNIDAD I También se tiene que la velocia v se etermina a partir e erivar la istancia s; es ecir, O bien: De one: s t s t = v = at + v 0 s = (at + v 0 ) t Integrano se tiene: s = at + v0 t + c Para eterminar c, se supone a s como la istancia inicial s 0 ; e esta forma, s = s 0 cuano t = 0. Entonces: s 0 = c c = s 0 Luego se tiene una ley que etermina la istancia: s = at + v t + s 0 0 Al sustituir a = g, v 0 = 0, s 0 = 0, s = h en esta epresión y en v = at + v 0, se obtienen las leyes el movimiento e un cuerpo que cae en el vacío partieno el reposo: v = g t y h = gt A partir e estas ecuaciones se euce también que: v = gh Resuelve los problemas planteaos a partir el concepto e antierivaa.. Un tren parte e una estación e ferrocarril con una aceleración e t m/s. Qué istancia recorrerá en 0 segunos?. Un móvil parte el origen e coorenaas, espués e t segunos las componentes e su velocia son = t y y = 6t.

35 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 4 a) Halla la posición el móvil espués e segunos y espués e t segunos. b) Halla la istancia recorria en caa una e las trayectorias.. Se lanza una piera ese el suelo hacia arriba con una velocia inicial e 9.6 m/s. Hallar: a) el tiempo en el que alcanza la altura máima, b) la altura máima, c) el tiempo en el que regresa al suelo, ) la velocia con la que llega al suelo, 4. Verifica que si v = gt y h = gt, entonces v = gh. La integral inefinia y las reglas para la integración inmeiata e iferenciales algebraicas, eponenciales y trigonométricas Con funamento en lo estuiao, poemos señalar que si conocemos una primitiva F() e la función f(), se obtienen otras primitivas e f() sumano a F() un número real cualquiera. En efecto, f () = F () + c A partir e lo anterior, si c esconocio e inefinio, la epresión F () + c se enomina integral inefinia. Esto puee interpretarse como sigue: En la práctica, la constante c se sobrentiene y puee no escribirse, aemás por abuso el lenguaje el nombre e integral inefinia puee inicar tanto el conjunto e primitivas como una e ellas. Es así que una primitiva o antierivaa puee enominarse Integral Inefinia. El conjunto e las primitivas e una función se llama Integral Inefinia. La integral inefinia cumple ciertas reglas o propieaes, las cuales son consecuencia inmeiata e la erivación. En el cálculo iferencial eiste una regla general para obtener la erivaa y la iferencial e una función aa; en el cálculo integral no se tiene una regla general como tal, que integre la epresión iferencial aa. En estos casos se utilizan tablas e integrales inmeiatas en las que se compara la epresión iferencial a integrar con algún tipo e integral que muestra la tabla; si coincien se conoce la integral, si no, se recurre a algún otro métoo que permita reucir la iferencial a una e las formas registraas en las tablas. Por ahora sólo se estuiarán tales reglas e integración y las formas e las tablas e integrales inmeiatas, según sea el tipo e función a integrar. Los métoos e integración a los que se ha hecho mención se aborarán más aelante. Son os las reglas e la integración que a su vez sirven para reucir epresiones iferenciales a integrales inmeiatas:

36 44 UNIDAD I I. Integral el proucto e un número por una función Se enuncia: La integral el proucto e un número por una función es igual al número por la integral e la función. Fórmula: k f () = k f () Esta propiea permite ejar las constantes entro o fuera el signo e integración, según convenga. Observa los ejemplos: = = = +c. 5e 5 e = = 5e + c 4. 4 = 4 = + c II. Integral e la suma algebraica Se enuncia: La integral e una suma algebraica e funciones es igual a la misma suma algebraica e las integrales e ichas funciones. Fórmula: f ± g = f ± g Observa los ejemplos:. + = c. ( sen ) = sen + = cos + + c. e e e + cos = + cos = + sen + c En algunas ocasiones, cuano se aplican estas os propieaes, es conveniente escomponer el integrano al máimo: = = ln + c + = + = + + c ln

