Capitulo V. Cálculo de una variable.

Transcripción

1 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Capitulo V. Cálculo e una variable. 124

2 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Derivaas Las cantiaes, así como las razones e cantiaes, que tienen a la iguala constantemente en un cierto tiempo finito y antes el límite e icho tiempo se aproximan mutuamente más que una iferencia aa, al final se hacen iguales. Isaac Newton 1 El Cálculo, se inició en Grecia en el siglo III a.c., con los trabajos e geometría y e lo que hoy se conoce como calculo integral e Arquímees y Euoxo, quien es consierao el pare el cálculo integral creaor el métoo e exhaución, basaos en los trabajos filosóficos e Aristóteles, Platón, Pitágoras, Tales e Mileto y Zenón. Pero, no se establecieron métoos sistemáticos e resolución hasta 20 siglos espués en el siglo XVII con los aportes e Newton y Leibniz. Conociste Si bien poríamos atribuir a Newton y a Leibniz la paternia el cálculo moero, ellos forman parte e una gran caena iniciaa mucho tiempo antes. Quizá una e las aportaciones más concluyentes fue la geometría analítica esarrollaa inepenientemente por Descartes y Fermat. En lo que atañe a las erivaas, existen os conceptos e tipo geométrico: el problema e la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático e Arquímees) y el problema e los extremos (máximos y mínimos) que en su conjunto ieron origen a lo que moernamente se conoce como Cálculo Diferencial. Pierre e Fermat ( ) en el año 1629, hizo os importantes escubrimientos que están relacionaos con problema e los extremos relativos e una función. En el más importante e ellos, titulao Methous a isquirenam maximan et miniman 2. Fermat expone un métoo muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica e la forma y = f(x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor e f(x) en un cierto punto, con el valor e f(x + ε) un punto cercano; en general, estos os valores son istintos, pero, en una "cresta" o en un "valle" e una curva la iferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponen a valores máximos o mínimos e una función, Fermat iguala f(x) con f(x + ε), tenieno en cuenta que la iferencia entre estos os valores es muy pequeña, casi igual. Cuanta más chica sea la iferencia ε entre los os puntos, más cerca está la iguala e ser veraera. Así, espués e iviir too por ε, hace ε = 0. El resultao le permite calcular las abscisas e los máximos y mínimos e la función polinómica. Este es el funamento principal e lo hoy en ía se llama iferenciación. 1 Lema I, e la obra e Newton PRINCIPIA, libro primero. Sobre el movimiento e los cuerpos. Tomao el libro e Hawking Stephen, DIOS CREO LOS NÚMEROS, Compilaor, E CRITICA, Barcelona España, pp. Cfr. vi p Métoos para hallar máximos y mínimos 125

3 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Este escubrimiento le permitió a Laplace reconocer a Fermat como el veraero escubrior el Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los precursores, algunos historiaores han consierao que es a Isaac Newton y a Leibnitz 4 a quienes se les ebe atribuir justificaamente la invención e las erivaas y e las integrales. Newton, taró mucho en ar a conocer sus resultaos. La notación que usaba era más sugestiva: lo que nosotros llamamos f(x) ó y, él lo llamaba "cantiaes fluentes", y la erivaa, Df(x) era llamaba "fluxión", le escribía AB en lugar e Df(x). El mismo Newton escribía cosas como las siguientes: "Los momentos - las actuales iferenciales - ejan e ser momentos cuano alcanzan un valor finito, y eben por lo tanto consierarse como magnitues finitas nacientes". Frases tan confusas, que Newton ebía entenerlas muy bien, pero, para otro que no fuera su inventor el métoo, suenan bastante incomprensibles. En el año e 1669, Isaac Barrow 5, recibió e su alumno Isaac Newton, un folleto titulao De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitos, que es el primer manuscrito, primer esbozo casi completo e lo que sería el Cálculo Diferencial e Integral. Aquel mismo año, Barrow eciió que su alumno sabía mucho más que él, y que tenía por lo tanto mucho más erecho a la cátera e matemáticas con más merecimientos que el propio Barrow; su titular. Con una generosia y un esinterés ifíciles e igualar, Barrow ceió su cátera a Newton. A los 40 años, sieno profesor e matemáticas e Cambrige, Newton escribió Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocios como los Principia, one escribió la ley e la gravitación universal y estableció las bases e la mecánica clásica meiante las leyes que llevan su nombre, tal vez el tratao científico e mayor influencia jamás publicao. En el aplicó los conceptos el cálculo para explorar el universo, incluyeno los movimientos e la tierra, la luna y los planetas alreeor el sol. Se ice que un estuiante observó: "ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni los emás comprenen". Leibniz, comparte con Isaac Newton el créito el escubrimiento el cálculo. Fue el primero en publicar los mismos resultaos que Newton escubriera iez años antes. La historia ha ictaminao que Newton fue el primero en concebir las principales ieas ( ), pero que Leibniz las escubrió inepenientemente urante los años e Leibniz fue quizá el mayor inventor e símbolos matemáticos. A él se eben los nombres el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral, así como los símbolos y y para la erivaa x Sir Isaac Newton Nacio en Woolstharpe, Inglaterra. 4 Gottgrie Wilhelm Leibnitz Nacio en Leipzig, Alemania 5 Issac Barrow, , nació en Lonres Inglaterra. Fue el primero en reconocer que la integración y la iferenciación son operaciones inversas. 126

4 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R y la integral. Fue el primero en utilizar el término "función" y el uso el símbolo " = " para la iguala. Por esta razón, ebio a la superioria el simbolismo, el cálculo se esarrolló con mucha mayor rapiez en el continente europeo que en Inglaterra e one era oriuno Newton. Límites. Zenón un Filósofo escribió una serie e paraojas asociaas con el movimiento. Quizá su más famosa es la paraoja e Aquiles y la tortuga. Se ice que un ía, el famoso héroe griego Aquiles jugó una carrera con una tortuga. Como Aquiles, se consieró que era un correor muy rápio, él gentilmente conceió a la tortuga una elantera e 100 metros. Zenón afirmó que Aquiles nunca poría alcanzar a la tortuga. Su razonamiento es que si caa competior corre a una velocia constante, uno muy rápio, y el otro muy lento. Después e un tiempo, Aquiles habría cubierto los primeros cien metros y alcanzar el punto e partia e la tortuga, pero urante este tiempo, la tortuga ha recorrio cierta istancia, aunque mucho más corta, pero no es cero, por ejemplo 10 metros. Cuano Aquiles alcanza esta nueva istancia, la tortuga logra avanzar un poco más. Por tanto, caa vez que Aquiles alcanza el punto one estaba la tortuga, ella se encuentra más cerca e Aquiles pero más aelante, por lo tanto Aquiles nuca alcanzará a la tortuga. Si Aquiles corre a una velocia e 10 metros por seguno y la tortuga a un metro por seguno. La posición e Aquiles al iniciar la carrera será ( 10 m seg) t y la posición e la tortuga en el tiempo t es ( 1 m seg) t Para encontrar el tiempo en el que Aquiles se empareja con la tortuga, poemos escribir la ecuación, ( 10 m seg) t = ( 1 m seg) t espejamos el tiempo t y se empareja cuano t = De esta manera Aquiles habrá recorrio (10 m s) = metros 9 Que es una serie geométrica, Etapa Aquiles Tortuga Inicio = = = ( 1 10 ) ( 1 10 ) ( 1 10 ) +.. = como k < 1, a = 100 y k = 1 10 la suma es S n = = 100 =

