4. CÁLCULO INTEGRAL...71

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1 Inice. FUNCIONES..... NATURALEZA Y DEFINICIÓN DE FUNCIÓN MATEMÀTICA..... PRINCIPALES TIPOS DE FUNCIONES APLICACIONES DE LAS FUNCIONES.... LÍMITES..... LÌMITE DE UNA FUNCIÒN..... PROPIEDADES DE LOS LÌMITES LÍMITES AL INFINITO PROPIEDADES DE LOS LÌMITES AL INFINITO APLICACIONES DE LOS LÌMITES.... DERIVADAS..... DERIVADA DE UNA FUNCIÒN PROCESO DE LOS CUATRO PASOS PARA DETERMINAR LA DERIVADA USO E IRTEPRTETACIÒN DE LA DERIVADA REGLAS PARA DETERMINAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SEGUNDA DERIVADA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICACIONES DE LA DERIVADA...6. CÁLCULO INTEGRAL ANTIDERIVADAS INTEGRAL INDEFINIDA REGLAS DE INTEGRACIÒN INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÒN INTEGRACIÒN POR PARTES INTEGRAL DEFINIDA INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÒN INTEGRACIÓN POR PARTES APLICACIÓN DE LA INTEGRAL ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER GRADO CONCEPTO DE ECUACIÓN DIFERENCIAL SOLUCIONES GENERAL Y PARTICULAR ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES...89

2 . FUNCIONES OBJETIVOS Entener y eplicar el concepto e función Distinguir y emplear la simbología e funciones Calcular el valor funcional e una función Ientificar la clasificación e las funciones Aplicar en forma aecuaa el álgebra e funciones C O N T E N I D O :. Naturaleza y efinición e función. Principales tipos e funciones. Aplicación e funciones

3 I. FUNCIONES.. Naturaleza y efinición e función matemàtica El concepto e función es una e las ieas funamentales en matemáticas. Cualquier estuio en el que se utilicen las matemáticas para ar solución a problemas prácticos o que se requiera el análisis e atos empíricos emplea este concepto matemático. La función es una iea e que una cantia epeniente o está eterminaa por otra. Por ejemplo: El área e un círculo epene e la longitu e su raio, si se conoce la longitu el raio, poemos eterminar el área El costo e proucir cualquier artículo epene el número e artículos proucios por mes. Función Definición Una función f es una regla e corresponencia que asocia a caa elemento el conjunto llamao ominio, con un sólo elemento f() e un seguno conjunto (con uno y sólo uno) llamao rango ó contraominio e la función. Una función consta e tres partes: Un conjunto A llamao ominio e la función. Un conjunto B llamao contraominio e la función. Una regla e corresponencia f que asocia a too elemento e A, uno y sólo un elemento el conjunto B. La regla ebe tener las siguientes propieaes. Ningún elemento el ominio puee quear sin elemento asociao en el contraominio. Ningún elemento el ominio puee tener más e un elemento asociao en el contraominio. Esto no ecluye que varios elementos el ominio tengan al mismo elemento asociao en el contraominio. Jagish C. Arya/Robin W. Larner, Matemáticas aplicaas a la aministración y a la economía,tercera eición,prentice Hall,Méico, p.6.

4 Si tenemos los conjuntos A y B y la regla e corresponencia se cumple con las propieaes señalaas, entonces la terna (A, B, f) es una función cuya notación es: f : A B Se lee f va e A hacia B otra forma es: f y se lee f e Se emplean por lo regular las letras f, g o h para simbolizar una función. Si es un elemento e A, entonces el elemento e B asociao a por meio e la regla e corresponencia se epresa como f() y se le llama la imagen e bajo f. La regla e corresponencia e un función puee estar aa por un iagrama, una ecuación, una tabla e valores y una gráfica. Diagrama. El iagrama se construye formano os óvalos y unieno estos con una flecha que parte el primer óvalo hacia el seguno (irección e izquiera a erecha). En el primer óvalo en su interior se anotan los valores e entraa e la función (ominio), en el seguno se anotan los valores e salia e la función (contraominio), se une con una flecha el valor e entraa con el valor e salia como se muestra en la figura.. Figura.. Diagrama e la regla e corresponencia e un función 7 La imagen e es 7 8 La imagen e es La imagen e 5 es La imagen e 6 es

5 Ecuación. En este caso se requiere plantear una ecuación con os incógnitas como la que se muestra a continuación: - y + = 0. Como primer paso se espeja a la variable epeniente (y), y = +. A la epresión anterior la presentamos en forma e función f ( ), en one la función ( f ) es el conjunto e toas las parejas orenaas (, y) tales que y y satisfacen a la ecuación y + = 0, y se enota como: f = {(, y) / y = + } En el ominio e la función están toos los posibles valores que toma la variable inepeniente () también los valores etremos y en el contraominio e la función se encuentran toos los valores posibles que pueen asignarse por el ominio y regla e transformación a la variable epeniente (y). Ejemplo: Sea la función f cuya regla es f ( ) El ominio es: {-, -, -, 0,,, }, Los valores etremos son: - y El contraominio es {, 6, 7,, 7, 6, } y está eterminao por el ominio y la regla e transformación. Una función que va e los reales a los reales se epresa con la notación: f : R R Los valores etremos en este caso no están eterminaos (no eisten) en el ominio, porque éste contiene a toos los números reales, el contraominio está formao por toos los números reales y la regla e corresponencia está aa por una ecuación. En los casos en que no se inica o se especifica el ominio e la función, entonces se ebe e entener que el ominio incluye a toos los números reales (o también llamao ominio natural).

6 Ejemplo e funciones: Si f ( ) El ominio son toos los reales f { R} y el contraominio también esta formao por toos los números reales. Para este tipo e funciones polinomiales el ominio siempre será el conjunto e los números R. Sí f ( ) Solución: f ( ) operación no et erminaa 0 El ominio son toos los reales ecepto el, ya que la ivisión entre cero no está eterminaa, f { R / }. El contraominio está formao por toos los números reales positivos ecepto el cero, D = {y R + / (0 < < )} Para este tipo e funciones racionales el ominio siempre será el conjunto e los números reales ecepto los que hacen cero el enominaor e la función.. Si f ( ) 5 Solución: El subraical se epresa e la siguiente forma: 5 + 0, El signo ebe ser, porque no eisten raíces cuaraas e números negativos. Se espeja el valor e e la inecuación El ominio e F { R / / 5} 5 Para este tipo e función con raical y el ínice par, el ominio siempre será formao por toos los números que hagan al subraical igual o mayor a cero.

7 Casos en el que una epresión no cumple con ser una función: La epresión y > no efine una función puesto que hay muchos valores e y para caa valor e. La epresión = y no efine una función puesto que hay os valores e y para caa valor positivo e. + y = 9 no efine una función, porque para caa valor positivo e hay os e y. Tabla e valores Se selecciona primero la epresión que se va analizar, posteriormente se construye una tabla la cual ebe e incluir a la variable inepeniente () y la variable epeniente (y) Dentro e esta tabla se anotan los valores que va a tomar la variable inepeniente (valores e entraa) y se registran toos los valores que toma la variable epeniente (valores e salia). Ejemplo: Sea la función f ( ) Solución: Utilizano la tabulación, se registran los valores que toma para encontrar los valores e y (también se registran en la tabla). Los puntos etremos el ominio son y Tabla.. Tabulación e la función f ( ) Dominio y Contraominio Gráfica Para trazar la gráfica e una función es necesario tomar un conjunto e pares orenaos (,y) e números reales (puntos), y estos puntos se trazan en el plano cartesiano ano como resultao una gráfica e puntos, al unir toos los puntos con una línea recta representa la gráfica e la función en estuio. Es importante aclarar que se pueen unir los puntos con una línea recta si la variable es continua.

8 Figura.. Gráfica e la función f ( ) f() = Valor funcional e una función. El valor funcional e una función se refiere a asignar valores a la variable o que la variable tome valores, para eterminar el valor e f(). Ejemplo: Sea f() = encontrar el valor funcional para los siguientes casos: si = f() = () () = 6-8 = 8 si = + h f( + h) = ( + h) (+h) = 6 + 8h + h 8 h = 8 + 6h + h Si g() = ( ) + encontrar el valor funcional para los siguientes casos: si g() = ( ) + = () + = 5 si g(-) = (--) + = (-) + = -6 + = -60 si g(c) = (c ) +

9 Ejercicios. Cuáles e las siguientes epresiones eterminan una función f con fórmula f()? Para los que lo hagan, etermina f(). Despeja la variable y en términos e (una y única para caa ). + y = y + y + = = (y + ) / = y / (y +) Para g(u) = encuentra el valor funcional para caa uno e los siguientes casos y llevarlos u hasta su mínima epresión. g() g( + h) g(+h) g() (g(+h) g ())/h Encuentra el ominio natural ( f : R R ) f() = ( + ) / g() = ( 9) / f(t) = ( - t )/(t t 6).. Principales tipos e funciones Las funciones se clasifican en algebraicas y trascenentes De las funciones algebraicas estacan las lineales, polinomiales (en particular la cuarática), las racionales y las raicales De las funciones trascenentes estacan la eponencial y la logarítmica a). Función lineal e la forma: A + By + C = 0 con A 0 y B 0, (A, B, C son constantes) Es la ecuación general e la línea recta y su representación gráfica es una línea recta. En particular f() = a + b es una función e primer grao o función lineal. Cuano se epresa en la forma y = m + b se le llama a la ecuación peniente-orenaa al origen. m representa la peniente, b es el punto one corta al eje e las orenaas (y).