37 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 45 Tipo e función Potencial n Simple n+ n = + c n + Formas ( u) n Compuesta u' = n+ ( u) c n + + Logarítmico = ln + c u ' u = ln u + c Eponencial e = e + c a a= + c ln a u u e u' = e + c u u a a u' = + c ln a Seno cos = sen + c cos ( u) u' = sen( u) + c Coseno sen = cos + c sen( u) u' = cos ( u) + c Tangente sec = tg + c + tg = tg + c = tg + c cos sec ( u) u' = tg u+ c ( ) ' u ' tgu c + tg u u = tg u + c cos ( u) = + Cotangente csc = cot + c + cot = cot + c sen = cot + c ( ) csc ( u) u' = cot u + c + cot u u' = cot u ' + c u ' cot u' c sen u = + Tabla e integrales inmeiatas. A continuación, se resuelven integrales utilizano la tabla e integrales inmeiatas = + c = + c = + c = = + c = + c = + c = + c = + c = = + c = + c = + c = + c = = + c = + c = + c m n n = n n m = m/ n m n m+ n + = + = n n n + = 5 + = + u a b = b a u

38 46 UNIDAD I 6. = ( ) + c = ( ) + c 7. 0 ( + ) ( + ) ( + ) = + c sen 6 sen cos = + c = sen + c cos = cos sen = cos cos sen = sen sen + c = = ln + c. + e e + = + c. = sen tg = + cos ln cos c. 5 sen 5 = cos5 + c 4. 7 = 7sec 7 sec 7 c cos = = tg sec = ( + tg ) sec = ( sec + tg sec ) = tg + tg + c u = u ' u = u ' u = u ' I. A partir e las reglas e integración y la tabla e integrales inmeiatas antes mostraa, reacta tu propio formulario. Puees cambiar en las formas compuestas, la epresión iferencial u' por su epresión equivalente u. II. Con base en tu formulario e integrales inmeiatas, calcula la integral inefinia que se inica. 6. =. 4 = 5. = 4. = = 6. = =

39 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA = 9. = 5 0. = = = ( + ) = 4. ( + ) 5 = 5. + = = = 8. sen cos = 9. cos4 sen = 0. sen =.. + = = + 5. cot = 4. e = 5. e cose = 8 6. sen = cos ln 7. = 8. cos + 9 = 0

40 48 UNIDAD I 9. 4 = tg = III. Resuelve los siguientes problemas.. Hallar la ecuación e la curva que pasa por el punto P(,5) y que tiene peniente 4 en caa punto (,y).. Hallar la ecuación e la curva que pasa por el punto P(,) y que tiene peniente + en caa punto (,y).. Se lanza una piera ese el bore e un eificio, a 6.5 m e altura, con una velocia inicial e 0 m/s. a) A los cuántos segunos alcanza su máima altura? b) Cuál es su altura máima? c) A los cuántos segunos toca el suelo? ) Con qué velocia llega al suelo? 4. Un cohete se lanza hacia arriba ese el suelo y regresa al mismo espués e 8 s. a) Con qué velocia fue lanzao? b) Cuál fue su altura máima? Integración por sustitución trigonométrica e epresiones que contienen a u ; u ± a Hay ocasiones en que el integrano contiene epresiones e las formas: a u y u ± a para los que no es posible aplicar las tablas e integración inmeiata, es así que la estrategia para integrar tales epresiones es empleano tres clases principales e sustituciones trigonométricas efectuano la sustitución como a continuación se inica: Si a u ocurre en un integrano, hágase la sustitución u = a sen θ Si a + u ocurre en un integrano, hágase la sustitución u = a tg θ Si u a ocurre en un integrano, hágase la sustitución u = a sec θ A partir e estas sustituciones, el signo el raical esaparece en caa caso.

41 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 49 Efectivamente: a a sen θ = a sen θ = a cos θ a + a tg θ = a + tg θ = asec θ a sec θ a = a sec θ = atg θ Del Teorema e Pitágoras se tiene: Como porás percatarte, los raicales a u, a + u y u a se relacionan con un triángulo rectángulo, concretamente son las formas para calcular sus laos a partir el teorema e Pitágoras. De esta forma puee construirse un triángulo y asignarle la epresión que correspona a caa lao a partir e caa raical. La función trigonométrica que ha e sustituirse en el raical se eriva el triángulo así construio. La siguiente tabla te muestra el raical con la construcción el triángulo corresponiente y especifica la sustitución trigonométrica aecuaa. a + b = c a = c b b = c a a = a + b a u a u u = sen q a u = a cosθ a + u a + u u = a tg q a + u = a sec θ u a u a u = a sec q u a = atg θ Los ejemplos siguientes muestran el cálculo e integrales que contienen en su integrano alguna e estas formas.. 6 = Solución: De la forma el raical que tiene este integrano, resulta