5 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Lo que establecía Zenón es que la suma el lao izquiero era infinita, este problema permaneció sin solución urante muchos años. Y es con el concepto e límite que se puo resolver finalmente, como ya vimos en las series geométricas. La noción e límite es una e las nociones funamentales el cálculo. Este concepto está muy cercano a la noción e erivaa. Como en el caso e Aquiles y la tortuga, parece que siempre se acorta la istancia pero nunca llegan a encontrarse. Esta noción e cercanía está implícita en el concepto e límite. Es ecir, para encontrar un límite haremos que la variable se acerque a un valor eterminao y se examinará el resultao que tiene en la función. Para introucir el concepto e límite vamos a presentarlo con el siguiente ejemplo: Determinar el límite e lim x 2 (x 5) para resolver vamos a construir la siguiente tabla: x x El valor e x se acerca a 1 por la izquiera y también se acerca a 1 por la erecha, Un seguno ejemplo poría ser encontrar el límite e f(x) x 1 lim x 2 x 1 x x x 1 Se lee, el límite e f(x) cuano x tiene, o se aproxima, a 2 es7. Definición Sea f una función efinia en too número e algún intervalo abierto I que contiene a a, sin consierar el valor e a. El límite e f(x) cuano x se aproxima a a es L, y se escribe lim f(x) = L x a Si para caa número positivo, por pequeño que este sea, es posible eterminar un número positivo, tal que para toos los valores e x, iferentes e a, que satisfacen la esiguala x a <, verificará la esiguala f(x) L <. 128

6 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R En otras palabras, esta efinición e límite nos ice que los valores e la función f(x) se aproximan a un límite L, conforme x se aproxima a un número a, sí el valor absoluto e la iferencia entref(x) y L se puee hacer tan pequeña como se quiera tomano x suficientemente cercana a "a", pero no igual a "a". En general, el eterminar el lim x a f(x) meiante el uso irecto e la efinición es ifícil, por lo que para hacerlo se contará con la ayua e una serie e teoremas, que estuiaremos más aelante. Teoremas sobre límites. Para facilitar la obtención el límite e una función se establecen los siguientes teoremas. 1. Si k es una constante. lim k = k x a 2. Si a un número cualquiera, entonces. lim x = a x a. Si k es una constante y a un número cualquiera. El límite e la suma, o iferencia, e varias funciones. lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x a x a x a 4. Proucto e varias funciones. 5. Límite e un cociente lim x a 6. Si r es una constante positiva [f(x)g(x)] = lim x a f(x) lim x a g(x) lim f(x) lim [f(x) x a g(x) ] = x a lim g(x) g(x) 0 x a lim x a [f(x)]r = [lim f(x)] r x a Si es posible aplicar irectamente las propieaes anteriores, el límite se calcula irectamente. Cuano al sustituir la a por x en la función nos a la forma ineterminaa 0/0 es posible calcular el límite pero, previamente, hay que transformar la fórmula e la función e tal moo que se puea evitar la ivisión por cero: para lograr esto isponemos e proceimientos algebraicos eficaces como la factorización, la conjugaa, etc. Ejemplos. a) lim x 2 10 = 10 b) lim 5x = 5 lim x = 10 x 2 x 2 129

7 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R c) lim x x 4 = [lim x x] 4 = () 4 = 81 ) lim x 2 [5x 2 + 2x 4] = lim x 2 5x 2 + lim x 2 2x lim x 2 4 e) lim x [ 4x +8 2x+6 ] = lim x (4x +8) lim x 2x+6 = 5[lim x 2 x] lim x 2 x 4 = 5(2 2 ) + 2(2) 4 = 20 = lim x (4x +8) lim x 2x+6 = lim 4x +8 x lim x 4()+8 = = 29 2x+6 2()+6 f) lim x 2 5x 15 = lim x 2 (5x 15) = 5(lim x 2 x) 15 = 5(2) 15 = 5 2x 2 x x 4 x 2 15 g) lim = 2 (lim x) 2 x x 4 (lim x) = 2(4) = Límites y erivaas Nuestro punto e inicio para introucir el concepto e erivaa es la peniente e una recta y su extensión al caso general e cualquier curva. El problema principal el cálculo es justamente encontrar la peniente e la recta tangente en un punto e la curva. Para aclarar este concepto, veamos la tangente a un círculo, que es la recta que toca el círculo en un solo punto. La peniente e la recta tangente en el punto P es negativa; mientras que la tangente en el punto Q es positiva. Por otro lao, en los puntos A y B las rectas tangentes tienen peniente cero y por tanto son paralelas a los ejes. De esta manera la peniente e la tangente en un punto e una curva nos inica el comportamiento e la función. Cuano la peniente e la recta tangente es cero, como en el punto A, estamos en un punto tal que la peniente cambia e signo, e positivo a negativo, que sería el caso e una cresta, o en el punto B, que cambia e negativo a positivo es un punto inferior o un valle. Ésta peniente expresa una relación e cambio y para calcular esta tasa e cambio en cualquier punto e una función necesitaremos encontrar la erivaa e esta función. Consieremos un punto P e una función y = f(x) en el plano XY. Tomemos ahora otro punto e la función Q. La recta que pasa por P y Q se llama secante (el latín que corta ). Si se eja el punto P fijo y se mueve Q sobre la curva acercánose a P, la secante gira alreeor e P. 10

8 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R La peniente e la secante m = f(a+h) f(a) Para acercar el punto P a Q, tenemos h que reucir h, aproximarla a cero, hasta que la secante coincia con la tangente. Se trata e hacer h lo suficientemente pequeña, pero no cero. Entonces la cantia puee aproximarse a la erivaa e la función f (x). poemos seguir el siguiente proceimiento: 1. Calcular f(a+h) f(a) h para h 0 2. Hacer h muy cercana a cero.. El valor e f(a+h) f(a) h se aproxima a f (x) Ejemplo. Si f(x) = x 2 encontrar la erivaa f(a+h) f(a) h = (x+h)2 x 2 h Si h 0, entonces f (x) = 2x = x2 +2xh+h 2 x 2 h = h(2x+h) h = 2x + h f(a+h) f(a) Para encontrar esta erivaa Como mencionamos antes, h es un valor cercano pero no igual a cero. Nos acercamos a cero por el lao positivo o negativo. En forma simbólica lo que ecimos es que h 0. Entonces la erivaa f (x) es f f(a+h) f(a) (x) = lim h 0 h Ahora supongamos que f(x) = x 2 cuano x = 2. h 11

