3.4. Derivadas de funciones trigonométricas. Derivada de la función seno

Transcripción

1 3.4 Derivaas e funciones trigonométricas 83 T 6. Drenao e un tanque El número e galones e agua que ay en un tanque t minutos espués e que éste empezó a vaciarse es Q(t) (3 t). Qué tan rápio salía el agua al transcurrir min? Cuál es la razón promeio a la que el agua sale urante los primeros min? 7. Drenao e un tanque Para renar por completo un tanque e almacenamiento se necesitan oras; el fluio el tanque sale al abrir una válvula en su base. La profunia y el fluio en el tanque t oras espués e abrir la válvula está aa por la fórmula y 6a - t b m. a. Encuentre la razón ynt(m/) a la que el tanque está renano en el tiempo t. b. En qué momento está escenieno más rápio el nivel el fluio en el tanque? En qué momento lo ace más espacio? Cuáles son los valores e ynt en esos tiempos? c. Grafique juntas y y ynt, y iscuta el comportamiento e y en relación con los signos y valores e ynt. 8. Inflao e un globo El volumen V s4>3pr 3 e un globo esférico cambia e acuero con su raio. a. A qué razón (pie 3 Npie) cambia el volumen con respecto al raio cuano r pies? b. Cuánto crece aproximaamente el volumen cuano el raio cambia e a. pies? 9. Despegue e un aeroplano Suponga que la istancia recorria por un aeroplano a lo largo e una pista antes el espegue está aa por D (N9)t, one D se mie en metros ese el punto e inicio, y t se mie en segunos ese el momento en que se quitan los frenos. El aeroplano espegará en el instante que alcance kmn. Cuánto tiempo tara en espegar y qué istancia recorrerá en ese tiempo? 3. Brotes e lava volcánica A pesar e que la erupción el volcán awaiano Kilauea Iki, en noviembre e 959, empezó con una línea e brotes e lava a lo largo e la pare el cráter, más tare la activia se concentró en un solo orificio ubicao en el piso el cráter. En un momento ao, la lava lanzaa ese ico orificio alcanzó una altura e 9 pies (un récor munial). Cuál fue la velocia e salia e la lava en pies por seguno? En millas por ora? (Sugerencia: Si v es la velocia e salia e una partícula e lava, su altura t segunos más tare será s y t 6t pies. Empiece por eterminar el tiempo en el que snt. Desprecie la resistencia el aire). T En los ejercicios 3 a 34 se a la función e posición s f(t) e un objeto que se mueve a lo largo el eje s como una función el tiempo t. Grafique f junto con la función velocia yst s>t ƒ st y la función e aceleración ast s>t ƒ st. Comente el comportamiento el objeto en relación con los signos y valores e y y a. Incluya en su comentario temas como los siguientes: a. En qué momento el objeto está momentáneamente en reposo? b. Cuáno se mueve a la izquiera (abajo) o a la ereca (arriba)? c. Cuáno cambia e irección?. En qué momento aumenta o isminuye su rapiez? e. Cuáno se mueve a su máxima velocia? Cuáno lo ace a la mínima? f. Cuáno está más lejos el origen? 3. s t - 6t, t.5 (un objeto pesao lanzao verticalmente ese la superficie terrestre, a piesnseg) s t - 3t +, t 5 s t 3-6t + 7t, t 4 s 4-7t + 6t - t 3, t Carrera e caballos pura sangre En un ipóromo un caballo e raza pura realiza una competencia e estaios (un estaio equivale a yaras, aunque usaremos en este ejercicio estaios y segunos como uniaes). A meia que el caballo pasa caa marca e estaio (F), un juez registra el tiempo transcurrio (t) ese el inicio e la carrera, con los resultaos que se muestran en la tabla: F t a. Cuánto tara el caballo en terminar la carrera? b. Cuál es la rapiez promeio el caballo urante los primeros 5 estaios? c. Cuál es la rapiez aproximaa el caballo cuano pasa por la marca e los 3 estaios?. En qué parte e la carrera el caballo corre más rápio? e. En qué parte e la carrera el caballo acelera más rápio? 3.4 Derivaas e funciones trigonométricas Mucos e los fenómenos e los que requerimos información muestran un comportamiento más o menos perióico (campos electromagnéticos, ritmos cariacos, mareas, clima). Las erivaas e senos y cosenos juegan un papel clave en la escripción e cambios perióicos. En esta sección se mostrará cómo erivar las seis funciones trigonométricas básicas. Derivaa e la función seno Para calcular la erivaa e f(x) sen x, para x meio en raianes, combinamos los límites el ejemplo 5a y el teorema 7 e la sección.4, con la ientia para la suma e ángulos: sen sx + sen x cos + cos x sen.

2 84 Capítulo 3: Derivaas Si ƒsx sen x, entonces ƒsx + - ƒsx ƒ sx sen sx + - sen x ssen x cos + cos x sen - sen x sen x scos - + cos x sen asen x# cos - cos - sen x# lím sen x# + cos x # cos x. b + lím acos x# sen sen + cos x# lím b Definición e erivaa Ientia el seno para la suma e ángulos Ejemplo 5(a) y teorema 7, sección.4 La erivaa e la función seno es la función coseno: ssen x cos x. EJEMPLO Derivaas que involucran el seno (a) y x - sen x: (b) y x sen x: y x - Asen xb x - cos x. Regla e la iferencia y x Asen xb + x sen x Regla el proucto (c) y sen x x : x cos x + x sen x. y x# Asen xb - sen x # x x cos x - sen x x. Regla el cociente Derivaa e la función coseno Con la ayua e la fórmula e la suma e ángulos para el coseno, cos sx + cos x cos - sen x sen,

