TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

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1 TEMA 1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

2 7 INTRODUCCIÓN El propósito e este tema es introucir a los alumnos en la terminología básica e las Ecuaciones Diferenciales eaminar brevemente como se eucen las ecuaciones iferenciales al tratar e formular o escribir fenómenos físicos o geométricos en términos matemáticos. En la Lección 1 se introuce la efinición e ecuación iferencial, se clasifican las ecuaciones iferenciales en ecuación iferencial orinaria ecuación iferencial parcial se establecen criterios para eterminar el oren, el grao la linealia e una ecuación iferencial. Ya que uno e los objetivos generales el curso e Ecuaciones Diferenciales es resolver ecuaciones iferenciales, es ecir, encontrar sus soluciones, en la Lección se estuia lo que significa que una función sea solución e una ecuación iferencial se analizan los tipos e soluciones que puee tener una ecuación iferencial. Se plantean algunos problemas físicos geométricos cua formulación matemática conuce al planteamiento e ecuaciones iferenciales las cuales al ser resueltas estar sujetas a coniciones sobre la función esconocia /o sus erivaas nos llevan a la obtención e soluciones particulares. Este tipo e problemas se conocen como problemas e valor inicial problemas e valor e frontera. Para finalizar en la Lección se muestra como a partir e conocer un haz e curvas se pueen obtener ecuaciones iferenciales por meio e un proceso conocio como eliminación e las constantes arbitrarias esenciales.

3 8 LECCIÓN 1: DEFINICIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL JUSTIFICACIÓN: Muchos problemas importantes significativos en ingeniería, en las ciencias físicas en las ciencias sociales, cuano están enunciaos en términos matemáticos, requieren la eterminación e una función que satisfaga a una ecuación que contiene erivaas e la función esconocia. Tales ecuaciones se enominan Ecuaciones Diferenciales. El propósito e esta lección es iniciar al alumno en el estuio e las ecuaciones iferenciales, comenzano con introucir el concepto e ecuación iferencial su clasificación según tipo, oren linealia. OBJETIVOS: El estuiante porá: 1- Clasificar las ecuaciones iferenciales en ecuaciones iferenciales orinarias ecuaciones iferenciales en erivaas parciales. - Determinar el oren e una ecuación iferencial - Determinar el grao e una ecuación iferencial 4- Establecer cuano una ecuación iferencial es lineal cuano no lo es

4 9 PROCEDIMIENTO DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE Ecuación Diferencial: En cursos anteriores se han encontrao frecuentemente con la palabra ecuación, la cual se utiliza en mu variaas ocasiones. Porían arme algunos ejemplos e ecuaciones que ustees conozcan? = 0-1 = 0 sen = 0 e - 1 = 0 tg = cos + = = 8-10 = 1 Mu bien (eben anotarse en la pizarra las respuestas aas por los alumnos). Porían arme una efinición e lo que para ustees es una ecuación? Una ecuación es una iguala que se satisface para uno o más valores e la (s) incógnita (s) que interviene (n) en ella. Correcto. Cuáno se les pie resolver una ecuación qué les sugiere? Obtener él (los) valor (es) e la (s) variable (s) que hace (n) que se cumpla la iguala.

5 10 Eacto. Habrá casos en los cuales el número e soluciones o valores que satisfacen la ecuación es finito en otros casos es infinito. Según han visto en los cursos e Análisis Matemático II, Algebra Lineal, Física Química eisten numerosos problemas en estas áreas que conucen a plantear ecuaciones pero en las cuales las incógnitas no son números, sino otros objetos matemáticos: matrices, funciones, aplicaciones lineales, velocia, reacción química, etc. Veamos algunos ejemplos que nos conucirán a la efinición e ecuación iferencial. EJEMPLO 1: Determine la ecuación matemática que representa el siguiente enunciao: la peniente e la recta tangente en caa uno e sus puntos es igual a la abscisa e icho punto. De acuero con los conocimientos previos que traen el curso e Análisis Matemático I, si = () es la ecuación e la curva ς a eterminar el punto (, ()) es un punto cualquiera e la curva ς Cómo pueen escribir la peniente e la recta tangente a la curva ς en el punto (, ())? Se puee escribir: ()