9 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R f(2+h) f(2) h = (2+h)2 2 2 h = 22 +4h+h h Si amos valores a esta última función. = h(4+h) h = 4 + h h 4 + h h 4 + h Ambas tablas tienen al valor e 4, que es el valor e la erivaa cuano h 0. Decimos que f (a), la erivaa e a existe, si f(a+h) f(a) se aproxima a un número cuano h h 0, si por lo contrario no se aproxima a ningún número la función f(x) no es iferenciable para x = a Tasa e variación. Un característica e la Economía es que resulta e gran interés conocer las variaciones que ha experimentao una variable objeto e análisis a lo largo el tiempo. Para preecir la emana futura e un bien, necesitamos la tasa e variación. Por ello, se eican las siguientes líneas al análisis y la meición e la variación. Como se verá, el cálculo e la meia e las tasas e variación que ha experimentao la variable está conectao con la meia geométrica, e ahí su inclusión en este lugar el programa. Consieremos una función y = f(x) y consieremos os puntos próximos sobre el eje e abscisas "a" y "a + h", sieno "h" un número real que correspone a la variación e x. Se llama tasa e variación e la función f(x) en el intervalo [a, a + h], a la iferencia entre las orenaas corresponientes a los puntos e abscisas a y a+h. Es ecir; tv = f(a + h) f(a) La variación e y por unia e variación e x se llama Tasa meia e variación en el intervalo [a, a + h]. Que es igual a; 12

10 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Tasa meia e variación en el intervalo [a, a + h] = f(a + h) f(a) h Esta expresión es justamente la peniente e la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos P, Q e abscisas a y a + h. Si encontramos el límite cuano h 0 e f(x) en a encontramos la tasa instantánea e variación f (a), es ecir la erivaa e f(x) Tasa instantánea e variación en el intervalo [a, a + h] f(a + h) f(a) = lim h 0 h En algunos casos es conveniente estuiar la razón f (x) variación. f(a) que es la Tasa proporcional e En economía, se utilizan muy a menuo estas tasas proporcionales e variación, que son más conocias como Tasas relativas e variación. Normalmente se expresan en porcentajes. Una variable crece % anual si tiene una tasa proporcional e variación e 100 por año Aplicaciones al análisis marginal. Las aplicaciones e las erivaas al análisis marginal son muy utilizaas en Economía. Los costos e proucción e una empresa son por una parte inepenientes e las cantiaes proucias (costos fijos) y por la otra relacionaos con el nivel e proucción (costos variables) Sea C(q) el costo total e proucción y q las cantiaes proucias. Se llama costo meio e proucción CM(p) a la función, CM(q) = C(q) q De la efinición e costo marginal sabemos que es el costo aicional que se obtiene al proucir una unia aicional, entonces el costo e proucir h uniaes aicionales es C(q + h) C(q) Poemos rescribir el costo promeio e proucción e h uniaes aicionales así, C(q + h) C(q) h 1

11 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Y finalmente si tomamos límites obtenemos el Costo marginal e proucir h uniaes aicionales, que no es otra cosa que la erivaa e la función e costos. Costo marginal = C (q) = lim q 0 C(q + h) C(q) h Normalmente una empresa prouce muchas uniaes (q), entonces cuano h = 1 es un número. C C(q + 1) C(q) (q) = lim = C(q + 1) c(q) h 0 1 Así, como lo inicamos antes, el costo marginal es aproximaamente igual al incremento en el costo C(x + 1) c(x) Suponga que la función e costo e una empresa es C(x) = x 2 + x a) cuál es la tasa meia e variación cuano x varia e 100 a h y b) cuál es el costo marginal cuano x = 100? a) C(100 + h) C(100) = (100 + h) 2 + (100 + h) = h + h h = 20h + h 2 C(100+h) C(100) h = (20+h)h h = 20 + h C(x+h) C(x) b) lim = lim (x+h)2 +(x+h)+100 x2 x 100 = lim 2xh+h2 +h = 2x + h 0 h h 0 h h 0 h En forma general, consieremos una empresa que prouce un bien en un períoo ao. Done, C(x) = Costo e proucción e x uniaes. R(x) = Ingreso por ventas e x uniaes π(x) = R(x) C(x) = Beneficio e proucción (y venta) e x uniaes Llamaremos a las erivaas e estas variables; C (x) R (x) π (x) Costo marginal Ingreso marginal Beneficio marginal El ingreso marginal, es la variación en el ingreso o el ingreso obtenio por la venta e un proucto aicional. Si un proucto se vene siempre al mismo precio, entonces el ingreso marginal es igual al precio. Por otro lao; la ganancia o beneficio marginal, es la iferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal. Si no se cuenta con las funciones e ingreso total ni costo total, el beneficio marginal será la ganancia que se obtiene al proucir y vener una unia aicional. 14

12 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Otros ejemplos en economía son la propensión marginal al consumo 6 que es la erivaa e la función e consumo respecto al ingreso o el proucto marginal el trabajo 7 que es la erivaa e la función e proucción con respecto al trabajo. Ejercicios. 1) Un fabricante e memorias para teléfonos celulares prouce x memorias por semana a un costo total e C(x) = x2 + x Calcular el costo meio y el costo marginal, 25 2) Si la función e ingreso total es R(x) = x 2 y la función e costo total es Q(x) = x x 2. Determinar el beneficio marginal. Reglas e erivación Se han esarrollao proceimientos sencillos para calcular la erivaa e una clase e funciones y utilizar el resultao como una fórmula para evitar el proceimiento e cálculo por límites. Algunas e estas reglas son las siguientes: 1) Derivaa e una constante k k x = 0 Ejemplo: x (5) = 0; si f(x) = a f (a) = 0 2) Regla e la potencia. Si f(x) = kx n entonces f (x) ó k f(x) x = knxn 1 one n = constante Calcular a) y = x 2 b) y = x 8 c) y = x100 e) r ( 5r ) f) f(x) = 4 x4 100 ) x (x 0. ) Solución: a) y = 2x x ) e) f) b)y x = (8)x8 1 = 24x 7 x (x 0. ) = 0.x 0. 1 = 0.x 1. = 0. x 1. r ( 5r ) = 5( )r 1 = 15r 4 x f(x) = 4 x x4 = 4 4 x4 1 = x 1 c) y 100 x100 1 = = x 99 x La propensión marginal al consumo mie el aumento en el consumo inucio, cuanto se incrementa la renta isponible en una unia monetaria. 7 Es la proucción aicional que se obtiene con una unia aicional el trabajo. 15