10 La peniente se puee calcular si se conocen os puntos por one pase la recta P (,y ) y P (,y ) entonces: y m y Conocieno la peniente y un punto se puee encontrar la ecuación e la línea recta con la ecuación punto-peniente: y y y y ( ) Casos especiales e funciones lineales Función constante: f() = k, Done k es una constante (número real). Su gráfica es una línea horizontal, con peniente m = 0 f() f() = 0 X

11 Función ientia: f() =. Su gráfica es una recta que pasa por el origen e los ejes coorenaas, con peniente m =. f() 0 f() = X A partir e éstas funciones simples se pueen construir muchas e las funciones importantes en cálculo. Función polinomial: cualquier función que puea obtenerse a partir e la función constante y e la función ientia meiante las operaciones e aición, sustracción y multiplicación se llama función polinomial, es ecir f es e la forma: f() = a n n + a n- n a + a 0 En one los valores e a n, a n-,... a 0 son constantes (números reales) y a n 0. n es un entero no negativo y también inica el grao e la función polinomial. Como un caso importante e la función polinomial estaca la función cuarática e la forma: A + B + Cy +D = 0 con A 0 y C 0 Es la ecuación general e seguno grao su representación grafica es una parábola. La ecuación e una parábola es: y a b c Para realizar la gráfica son necesarios tres pasos: ). Para eterminar hacia one abre la parábola, es necesario conocer cual es el signo el coeficiente e..). Si es positivo la parábola abre hacia arriba, a > 0..). Si el signo es negativo la parábola abre hacia abajo, a < 0. ). El vértice e la parábola, es el punto máimo o mínimo e la parábola, se encuentra utilizano las siguientes epresiones:

12 V b a vértice en ; ac b Vy a vértice en y ). La parábola siempre corta el eje e las orenaas, para eterminar en one lo corta se realizan los siguientes pasos:.). Hacer = 0.) Sustituir éste en la ecuación: y = a(0) + b(0) + c = c, entonces la parábola corta el eje e las orenaas en el punto (0,c).

13 Ejemplo: Y = + La parábola abre hacia arriba porque a = > 0. El vértice se encuentra en el punto (-, -). La parábola corta los ejes en los puntos (0, 0) y (-, 0). Función racional: los cocientes e funciones polinomiales se llaman funciones racionales, por lo tanto, f es una función racional si tiene la forma: g( ) f ( ) h( ) an b n n n a b n n n n... a a... b b 0 0 Ejemplo: f ( ) Cuano los valores son granes e, positivos o negativos, los valores e y son pequeños. Para valores e cercanos a, los valores e y son muy granes, positivos o negativos. Cuano toma el valor e cuatro no eiste valor e salia (valor funcional) para y. Función Raíz Una función raíz cuaraa e, se representa como: f ( ) esta función tiene como ominio toos los números positivos 0 Tabla e valores X 0 Y 0..7 Gráfica e la función y Y 0

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15 Funciones trascenentes. Función eponencial: La función eponencial se epresa como: f() = b ; si b > 0 y b en one: b es la base e una función eponencial. es el eponente e la función eponencial El ominio esta formao por toos los números reales D f = { R}

16 Ejemplo:. f() = f() = f() = (/) f() = ( / ) X X

17 Propieaes e la función eponencial Si a > 0, b > 0 y, y elementos e los reales (R) entonces: Teorema y.. a a a a y a.. y a b y.... a a y a a a b b a b y.5. Teorema. Si a, a a cuano cuano 0 0. Si a, a a,, cuano cuano 0 0 Las leyes e los eponentes facilitan los cálculos e estas funciones. También entro e esta función se efine la función eponencial natural que tiene como base el número e y es e la forma: y = e PROBLEMAS PROPUESTOS Ejemplo: Se invierten pesos a un interés compuesto el % anual, calcular El monto espués e os años, si la capitalización es trimestral. i M C n 0. M 5000 M pesos nt ()()

18 . Una máquina se eprecia con el uso, al transcurso e los años la ecuación que representa esta epreciación es la siguiente: D( t) 8000e 0.05 t a). Encontrar el valor e esecho espués e 0 años. Solución: D( t) 8000e 0.05(0) D( t(,68. pesos b). Cuál era el valor original e la máquina. Solución: Para t 0 D(0) 8000e D(0) (0) Función logarítmica La función logarítmica: S i b > 0 y b 0, entonces: y = l o g b s i y s ó l o s i = b y ; > 0 con el ominio e la función D f = { R + }. y = log b se lee logaritmo e base b e igual a y Los cálculos en funciones logarítmicas se facilitan con las leyes e los logaritmos. Dentro e esta función se efine la función logaritmo natural que tiene como base al número e y es e la forma: y = ln

19 y Y = ln X 5 X Propieaes e los logaritmos Logaritmos comunes o e base 0 (briggs), se enotan como log, la base 0 no se escribe. El logaritmo natural (neperiano) e base e (e =.78888) se enota como: ln. LOGARITMO Epresión Nombre Logaritmo e la base loga a log loga Cambio e base log a Log (a b) = log a + log b log a b log a log b Proucto Cociente loga n n log a Potencia n log a log a n Raíz Estas propieaes se cumplen para logaritmos con cualquier base. n n Nota: log a log alog a n

20 Ejemplo: Se cuenta un capital e 000 pesos invertios a un interés compuesto anual el %. En cuánto tiempo se triplica el capital? Solución: M C i. log t log. 0 t t 8 años log t log t aplicano log en ambos laos y simplificano : log 0 t por la propiea el logaritmo Problemas propuestos. Clasifica caa una e las siguientes funciones: Función f() = / + f() = + - f() = g() = h() = ( + 5) / f() = - g() = log Respuesta raíz racional constante racional racional eponencial logarítmica Aplicaciones e ecuaciones lineales. Un comerciante e ganao compró 000 reses a $50.00 caa una. Venió 00 e ellas obtenieno una ganancia e 5%. A qué precio eberá vener las restantes 600, sí la utilia promeio el lote completo ha e ser el 0%? La ganancia es e: (50) (0.5) = $ 7.50 La ganancia total es e: ($ 7.50) (00) = $5000 Sea el precio e venta e la 600 reses restantes, entonces 50 es la utilia por res, la ganancia por las 600 reses es 600 ( 50 ) La ganancia total por la venta completa es: ( 50 ) La ganancia eberá ser el 0% el precio que pagó por la 000 reses, esto es = 5000, entonces:

21 ( 50) = = = = 00 El comerciante ebe vener las reses restantes a $00.00 caa una para lograr una ganancia el 0%. Una persona va a invertir $ Esta persona esea recibir un ingreso mensual e $5000. Puee invertir sus fonos en bonos el gobierno a un 6% o con un riesgo mayor al 8.5% e los bonos hipotecarios. Cómo eberá invertir su inero e tal moo que minimice los riesgos y obtenga $ 5000? Sea cantia invertia en bonos el gobierno. Sea (70000 ) cantia invertia en bonos hipotecarios. El ingreso percibio por los bonos el gobierno es El ingreso percibio por los bonos hipotecarios es 0.085(70000 ). Entonces: (70000 )= = = La persona eberá invertir $8000 en bonos el gobierno y $ 000 en bonos hipotecarios.