3 3.4 Derivaas e funciones trigonométricas 85 tenemos y y' y cos x x y' sen x FIGURA 3.3 La curva y -sen x como la gráfica e las penientes e las tangentes a la curva y cos x. x cossx + - cos x scos x scos x cos - sen x sen - cos x cos xscos - - sen x sen cos x# cos - cos - cos x# lím cos x# - sen x # -sen x. - lím sen x# sen sen - sen x# lím Definición e erivaa Ientia e la suma e ángulos para el coseno Ejemplo 5(a) y teorema 7, sección.4 La erivaa e la función coseno es el negativo e la función seno: scos x -sen x La figura 3.3 muestra una manera e ver este resultao. EJEMPLO Derivaas que involucran el coseno (a) (b) y 5x + cos x: y sen x cos x: y s5x + Acos xb 5 - sen x. Regla e la suma (c) y cos x - sen x : y A - sen xb - sen x s - sen x y sen x Acos xb + cos x Asen xb sen xs-sen x + cos xscos x cos x - sen x. s - sen xs-sen x - cos xs - cos x - sen x. Acos xb - cos x A - sen xb s - sen x s - sen x Regla el proucto Regla el cociente sen x + cos x

4 86 Capítulo 3: Derivaas s 5 5 Posición en reposo Posición en t FIGURA 3.4 Un cuerpo que cuelga el extremo e un resorte y espués se esplaza, oscila acia arriba y acia abajo e la posición e reposo. Su movimiento está escrito por funciones trigonométricas (ejemplo 3). s, y y 5 sen t 3 s 5 cos t 5 FIGURA 3.5 Las gráficas e la posición y la velocia el cuerpo el ejemplo 3. t Movimiento armónico simple El movimiento que escribe un objeto bamboleánose libremente acia arriba y acia abajo, en el extremo e un resorte o una cuera elástica, es un ejemplo e movimiento armónico simple. El ejemplo siguiente escribe un caso en one no ay fuerzas opuestas como la fricción o la flotación que esaceleren el movimiento. EJEMPLO 3 Movimiento en un resorte Un objeto que cuelga e un resorte (figura 3.4) se estira 5 uniaes ese su posición e reposo y se suelta en el tiempo t para que se mueva acia arriba y acia abajo. Su posición en cualquier tiempo t posterior es Cuáles son su velocia y su aceleración en el tiempo t? Posición: Velocia: Tenemos que s 5 cos t s 5 cos t. y s t s5 cos t -5 sen t t Aceleración: a y s-5 sen t -5 cos t. t t Observe too lo que poemos aprener e estas ecuaciones:. Conforme pasa el tiempo, el cuerpo se mueve acia abajo y acia arriba entre s 5 y s 5 en el eje s. La amplitu el movimiento es 5. El perioo el movimiento es p.. La velociay -5 sen t alcanza su mayor magnitu, 5, cuano cos t, como muestran las gráficas e la figura 3.5. Aora bien, la rapiez el cuerpo, ƒyƒ 5 ƒ sen tƒ, es mayor cuano cos t, esto es, cuano s (la posición e reposo). La rapiez el cuerpo es cero cuano sen t. Esto ocurre cuano s 5 cos t ;5, en los extremos el intervalo el movimiento. 3. El valor e la aceleración siempre es exactamente el opuesto el valor e posición. Cuano el cuerpo está arriba e la posición e reposo, la gravea lo tira acia abajo. Cuano el cuerpo está ebajo e la posición e reposo, el resorte lo jala acia arriba. 4. La aceleración, a 5 cos t, es cero solamente en la posición e reposo, one cos t y la fuerza e la gravea y la fuerza el resorte se compensan entre ellas. Cuano el cuerpo está en cualquier otro lao, las os fuerzas son esiguales y la aceleración no es cero. La aceleración alcanza su máxima magnitu en los puntos más alejaos e la posición e reposo, one cos t ;. EJEMPLO 4 Sacuia En el caso el movimiento armónico simple el ejemplo 3, la sacuia es j a t s-5 cos t 5 sen t. t La sacuia alcanza su magnitu más grane cuano sen t ;, no en los extremos el esplazamiento, sino en la posición e reposo, one la aceleración cambia e irección y e signo. Derivaas e las emás funciones trigonométricas básicas Como sen x y cos x son funciones iferenciables e x, las funciones relacionaas tan x cos sen x x cos x, cot x sen x, sec x cos x y csc x sen x

5 3.4 Derivaas e funciones trigonométricas 87 son iferenciables en too valor e x en el que estén efinias. Sus erivaas, calculaas a partir e la regla el cociente, están aas por las fórmulas siguientes. Observe el signo negativo en las fórmulas e las cofunciones. Derivaas e las emás funciones trigonométricas stan x sec x ssec x sec x tan x scot x -csc x scsc x -csc x cot x Para mostrar los cálculos típicos, obtenremos la erivaa e la función tangente. Las emás erivaas se ejan para el ejercicio 5. EJEMPLO 5 Encontrar (tan x) >. Atan xb asen cos x x cos x b cos x cos x - sen x s-sen x cos x cos x + sen x cos x cos x sec x Asen xb - sen x Acos xb cos x Regla el cociente EJEMPLO 6 Encontrar y si y sec x. y sec x y sec x tan x y ssec x tan x sec x Atan xb + tan x Asec xb Regla el proucto sec xssec x + tan xssec x tan x sec 3 x + sec x tan x