Ejercicios de derivadas e integrales

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1 Ejercicios e erivaas e integrales Este material puee escargarse ese Departament Estaística i Investigació Operativa Universitat e València

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3 Derivaas Reglas e erivación Suma [f() + g()] = f () + g () Proucto Cociente [kf()] = kf () [f()g()] = f ()g() + f()g () [ ] f() = f ()g() f()g () g() g() Regla e la caena {f[g()]} = f [g()]g () {f(g[h()])} = f (g[h()])g [h()]h () Potencia (k) = 0 (k ) = k k ( ) = (/ ) = ( ) = ( ) = [f()k ] = kf() k f () [ f()] = f () f() [ ] = f () f() f()

4 Reglas e erivación (continuación) Trigonométricas (sin ) = cos (cos ) = sin (tan ) = + tan [sin f()] = cos f()f () [cos f()] = sin f()f () [tan f()] = [ + tan f()]f () Funciones e arco (arcsin ) = (arc cos ) = f () [arcsin f()] = f() [arc cos f()] = f () f() (arctan ) = + [arctan f()] = f () + f() Eponenciales (e ) = e (a ) = a ln a (ef() ) = e f() f () (af() ) = a f() ln af () Logarítmicas (ln ) = (lg a ) = ln a (ln f()) = f () f() (lg a f()) = f () f() ln a

5 3 Ejercicios e erivaas Determinar las tangentes e los ángulos que forman con el eje positivo e las las líneas tangentes a la curva y = 3 cuano = / y =, construir la gráfica y representar las líneas tangentes Solución- a) 3/4, b) 3 Determinar las tangentes e los ángulos que forman con el eje positivo e las las líneas tangentes a la curva y = / cuano = / y =, construir la gráfica y representar las líneas tangentes Solución- a) -4, b) - 3 Hallar la erivaa e la función y = Solución- y = Hallar la erivaa e la función y = 6 3 Solución- y = 8 5 Hallar la erivaa e la función y = 5 a+b a b Solución- y = 54 a+b a b 6 Hallar la erivaa e la función y = Solución- y = Hallar la erivaa e la función y = a 3 b + c Solución- y = 6a b 8 Hallar la erivaa e la función y = Solución- y = Hallar la erivaa e la función y = Solución- y = Hallar la erivaa e la función y = (+)3 Solución- y = 3(+) ( ) 5 Hallar la erivaa e la función y = Solución- y = 3 3 Hallar la erivaa e la función y = a 3 + b 3 3 Solución- y = 5 3 a 3 3 b Hallar la erivaa e la función y = ( )( + ) Solución- y = 4( ) 4 Hallar la erivaa e la función y = ( )(3 + ) Solución- y = (9 + )

6 4 5 Hallar la erivaa e la función y = ( )( 6 + 3) Solución- y = Hallar la erivaa e la función y = 4 b Solución- y = 43 (b ) (b ) 7 Hallar la erivaa e la función y = a a+ Solución- y = a (a+) 8 Hallar la erivaa e la función f(t) = t3 +t Solución- f (t) = t (3+t (+t ) 9 Hallar la erivaa e la función f(s) = (s+4) s+3 Solución- f (s) = (s+)(s+4) (s+3) 0 Hallar la erivaa e la función y = 3 + Solución- y = ( ) Hallar la erivaa e la función y = ( 3) Solución- y = 8( 3) Hallar la erivaa e la función y = ( + a ) 5 Solución- y = 0( + a ) 4 3 Hallar la erivaa e la función y = + a Solución- y = +a 4 Hallar la erivaa e la función y = (a + ) a Solución- y = a 3 a 5 Hallar la erivaa e la función y = Solución- y = ( ) + 6 Hallar la erivaa e la función y = + Solución- y = +4 (+ ) 3 7 Hallar la erivaa e la función y = Solución- y = ( ++) 8 Hallar la erivaa e la función y = ( + 3 ) 3 ( ) Solución- y = + 3