6 11 Eactamente, la peniente e la recta tangente a la curva ς en el punto (, ()) es igual a la erivaa e la ecuación e la curva evaluaa en icho punto. Quién es la abscisa el punto? La abscisa el punto (, ()) es. Correcto. Según el enunciao el problema qué relación eiste entre la peniente e la recta tangente la abscisa el punto? Se ice que son iguales (se copia la ecuación en la pizarra). () = (1) Esta es la ecuación asociaa al problema. Porían eplicar ustees que se está piieno en el problema? Se pie obtener la curva () que satisface la relación e iguala (1) Mu bien. Pasemos a otro ejemplo. EJEMPLO : Determine la primitiva e la función f () = + Según lo estuiao en el curso e Análisis Matemático II qué significa para ustees obtener la primitiva e f()?

7 1 Significa buscar una función F(), tal que su erivaa respecto e sea igual a f (), es ecir, igual a +. Eactamente F() = + () Hagamos un ejemplo más. EJEMPLO : Representar a través e una ecuación matemática, que involucre a la erivaa, el siguiente enunciao: familia e curvas cua primitiva es la función f() = 1 Qué se está piieno en este ejemplo? Se está piieno hallar una función F() tal que su erivaa respecto e sea igual a f() (se escribe la ecuación en la pizarra) F() 1 = () Observen las ecuaciones (1), () () qué características comunes ha en esas tres ecuaciones? Aparece la erivaa e una función esconocia respecto e en un lao e la iguala en el otro una función conocia que epene e.

8 1 Porían ientificar quién es la variable epeniente quién es la variable inepeniente en caa uno e los tres ejemplos? La variable inepeniente en las tres ecuaciones es la variable epeniente es la función esconocia F(). Si o les ijera que esas tres ecuaciones representan un tipo especial e ecuación, enominaa Ecuación Diferencial, cómo efinirían una ecuación iferencial? Una ecuación iferencial es una ecuación one la incógnita es una función e una o más variables inepenientes en icha ecuación aparecen erivaas e la función incógnita. Leamos la efinición que aparece en sus guías en la página ECUACIÓN DIFERENCIAL Una ecuación iferencial es una ecuación en la que se establece una relación entre una o más variables inepenientes una función incógnita sus erivaas Clasificación e las Ecuaciones Diferenciales: Observa los ejemplos que están escritos en la pizarra a) '' - ' + = 6 e b) (''') - ' '' + (') 4 = 0 c) + + = 6

9 14 z z z ) + = cos z z e) = V V V f) + + = 0 z Para los ejemplos a) b) c) porían ientificar cuántas variables epenientes cuántas variables inepenientes ha? Una sola variable epeniente una sola variable inepeniente. Para los ejemplos ) e) f) porían ientificar cuántas variables epenientes cuántas variables inepenientes ha? Una sola variable epeniente una, os o tres variables inepenientes. Qué iferencia ha entre el tipo e erivaa que aparece en los ejemplos a) b) c) el tipo e erivaa que aparece en los ejemplos ) e) f)? En los tres primeros ejemplos el tipo e erivaa que aparece es orinario, mientras que en los otros tres ejemplos las erivaas son parciales. Eactamente esa iferencia nos lleva a una primera clasificación e las ecuaciones iferenciales según el tipo e erivaa que involucran. Leamos

10 15 en sus guías en la página la clasificación las ecuaciones iferenciales según el tipo e erivaa que involucran CLASIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL SEGÚN EL TIPO DE DERIVADA QUE INVOLUCRA Ecuación Diferencial Orinaria: es una ecuación iferencial en la cual aparecen erivaas orinarias e una variable epeniente respecto e una sola variable inepeniente. Ecuación Diferencial en Derivaas Parciales: es una ecuación iferencial en la cual aparecen erivaas parciales e una sola variable epeniente respecto e os o más variables inepenientes. Observen nuevamente los ejemplos e ecuaciones iferenciales que están en la pizarra porían inicar en caa uno e esos ejemplos hasta que oren aparece erivaa la función incógnita o variable epeniente? En el ejemplo a) aparece erivaa hasta el oren os; en el ejemplo b) aparece erivaa hasta el oren tres; en el ejemplo c) aparece erivaa hasta el oren tres; en el ejemplo ) aparece erivaa hasta el oren os; en el ejemplo e) aparece erivaa hasta el oren uno; en el ejemplo f) aparece erivaa hasta el oren os. Por favor, abran su guía en la página leamos la efinición e oren e una ecuación iferencial que allí aparece. ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL El oren e una ecuación iferencial es la erivaa e maor oren que aparece en la ecuación iferencial.