13 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R ) Regla e sumas y iferencias. Si f(x) y g(x) son funciones erivables en un punto x, también lo son en la suma F(x) = f(x) + g(y) y en su iferencia F(x) = f(x) g(y). F(x) = f(x) + g(x) F(x) = f(x) g(x) En notación e Leibniz F (x) = f (x) + g (x) F (x) = f (x) g (x) x [f(x) ± g(x)] = x f(x) ± x g(x) Ejemplo: Encontrar la erivaa e las funciones siguientes: a) x (x8 + x ) = x (x8 ) + x (x ) = 24x x99 b) y x (x4 x 2) = x (x4 ) x ( x 2) = 4x x (x 2 ) = 4x + 6x = 4x + 6 x Anteriormente hemos efinio el beneficio como π(x) = R(x) C(x). Por la regla e la iferencia π (x) = R (x) C (x). Cuano el ingreso marginal es igual a costo marginal π (x) = 0 4) Regla el proucto. Si f(x) y g(x) son funciones erivables en un mismo punto. F(x) = f(x) g(x) F (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Ejemplo: Encontrar la erivaa e las funciones siguientes: a) h(x) = (x x)(5x 4 + x 2 ) Encontrar h (x) h (x) = x (x x)(5x 4 + x 2 ) = (5x 4 + x 2 ) x (x x) + (x x) x (5x4 + x 2 ) = (5x 4 + x 2 )(x 2 1) + (x x)(20x + 2x) = x²( 5x⁴ + 20x² + ) 5) Regla el cociente. Si f(x) y g(x) son funciones erivables en un mismo punto. F(x) = f(x) g(x) F (x) =? F(x)g(x) = f(x) Aplicamos la regla el proucto f (x) = F (x)g(x) + F(x)g (x) f (x) F(x)g (x) = F (x)g(x) Despejamos F (x) f (x) f(x) g(x) g (x) = F (x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) = F (x)g(x) Finalmente F (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] 2 16

14 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Ejemplo: Calcular F (x) y F (6) cuano F(x) = (10x ) (x 2 1) Solución F (x) = (x2 1) x (10x ) (10x ) x (x2 1) (x 2 1) 2 = 10x x 2 +6x (x 2 1) 2 F (6) = [10(6)2 6(6)+10] [(6) 2 1] 2 = (10x2 6x+10) (x 2 1) 2 = 4 = = (x2 1)(10) (10x )(2x) (x 2 1) 2 Ejercicio. Sea C(q) el costo total e proucir q uniaes e un bien. Llamaremos a la cantia C(q) q el costo promeio e proucir q uniaes. Hallar la tasa e variación el costo promeió o el costo promeio marginal. q [C(q) q ] = q C (q) C(q) q 2 = q C (q) q 2 C(q) q 2 = 1 C(q) [C (q) q q ] Este resultao nos inica que la tasa e variación el costo meio es igual a la iferencia el costo marginal menos el costo meio, iviio entre la cantia e uniaes q. Para valores positivos e q, el costo marginal C (q) es mayor que el costo meio C(q), si y solo si la tasa e variación el costo meio es positiva. q Ejemplo: Calcular el costo promeio marginal, cuano q = 100, para la función e costo C(q) = q 0. q q C (q) = 0. 00q q + 40 C (100) = 0. 00(100) (100) + 40 = 10 C(100) = 0. 00(100) 0. (100) (100) = 000 El costo promeio marginal cuano q = 100 es entonces, 1 q C(q) [C (q) ] = [10 ] = 0. 2 q Así, cuano q = 100, el costo promeio por unia ecrece en 0. 2 por caa unia aicional proucia. La fórmula e la erivaa e un cociente es más fácil e entener si consieramos tasas proporcionales e variación. 17

15 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R F (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] 2 = f (x)g(x) f(x)g (x) f(x)g(x) f(x)g(x) Partimos e la formula general F (x)[g(x)] 2 f(x)g(x) F (x) [ g(x) ] = f (x) g (x) f(x) f(x) g(x) Finalmente concluimos con: sabemos que F(x) = f(x) g(x) F (x) F(x) = f (x) f(x) g (x) g(x) 6) Regla general e la potencia. Para erivar una función el tipo [g(x)] r, primero ebemos erivar g(x), aplicano la regla e la potencia, regla 2, y espués multiplicarla por el factor g (x). Ejemplos: Calcular a) y = (g(x)) a si a = 1 si a = 2 para a = x x ([g(x)]r ) = r [g(x)] r 1 x [g(x)] g(x) = g (x) x [g(x)]2 = y g(x)g(x) = x g (x)g(x) + g(x)g (x) = 2g(x)g (x) x [g(x)] = y x g(x)2 g(x) = [2g (x)g(x)]g(x) + (g(x)) 2 g (x) = 2[g(x) g(x) 2 ] + g(x) 2 g (x) = g(x) 2 g (x) En forma general b) y = (x + x 2 ) 50 c) y = ( x 1 )1 x+ y = a[g(x)] a 1 g (x) y x = 50(x + x 2 ) 50 1 x (x + x 2 ) = 50(x + x 2 ) 49 (x 2 + 6x) y = 1 1 x (x 1) 1 x+ x (x 1) = 1 2 x+ (x 1 x+ ) ( (x+) x (x 1) (x 1) x (x+) )= (X+) 2 = (x x + ) (x + ) (x 1) ( (X + ) 2 ) = (x x + ) 4 ( (X + ) 2) ) f(x) = (x + x 2 + 1)5 y x = 5 (x + x 2 + 1)4 y x (x + x 2 + 1) = = 5 (x + x 2 + 1)4 (x ) 18

16 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R e) y = x+(x5 +1) 10 y 1 x = x [x + (x5 + 1) 10 ] = 1 [1 + 50x4 (x 5 + 1) 9 ] Funciones compuestas y regla e la caena Un caso especial e la regla generalizaa e la potencia es la regla e la caena. Si y es una función e u, y = f(u), y u es una función e x, u = g(x) entonces y es una función e x, es ecir y = f(g(x)). En este caso se ice que y es una función compuesta e x que tiene como erivaa y x = y u u x o bien x f(g(x)) = f (g(x))g (x) Recoremos que una función compuesta está formaa por la composición e varias funciones. (f g)(x) = f(g(x)) Ejemplo, si tenemos las siguientes funciones erivaa e la función compuesta f(g(x))? Solución, f(x) = x 1 x+1, g(x) = x. Encontrar la Por la erivaa e la función compuesta. Remplazamos caa ocurrencia e x en f(x) por la función g(x) para obtener, f(g(x)) = g(x) 1 g(x) + 1 = x 1 x + 1 Su erivaa ] = (x +1) x +1 1 x [x x (x 1) (x 1) x (x +1) = (x +1)(x 2 ) (x 1)(x 2 ) (x +1) 2 (x +1) 2 = x5 + x 2 x 5 + x 2 6x 2 (x + 1) 2 = (x + 1) 2 Ejemplo. Use la regla e la caena para encontrar la erivaa e f(g(x)), Done y = f(u) = u 8 y u = g(x) = x 5 + 9x +. Solución, Primero encontramos f (x) = 8u 7 y g (x) = 5x Sustituimos y encontramos f (g(x)) = 8(x 5 + 9x + ) 7 Finalmente, por la regla e la caena. x f(g(x)) = f (g(x))g (x) = 8(x 5 + 9x + ) 7 (5x 4 + 9) 19