42 50 UNIDAD I Raical Triángulo Sustitución Trigonométrica = 6 sen θ 6 6 De one: = 6 cos θ θ 6 = 6cosθ Luego, se sustituyen los valores corresponientes en la integral, obtenieno: 6sen θ 6cosθ θ = 6 6 cosθ = 6 sen θθ = 6cosθ+c Ahora el resultao ebe epresarse en términos e la variable. A saber el triángulo construio, cos - θ = 6 6 Por lo tanto: 6 = 6 c = + c. 4 + = Solución: De la forma el raical e este integrano, se tiene: Raical Triángulo Sustitución Trigonométrica = tg θ De one: = sec θ θ 4 + = sec θ

43 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 5 Después se sustituyen los valores corresponientes en la integral, obtenieno: sec θ θ = 4 + 4tg θ( sec θ) sec θ θ cos θ θ = 4 = sen θ cos θ θ tg θ 4 = sen θ 4 sen θ = 4 + c = 4sen θ + c Ahora el resultao ebe epresarse en términos e la variable. A saber el triángulo construio, sen θ Por lo tanto, = 4 + = = c + c. Solución: 9 = De la forma el raical e este integrano, se tiene: Raical Triángulo Sustitución trigonométrica 9 9 = sec θ De one: = sec θ tg θ θ Luego, se sustituyen los valores corresponientes en la integral, obtenieno: sec θtg θ θ = 9 sec θ( tg θ) = θ = θ + c 9 = tg θ

44 5 UNIDAD I Ahora el resultao ebe epresarse en términos e la variable. A saber el triángulo construio, cos θ Así θ = cos Por lo tanto: = = cos c + 9 I. Reacta tu tabla e integración por sustitución trigonométrica y anea ésta a tu formulario e integrales inmeiatas. II. Utiliza el formulario e integrales que has io construyeno y calcula la integral por sustitución trigonométrica que se inica.... = 4 6 = u = u u = u u + 9 = = 5. = 6. 4 = ( ) 7. 4 = 8. = 4 9. = 6 0. = 5. 4 = (usar os métoos) +

45 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 5. u ( a u ) = Aplicaciones en aministración y economía: costo total, ingreso total, y utilia total En el ámbito macroeconómico, una compañía necesita estimar cuántas uniaes e un proucto eben proucir y el precio al que lo va a vener para alcanzar la máima eficiencia: el costo marginal mínimo, el ingreso máimo y la utilia máima. Toos estos factores se pueen eterminar meiante el uso e funciones matemáticas e costo, ingreso y utilia, las cuales se pueen obtener por erivación o integración, según sea el caso. Las siguientes funciones son los moelos usaos en economía. I. Para vener más uniaes e un proucto su precio ebe ser menor, este fenómeno se representa por la ecuación e emana: Done: P = a Q + b P: es el precio el proucto. a: peniente e la ecuación e emana (relación entre el precio el proucto y su emana). Q: cantia e prouctos obtenios. b: precio e venta para cero uniaes y emana nula (precio fijo). II. A partir e la ecuación e emana, y sabieno que el ingreso total I equivale al proucto el precio e venta y la cantia e uniaes venias (I = P Q)), se obtiene la función e ingreso total: I = (a Q + b) Q I = aq + bq III. El mayor ingreso IM posible e un proucto en un mercao efinio porá epresarse meiante la función e ingreso marginal, que se obtiene erivano la función e ingresos e igualano a cero tal erivaa. Así, la función e ingreso marginal es: IM = aq + b Para obtener el máimo ingreso, se ebe bajar el precio el proucto con lo cual se incrementan las uniaes venias, es ecir, hasta que aq + b = 0. IV. La que más se ajusta a la economía e escala y que muestra cómo varía el costo e cierto proucto, según su escala e proucción, es la función e costo total C:

