UNIDAD I CÁLCULO DIFERENCIAL
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- Álvaro Vargas Arroyo
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1 Vicerrectorao Acaémico Faculta e Ciencias Aministrativas Licenciatura en Aministración Mención Gerencia y Mercaeo Unia Curricular: Matemática I UNIDAD I CÁLCULO DIFERENCIAL Elaborao por: Ing. Ronny Altuve Raga, Esp. Ciua Ojea, mayo 2017
2 Definición e erivaa Universia Alonso e Ojea Vicerrectorao Acaémico Faculta e Ciencias Aministrativas Unia Curricular: Matemática II Derivaas La erivaa es uno e los conceptos más importante en matemáticas. La erivaa es el resultao e un límite y representa la peniente e la recta tangente a la gráfica e la función en un punto. La efinición e erivaa es la siguiente: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h Regla 1 Si c es una constante, entonces REGLAS DE DIFERENCIACIÓN x (c) = 0 Esto es, la erivaa e una función constante es cero. Regla 2 Si n cualquier número real, entonces x (xn ) = nx n 1 2 Prof. Ronny Altuve Raga ronnyaltuve.worpress.com
3 Regla 3 Universia Alonso e Ojea Vicerrectorao Acaémico Faculta e Ciencias Aministrativas Unia Curricular: Matemática II Si f es una función iferenciable y c es una constante, entonces x [cf (x)] = cf (x) Es ecir, la erivaa e una constante multiplicaa por una función es igual a la constante multiplicaa por la erivaa e la función. Regla 4 Si f y g son funciones iferenciables, entonces Y x [f (x) + g (x) ] = f (x) + g (x) x [f (x) g (x) ] = f (x) g (x) Es ecir, la erivaa e la suma (o la iferencia) e os funciones es la suma (o la iferencia) e sus erivaas. Regla 5 REGLA DEL PRODUCTO. Si f y g son funciones iferenciables, entonces x [f (x) g (x) ] = f (x) g (x) + f (x) g (x) Es ecir, la erivaa el proucto e os funciones es la erivaa e la primera función multiplicaa por la seguna, más la primera función multiplicaa por la erivaa e la seguna. Regla 6 REGLA DEL COCIENTE. Si f y g son funciones iferenciables y g (x) 0, entonces x [f (x) g (x) ] = f (x) g (x) f (x) g (x) [g (x) ] 2 3 Prof. Ronny Altuve Raga ronnyaltuve.worpress.com
4 Universia Alonso e Ojea Vicerrectorao Acaémico Faculta e Ciencias Aministrativas Unia Curricular: Matemática II Es ecir, la erivaa el cociente e os funciones es la erivaa el numeraor multiplicao por el enominaor, menos el numeraor por la erivaa el enominaor, y ambos iviios entre el cuarao el enominaor. Regla 7. REGLA DE LA CADENA. Si y es una función iferenciable e u y u es una función iferenciable e x, entonces y es una función iferenciable e x y entonces: x = u u x EJEMPLO 1: Si y = 2u 2 3u 2 y u = x 2 + 4, eterminar Solución: Por la regla 7, regla e la caena: x = u u x = u (2u2 3u 2) x (x2 + 4) = (4u 3)(2x) Se puee escribir la respuesta en términos sólo e x reemplazano u por x 2 + 4: x = [4(x2 + 4) 3](2x) = [4x ](2x) = 8x x x EJEMPLO 2: Si y = 1 y u = 2 x, eterminar U2 x Solución: Por la regla 7, regla e la caena: x = u u x = u ( 1 u 2) x (2 x) = u (u 2 ) x (2 x) = ( 2u 3 ) ( 1) = 2 u 3 Se puee escribir la respuesta en términos sólo e x reemplazano u por 2 x: EJEMPLO 3: x = 2 (2 x) 3 Si y = u 2 y u = x+1, eterminar cuano x = 3 x 1 x 4 Prof. Ronny Altuve Raga ronnyaltuve.worpress.com