22 ..Aplicaciones e las funciones Lineales Resuelve las siguientes ecuaciones: ( - ) = ( - ) - [-( + )] = ( - 5) 7 Respuestas: X = 7/ 5 X = -0 X = -9/ 7 Un comerciante e autos usaos compra automóviles en $ Vene uno con una ganancia e 0% y el otro perieno 5% y aún obtuvo una ganancia e $ 85 por la transacción completa. Encuentra el costo e caa automóvil. R. $0 000 y $70 000

23 . LÍMITES OBJETIVOS Comprener los conceptos básicos Distinguir y emplear la simbología Calcular la operaciones básicas e los límites Ientificar y aplicar las propieaes algebraicas e los límites Desarrollar el proucto cartesiano y presentarlo gráficamente CONTENIDO:. Límite e una función. Propiea e los límites. Límites al infinito. Propiea e los límites al infinito.5 Aplicación e los límites

24 .. Lìmite e una funciòn Definición Sea f() una función que esta efinia en toos los valores cercanos a, con la ecepción e si mismo. Se ice que L es el límite e f() cuano tiene a a, si la iferencia entre f() y L puee hacerse tan pequeña como se esea, con sólo restringir a estar lo suficientemente cerca e a. Queano entonces representao como: a Ejemplos: Consierano la función f Lím f() = L efinia por la ecuación f ( ) ( )( ) f está efinia para toos los valores e ecepto cuano =. Aemás, si:, el numeraor y el enominaor pueen ser iviios entre ( ) para obtener : f ( ) ; Como se muestra a continuación: toma los valores, 0, 0.5, 0.50, , 0.99, y así sucesivamente. Entonces toma valores caa vez más cercanos a uno pero nunca toma el valor e uno, en otras palabras, la variable se aproima por la izquiera a a través e valores que son números menores muy cercanos a éste. Ahora si analizamos a la variable cuano se aproima por el lao erecho a, a través e valores mayores que éste, esto hace por ejemplo que tome valores e,.75,.50,.5,.0,.0,.00,.000,.0000, y así sucesivamente, pero nunca toma el valor e uno. Acercánonos a por la izquiera: Tabla... X f() = Pero

25 Acercánonos a por la erecha: Tabla... X f () = Pero Se observa en ambas tablas a meia que se aproima caa vez más a, f() también se aproima caa vez a 5 y entre más cerca esté e, más cerca f () a 5, en consecuencia, cuano se aproima a por abajo o por arriba, f()=+ se acerca a 5. Se inica que el límite e f() cuano tiene a es igual a 5, esto se representa así: Encontrar el límite e lím lím (+)=5 ( )( ) lím ( ) 5 Conclusión f() no esta efinia en =, sin embargo lím f() eiste cuano. Encontrar el límite e la función lím 9 Sustituyeno el valor e tres one se encuentra la se tiene: lím () operación no eterminaa conclusión f() no esta efinia en =, sin embargo, escribir como: lím f ( ) eiste, por que la poemos lím ( )( ) lím 6 Por lo tanto, el límite e la función eiste y es igual a 6 ; el punto crítico es: (,6) no pertenece a la gráfica.

26 Tabla... Gráfica... y (, 6 ) 5 6 (no pertenece) 5 Función iscontinua en (, 6 ) DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD lím f ( ) Una función f() es continua en = a si: la función f(a) como el eisten y son a iguales. Analizamos funciones continua y iscontinua con mayor etalle en la sección..

27 .. Propieaes e los lìmites Las propieaes básicas e las operaciones con límites e una función son: Sean f y g os funciones tales que lím f() = L y lím g() = M, si los os límites eisten a a Entonces:. lím a k f ( ) k lím f ( ) kl a... lím a lím a lím a f ( ) g( ) lím f ( ) lím g( ) L M a a f ( ) g( ) lím f ( ) lím g( ) L M a a f ( ) g ( ) lím f ( ) lím g( ) L M, M 0 a a 5. lím a n a n Si k es una constante lím k k a 7. Si m, b, y c son tres constantes, entonces lím c ( m + b ) = mc + b De acuero al análisis e las propieaes e límites se porá observar que el valor límite e una función se puee obtener con la simple sustitución el valor e límite e en la función aa. Este métoo e sustitución siempre nos lleva a una respuesta correcta si la función es continua en el límite que se ésta evaluano. Toos los polinomios son funciones continuas y cualquier función racional es continua, ecepto en los puntos en que el enominaor se hace cero, ano como resultao el cálculo e un límite que la operación no este eterminaa y se concluye que el límite no eiste ( 0 / 0 ó una constante ivia entre cero /0).

28 Ejemplos:. Calcular el límite e la siguiente función, cuano ) ( f hacieno = - en la fórmula vália para f ( ), tenemos erminaa esta no operación la f et 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( Factorizano lím ) ( ) )( ( ) )( ( f lím entonces ) ( :. Determine lím Racionalizano se tiene: lím )( ( )( ( ) )( (. Determine 5 5 lím 5 (5) 5 5 lím 5 5 lím Ejercicios propuestos

29 .. lím R. t R t t t lím.. lím t Cero R t t 6. : R lím 7.. lím Cero R

30 .. Límites al infinito. Determine lím lím. Lím 5 R 5. lím ( 6) 8 ( ) R.. Propieaes e los lìmites al infinito. Si k es una constante entonces y. Si n es un número natural par entonces y. Si n es un número natural impar entonces y. Si m es un número natural par entonces 5. Si m es un número natural impar entonces y

31 6. Si k es un número racional positivo y r es un número real arbitrario entonces y siempre que k esté efinio..5. Aplicaciones e los lìmites Límites e funciones continuas y iscontinuas Se efine función continua como aquella, cuya gráfica es una curva que es continua, la cual no tiene huecos (vacíos) o que este segmentaa. Se ice que una función es continua para un valor en = a, si cumple con: a. f(a) esta efinia b. lím a f ( ) eiste c. lím f ( ) f ( a) a Para que un límite eista la función ebe aproimarse al mismo punto = a por ambos laos Ejemplos:. La función f() = es continua en =? a. f() = está efinia b. lím ()() 9 c. Valor funcional f () () lím 9 f () 9 9 Es continua para =. ( ) f es continua en =? a. b. f ( ) está efinia

32 lím c. f ( ) lím lím f ( ) f ( a) = Es continua en = Función Discontinua Cuano no se cumplen las coniciones e continuia e una función, a ésta se le llama Discontinua. Ejemplos:. a. 5 ( ) f es iscontinua para =? 5 ( ) f es iscontinua para = b. 5 lím 5 0 no eiste el limite c. 5 5 f ( ) 0 La función es iscontinua en =. = la operación no esta efinia

33 . a. b. f ( ) es continua en = 0? f ( ) es iscontinua en = 0? lím no eiste el límite 0 c. f ( 0) 0 no esta efinia la operación La función es iscontinua en = 0, pero la función es continua en 0. Una función f() es continua en un intervalo abierto a < < b, si es continua en caa el intervalo. En un intervalo cerrao a b si f() es continua en el intervalo abierto a < < b y f() se aproima a f(a) a meia que se acerca al valor e a por la erecha (para a < ) y f() se aproima a f(b) a meia que tiene al valor b por la izquiera (para < b).

34 . DERIVADAS OBJETIVOS Comprener la interpretación geométrica e la erivaa Calcular erivaas e funciones por los métoos e la primera y seguna erivaa Ientificar y aplicar las propieaes e las erivaas Ientificar los valores máimos y mínimos e funciones Desarrollar aplicaciones e la erivaa CONTENIDO:. Derivaa e una función.. Proceso e los cuatro pasos para eterminar la erivaa.. Uso e interpretación e la erivaa.. Reglas para eterminar la erivaa e una funciòn.5. Seguna erivaa.6. Máimos y mìnimos.7 Aplicaciones con la primera erivaa

35 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. El cálculo iferencial estuia el cambio que le ocurre a una variable cuano eisten variaciones en otra variable e la cual epene la variable original. Los investigaores el área económica-aministrativa se interesan por las razones e cambio promeio e instantáneo y están particularmente interesaos en las tasas marginales e cambio, tales como: el costo marginal, el ingreso marginal, la utilia marginal, el proucto marginal, toos los cuales se mien utilizano matemáticamente la erivaa. Para llegar a un concepto claro e erivaa, esta sección efine lo que se conoce como cambio o incremento e una variable. DEFINICIÓN DE INCREMENTO DE UNA VARIABLE. Sea y = f() una función, con y, un par e valores en el ominio e f, e tal forma que f( ) = y y f( ) = y, entonces: El cambio en el valor e al pasar e a, ao por, se enomina incremento e y se representa por, one =.

36 El cambio en el valor e Y al pasar e y a y, ao por y y, se enomina incremento e y, se representa por Y, one: Y = Y Y = f(x ) - f(x ) TASA DE CAMBIO. Para entener el comportamiento geométrico e la erivaa, se efine la tasa e cambio e una Y función f(), entre y +, al cociente X Muchos e los problemas importantes el cálculo epenen e encontrar la recta tangente a una curva aa en un punto especifico e la curva. Si la curva es una circunferencia, sabemos e la geometría plana que la recta tangente en un punto P e la circunferencia se efine como la recta que intersecta a la circunferencia únicamente en el punto P. Esta efinición no es suficiente para cualquier curva en general. Por ejemplo, en la gráfica... en one la línea es la recta tangente a la curva en el punto P, la cual intersecta a la curva en el punto P. Gráfica.. Y P X Para llegar a una efinición aecuaa e la recta tangente a la grafica e la función, se comienza por consierar como se efiniría la peniente e la recta tangente en un punto, si conocemos la peniente e una recta y un punto sobre la misma, la recta está eterminaa. (punto- peniente). Sea la función f, continua en. Se efine la peniente e la recta tangente a la gráfica e la función f en P (, f( )). Sea Q (, f( )) otro punto sobre la gráfica e la función f. Figura..