46 54 UNIDAD I C = C a Q + C b Q + C c Q + C Done: C : costo e proucir cero uniaes (costo fijo). C a, C b, C c, C : costos e iferentes uniaes proucias. V. La prouctivia óptima se puee obtener meiante el concepto e costo marginal MC, se obtiene erivano la función e costo. Así la función e costo marginal es: CM = C a Q + C b Q + C c VI. El costo unitario e un proucto según la cantia e uniaes proucias lo etermina el costo meio CMe, eterminao por el cociente el costo total y la cantia e uniaes proucias (CMe = C/Q). Así, CMe = (C a Q + C b Q + C c Q + C )/Q VII. La función e utilia U total se obtiene eterminano la iferencia entre el ingreso total y el costo total; por lo tanto: U = I C VIII. La erivaa e la función utilia total será la función e utilia marginal UM, la cual proporciona una buena aproimación e la ganancia o péria real resultante e la venta e las uniaes Q +, cuano se han venio Q uniaes. Con base en las funciones epuestas, y consierano que la integración es la operación inversa e la erivación, se euce que: Integrano la función que representa el costo marginal, se obtiene la función que representa el costo total. Integrano la función que representa el ingreso marginal, se obtiene la función que representa el ingreso total. Integrano la función que representa la utilia marginal, se obtiene la función que representa la utilia total. Los siguientes ejemplos muestran esta aplicación.. Una subsiiaria e una compañía electrónica fabrica una calculaora e bolsillo. La gerencia eterminó que el costo marginal iario e proucción e estas calculaoras (en ólares) está ao por CM = , con un costo fijo e,000 ólares.

47 DIFERENCIALES E INTEGRAL INDEFINIDA 55 Solución: a) Cuál es la función que etermina el costo total? b) Cuál es el costo meio e proucción en 00 calculaoras? a) La función e costo total está aa por la integral e la función e costo marginal. Así, = c y como el costo fijo es c =,000 se tiene que la función e costo total es: C = b) Ahora, para calcular el costo meio se evalúa la función e costo total en = 00, y se ivie por él mismo, obtenieno: CMe = / 00 CMe = 8600 / 00 CMe = 4 ólares. Supóngase que la función e ingreso marginal (en ólares) relacionaa con la cantia emanaa e un cierto sistema e sonio está aa por IM = y el costo total e proucción el moelo 009 es C = ,000. a) Cuál es la función que etermina el ingreso total? b) Cuál es la ecuación e emana? c) Cuál es la función que etermina la utilia total? ) Cuál es la función que etermina la utilia marginal? e) Calcular UM (,000) e interpretar el resultao. Solución: a) La función e ingreso total está aa por la integral e la función e ingreso marginal. Así: b) Puesto que P I = I =, la ecuación e emana es: Q P = c) Si sabemos que U = I C, entonces: U = ( ) U =

48 56 UNIDAD I ) Derivano la función e utilia total obtenemos la función e utilia marginal: UM = e) Evaluano esta función para =,000, se obtiene: UM = + = 0 Este resultao inica que la ganancia real obtenia por la venta e 00 sistemas e sonio es e 0 ólares aproimaamente. I. Encuentra la función e costo total, según la función e costo marginal aa.. CM = ; el costo fijo es e $5.. CM = 00 +,500; el costo fijo es e $5,000.. CM = ; 5 uniaes cuestan $, CM = ; 5 uniaes cuestan $ La función e utilia marginal por la venta e cientos e artículos e una marca es UM = 4 5 +, y cuano ningún artículo se vene es e $50. Cuál es la función que etermina la utilia total? 6. Una empresa fabrica refresco e litros. La gerencia eterminó que el costo marginal iario e proucción e estos refrescos (en pesos) está ao por: CM = , con un costo fijo e $5,000. a) Cuál es la función que etermina el costo total? b) Cuál es el costo meio e proucción en 00 refrescos? 7. Supóngase que la función e ingreso marginal (en ólares), relacionaa con la cantia emanaa e un sistema e cierto proucto, está aa por IM = y el costo total e proucción e una cierta marca es: C = ,000. a) Cuál es la función que etermina el ingreso total? b) Cuál es la ecuación e emana? c) Cuál es la función que etermina la utilia total? ) Cuál es la función que etermina la utilia marginal? e) Calcular UM (5000) e interpretar el resultao.