7 5 9 Hallar la erivaa e la función y = sin Solución- y = sin 30 Hallar la erivaa e la función y = sin + cos 3 Solución- y = cos 3 sin 3 3 Hallar la erivaa e la función y = tan(a + b) Solución- y = a cos (a+b) 3 Hallar la erivaa e la función y = sin +cos Solución- y = +cos 33 Hallar la erivaa e la función y = sin cos 3 Solución- y = cos cos 3 3 sin sin 3 34 Hallar la erivaa e la función y = cot 5 Solución- y = 0 cot 5 csc 5 35 Hallar la erivaa e la función f(t) = t sin t + cos t Solución- f (t) = t cos t 36 Hallar la erivaa e la función f(t) = sin 3 t cos t Solución- f (t) = sin t(3 cos t sin t) 37 Hallar la erivaa e la función y = a cos Solución- y a sin = cos 38 Hallar la erivaa e la función y = tan Solución- y = tan sec 39 Hallar la erivaa e la función y = ln cos Solución- y = tan 40 Hallar la erivaa e la función y = ln tan Solución- y = sin 4 Hallar la erivaa e la función y = ln sin Solución- y = cot 4 Hallar la erivaa e la función y = Solución- y = sin + cos 43 Hallar la erivaa e la función y = ln Solución- y = cos tan sec +sin sin 44 Hallar la erivaa e la función f() = sin(ln ) Solución- f () = cos(ln )

8 6 45 Hallar la erivaa e la función f() = tan(ln ) Solución- f () = sec (ln ) 46 Hallar la erivaa e la función f() = sin(cos ) Solución- f () = sin cos(cos ) 47 Hallar la erivaa e la función y = ln + Solución- y = 48 Hallar la erivaa e la función y = log 3 ( sin ) Solución- y = cos ( sin ) ln 3 49 Hallar la erivaa e la función y = ln + Solución- y = Hallar la erivaa e la función y = ln( + ) Solución- y = Hallar la erivaa e la función y = ln( 3 + 5) Solución- y = Hallar la erivaa e la función y = ln Solución- y = ln + 53 Hallar la erivaa e la función y = ln 3 Solución- y = 3 ln 54 Hallar la erivaa e la función y = ln( + + ) Solución- y = + 55 Hallar la erivaa e la función y = ln(ln ) Solución- y = ln 56 Hallar la erivaa e la función y = e (4+5) Solución- y = 4e (4+5) 57 Hallar la erivaa e la función y = a Solución- y = a ln a 58 Hallar la erivaa e la función y = 7 ( +) Solución- y = ( + )7 ( +) ln 7 59 Hallar la erivaa e la función y = e ( ) Solución- y = e ( ) 60 Hallar la erivaa e la función y = e e + Solución- y = e (e +)

9 7 6 Hallar la erivaa e la función y = e sin Solución- y = e sin cos 6 Hallar la erivaa e la función y = a tan n Solución- y = na tan n sec n ln a 63 Hallar la erivaa e la función y = e cos sin Solución- y = e cos (cos sin ) 64 Hallar la erivaa e la función y = e ln(sin ) Solución- y = e (cot + ln(sin )) 65 Hallar la erivaa e la función y = ( Solución- y = ln ) 66 Hallar la erivaa e la función y = ln Solución- y = ln ln 67 Hallar la erivaa e la función y = Solución- y = ( + ln ) 68 Hallar la erivaa e la función y = e Solución- y = e ( + ln ) 69 Hallar la erivaa e la función y = arcsin(/a) Solución- y = a 70 Hallar la erivaa e la función y = (arcsin ) Solución- y = arcsin 7 Hallar la erivaa e la función y = arctan( + ) Solución- y = +( +) 7 Hallar la erivaa e la función y = arctan( ) Solución- y = + 73 Hallar la erivaa e la función y = Solución- y = (+ + arc cos ) arc cos 74 Hallar la erivaa e la función y = arcsin Solución- y = arcsin +

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11 Integrales Tabla e integrales inmeiatas p = p+ + C (p ) p + f() p f () = f()p+ p + + C (p ) = ln + C f () = ln f() + C f() sin = cos + C f () sin f() = cos f() + C cos = sin + C f () cos f() = sin f() + C cos = tan + C f () cos = tan f() + C f() sin = cot + C f () sin = cot f() + C f() = arctan + C + f () = arctan f() + C + f() = arcsin + C f () = arcsin f() + C f()

12 0 Tabla e integrales inmeiatas (continuación) = arc cos + C f () = arc cos f() + C f() e = e + C f ()e f() = e f() + C a = a ln a + C f ()a f() = af() ln a + C Ejercicios e integrales inefinias Calcular la integral 5 Solución- 6 6 Calcular la integral ( + ) Solución Calcular la integral ( 3 4 Solución Calcular la integral ) Solución- 5 5 Calcular la integral ( + 4 ) + Solución Calcular la integral 4 Solución