11 16 Abran sus guías en la página realicen el Problema 1 para consoliar los conceptos estuiaos hasta el momento. PROBLEMA 1: Clasificar caa una e las ecuaciones que se an a continuación: Ecuación Tipo Oren 1) ' = + 5 ) '' - 4' - 5 = e ) U U U = 4 + t 4) r = φ rφ 5) = sen 6) V V = 7) ( + ) + ( - ) = 0 V V V 8) = 0 9) T 9 = T 4 10) + ( - ) = 0 Disponen e tres minutos para realizar el Problema 1. Qué procesos siguieron para poer resolver el Problema 1?

12 17 Observamos caa ecuación iferencial. Ientificamos sus características: número e variables epenientes, número e variables inepenientes, el tipo e erivaa que aparece, esto es, si son erivaas orinarias o erivaas parciales hasta que oren aparece erivaa la variable epeniente (se copian las respuestas en la pizarra). Problema1. Ecelente. Porían irme ano las respuestas que obtuvieron en el Mu bien. El Problema les quea como asignación. PROBLEMA : Clasifica caa una e las ecuaciones iferenciales que se an a continuación, según tipo oren Ecuación Tipo Oren 1) (sen) ''' - (cos) ' = ) (1 - ) + = 0 4 ) + = 0 4) (1 - ) '' - 4' + 5 = cos 5) + 9 = sen U 6) - U = U 7) = 0

13 18 z z 8) + = z Observemos nuevamente los ejemplos, a), b), c), ), e) f) e las ecuaciones iferenciales, que aún están escritos en la pizarra. Porían ecirme cual es la potencia a la cual aparece elevaa la erivaa e maor oren en caa uno e esos ejemplos? En el ejemplo a) la potencia es uno; en el ejemplo b) la potencia es os; en el ejemplo c) la potencia es uno; en el ejemplo ) la potencia es uno; en el ejemplo e) la potencia es uno; en el ejemplo f) la potencia es uno. Leamos en la guía el estuiante en la página 4 el concepto e grao e una ecuación iferencial GRADO DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL El grao e una ecuación iferencial es la potencia a la cual está elevaa la erivaa e maor oren e la ecuación iferencial. Resuelvan el Problema que aparece en sus guías en la página 4. Pueen trabajar en grupos e tres personas. PROBLEMA : Clasifica caa una e las ecuaciones iferenciales que se an a continuación, según tipo, oren grao

14 19 Ecuación Tipo Oren Grao 1) 0 sen = + ) V V V = + ) 0 = + + 4) cos = + 5) 0 4 z 4 z 4 4 z 4 = + Tienen tres minutos para realizar el Problema. Veamos algunas respuestas. Buen trabajo. El Problema 4 les quea como asignación. PROBLEMA 4: Clasifica caa una e las ecuaciones iferenciales que se an a continuación, según tipo, oren grao Ecuación Tipo Oren Grao 1) 0 z z z z = + + +

15 0 ) = 0 U 1 U 1 U ) + + = 0 r r r r φ 4) '' + ' = 0 5) ''' - ' = e 6) z z z = 0 Observen ahora los ejemplos que vo a escribir en la pizarra. A) + cos + ln = B) + + e = 0 C) + + e = cos En el ejemplo A) quiénes son los coeficientes e la variable epeniente e sus erivaas? Los coeficientes e las variables epenientes e sus erivaas en el ejemplo A) son:, cos, ln. Correcto. Qué potencia tienen la variable epeniente sus erivaas? Tienen potencia 1.

16 1 Mu Bien. Realicemos el mismo análisis para el ejemplo B) quiénes son los coeficientes e la variable epeniente e sus erivaas? Los coeficientes e las variables epenientes e sus erivaas en el ejemplo B) son:,, e. Correcto. Qué potencia tienen la variable epeniente sus erivaas? Tienen potencia 1. Mu bien. Observe las respuestas obtenias para los ejemplos A) B) compárenlas establezcan las semejanzas las iferencias entre ellas. En ambos ejemplos la potencia e la variable epeniente e sus erivaas es igual a 1. En el ejemplo A) los coeficientes e la variable epeniente e sus erivaas epenen solo e (la variable inepeniente), mientras que en el ejemplo B) los coeficientes e la variable epeniente e sus erivaas epenen tanto e como e. Analicemos el ejemplo C) quiénes son los coeficientes e la variable epeniente e sus erivaas? Los coeficientes e la variable epeniente e sus erivaas en el ejemplo C) son:,, e Correcto. Qué potencia tienen la variable epeniente sus erivaas? Tienen potencia uno potencia tres.