5 Solución: Por la regla 7, regla e la caena: Universia Alonso e Ojea Vicerrectorao Acaémico Faculta e Ciencias Aministrativas Unia Curricular: Matemática II x = u u x = u (u2 ) x (x + 1 1) (x + 1) 2 ) = (2u) [(x x 1 (x 1) 2 ] = (2u) [ (x 1) 2] = 4u (x 1) 2 Se puee escribir la respuesta en términos sólo e x reemplazano u por 2 x: Cuano x = 3: x = 4 ( x + 1 x 1 ) (x 1) 2 = 4x 4 x 1 (x 1) 2 1 = 4x 4 (x 1)(x 1) 2 = 4x 4 (x 1) 3 f (3) = 4(3) 4 (3 1) 3 = 12 4 (2) 3 = 16 8 = 2 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Si y = u 2 2u y u = x 2 x, eterminar 2. Si y = 3u 3 u 2 + 7u 2 y u = 3x 2, eterminar cuano x = 1 3. Si y = u y u = 7 x 3, eterminar x x x Regla 8. REGLA DE LA POTENCIA. Si u es una función iferenciable e x y n es cualquier número real, entonces: u x (un ) n 1 = nu x EJEMPLO 1. Si y = (x 3 1) 7, encontrar y Solución: Por la Regla 8, regla e la Potencia: y = n[u(x)] n 1 u (x) y = 7(x 3 1) 7 1 x (x3 1) 5 y = 7(x 3 1) 6 (3x 2 ) y = 21x 2 (x 3 1) 6 Prof. Ronny Altuve Raga ronnyaltuve.worpress.com
6 EJEMPLO 2. Universia Alonso e Ojea Vicerrectorao Acaémico Faculta e Ciencias Aministrativas Unia Curricular: Matemática II Si y = ( 2x+5 x 2 +1 )4, eterminar x Solución: Como y es una potencia e una función, se utiliza en primer lugar la regla 8 e la potencia: Luego, por la Regla el cociente: x = x [(2x x ) ] x (2x + 5 x ) x = 4 (2x x ) [ (2)(x2 + 1) (2x + 5)(2x) (x 2 + 1) 2 ] x = 4 (2x x ) [ (2x2 + 2) (4x x) (x 2 + 1) 2 ] (2x + 5)3 = 4 x (x 2 + 1) 3 10x + 2 [ 2x2 (x 2 + 1) 2 ] x = ( 8x2 40x + 8)(2x + 5) 3 (x 2 + 1) 5 factorizano el trinomio 8x 2 40x + 8, nos quea: EJEMPLO 3. x = 8(x2 + 5x 1)(2x + 5) 3 (x 2 + 1) 5 Si y = (x 2 4) 5 (3x + 5) 4, eterminar y Solución: Puesto que Si y es un proucto, se aplica en primer lugar la regla el proucto: y = x [(x2 4) 5 ] x (x2 4) (3x + 5) 4 + (x 2 4) 5 [(3x + x 5)4 ] (3x + 5) x Ahora se puee utilizar la regla e la potencia: y = 5(x 2 4) 4 (2x) (3x + 5) 4 + (x 2 4) 5 4(3x + 5) 3 (3) Simplificano: y = 10x(x 2 4) 4 (3x + 5) (x 2 4) 5 (3x + 5) 3 Factorizano: y = 2(x 2 4) 4 (3x + 5) 3 [5x(3x + 5) + 6(x 2 4)] y = 2(x 2 4) 4 (3x + 5) 3 (21x x 24) 6 Prof. Ronny Altuve Raga ronnyaltuve.worpress.com
7 EJERCICIOS PROPUESTOS Universia Alonso e Ojea Vicerrectorao Acaémico Faculta e Ciencias Aministrativas Unia Curricular: Matemática II 1. Encuentre y en caa una e las siguientes funciones: y = (7x x 4 ) 3 2 y = (x 2 4) 5 (3x + 5) 4 y = (6x + 1) 7 (2x 3) 3 y = (x 2 3) 3 y = (2x2 + 1) 4 2 y = 2x 5 (x 2 + 4) 3 y = (2x + 3)3 x y = x 1 x y = x 2 x + 3 y = ( 2x x + 2 ) 4 2. Obtenga una ecuación e la recta tangente a la curva en el punto ao: y = (x 2 7x 8) 3 en el punto x = 8 y = x 1 en el punto (8, 3) 3 y = (x 2 8) 2 ; (3, 1) y = (2x + 3) 2 ; ( 2, 1) Derivaas e oren superior Sea f(x) una función iferenciable, entonces se ice que f'(x) es la primera erivaa e f(x). Puee resultar f '(x) ser una función erivable, entonces poríamos encontrar su seguna erivaa, es ecir f (x). Mientras las erivaas cumplan ser funciones continuas y 7 Prof. Ronny Altuve Raga ronnyaltuve.worpress.com
8 Universia Alonso e Ojea Vicerrectorao Acaémico Faculta e Ciencias Aministrativas Unia Curricular: Matemática II que sean erivables poemos encontrar la n-ésima erivaa. A estas erivaas se les conoce como erivaas e oren superior. Notación: se utiliza las notaciones siguientes para representar las erivaas e oren superior 1ra Derivaa f (x) ; 2a Derivaa f (x) ; x ; x ; y ² x² ; ²y x² ; y 3ra Derivaa f (x) ; n-derivaa f n (x) ; ³ x³ ; ³y x³ ; y n x n ; n y ; yn xn 8 Prof. Ronny Altuve Raga ronnyaltuve.worpress.com
1. Hallar la derivada por definición de f ( x) x x 1. Solución: para resolver la derivada aplicaremos la definición de la derivada: f '( x)
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