13 7 Calcular la integral e 5 Solución- 5 e5 8 Calcular la integral cos 5 Solución- sin Calcular la integral sin a cos a Solución- a 0 Calcular la integral ln Solución- ln Calcular la integral sin 3 cot 3 Solución- 3 Calcular la integral cos 7 Solución- tan Calcular la integral 3 7 Solución- ln Calcular la integral Solución- ln 5 Calcular la integral 5 Solución- ln 5 6 Calcular la integral tan Solución- ln cos 7 Calcular la integral sin cos Solución- sin3 3 8 Calcular la integral cos 3 sin Solución- cos4 4

14 9 Calcular la integral + Solución- 3 ( + ) 3 0 Calcular la integral + 3 Solución- + 3 Calcular la integral cos sin Solución- sin Calcular la integral sin cos 3 cos 3 Calcular la integral tan cos Solución- tan 4 Calcular la integral cot sin Solución- cot 5 Calcular la integral ln( + ) + Solución- ln ( + ) 6 Calcular la integral cos sin + Solución- sin + 7 Calcular la integral sin ( + cos ) Solución- Solución- ( + cos ) 8 Calcular la integral sin + sin Solución- + sin 9 Calcular la integral tan + cos Solución- 3 (tan + )3

15 3 30 Calcular la integral ln Solución- ln3 3 3 Calcular la integral arcsin Solución- arcsin 3 Calcular la integral + Solución- ln( + ) 33 Calcular la integral Solución- ln( + + 3) 34 Calcular la integral e Solución- e 35 Calcular la integral e Solución- e 36 Calcular la integral e sin cos Solución- e sin 37 Calcular la integral 3 e 3 e ln Calcular la integral e 3 Solución- 3 e 3 39 Calcular la integral e +4+3 ( + ) Solución- e Calcular la integral + arctan( ) 4 Calcular la integral 3 Solución- Solución- Solución- 3 arcsin( 3)

16 4 4 Calcular la integral 9 Solución- arcsin 3 43 Calcular la integral 4 + Solución- arctan

17 5 Integración por partes Recoremos la fórmula e la eriva el proucto e funciones [u()v()] = u ()v() + u()v (), que epresaa bajo forma e iferencial a lugar a De one se obtiene, [u()v()] = [u()]v() + u()[v()] u()[v()] = [u()v()] v()[u()] Integrano ahora ambos miembros tenremos u()[v()] = u()v() v()[u()], que se escribe también en forma abreviaa, uv = uv vu () Esta epresión es conocia como la fórmula e la integración por partes y es e gran utilia para la resolución e integrales Se aplica a la resolución e las integrales uv a partir e la integral vu que se supone más sencilla La aplicación e () eige primero ientificar aecuaamente en el integrano las funciones u() y v() Veamos un ejemplo Ejemplo Si queremos calcular la integral 3 ln, observemos que la integral e 3 es inmeiata y que la erivaa e ln es también muy sencilla Así, si asignamos u = ln y v = 3, tenremos si integramos ahora 3 ln = u = = = y v = C, [ ( )] 4 ln 4 + C ( ) 4 ( ) C ln 4 + C ( ) 4 ( C ln 4 + C ) = 4 4 ln 4 6 Observemos que la primera constante e integración C se cancela e la respuesta final (C ln C ln ) Este es siempre el caso cuano integramos por partes, por ello, en la práctica, nunca incluimos una constante e integración en v(), simplemente tomaremos para v() cualquier primitiva e v()

18 6 Algunos tipos e integrales que se resuelven por partes n e u = n v = e n sin u = n v = sin n cos u = n v = cos n ln u = ln v = n arctan u = arctan v = arcsin u = arcsin v = ln u = ln v = Ejercicios e integración por partes Calcular la integral e Solución- e e Calcular la integral ln Solución- ln 3 Calcular la integral e 3 Solución- e 3 ( Calcular la integral 3 e ) Solución- e ( ) 5 Calcular la integral sin Solución- cos + sin 6 Calcular la integral cos Solución- sin + cos 7 Calcular la integral e sin Solución- e cos + e sin 8 Calcular la integral 5 e 3 Solución- e3 3 (3 ) sin 4

19 7 Ejercicios e integrales efinias y cálculo e áreas Calcular la integral efinia 0 4 Solución- 5 Calcular la integral efinia 0 e Solución- e 3 Calcular la integral efinia π 0 Solución- 4 Calcular la integral efinia 0 Solución- π 4 sin + 5 Hallar el área e la figura comprenia entre la curva y = 4 y el eje X Solución Hallar el área e la figura comprenia entre las curvas y = 9 e y = 3 Solución- 7 Hallar el área e la figura limitaa por la hipérbola equilátera y = a, el eje X y las rectas = a y = a Solución- a ln