17 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Ejemplo. Calcular y x, si y = u5 2u + 8 y u = x Solución, y u = 5u4 6u 2 y y u x = 2x Por la regla e la caena, x = (5u4 6u 2 )2x Sustituimos el valor e u = x para obtener, y x = [5(x2 + 1) 4 6(x 2 + 1) 2 ]2x En muchos problemas e composición e funciones, la variable e interés es el tiempo, en estos casos ecimos que x = g(t) y otra variable, por ejemplo R es función e x, es ecir R = f(x). Entonces R = f(g(t)) y por la regla e la caena tenemos, R t = R x x t Ejemplo; Una empresa vene bolsas e ulces a $12 pesos la pieza. Si x es el número e bolsas venias en un ía y R es el ingreso e las ventas e x bolsas; entonces R = 12x. Suponga que las ventas iarias crecen a una tasa e 4 bolsas e ulces por ía. Qué tan rápio crecen los ingresos? R t = R x x t Como poemos ver R R t x es el ingreso marginal y que la tasa e cambio el ingreso es el ingreso marginal multiplicao por la tasa e cambio e las ventas con respecto al tiempo. Derivación implícita. En algunas aplicaciones, trabajamos con una ecuación en lugar e una función. Se ice que una función está efinia explícitamente cuano se a e la forma y = f (x). En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, x 2 + y 2 = 4, existe una función tal que y = f (x), se ice que y es una función que está efinia implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puee efinir a más e una función implícita. En muchas ocasiones no se puee resolver explícitamente una función aa en forma implícita. Es posible hallar la erivaa e una función expresaa implícitamente, sin necesia e transformarla en su equivalente explícita. Por ejemplo, si queremos encontrar la erivaa e x 2 + y 2 = 4. Es claro que por meio e esta ecuación la variable epeniente y puee ser efinia como una función implícita e la variable inepeniente x y viceversa, x puee efinirse igualmente como una función implícita e y. Un proceimiento para encontrar la erivaa implícita es erivar la ecuación 140

18 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R término a término consierano y como función e x, y = f(x) y e la ecuación resultante espejar y x, así Solución, Sustituimos y por f(x). x 2 + f(x) 2 = 4 Resolvemos la ecuación aplicano la regla e la potencia y la regla generalizaa e la potencia, entonces tenemos, x x2 + x [f(x)]2 = x 4 f(x) 2x + 2f(x) = 0 Despejamos f(x) x x f(x) x = 2x 2f(x) Finalmente sustituimos ahora f(x) por y obtenemos la erivaa implícita y = x x y Debemos recorar que cuano una potencia e y se eriva con respecto a x, como x [f(x)]2, el resultao ebe incluir el factor y. Cuano se eriva una potencia e x, no x tenemos el factor y, como en el ejemplo anterior. x Pasos para encontrar la erivaa e una función por iferenciación implícita, 1) Diferencie caa lao e la ecuación con respecto a, y trate y como una función e x, y = f(x). 2) Mueva toos los términos y al lao izquiero e la ecuación y los otros términos al x lao erecho ) Factorizar y, en el lao izquiero e la ecuación x 4) Divie ambos miembros e la ecuación por el factor que multiplica y. x Ejercicios. a) Encontrar y x e la ecuación x + y = axy ( hoja e escartes ) 8 Solución, es una función implícita. Hacemos y = f(x) x (x + f(x) ) = x (axf(x)) x (x ) + x (f(x) ) = a x (xf(x)) Aplican las reglas e la potencia y el proucto. x 2 + f(x) 2 f(x) x = a (x f(x) x + f(x)) x2 + f(x) 2 f(x) x f(x) = ax + af(x) Vamos a espejar y que es la erivaa que buscamos y regresamos f(x) = y x y 2 y y ax = ay x x x2 y x (y2 ax) = ay x 2 x 8 El folium e Descartes ( hoja e Descartes ) es una curva algebraica propuesta por vez primera por Descartes en 168. Tomaa e 141

19 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Finalmente y x = ay x2 y 2 ax b) Supongamos la siguiente función e proucción e Cobb-Douglas 9 10x 1 y 2 = 600, one "x" es trabajo y "y" representa el capital. Esta función representa las cantiaes e (x, y), trabajo y capital para las cuales se obtiene el nivel e proucción e 600. La gráfica e esta función se llama isocuanta. Usaremos erivación implícita para calcular la tasa e cambio e la proucción cuano y = Una isocuanta representa iferentes combinaciones e factores que proporcionan un mismo nivel e proucción. En nuestro ejemplo son el trabajo y el capital. Para valores e (2, 28.6) tenemos el mismo nivel e proucción, 600 que a (5.4, 200). regla el proucto. Para resolver empezamos por aplicar la 10x 1 x f(x)2 + f(x) 2 x 10x1 = 600 x 10x 1 ( 2 ) f(x) 1 f(x) + x f(x)2 10 ( 1 ) x 2 = 0 Despejamos f(x) x 10x 1 ( 2 ) f(x) 1 f(x) = f(x) 2 ( 10 ) x x 2 ( 20 ) x1 y 1 y x = (10 ) y2 x 2 y = ( x 10 )y2 x 2 ( 20 )x1 y 1 = 0y2 y 1 60x 2 x 1 = y 2x Para x = 2, y = 28.6 y = 28.6 = x 2(2) Esta cantia es la peniente e la isocuanta en el punto (2, 28.6). Si el valor el trabajo se incrementa en una unia, muy pequeña, el valor el capital se reuce en e manera que se conserve el valor e la proucción. En términos económicos el valor absoluto e y se llama tasa marginal e sustitución e trabajo por capital. x En erivación implícita, erivamos una ecuación e x, y one y es una función e x. Sin embargo, en algunas aplicaciones one x, y están relacionaas con una tercera variable, 9 Propuesta por Knuth Wicksell ( ) y aplicaa por Charles Cobb y Paul Douglas. Representa la proporción con la que varía la proucción a partir e los insumos, trabajo y capital y viceversa. La función e proucción tiene economías e escala constantes; si aumenta la renta e los trabajaores y el capital en 10%, por ejemplo; la proucción aumenta en la misma proporción. 142

20 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R por ejemplo el tiempo t. A menuo las fórmulas para x, y no son conocias. Cuano erivamos esta ecuación con respecto al tiempo t, en realia obtenemos las tasas e cambio y t y x. Estas erivaas son tasas relativas. t Suponga que x miles e piezas fabricaas por una empresa pueen ser venias mensualmente a un precio e p pesos por unia, suponga también que x y p satisfacen la ecuación e emana 2p + 2x + xp = 8. Qué tan rápio es el cambio e las ventas mensuales cuáno x = 4 y p = 6, y el precio baja a razón e $. 40 por mes? Asumimos que p y x son funciones iferenciables e t, la erivaa e la emana con respecto al tiempo es, t (2p) + t (2x) + t (xp) = t (8) 2 p + 2 x p x + x + p = 0 t t x t Debemos encontrar x p cuano x = 4 y p = 6, y = 0.4 es negativa porque el precio t t ecrece. Sustituimos estos valores en la ecuación. 2(.40) + 2 x x + 4(.40) + 6 = 0 t t 8 x t = 2.4 x t =. Las ventas caen a una tasa e. uniaes por mes (00 uniaes) Ejercicios. I. Calcular f(g(x)), one f(x) y g(x) son; x a) f(x) = x g(x) = x II. III. x+1, b) f(x) = x 5 + x, g(x) = x Las funciones siguientes pueen ser vistas como una función compuesta. Encuentre f(x), g(x) y x f(g(x)). a) (x + 8x 2) 5 b) (4x ) + 1 4x Hallar y x por la regla e la caena a) Si y = u 5 y u = 1 x b) y = 1 2 u2 + 2u 1 2 y u = 1 x 14