37 f() Q (X,f(X )) f( )-f( )= y (X,f(X )) P X X X Cualquier recta que pase por os puntos e una curva se llama secante; por lo tanto, la recta a través e P y Q es una recta secante. En la figura.. está a la erecha e P. Sin embargo Q puee estar ya sea a la erecha o a la izquiera e P. Denotemos la iferencia e las abscisas e Q y P por tal que: = puee ser positivo o negativo. La peniente e la recta secante PQ está efinia por: M pq = f( ) f( ) Ya que X = X +, poemos escribir la ecuación anterior como: M pq = f ( + ) f ( ) X Ahora el punto P está fijo, si movemos el punto Q a lo largo e la curva hacia P; entonces Q se aproima a P. Esto es equivalente a establecer que tiene a cero. Como esto sucee, la recta secante gira sobre el punto fijo P. Si esta recta secante tiene un punto límite, a esta posición límite, común e la recta secante se le efine como la recta tangente a la curva en P. Así se querría que la peniente e la recta tangente a la gráfica en P sea el límite e M pq cuano se aproima a cero, y el límite eiste. Esto conuce a la siguiente efinición: PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE La peniente e la recta tangente en la gráfica e la función f en el punto P (, f()) esta aa por:

38 m ( ) lím 0 f ( ) f ( ) si el límite eiste. El límite que mie la peniente e la recta tangente a la gráfica e Y = f() en el punto P (, f()) recibe el nombre especial e erivaa e f en... Derivaa e una funciòn La erivaa e una función f con respecto e es la función f (que se lee f prima e ), efinia por: f '( ) lim 0 f ( ) f ( ) Done el ominio e f es el conjunto e toas las one eiste límite... Proceso e los cuatro pasos para eterminar la erivaa La operación e calcular la erivaa e una función se enomina iferenciación. Si la erivaa e una función eiste en un punto a, se ice que f es iferenciable en este punto. EJEMPLO: Encontrar la peniente e la recta tangente a la curva Y= + en el punto (,y ) Si: f() = +, entonces: f( ) = + y f ( +) = ( + ) - ( +) + e la efinición (i) tenemos: m( ) lím 0 f ( ) f ( ) lím 0 (( ) ( ) ) ( ) lím 0

39 lím 0 Ya que 0 poemos factorizar en el numeraor ( ) lím 0 En one: Por sustitución: m( ) lím 0 m ( ) = Nota: Cuano se obtiene como resultao el cálculo e un límite 0 / 0 o constante / 0, se concluye que el límite no eiste. Problemas propuestos Calcular el límite e la siguiente función f() = ( + + ) / (-), cuano - Calcular la erivaa aplicano límites f() = R. Calcular la erivaa aplicano límites f() = / R. / Calcular la erivaa aplicano límites f() = + R. Calcular la erivaa aplicano límites f() = - R. -.. Uso e irteprtetaciòn e la erivaa Al utilizar la efinición aa anteriormente para calcular la erivaa e algunas funciones no siempre es sencillo, lleva tiempo y cuiao; por ello, es necesario conocer reglas que faciliten este proceimiento. Estas reglas forman lo que se enomina el álgebra e erivaas. La notación representa un sólo símbolo y no eberá interpretarse como el cociente e las cantiaes e y y, y inica la erivaa y con respecto a si y es una función e la variable inepeniente, la erivaa también se enota por las siguientes representaciones: f ( y),, y', Dy, Df, ( f ). y.. Reglas para eterminar la erivaa e una función. Derivaa e una constante es igual acero, si: y = c

40 y ( c) 0 Ejemplos: a. ( 6) 0 b. ( b) 0 Problemas:. (8). ( b ) R. 0 R. 0. Derivaa e una variable es igual a uno, si: y = y ( ) Ejemplos: t a. ( t) r b (r) Problemas: y (m m. ( y). ) R. R.

41 . La erivaa e la potencia n-ésima e una variable es el proucto el eponente n y la potencia el eponente n- e la variable, si: y= n y ( Ejemplos: n ) n n a. ( ) b. ( 8 ) Problemas:. ( ) R.. ( 5 ) R Derivaa el proucto e una constante y una función. Si: y =cu en one u= f(). y ( cu) c Ejemplos: u a. ( 0) 0 ( ) 0 b. 8 ( ) ( ) Problemas:. ( ) R.. (6 ) R. 8 /

42 5. Derivaa e la suma e un número infinito e funciones. Si: Y = u + v en one u = f() y v = g() y ( u) ( v) Ejemplos: a. ( ) ( ) ( ) () ( ) 0 6 b. ( 6 0) ( ) 6 ( ) ( 0) Problemas:. ( ) R. 7. (6 7 ) R. 8 / Derivaa el proucto e os funciones. ( uv) u ( v) v ( u) Ejemplo: a. f() = ( +)(+) Sea: u=( +) y v=(+) 7 5 ( uv) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 b. f ( ) Sea: u y v = + f () =

43 Problemas propuestos:. f ( ) ( )( ) R. + R.. f ( ) () 7.- Derivaa el cociente e una constante y una función. y c c u u Ejemplo: (u) a. f ( ) b. 6 f ( ) y 6 08 ( ) Problemas propuestos:.. 6 ) f ( ) R. ( ( ) 6 ( ) 6 ) f R. ( 8. Derivaa el cociente e una función y una constante. a. u u c c f ( )

44 Done: c y u = + b. f ( ) 6 ( ) 6

45 Problemas propuestos:. ( ) ( ) f R ( ( ) ) f R. 9. Derivaa el cociente e os funciones. u v v u u v v a. f ( ) 6 6 ( 6 ( ( ) 6) ( ) b. ( ) 6 f 6 ( 6) Problemas propuestos:. ( ) f R ) ( f R

46 0. Derivaa e la potencia n-ésima e una función erivable. u Ejemplos: nu n n u f ( ) a. ( ) ( ) 6 ( ) b. f ( ) / / ( ) Problemas propuestos:.. f ( ) ( ) R. f ( ) ( ) R. ( ) ( ) ( ). Derivaa e la raíz n-ésima potencia e una función. n ( u ) n u n u n n es el ínice el raical. a. f ( ) ( ) b. f ( ) Problemas propuestos:

47 ... f ( ) R. f ( ) 6 R. ( 6) Derivaa e una función inversa. La erivaa e una función inversa es igual al recíproco e la erivaa e la función. Si y = f() y = g(y) son funciones iferenciables inversas. y y o bien f ( ) g( y) y a. y 6 y y y 6 y obtener y y y b. y y y 5 5 o bien f ( ) g( y) y y y y y y 5 y y 5 y y y Problemas propuestos:. y 6 y R. y 6. y y R. y Derivaas e las funciones eponenciales y logarítmicas. Derivaa e una constante elevaa a una función. Si: f u ( ) a en one u = f() es una función erivable con respecto a.

