Reglas de derivación (continuación)

Transcripción

1 Derivaas Reglas e erivación Suma [f() + g()] = f () + g () Proucto Cociente [kf()] = kf () [f()g()] = f ()g() + f()g () [ ] f() = f ()g() f()g () g() g() Regla e la caena {f[g()]} = f [g()]g () {f(g[h()])} = f (g[h()])g [h()]h () Potencia (k) = 0 (k ) = k k ( ) = (/ ) = ( ) = ( ) = [f()k ] = kf() k f () [ f()] = f () f() [ ] = f () f() f()

2 Reglas e erivación (continuación) Trigonométricas (sin ) = cos (cos ) = sin (tan ) = + tan [sin f()] = cos f()f () [cos f()] = sin f()f () [tan f()] = [ + tan f()]f () Funciones e arco (arcsin ) = (arc cos ) = f () [arcsin f()] = f() [arc cos f()] = f () f() (arctan ) = + [arctan f()] = f () + f() Eponenciales (e ) = e (a ) = a ln a (ef() ) = e f() f () (af() ) = a f() ln af () Logarítmicas (ln ) = (lg a ) = ln a (ln f()) = f () f() (lg a f()) = f () f() ln a

3 Integrales Tabla e integrales inmeiatas p = p+ + C (p ) p + f() p f () = f()p+ p + + C (p ) = ln + C f () = ln f() + C f() sin = cos + C f () sin f() = cos f() + C cos = sin + C f () cos f() = sin f() + C cos = tan + C f () cos = tan f() + C f() sin = cot + C f () sin = cot f() + C f() = arctan + C + f () = arctan f() + C + f() = arcsin + C f () = arcsin f() + C f()

4 0 Tabla e integrales inmeiatas (continuación) = arc cos + C f () = arc cos f() + C f() e = e + C f ()e f() = e f() + C a = a ln a + C f ()a f() = af() ln a + C Ejercicios e integrales inefinias. Calcular la integral Calcular la integral ( + ). +. Calcular la integral ( 6 0. Calcular la integral. ) Calcular la integral ( + ) Calcular la integral.

5 7. Calcular la integral e 5. 5 e5 8. Calcular la integral cos 5. sin Calcular la integral sin a. cos a a 0. Calcular la integral ln. ln. Calcular la integral sin. cot. Calcular la integral cos 7. tan 7 7. Calcular la integral 7. ln 7. Calcular la integral. ln 5. Calcular la integral 5. ln 5 6. Calcular la integral tan. ln cos 7. Calcular la integral sin cos. sin 8. Calcular la integral cos sin. cos

6 9. Calcular la integral +. ( + ) 0. Calcular la integral Calcular la integral cos sin. sin. Calcular la integral sin cos. cos. Calcular la integral tan cos. tan. Calcular la integral cot sin. cot 5. Calcular la integral ln( + ) +. ln ( + ) 6. Calcular la integral cos sin +. sin + 7. Calcular la integral sin ( + cos ). ( + cos ) 8. Calcular la integral sin + sin. + sin 9. Calcular la integral tan + cos. (tan + )

7 0. Calcular la integral ln. ln. Calcular la integral arcsin. arcsin. Calcular la integral +. ln( + ). Calcular la integral ln( + + ). Calcular la integral e. e 5. Calcular la integral e. e 6. Calcular la integral e sin cos. e sin 7. Calcular la integral e. e ln + 8. Calcular la integral e. e 9. Calcular la integral e ++ ( + ). e Calcular la integral +. arctan( ). Calcular la integral. arcsin( )

8 . Calcular la integral 9. arcsin. Calcular la integral +. arctan

9 5 Integración por partes Recoremos la fórmula e la eriva el proucto e funciones [u()v()] = u ()v() + u()v (), que epresaa bajo forma e iferencial a lugar a De one se obtiene, [u()v()] = [u()]v() + u()[v()]. u()[v()] = [u()v()] v()[u()]. Integrano ahora ambos miembros tenremos u()[v()] = u()v() v()[u()], que se escribe también en forma abreviaa, uv = uv vu. () Esta epresión es conocia como la fórmula e la integración por partes y es e gran utilia para la resolución e integrales. Se aplica a la resolución e las integrales uv a partir e la integral vu que se supone más sencilla. La aplicación e () eige primero ientificar aecuaamente en el integrano las funciones u() y v(). Veamos un ejemplo Ejemplo Si queremos calcular la integral ln, observemos que la integral e es inmeiata y que la erivaa e ln es también muy sencilla. Así, si asignamos u = ln y v =, tenremos si integramos ahora ln = u = = = y v = + C, [ ( )] ln + C ( ) ( ) + C ln + C ( ) ( + C ln + C ) = ln 6 Observemos que la primera constante e integración C se cancela e la respuesta final (C ln C ln ). Este es siempre el caso cuano integramos por partes, por ello, en la práctica, nunca incluimos una constante e integración en v(), simplemente tomaremos para v() cualquier primitiva e v().

10 6 Algunos tipos e integrales que se resuelven por partes n e u = n v = e n sin u = n v = sin n cos u = n v = cos n ln u = ln v = n arctan u = arctan v = arcsin u = arcsin v = ln u = ln v = Ejercicios e integración por partes. Calcular la integral e. e e. Calcular la integral ln. ln. Calcular la integral e. e ( Calcular la integral e. ) e ( ) 5. Calcular la integral sin. cos + sin 6. Calcular la integral cos. sin + cos 7. Calcular la integral e sin. e cos + e sin 8. Calcular la integral 5 e. e ( ) sin

11 7 Ejercicios e integrales efinias y cálculo e áreas. Calcular la integral efinia Calcular la integral efinia 0 e. e.. Calcular la integral efinia π 0.. Calcular la integral efinia 0 π. sin Hallar el área e la figura comprenia entre la curva y = y el eje X Hallar el área e la figura comprenia entre las curvas y = 9 e y =.. 7. Hallar el área e la figura limitaa por la hipérbola equilátera y = a, el eje X y las rectas = a y = a. a ln.