21 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R IV. Una empresa prouce una cantia x e memorias para teléfono por semana, con un beneficio e P miles e pesos, one P = 200x 100+x2. El nivel e proucción t semanas espués es x = 4 + 2t. Encuentre el beneficio marginal P x V. Evaluar las siguientes ecuaciones por erivación implícita para eterminar la peniente e la función en un punto ao. a) xy + y = 14, x =, y = 2 b) y 2 = xy 5; x = 2, y = 1 VI. Suponga que el precio p y las ventas semanales e un proucto x satisfacen la ecuación e emana 2p + x 2 = Determine tasa e cambio e las ventas en el tiempo cuano x = 50 y p = 10, y el precio cae en una tasa e $. 50 por semana. Derivaas e funciones exponenciales y logarítmicas. Las erivaas e las funciones exponenciales se expresan e la siguiente forma: x (ex ) = e x x (bx ) = b x ln (b) x (eg(x) ) = e g(x) x g(x) Es la aplicación e la regla e la caena para la función exponencial Ejemplos. a) b) c) ) x e x = e x x ( x) = ex ( 1) = e x x ex2 +1 = e x2 +1 x (x2 + 1) = 2xe x x ex2 x La función g(x) = x 2 1 su erivaa es, x x (x2 1 ) = 6x + 1 x Entonces la erivaa e 1 x ex2 x = (6x + 1 x 2) 1 ex2 x x (eln x ) = (x) = 1 x x 2 Si aplicamos la regla e la caena, en el ejercicio ), obtenemos lo siguiente; x (eln x ) = e ln x x (ln(x)) = x x (ln(x)) = 1 Despejamos y tenemos finalmente la erivaa e la función logaritmo. 144

22 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R x (ln(x)) = 1 x 1 (ln g(x)) = x g(x) x g(x) = g (x) g(x) x > 0 Es la aplicación e la regla e la caena para la función logaritmo. Ejemplos. a) x (ln x)5 = 5(ln x) 4 x ln x = 5(ln x)4 x b) (x ln x) = x ln x + ln x x = x 1 + ln x = 1 + ln x x x x x c) ln x (x + 5x ) = x +5x 2 +8 x (x + 5x 2 + 8) = x2 +10x x +5x 2 +8 ) Suponga que el valor e una inversión a un tiempo t está ao por la función f(t) = 750,000e.6 t. Encuentre que tan rápio cambia la inversión espués e t = 5 años. Solución, t f (t) (ln f(t)) = f (t) f(t) Esta es la tasa e cambio e f(t) por unia e t. = (ln 750,000 f(t) t e.6 t ) = (ln 750, t) = 0.6 t (1) 2 t 1 2 Cuano t = 5 f (5) =. = 0.14 = 1.4% f(5) 5 =. t Derivaas e oren superior Sea una función y = f(x) erivable. Si f (x) es la erivaa e f(x) con respecto a x. Si continuamos el cálculo y erivamos nuevamente f (x) tenremos f (x) que llamaremos la erivaa seguna e f(x), si continuamos erivano la función obtenremos la tercera, cuarta, enésima erivaa. Las erivaas seguna y e en general e oren superior se eterminan aplicano las mismas reglas e iferenciación vistas para la primera erivaa. Utilizano la notación e Leibniz, la seguna erivaa se representa 2 y 2 que es iferente e ( y x )2. Ejemplos. a) f(x) = 8x + 6x 2 x + 5 Encontrar toas las erivaas e la función. Solución, Encontramos las erivaas sucesivas, mientras sea posible. De esta manera, 1ª. Derivaa f (x) = 24x x 2ª. Derivaa f (x) = 48x + 12 ª. Derivaa f (x) = 48 x 145

23 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R 4ª. Derivaa f (x) = 0 b) Obtener la seguna erivaa e la función y = 4xe x2 Solución, x 4xex2 = 4x x ex2 + e x2 x (4x) = 4x(2x)ex2 + 4e x2 = 8x 2 e x2 + 4e x2 2 x 2 (4xe x2 ) = x (8x2 e x2 + 4e x2 ) = 8x 2 (2x)e x2 + 16xe x2 + 8xe x2 = 16x e x2 + 24xe x2 c) Encontrar 2 y e la función x 2 x2 + y 2 = 9 (ecuación e una circunferencia) Solución, es una función implícita x (x2 + y 2 ) = (9) x x (x2 ) + x (y2 ) = 0 Aplican las reglas e la potencia y el proucto. x + y y y = 0 Vamos a espejar que es la erivaa que buscamos x x 1ª Derivaa es y x = x y A partir e esta ecuación obtenemos la seguna erivaa. Aplicamos la regla el cociente. x [y x ] = y x [ x y ] 2 y x 2 = y x (x) (x) x y y 2 = y (x) y x Sustituimos y = x y 2 x y x 2 y y (x) ( x 2 = y ) y + x2 x 2 + y 2 y y y 2 = y 2 = y 2 = x2 + y 2 y Finalmente, sustituimos la función original x 2 + y 2 = 9 y tenemos, 2 y x 2 = 9 y La erivaa primera f (x) representa la tasa e cambio, representa la rapiez instantánea e cambio e la variable epeniente y a meia que cambia la variable inepeniente x, mie la rapiez e variación e la función. Así, la seguna erivaa mie la rapiez e variación e la primera erivaa. La seguna erivaa es una meia e la tasa e cambio en la primera erivaa. Posteriormente veremos algunas aplicaciones e las erivaas e oren superior para resolver problemas e valor extremos, máximos y mínimos. Supongamos la función y = x 2 + x + las erivaas primera y seguna son respectivamente f (x) = 2x + y f (x) = 2. Su representación gráfica es la siguiente, 146

24 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R La gráfica e f(x) es una parábola convexa, abre hacia arriba. La peniente e esta función es negativa hasta el punto (, ). A partir e este punto la peniente es positiva y e cero 2 4 en el punto. La seguna gráfica nos muestra el comportamiento e la peniente e la función f (x). Como se puee apreciar para valores e x menores a la peniente es 2 negativa, el otro lao cuano x toma valores mayores la peniente es negativa. La tercera gráfica f (x), es una función constante inica que la peniente esta aumentano en una tasa instantánea e 2 uniaes para caa cambio e x. EJERCICIOS. Calcular la seguna erivaa e las siguientes funciones: 1) y = 12x 5 + x 4 2x 2 + 5x ) y = 7x +8 x 5 ) y = ln x + x 4 4) y = x + 2x 2 Aplicaciones e la erivaa Las técnicas el cálculo tienen muchas aplicaciones a problemas e la via real. En las siguientes aplicaciones, vamos a construir una función a partir e un moelo matemático y el análisis e la función y sus erivaas nos permitirán obtener información el problema original. Describir la gráfica e una función. Máximos y mínimos 147