48 y Ejemplo: a. u a a f ( ) u Lna u Ln() Ln() b. f ( ) ln0( ) Problemas propuestos:.. f a ( ) a a R. a a ln(a) 8 f ( ) R. 8 ln8( ). Derivaa e e elevaa a una función u. y Ejemplo: u e e u u a. e f ( ) e e e e ( ) b. 0 f ( ) 0e 0e Problemas propuestos:. f ( ) 0e R. 0e

49 . f ( ) e R. e ( ) Derivaa el logaritmo e base a e una función u. y Ejemplos: log u e u a log a u f ( ) log loge log e ( ) f ( ) log b. log loge log log e ( ) Problemas propuestos: f ( ) log R.. 6(log ) (log e). f ( ) (log ) R. ( 9)(log ) (loge) (log ) ( )

50 Regla e la caena Sea f (u) y una función e u y u g( ) y f g() una función e. Entonces poemos escribir: Que representa a y como una función e, enominaa la función composición e f y g, y se enota por ( f o g)( ). Las erivaas e funciones compuestas puee calcularse meiante el teorema siguiente: Si y es una función e u y u es una función e entonces: y y u u Ejemplo: a. Calcular y cuano y ( ) 5. Epresamos a y como la composición e os funciones e la forma siguiente: 5 y u one u. y u one tenremos 5u y. u Aplicano el teorema y 0 ( ). Problemas propuestos:. Sea y ( 8 5 ) R. ( ( 8 8 ) 8 5 ). Sea y R. ( ).5. Seguna erivaa En ocasiones es necesario erivar una función una o más veces. Al resultao e os o mas erivaas en forma consecutiva e una función, se le conoce como erivaa e oren superior y se representa e la siguiente forma: n y n Ejemplo: ; f n ( ) a. f ( ) ; y n

51 y Solución: 6 y 6 6 y 6 y 0 Las erivaas e oren superior, son también iguales a cero. b. f ( t) t t t ( t y t y t y Solución: ( t ) ) t ( t ) 5 Problemas propuestos:. f ( ) e encontrar la primera y seguna erivaa. R. e, 9e. f ) log ( encontrar la primera y seguna erivaa. R. loge ; log e Funciones crecientes y ecrecientes Función creciente Definición Se ice que la función es creciente en un intervalo I, si para cualesquiera y entro el intervalo, < implica que f( ) < f( ). Si la primera erivaa e f es positiva en too un intervalo entonces la peniente será positiva y f será una función creciente en el intervalo. Función ecreciente

52 Definición Se ice que la función es ecreciente en un intervalo I, si para cualesquiera y entro el intervalo, implica que f ( ) f( ). Si la primera erivaa e f es negativa en too un intervalo entonces la peniente será negativa y f será una función ecreciente en el intervalo. Ejemplos:. En f ( ) 5 0 eterminar los intervalos en que f puee escribirse como: Función creciente. Función ecreciente. La función no es creciente ni ecreciente. Encontrar la primera erivaa: f ( ) 5 0 f `( ) 0 0 a. f será creciente cuano f`()>0 o cuano: b. f será ecreciente cuano f`()<0 o cuano: c. f no será creciente ni ecreciente cuano f`() = 0 o cuano: En f ( ) 0 como: Función creciente. Función ecreciente. eterminar los intervalos en que f puee escribirse

53 La función no es creciente ni ecreciente. Encontrar la primera erivaa: f ( ) f `( ) 0 a. f será creciente cuano f`()>0 o cuano: 0 0 / 0 b. f será ecreciente cuano f`()<0 o cuano: 0 0 / 0 c. f no será creciente ni ecreciente cuano f`() = 0 o cuano: 0 0. En f ( ) 6 5 como: eterminar los intervalos en que f puee escribirse Función creciente. Función ecreciente. La función no es creciente ni ecreciente. Encontrar la primera erivaa: f ( ) f `( ) 6 f `( ) ( ) a. 5 f será creciente cuano f`()>0 y cuano f()< - :

54 0 0 cuano : b. f será ecreciente cuano - < f`() <0 o cuano: 0 0 cuano : c. f no será creciente ni ecreciente cuano f`() = 0 y cuano f() = -: 0 0 0

55 Problemas propuestos:. En f ( ) 9 escribirse como: eterminar los intervalos en que f puee Función creciente. Función ecreciente. La función no es creciente ni ecreciente. R. -<f()< creciente, = punto estacionario, <f()< ecreciente, = punto estacionario, <f()<+, creciente.. En f ( ) eterminar los intervalos en que f puee escribirse como: Función creciente. Función ecreciente. La función no es creciente ni ecreciente. R. Es creciente para valores positivos, es ecreciente para valores negativos y es un punto estacionario en cero..6. Máimos y mínimos Valores máimos y mínimos utilizano el métoo e la primera erivaa Criterio e la primera erivaa para eterminar los máimos y mínimos e una función. Encontrar la primera erivaa e la función y se factoriza hasta obtener los factores e primer grao. Los factores encontraos en el punto anterior se igualan a cero (caa uno) y se resuelve la ecuación hasta obtener sus raíces, que vienen a ser los valores críticos e la variable o abscisa e un máimo o mínimo Se realiza un cuaro en el que se toma como base los valores críticos e la variable, se le an valores menores y mayores, pero vecinos para caa valor crítico e la variable, los cuales se sustituyen en la ecuación importante e la seguna operación, si el cambio e signo es e mas (+) a menos (-) hay un máimo, pero si es e menos (-) a mas (+) es un mínimo, si no hay cambio e signo entonces se tiene un punto estacionario. Los valores críticos e la variable se sustituyen en la función, obteniénose las orenaas e los máimos y mínimos. Los puntos anteriores son utilizaos como un proceimiento para localizar los máimos y mínimos que ocurren en los valores e para los cuales f() y f`() son continuas. Ejemplos: a..

56 f ( ) f ``( ) 6 6 f ``( ) ( ). Valores críticos = 0 - = 0 = 0 =. ( - ) - (-)(-) = + 0 Máimo (+)(-) = -. a). Orenaa el máimo (+)(-) = - Mínimo 5 (+)(+) = + f (0) f (0) (0) 6 6(0) 6 b). Orenaa el mínimo f () () f () 6 5. Punto el máimo P(0,6) Punto el mínimo P(,-6) 6() 6

57 b.. f ( ) f `( ) ( ). Valores críticos = 0 - = 0 = 0 =. ( - ) - (+)(-) = - 0 Punto estacionario No hay signo 0 (+)(-) = - Mínimo (+)(+) = +. a). Orenaa el máimo f (0) f (0) (0) 0 (0) b). Orenaa el mínimo f () () f () 5. Punto Estacionario P(0,0) Punto el mínimo P(,-) ()

58 c.. f ( ) f `( ) ( ). Valores críticos 6 = 0 - = 0 = y = -. 6 ( - ) 0 (-) Mínimo (+) - (+) - Máimo 0 (-). a). Orenaa el mínimo f () f () () 6() 5 b). Orenaa el máimo f ( ) ( ) f ( ) 9 6( ) 5 5. Punto el máimo P(-,9) Punto el mínimo P(,) Resumen Si la función tiene un máimo relativo o un mínimo relativo en un valor = a, para el que la primera erivaa es continuo, entonces f `(a) = 0, si sólo si. Si f `(a) = 0 no necesariamente ebe e ser un máimo relativo o un mínimo relativo en = a, puee ser un punto estacionario con tangencia horizontal, pero f() y f `( ) son continuas en = a entonces f `(a) = 0. Las coniciones necesarias para que eista un máimo o un mínimo son:

59 f `(a) = 0 o bien f `(a) no esta efinia Problemas propuestos:. f ( ) R. P má (-,0) y P mín (,7). f ( ) 6 R. P má (-,/) y P mín (,) Valores máimos y mínimos utilizano el métoo e la seguna erivaa La seguna erivaa se emplea para eterminar en one una función tiene una concavia hacia arriba o hacia abajo. La seguna erivaa f``(a) es la peniente e la gráfica e f`() en el punto = 0. La seguna erivaa f``(a) e una función y = f() es positiva, se afirma que la curva que representa es cóncava hacia arriba y f`() es una función e creciente en = a. La seguna erivaa f``(a) e una función y = f() es negativa, se afirma que la curva que representa es cóncava hacia abajo (convea) y f`() es una función e ecreciente en = a. Si una función f() en un valor = a para el cual f() y f`() son continuas. Geométricamente si f`(a) = 0 y f() es cóncava hacia abajo en =a, entonces f() tiene un máimo en a. Geométricamente si f`(a) = 0 y f() es cóncava hacia arriba en =a, entonces f() tiene un mínimo en a.

60 Si f() y f`() son continuas en = a y f`(a) = 0, entonces: Mínimo Máimo La prueba no es aplicable En = a, f``(a) > 0 En = a, f``(a) < 0 F``(a) = 0 Criterio e la seguna erivaa para calcular máimos y mínimos. Obtener la primera erivaa y encontrar los factores e primer oren. Igualar a cero los factores e primer oren y obtener los valores críticos. Obtener la seguna erivaa y sustituir en ellos los valores críticos e la variable y ver si el valor numérico obtenio es positivo ( > 0) eiste un mínimo, si el valor es negativo ( < 0) eiste un máimo, cuano el valor obtenio es cero ( = 0), el criterio no se aplica y se tiene que regresar al criterio e la primera erivaa. Ejemplos: a. Encontrar los máimos o mínimos y eterminar la concavia.. f ( ) f `( ) 6 f `( ) 6( 6 ) f `( ) 6( )( ). + = 0 - = 0 6 = 0 = - =. f `( ) 6 6 f ``( ) 6 Para = - f ``( ) ( ) 6 8 Eiste un Máimo. Para = f ``( ) () 6 8 Eiste un Mínimo Es cóncava hacia abajo en = -. Es cóncava hacia arriba en =. b. Determinar la concavia e la función en el punto = -. f ( ) f `( )