17 Observen las respuestas obtenias en los ejemplos A) C), compárenlas establezcan las semejanzas las iferencias entre ellas. En ambos ejemplos los coeficientes e la variable epeniente e sus erivaas epenen solamente e. En el ejemplo A) la variable epeniente sus erivaas tienen potencia uno, mientras que en el ejemplo C) no ocurre así. Si ahora o les igo que la ecuación iferencial el ejemplo A) se conoce como una ecuación iferencial lineal las ecuaciones iferenciales e los ejemplos B) C) no son ecuaciones iferenciales lineales, porían ustees establecer cuáles son las características esenciales e una ecuación iferencial lineal? Los coeficientes e la variable epeniente e sus erivaas epenen sólo e la variable inepeniente. La variable epeniente sus erivaas están elevaas a la potencia uno. De acuero. Abran sus guías en la pagina 6 leamos la efinición e ecuación iferencial lineal que allí aparece. ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL Una ecuación iferencial lineal es una ecuación iferencial en la cual se satisfacen simultáneamente las coniciones: a) La variable epeniente toas sus erivaas son e primer grao (esto es, están elevaas a la potencia uno).

18 b) Los coeficientes e la variable epeniente e sus erivaas epenen solo e la variable inepeniente. Realicen el Problema 5 e sus guías que está en la página 6 a fin e consoliar los conceptos estuiaos hasta ahora. PROBLEMA 5: Clasifique caa una e las ecuaciones iferenciales que se an a continuación según tipo, oren, grao linealia. 1) Ecuación Tipo Oren Grao Linealia + + = ) '' - (') = 0 ) ''' - '' - 5' + 6 = 0 4) '' + ' - 1 = 5) '' + = sen '' 6) ' = + 5 7) ( + ) + ( -) = 0 8) (') + ' + '' = 0 para ello. Resuelvan el problema en grupos e tres. Disponen e cinco minutos Veamos las repuestas que obtuvieron. Mu bien. El Problema 6 les quea como asignación.

19 4 PROBLEMA 6: Clasifica caa una e las ecuaciones iferenciales que se an a continuación, según tipo, oren, grao linealia Ecuación Tipo Oren Grao Linealia 1) '' + ' + = sec(ln) ) = e ) '' - 4' + 4 = (1-6) e 4) 6 '' + 5' + ( - 1) = 0 5) 6) + + = sen + = e + 7) '' - (') + = 0 8) + 4 = sen 9) 4 4 = 10) ' - '' = sen e CIERRE: Qué estuiamos en esta Lección? Estuiamos las ecuaciones iferenciales su clasificación

20 5 Qué entenieron por ecuación iferencial? Una ecuación que involucra una función esconocia sus erivaas. De acuero con el tipo e erivaa que involucra cómo se clasifican las ecuaciones iferenciales? Se clasifican en ecuaciones iferenciales orinarias ecuaciones iferenciales en erivaas parciales. Qué caracteriza a caa una e ellas? Las ecuaciones iferenciales orinarias se caracterizan porque en la ecuación aparecen erivaas e una variable epeniente respecto e una sola variable inepeniente, mientras que las ecuaciones iferenciales en erivaas parciales se caracterizan porque en la ecuación aparecen a erivaas e una variable epeniente respecto e os o más variables inepenientes. Quién es el oren e la ecuación iferencial? Es el e la erivaa e maor oren en la ecuación iferencial Quién es el grao e la ecuación iferencial? Es la potencia a la cual está elevaa la erivaa e maor oren en la ecuación iferencial. Que características tiene una ecuación iferencial lineal?

21 6 La función esconocia o variable epeniente sus erivaas son toas e grao uno los coeficientes e la variable epeniente e sus erivaas vienen aos solo en función e la o las variables inepenientes.