25 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Es común graficar una función para conocer su comportamiento en un intervalo e valores. Sin embrago, por la complejia e la función obtener su gráfica resulta complicao. En primer lugar, observemos la siguiente gráfica. Depenieno, si la vemos e izquiera a erecha la función f(x) es creciente o ecreciente si la vemos en el sentio inverso. Para evitar confusiones seguiremos la práctica más común e leer las gráficas e izquiera a erecha. Así, una función continua es creciente en un intervalo, si para cualquier par e puntos en el intervalo con x 1 < x 2, se verifica que f(x 1 ) < f(x 2 ). Por lo contrario, una función continua es ecreciente en un intervalo si para cualquier par e puntos con x 1 < x 2, se verifica que f(x 1 ) > f(x 2 ). Un punto extremo relativo e una función, es el punto en el cual la gráfica cambia e ascenente a escenente o viceversa. Estos puntos en los que la gráfica cambia e peniente los llamaremos puntos máximos relativos si el cambio es e ascenente a escenente; será un punto mínimo relativo en el otro caso. El punto máximo, o máximo absoluto e una función es el mayor valor que toma la función en su ominio y el punto mínimo, es el menor valor que toma la función. No necesariamente una función tiene máximo y/o mínimo, por ejemplo, 148

26 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R En muchos problemas prácticos se requiere encontrar los valores máximos y mínimos. Estas cantiaes se llaman valores óptimos y encontrarlos es el problema e la optimización. Sea f(x) una función e una variable real. Si f(x) y su erivaa son continuos en un punto one el valor e la erivaa cambia e positivo a negativo, la función tiene un máximo. Por otro lao si la peniente pasa e un valor negativo a un positivo, es un mínimo. En los os casos, el valor e la peniente en ese punto es cero. Como la peniente e la recta tangente, como lo hemos icho antes, se obtiene con la primera erivaa e la función, para obtener estos puntos extremos ebemos igualar a cero la primera erivaa e la función f(x) y obtener los puntos que hacen cero la función. Estos puntos nos inicaran si la función tiene uno o varios puntos e inflexión, un máximo o un mínimo. Prueba e la primera erivaa. Sirve para eterminar si un punto C(x, f(x)) es máximo o un mínimo. Sea una función f(x), c un punto crítico y a, b os números reales tales que, i. a < c < b ii. f(x) es continua en el intervalo abierto (a, b). Esto es necesario para que solamente exista un punto crítico en el intervalo. iii. c es un punto crítico en el intervalo cerrao [a, b] Si f (a) > 0 para a < c y f (b) < 0 para b > c, entonces c es un máximo relativo en f(c) Si f (a) < 0 para a < c y f (b) > 0 para b > c, entonces c es un mínimo relativo en f(c) Cuano f (c) = 0, la regla e la primera erivaa no es concluyente. No es un extremo relativo. Ejemplo. Encontrar los puntos críticos e la función y = x x y ibujar su gráfica. Solución: 149

27 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R La primera erivaa es f(x) = x 2 6x. Hacemos f(x) = 0 y resolvemos para x; x 2 6x = 0 x(x 2) = 0 Por lo tanto x = 0 y x = 2 son las soluciones a la ecuación anterior. Sustituimos estos valores e x en f(x) y tenemos, f(0) = 0 (0) = 7 f(2) = (2) (2) = De esta manera los puntos e críticos son (0,7) y (2,). El siguiente paso es encontrar como cambia la gráfica en estos puntos. Para el primer punto (0,7), si tomamos a = 1 y b = 1, los valores e la erivaa f ( 1) = 9 y f (1) =, función es ecreciente para los os valores entonces este punto es un máximo relativo. Igualmente en el punto (2,), si a = 1 y b =, el valor e la función es f(1) = y f() = 9 por lo tanto obtenemos un mínimo relativo, Su gráfica es la que se muestra. Si es necesario obtenemos un punto intermeio para verificar que la función es escenente en ese punto, por ejemplo en (1,5), para a = 0 y b = 2, las penientes son f (0) = 0 y f (5) = 0. Como se estableció antes el resultao no es concluyente, Concavia y Prueba e la seguna erivaa En un intervalo e una función f(x), esta puee ser convexa, que abre hacia abajo o cóncava, abre hacia arriba. La forma e la gráfica epenerá e cómo sean sus tangentes, por ejemplo para la función 150

28 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Como poemos apreciar en la gráfica, las penientes e las tangentes van isminuyeno cuano la curva abre hacia abajo; por lo contrario las penientes e las tangentes aumentan cuano la curva abre hacia arriba. Un punto e inflexión es aquel punto en one la curva cambia e cóncava a convexa y viceversa. En la gráfica, a la izquiera el punto e inflexión la curva abre hacia abajo; mientras que a la erecha abre hacia arriba. Existe una relación entre la erivaa seguna e una función y su concavia. Prueba e la seguna erivaa. Sea una función f(x) erivable os veces en un punto crítico c. a) Si f (c) > 0, la gráfica e f es cóncava, abre hacia arriba, y el punto (c, f(c)) será un mínimo relativo si f (c) = 0. b) Si f (c) < 0, la gráfica e f es convexa, abre hacia abajo, y el punto (c, f(c)) será un máximo relativo si f (c) = 0. c) Si f (c) = 0, la gráfica e la función en el punto (c, f(c)) no es precisa, en este caso se puee utilizar el criterio e la primera erivaa. ) (c, f(c)) es un punto e inflexión. Si hay un cambio e concavia en x = c; entonces x cóncava en un lao y convexa al otro, f (c) cambia e signo cuano x = c Ejemplos: Utilizar la prueba e la seguna erivaa para encontrar los extremos relativos y los puntos e inflexión, si los hay, e las siguientes funciones a) f(x) = x4 4 4x + x x + 1 b) f(x) = x x

29 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R c) f(x) = (2 x 2 )(x 2 4) Ejercicios. 1. Utilizar la prueba e la seguna erivaa para encontrar los extremos relativos y los puntos e inflexión, si los hay, e las siguientes funciones a. f(x) = x 4 x + 4 b. f(x) = 2x 5 x c. f(x) = x + x 2. Encontrar los extremos relativos e caa una e las siguientes funciones. a. f(x) = x 4 9x b. f(x) = (2 + x) c. f(x) = 9 x 2 x + 4 Cálculos en intervalos cerraos. Cuano la función f(x) está acotaa por un intervalo cerrao, estos puntos extremos se consieran también puntos extremos, máximos o mínimos, como por ejemplo, Encontrar los extremos absolutos e la función f(x) = x x 2 9x en el intervalo cerrao [ 2, 2]. 152