61 . f `( ) f ``( ) 6 f ``( ) 0 Para = - f ``( ) 6( ) 6 Eiste un Máimo. Para = f ``( ) 6() Eiste un Mínimo Es cóncava hacia abajo en = - Es cóncava hacia arriba en = c. Obtener los máimos o mínimos y eterminar la concavia.. f ( ) f `( ).. f `( ) f ``( ) = 0 = 0 Para = 0 f ``( ) (0) 0 No eiste máimo o mínimo, la prueba no es aplicable. a). Valor crítico si < 0 ; f`() < 0 si > 0 ; f`() > 0 Entonces eiste un Mínimo - (-)- 0 Mínimo (+) b). Orenaa el máimo f (0) (0) f (0) 0

62 c) El mínimo esta en el punto P(0,0) Es cóncava hacia arriba en = 0 Problemas propuestos. Determinar la concavia e la función f ( ), por el métoo e la seguna erivaa. R. P(/,/), cóncava hacia arriba.. Determinar la concavia e la función f ( ) 8, por el métoo e la seguna erivaa. R. P(/,0.5), cóncava hacia arriba; P(-,-) cóncava hacia abajo.. Determinar la concavia e la función f ( ) 6 0, por el métoo e la seguna erivaa. R. P(,-), cóncava hacia abajo RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO Definición Suponga que y es una función e, y f (). Corresponieno a un cambio e a, la variable (y) cambia a una cantia y f ( ) f ( ). Así el cociente e iferencias es: cambio en cambio en y y f ( ) f ( ) ésta representa la razón e cambio promeio e y con respecto a. RAZÓN INSTANTÁNEA DE CAMBIO Conforme tiena a cero, la razón e cambio promeio tiene a lo que intuitivamente se llama razón instantánea e cambio e (y) con respecto a, y el cociente e iferencias tiene a la y y o F( ) F ( ) lim 0 erivaa f '( ), por lo tanto la razón instantánea e cambio e (y) con respecto a es precisamente la erivaa, Problemas e Aplicación.

63 La erivaa e una función es una herramienta que permite meir la razón e cambio e una cantia con respecto a otra. Algunas aplicaciones son en el área económico-aministrativo como es el caso el análisis marginal (utilia, ingreso, costo). Ejemplo:. Un estuio e prouctivia sobre el turno matinal en una fabrica inica que un trabajaor meio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá montao F( ) 6 5 aparatos e sonio igitales horas espués. a. Determine una fórmula para el ritmo al que el trabajaor estará montano aparatos e sonio igitales espués e horas. F 5 b. A que ritmo estará montano los aparatos e sonio el trabajaor a las 9:00? F () () 5 aparatos e sonio igitales hora c. Cuántos aparatos e sonio montará realmente el trabajaor entre 9:00 y 0:00am? F ( ) F ( ) F ( ) 6 aparatos e sonio igitales La gerencia e la compañía e llantas Azteca, ha eterminao que la función e emana semanal e sus llantas Gran Azteca, está aa por: P = f( ) = -, one P se mie en pesos y en uniaes e proucción. a. Encontrar la razón promeio e cambio en el precio unitario e una llanta. Respuesta: p h La razón el cambio instantáneo el precio unitario e una llanta cuano la cantia emanaa es uniaes. Respuesta: p.7. Aplicaciones e la erivaa

64 COSTO MARGINAL Se efine como el cambio en el costo total C() ebio al incremento e una unia en la proucción y se escribe como: c C'( ) INGRESO MARGINAL El ingreso marginal es el cambio en el ingreso total R() por un incremento e una unia en la emana y se representa por: r R'( ) COSTO PROMEDIO MARGINAL Al costo total iviio entre la cantia proucia que es la razón C ()/, y ésta representaa el costo promeio por unia proucia. A la erivaa e la razón C ()/, con respecto a se le llama costo promeio marginal y se representa como: C ( ) C( C'( ) ) La epresión anterior inica el costo promeio por articulo en la cantia total proucia. Ejemplos:. El costo total e proucir un articulo () esta ao por: C()= pesos, el precio e venta e las uniaes esta ao por la ecuación p()= pesos por unia. Encontrar el costo marginal Calcular el ingreso marginal Cuál es el costo marginal e la venta e uniaes? ) De cuánto es el ingreso marginal que se obtiene e la venta e uniaes? Solución: La ecuación el costo total es: C ()= La primera erivaa nos a el costo marginal C ()= 0.5+0

65 El precio e venta esta ao por la ecuación p()=0-0.5, al venerse uniaes se epresa como: p ( ) R( ) ( 0 0. ) R( ) 5 Al encontrar la primera erivaa obtenemos el ingreso marginal R ()= 0- De la ecuación e costo marginal el inciso a, se obtiene: C () = 0.5 () + 0 = 7 pesos ) El ingreso marginal e la venta e uniaes R( ) 0 R( ) 0 R( ) 06 El ingreso obtenio al vener uniaes es 06 pesos. Encontrar el costo promeio marginal e la siguiente ecuación; cuano = 50 C( ) C( ) C( 50) 7. 5 C( 50) COSTO PROMEDIO MARGINAL C C`( ) Así, cuano = 50, el costo promeio por unia aumenta en 0.8 por caa unia aicional proucia. Utilia Marginal. Un fabricante e calzao prouce zapatos para hombres y mujeres. Si se proucen zapatos para caballeros, y zapatos para ama a la semana, entonces la ecuación e transformación el proucto es e + y = 5. la utilia es e $ 0 por caa par e zapatos. Problemas con moificaciones el libro e Jagish C. Ayra/Robin W. Laner, Matemáticas Aplicaas a la Aminsitación y la Economía, tercera eición, Prentice Halll, Méico 99, pp. 55, 56 y 57.

66 Calcular la utilia marginal con respecto a, cuano toma el valor e. Solución: La ecuación e utilia semanal u en miles e pesos es: u 0 0 y la ecuación e transformación el proucto se epresa como: y y 5 5 Se epresa u en términos e como: u La utilia marginal con respecto a no es otra cosa que la erivaa u /, ésta mie el incremento en la utilia por unia e incremento en cuano es la proucción e calzao e caballero, este incremento es muy pequeño. u u 0 0( 5 ) ( ) es necesario utilizar la regla e la caena para erivar el seguno término. u (5 u (5 ) ) (5 (5 ) ) se sustituye este resultao en la epresión (). u u u ( ( 5 5 ) ) (5 )

67 si =, el valor e y es: y 5 5 ( ) 7. La empresa prouce 000 pares e zapatos para caballero y 00 pares e zapatos para ama por semana. La utilia semanal es: La utilia marginal es: y 0 u 0. u u ( ) 5 ( ) Un incremento e miles e pares e zapatos para caballero proucen un incremento aproimao e 0.6 miles e pesos en la utilia.. La función el costo es c() = y la ecuación e emana e un articulo es: p + 0.=86 Encontrar la ecuación e la utilia marginal Calcular la utilia marginal cuano se proucen y venen 50 uniaes. La función e ingreso es R() = p De la ecuación e utilia La utilia marginal es: R( ) R( ) U ( ) R ( ) C ( ) U( ) 86 U( ) 6 0. U '( ) Cuano se proucen y venen 50 artículos

68 U`( ) U' (50) U`(50) El resultao inica que cuano se proucen 50 uniaes hay una utilia e $ por unia aicional. Costo Marginal. Suponga que el fabricante e cierto artículo escubre que a fin e proucir e estos artículos a la semana, el costo total en ólares está ao por: C = Por ejemplo, si se proucen 00 artículos a la semana, el costo total en ólares está ao por C = (00) = 500. El costo promeio al proucir 00 artículos es 500/00 = $5. ( 5 ) C + C = (00 + ) = [0, ( ) ] = ( ) = ( ) Por consiguiente, el costo etra eterminao por la proucción e los artículos aicionales es: C = (C + C) C = ( ) C = ( ) C = ( ) En consecuencia, el costo promeio por artículo e las uniaes etras es: C = Si la proucción crece e 00 a 50 artículos por semana (e moo que el = 50), se sigue que el costo promeio e los 50 artículos aicionales es igual a (50) = $7.50 por caa uno. Si el incremento es e 00 a 0 (e moo que = 0), el costo promeio etra e los 0 artículos es igual a $6.0 por caa uno. Definimos el costo marginal como el valor límite el costo promeio por artículo etra cuano este número e artículos etra tiene a cero. Así, poemos pensar el costo marginal como el costo promeio por artículo etra cuano se efectúa un cambio muy pequeño en la cantia proucia. En el caso anterior: Costo marginal = lím c = lím ( ) = 6 Δ 0 Δ 0 Regla e la caena