30 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Solución, Como la función es continua, f(x) es un polinomio, y el intervalo es cerrao, I. En primer lugar encontramos los puntos extremos, II. III. f (x) = x 2 6x 9, los puntos extremos son x = 1 y x = Descartamos el valor e x = porque este valor no está en el intervalo. Después, evaluar f en los extremos el intervalo y en el punto crítico x = 1 f( 2) = ( 2) ( 2) 2 9( 2) = = 2 f( 1) = ( 1) ( 1) 2 9( 1) = = 5 f(2) = (2) (2) 2 9(2) = = 22 De los resultaos anteriores encontramos que, f(2) = 22, punto (2, 22) es el mínimo y f( 1) = 5 punto ( 1,5) es el valor máximo Ejemplo, Encontrar los puntos extremos e la función f(x) = x 2 4 [,1]. en el intervalo Solución I. En primer lugar encontramos los puntos extremos, f (x) = 1 (x2 4) 2 (2x) II. Se iguala a cero f(x) 2x (x2 4) 2 = 0 Los puntos extremos son x = 0 y x = ±2 El punto x = 2 está fuera el intervalo, entonces no lo consieramos. De esta manera los puntos extremos para las x`s son { 2,0,1} Evaluar f en los extremos el intervalo y en el punto crítico x = 1 15

31 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R f( ) = ( ) 2 4 f(0) = (0) 2 4 = 4 = 5 = 1.71 = f( 2) = ( 2) 2 4 = 0 f(1) = (1) 2 4 = = = 1.44 III. De los resultaos anteriores encontramos que, f(0) = 4, punto (0, 1.58) es el mínimo y f( ) = 5 punto (,1.71) es el valor máximo Ejercicio. Una empresa que elabora un proucto tiene una capacia e proucción e 40 uniaes al mes. La función e utilia por proucir y vener q uniaes mensuales es aa por, U(q) = q + 10q 2 1 q Encuentre el nivel e proucción que maximiza la utilia mensual Solución, I. En primer lugar se ebe buscar el punto one la función U alcanza el máximo en el intervalo [0,40]. Como U es una función polinómica y como nos interesa encontrar el máximo en el intervalo cerrao. Encontramos la primera erivaa e igualamos a cero. U (q) = q q 2 = 0 II. Las soluciones son q = 6.45 y q = 16.45, tomamos solamente la parte entera y escartamos el seguno valor por estar fuera el intervalo. De esta manera los puntos extremos son {0,6,40} El seguno paso es evaluar U en los valores extremos U(0) = (0) + 10(0) 2 1 (0) = 100 U(6) = (6) + 10(6) 2 1 (6) = 18,908 U(40) = (40) + 10(40) 2 1 (40) = 18,566 III. De los resultaos anteriores encontramos que f(6) = 18,908, que es el valor máximo o el nivel e proucción en que la utilia es máxima. Aplicaciones a la economía. Las aplicaciones el cálculo, particularmente las erivaas, en economía son iversas y muy útiles puesto que por efinición nos llevan a realizar cálculos marginales. Es ecir, la razón 10 Si el ínice e una raíz es un número par el resultao es un número imaginario, la característica e este número imaginario es que i = 1. De esta manera 4 = 4i 2 = 2i. Si el ínice es un número non, por ejemplo 64 = ( 4)( 4)( 4) =

32 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R e cambio en la variable cuano se suma una unia aicional al total. En el caso el costo marginal, es el costo e proucir una unia aicional es ecir C(x + 1) C(x). Este valor es muy cercano a C. Enunciaos similares poemos hacerlo para otras variables x económicas como; costo, ingreso, beneficio o proucción. Funciones marginales y optimización. Los costos e proucción e una empresa son por una parte inepenientes e las cantiaes proucias, costos fijos, y por otro lao los que están relacionaos con el nivel e proucción, costos variables. Los costos fijos se mantienen urante un tiempo aun si no hay ninguna activia e proucción; por otra parte los costos variables, no están en función el tiempo existen solo si hay proucción e artículos o servicios. Sea C(x) el costo total e proucción y x las cantiaes proucias. Llamaremos costo meio e proucción CM(x) a la función CM(x) = C(x) x El costo marginal e proucción Cm(x) es; Cm(x) = C(x) x De la misma manera poemos encontrar otras variables económicas como; el ingreso meio y marginal, la proucción meia y marginal, utilia marginal, etc. Ejemplos, 1) Un fabricante tiene una proucción x e un proucto. Si el costo e proucción anual es, en miles e pesos, Q(x) = 12x 2 + 0x Si el costo total cuano se proucen 100 piezas es e $124,500. Encontrar el costo marginal cuano se prouce una pieza aicional y eterminar si es conveniente su proucción. Solución. El costo marginal es la erivaa e la función e costos, entonces Q (x) = 24x + 0 De esta manera, el costo e proucir una pieza más es Q (100) = 24(100) + 0 = 2,40 Así, si proucen una pieza más, el costo se incrementa en $2,40 pesos Por otro lao el costo promeio es, Q(x) = 12x x 155

33 Notas e clase Cálculo erivaas Raúl Urbán R Y el costo promeio e proucir 100 piezas es, Q(x) 1500 = 12(100) = $1,245 Como el costo promeio e proucir 100 piezas es menor, no conviene proucir la siguiente pieza El ingreso marginal se efine e manera análogo. Es el ingreso obtenio por la venta e una unia aicional. Es claro que si un proucto se vene siempre al mismo precio, entonces el ingreso marginal es igual al precio. 2) Una empresa que fabrica alimento para ganao tiene una función e ingreso, R(q) = 0q q 2 en miles e pesos; one q es la cantia e alimento en tonelaas venio en un año. Determinar a) el ingreso marginal, para q = ; b) A qué nivel e proucción alcanza la empresa un nivel e proucción máximo?, c) interpretación económica e sus resultaos Solución, a) El ingreso marginal es R (q) = 0 6q Para q = el ingreso marginal es R () = 0 6() = 12. Si la proucción es e tonelaas, proucir una unia aicional traería un aumento en los ingresos e $12 pesos b) El ingreso máximo se obtiene cuano R (q) = 0, así 0 6q = 0 e one q = 5 El ingreso total es para este valor R(q) = 0(5) (5) 2 = 75 Al proucir 5 tonelaas e alimento, la empresa obtiene su nivel máximo e ingreso e $75 miles e pesos Elasticia e la emana. La elasticia e la emana, es un concepto que en economía se utiliza para meir la variación porcentual e la cantia emanaa cuano el precio aumenta en 1%. El número que se obtiene e esta forma es inepeniente e las uniaes en que se mian cantiaes y precios. Si se conoce la función e emana y un punto (p, q) e la función. La elasticia e la emana se efine e la siguiente manera: Supongamos que la emana e un bien se obtiene a partir e la función q = D(p). Cuano el precio varía e p p + p, la cantia emanaa q también varía. Así, q = D(p + p) D(p) Y la relativa o proporcional es, q q = D(p+ p) D(p) D(p) 156