69 5. Un importaor e café meicano estima que los consumiores locales comprarán aproimaamente pesos por kilogramos..7 D p kilogramos e café por semana cuano el precio sea e p p Se estima que entro e t semanas, el precio el café meicano será e P t 0.0t 0.t 6. 0 entro e 0 semanas? La emana, Estará crecieno o ecrecieno? D p pesos el kilogramo. A qué ritmo estará cambiano la emana e café 8.78 p 0.0t 0. p t one D t D * p p t t 0.t 6 D t Cuano t = 0 semanas 0. 0 Por lo tanto la emana esta ecrecieno a un ritmo e 0.0 kilogramos por semana. Problemas Propuestos:. Se estima que entro e t años, la población e una cierta comunia será e 6 P t 0 t contaminantes en el aire será e C p 0.5 p p 58 en miles e habitantes. Un estuio ambiental inica que el nivel meio iario e en porcentaje. a) Encuentre el ritmo al que el contaminante está cambiano con respecto al tiempo entro e años. c t P 00 R. 0.%. La ecuación e emana para el proucto e un monopolista es q y que la función e costo es C 0.q q 00 one q es le número e uniaes e proucción. Y P como C esta epresao en pesos. a) Determine el nivel e proucción en one se maimizan las utiliaes. b) Determine la utilia máima c) Determine el precio al cual ocurren las utiliaes máimas. R. a). q b). u $ 70 c). P $ 0

70 . Suponga que P 00 q 0 es una ecuación e emana para el proucto e un fabricante. a)determine la tasa e cambio e P con respecto a q b)determine la función e ingreso marginal. R. a) P q q q 0 Im g q q q 0 b) 00 q 0

71 . CÁLCULO INTEGRAL OBJETIVOS Entener el concepto e integral. Distinguir entre integral inefinia y efinia. Calcular la integral inefinia. Calcular la integral efinia. CONTENIDO:. Antierivaas. Integral inefinia. Reglas e la integraciòn. Integraciòn por sustituciòn.5 Integraciòn por partes.6 Integral efinia.7 Integral por sustitución.8 Integraciòn por partes.9 Aplicaciòn e la integral

72 CÁLCULO INTEGRAL. INTRODUCCIÓN Empecemos primero por plantear el concepto e integral en forma general y más aelante se estuiará a la integral inefinia y efinia. La integral e una función f se enota como: f () Done: f() función a integrar o integrano iferencial e la variable, signo e integración.. Antierivaas La integral tiene muchas interpretaciones y aplicaciones, se mencionan algunas e éstas: Antierivaa La integral es la operación contraria a erivar y se le llama antierivaa. Ejemplo:. La erivaa e la función es, () = Por lo tanto la antierivaa ó integral e es: = + C en one C es una constante e integración que puee tomar cualquier valor, así ecimos que: F() = + F() = + F() = + F() = + 0 F() =

73 Toos los casos anteriores son antierivaas e la función f() =, entonces se puee afirmar que una función f es una antierivaa e f en un intervalo, si: F () = f() Las funciones F() = + C representan una familia e rectas, toas ellas con peniente igual a. : = + C al erivar la función f() =,obtenemos como resultao. Hasta aquí poemos concluir que si conocemos la erivaa e una función conocemos su antierivaa o integral también... Integral inefinia La integral inefinia e cualquier función f con respecto a es una antierivaa inefinia (arbitraria) e f, y se enota como: f ( ) Se afirma que toas las antierivaas e f ifieren sólo en una constante. Formalicemos lo hasta aquí visto. La antierivaa general e f() es: F() + C por lo tanto f() = F() + C Ejemplo: a) C b) C C c) C... Reglas e integraciòn Algunas e las propieaes e la integral efinia. Si tenemos una función que se está multiplicano por una constante; poemos colocar a la constante fuera e la integral. En forma general:

74 b a b a f k kf ) ( ) ( Ejemplo: ) ( ) ( Si k es cualquier constante, entonces: b a a b k k ) ( Ejemplo: ) ( Si estamos calculano la integral e la suma o resta e funciones: b a b a b a g f g f ) ( ) ( ) ( ) (

75 Ejemplo: ( ) / / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) 0 La inversa el oren e los límites e integración cambia el signo e la integración. b a b F a F ( ) ( ) Sí el límite superior e integraciones es igual al límite inferior e integración, el valor e la integración efinia es cero. b a F( ) F ( a) F ( a) 0 La integral efinia puee epresarse como la suma e subintegrales. c b c F ( ) F( ) F( ) a b a a b FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN. C. k k C k k k. e e C. ( ) k f ( kf ) c n n n 5. C e e C Ln C 0.. Integración por sustituciòn

76 C C C C C C C C C C C 7 7 C C y y y y y y y y y y y y 5 ) ( C C Integraciòn por partes Este métoo permite resolver un gran número e integrales no inmeiatas.. Sean u y v os funciones epenientes e la variable ; es ecir, u = f(), v = g().

77 . La fórmula e la erivaa e un proucto e os funciones, aplicaa a f() g(), permite escribir, (f() g()) = g() f'() + f() g'(). Integrano los os miembros, Ésta no es la fórmula usual e la integración por partes. Puesto que u = f(), u = f'(), y al ser v = g(), v = g'(). Llevano estos resultaos a la iguala anterior,.6. Integral efinia La integral efinia e una función f() entre = a y = b se enota como: b f() a Se puee interpretar como el área e la región limitaa por la gráfica y = f() y las rectas = a, = b y el eje. Los valores a y b reciben el nombre e límite inferior y superior e integración respectivamente. Una efinición más precisa es mencionar que el área bajo una gráfica e una función continua, puee epresarse como la integral efinia e F() sobre el intervalo e a hasta b escrito matemáticamente como: b F a lím ( ) n i F ( ) i Al contrario e la integral inefinia que es un conjunto e funciones que contiene toas las antierivaas e F(), la integral efinia es un número real que puee ser evaluao empleano el teorema funamental el cálculo que establece que el valor numérico e la integral efinia e una función continua F() sobre el intervalo e a hasta b está ao por la antierivaa F()+C evaluaa en el límite superior e integración b, menos la misma antierivaa F()+C evaluaa en el

78 límite inferior e integración a, con C común a ambos, la constante e integración se elimina en la sustracción matemática epresaa. b Done el símbolo a, b a, o... b a inican que los límites e b y a eben sustituirse sucesivamente para. Ejemplo: Calcular 0 Primero el cálculo el área. El concepto e antierivaa; y la pregunta que plantea es qué función al erivarla a como resultao ( )? y se obtiene que: (0) () () 0 el resultao es: Integración por sustituciòn 56 () () (6) () = = c) ln ln5 (ln) =(ln 5) =.8

79 ) t / 0 ( e t e e e e ) 0 t 0.8. Integración por partes Este métoo consiste en ientificar u con una parte e la integral y v con el resto, con la pretensión e que al aplicar la fórmula obtenia, la integral el seguno miembro sea más sencilla e obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor problema e este proceimiento, una regla fija para hacer las ientificaciones más convenientes. La resolución e un buen número e problemas es el mejor camino para aquirir la técnica necesaria. No obstante, se suelen ientificar con u las funciones e la forma m si m es positivo; si m es negativo, es preferible ientificar con v a m. También suelen ientificarse con u las funciones ln, arc sen, arc tg y con v, e, sen, cos, etc. Antes e empezar a practicar este métoo se ha e tener presente que al hacer la ientificación e v, ésta ebe contener siempre a. Ejercicio: integración por partes ððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððððð ðððððððððððððððððððð Resolución: Éste es uno e los casos más sencillos; la integral consta e una sola función, ln. Resolución: Se puee resolver efectuano cambios istintos: a) ð La ientificación, en este caso, puee ser u = sen y v = sen

80 ð De u = sen se euce, iferenciano, que u = cos. Puesto que cos = - sen, Al volver a obtener en el seguno miembro la integral e partia puee llegarse a la conclusión e no haber avanzao en el propósito e calcular la integral. No es PROBLEMAS PROPUESTOS 5 R. 5 lnll C 5e 5 R. 5 e 5 C ( 0 8 ) R. Ln C ( 9 6) R e t 8 R. R. 08 t R R. C

81 .9. Aplicación e la integral La gerencia e la compañía e equipo para oficina eterminó que la función e ingresos marginales iarios asociaos con la proucción y venta e su sacapuntas e baterías está aa por: R () = Done enota las uniaes proucias y R () se mie en ólares por unia. Determinar la función e ingresos R() asociaa con la proucción y venta e estos sacapuntas Cuál es la ecuación e emana que relaciona el precio unitario al mayoreo con estos sacapuntas con la cantia emanaa? Solución: La función e ingresos R se encuentra integrano la función e ingresos marginales R (). Así, R() = R`() = ( ) = = C para eterminar el valor e la constante C, hemos e arnos cuenta que los ingresos totales e la empresa son cero cuano el nivel e proucción y ventas son nulos; es ecir, R(0) = 0. Esta conición inica que: R(0) = (0) + 6(0) + C = 0 Por lo tanto: C = 0 Así la función e ingresos requeria está aa por: R() = Sea p el precio unitario al mayoreo e los sacapuntas, entonces: ingresos R () = p precio número e sacapuntas

82 Despejano: p = R ( ) = La ecuación e emana es: p = Las tasas e costos e ingresos e cierta operación minera están aos por. C ( t) 5 t y R' ( t) 7 t en one C y R se mien en millones e pesos y t en años, etermine : Qué tanto eberá prolongarse la operación? y Encuentre la utilia total que puee obtenerse urante este perioo. Solución: a) El instante optimo t, que ará como resultao la utilia máima es el instante en que el costo y el ingreso son iguales es ecir: C (t)=r (t) 5 t t t t t t t 8 Por lo tanto, la operación eberá mantenerse por t =8 años b) La utilia que puee obtenerse urante este perioo e 8 años está aa por: 8 Utilia = R' ( t) C'( t) t 0 7 t (5 t ) t 8 0

83 7 t 5 t t 0 8 ( t ) t 8 0 t t 5 9 t t (8) (8) millones e pesos La función e costo marginal e un fabricante esta ao por la 0.8q. Si la proucción esta altamente igual a q = 90 uniaes por semana Qué tanto costaría incrementar la proucción a 0 uniaes por semana? c. La tasa e cambio el costo es q 0 c 0 C( 0) C(90) q (0.8q ) q 90 q 90 c q q 0.8qq q q El costo para aumentar la proucción e 90 a 0 uniaes es $ El valor actual e un flujo continuo e ingresos e $5000 al año urante 0 años al % compuesto continuamente esta ao por: e 0. 0t Calcule el valor actual e 0. 0t 0. 0t e t t valor actual = $ 0 0 e t t

84 En estaística, una función e ensia e probabilia f e una variable, en one toma a, b tiene las siguientes propieaes: toos los valores el intervalo (. F ( ). P ( c ) a F ( ) c. F ) o b Ejemplo: Suponga que y tiene la función e ensia F(y) = C y en el intervalo 0 y. Encuentre el valor e la constante C que hace e F(y) una función e ensia e probabilia. Cy F ( y) Cyy C 0 yy 0 C= C = 0 Encuentre la probabilia e P( y ) : y P ( y ) yy P( y ) yy El tiempo requerio por un grupo e estuiantes e la Faculta e Contauría para presentar un eamen e hora, es una variable aleatoria continua con una función e ensia aa por 0 y. F( y) cy y que se comporta en el intervalo e Determinar el valor e C. F y) Cy y y cy y ( 0 0 C C Calcular la probabilia e que un estuiante termine en menos e meia hora.

85 P( o y 0.5) y 0.5 y y y y PROBLEMAS PROPUESTOS. La función e costo marginal e un fabricante es 0.q. Si el costo esta en pesos, etermine el costo implicao en un aumento e la proucción e 60 a 70 uniaes. R. $60 c q. La función e ingresos marginal e un fabricante es r q q. Si r esta en pesos, obtenga el cambio que se prouce en los ingresos totales el fabricante si se aumenta la proucción e 00 a 900 uniaes. R. $000. Calcule la función e emana e r q 00 ( q ) r, one q función e ingreso marginal. R. 00 P ( q ) Tomao con moificaciones el libro e Ernest F. Hacusseler. Jr/Richar S. Paul, Matemáticas para Aministración y Economía,Grupo Eitorial Iberoamerica, Méico,998

86 . Suponga que ( ), F 8 en one 0 y. Si F es una función e ensia obtenga: a) P( 0 ), b) P ( y) R. a), 6 b) 5. Suponga que F ( ), en one e e. P( 5 ensia, encuentre.) Si F es una función e R. 5 ln

87 5. Ecuaciones iferenciales orinarias e primer grao OBJETIVOS Comprener los conceptos básicos Distinguir y emplear la simbología Calcular la operaciones básicas e las ecuaciones iferenciales Ientificar y aplicar las propieaes e la ecuaciones iferenciles CONTENIDO: 5. Conceptos e ecuación iferencial 5. Soluciones general y particular 5. Ecuaciones iferenciales separables 5. Ecuaciones iferenciales e primer oren 5.5 Aplicación e las ecuaciones iferenciales

88 5.. Concepto e ecuación iferencial Concepto.- Una ecuación iferencial es aquella en la cual interviene una erivaa e una función esconocia. Las ecuaciones iferenciales e primer oren implican que la primera erivaa e la función se esconoce, mientras que si en la ecuación iferencial aparece la seguna erivaa e la función esconocia se trata e una ecuación iferencial e seguno oren. Hay también ecuaciones iferenciales e oren superior. Resolver una ecuación iferencial implica eterminar la función esconocia. Un gran número e leyes científicas, aministrativas y e otros campos escriben como cambian las cosas y cuano se epresan en forma matemática estas leyes toman la forma e ecuaciones one intervienen erivaas es ecir ecuaciones iferenciales. 5.. Soluciones general y particular y De la ecuación iferencial y eterminar: a) La solución general. b) la solución particular que satisfaga la conición inicial y 0 Solución: a) Esta no es una ecuación iferencial simple porque el miembro erecho es una función e y e y simultáneamente. Se resuelve separano las variables. Paso.- Al separar algebraicamente las variables se obtiene la ecuación: y y Paso.- Se integran ambos laos: y C y y lo que resulta: Paso.- Se espeja la variable epeniente y : y C D (se sustituye C por D la cual es una constante igualmente arbitraria) entonces: y D sieno esta la solución general e la ecuación iferencial. b) Se necesita eterminar el valor e D que prouzca la solución que satisfaga la conición: y 0 por lo que se sustituye por 0 y y por en la solución general:

89 0 D D Por lo que la solución particular que se busca es: y 8 por lo tanto: D Ecuaciones iferenciales separables Son aquellas que no son simples porque se presentan os o más funciones simultáneamente. Se resuelven separano las variables corresponientes. Una ecuación iferencial separable tiene la forma: y f g y Estas ecuaciones se resuelven separano algebraicamente las y las y con el planteamiento siguiente: y f g y y se procee a su integración: g y y C f C 5.. Ecuaciones iferenciales lineales e primer oren Una ecuación iferencial simple tiene la siguiente forma: y f C y f y su solución general es: Al ejar que C asuma iferentes valores se obtenrán toas las soluciones posibles. Se puee entonces especificar una solución particular al aplicar las coniciones iniciales inicaas. Ejemplo.- Obtener la solución general e la siguiente ecuación iferencial: Solución: y y f C 5.5. Aplicaciones e las ecuaciones iferenciales Ejemplo.- El costo e atención meica en el área metropolitana e una gran ciua ha subio en forma constante a una tasa instantánea el 7.% anual en los últimos años. Deucir una formula e los costos méicos " y" en función el tiempo " t ".

90 Solución: Este es un problema que conuce a una ecuación iferencial ya que se inica que los costos méicos suben continuamente a una tasa el 7.% caa año por lo cual la razón instantánea e aumento e " y" es el porcentaje inicao o sea: y 0.07y t Esta es una ecuación iferencial separable por lo que al separar las variables se obtiene: y 0.07t y Al integrar ambos miembros e la ecuación se obtiene: y 0.07t y lo que a como resultao: ln y 0.07t C Al espejar " y" positiva. se obtiene: y e e e Ae 0.07t C C 0.07t 0.07t en one " A" es una constante Es posible eterminar el valor e " A" si se conocen los costos méicos por ejemplo en el momento t 0 por lo que " A" f 0. Ejemplo.- Un automóvil acelera ese el reposo en tal forma que su velocia es e 0m/s a los t segunos espués. Que istancia recorrerá en 9 segunos? Solución: Se puee epresar este problema en forma e una ecuación iferencial. Se requiere eterminar la función e posición sea s t s. Por lo tanto: 0t t Esta es una ecuación iferencial que se ebe resolver para calcular integrar: s t el vehículo. El ato con que se cuenta es su velocia o t s t 0tt 0 5 t C s t por lo que se procee a Esta es la solución general e la ecuación iferencial. Se puee especificar una solución particular s 0 0. s t : 0 s C C por lo que: para resolver este problema consierano la conición inicial que es Sustituyeno en Por consecuencia se etermina que el automóvil recorre C 0 y s t 5 t s m en 9 segunos. B I B L I O G R A F Í A Aali D. C:, Roríguez F. J., Álgebra Básica soluciones con el paquete Matemáticas, UAM-X, Méico 00.

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