Regla de la cadena. f (x) 1 x 3. d dx x3 1 x 3. (3x 2 ) 3 x. f(x) 3 d dx ln x 3. 1 x. para x70, d dx ln x 1. para x60, d dx ln( x) 1x.

Transcripción

1 74 CAPÍTULO 3 La erivaa EJEMPLO 4 Diferencie f ()=ln 3. Regla e la caena Solución Debio a que 3 ebe ser positiva, se entiene que 70. Así, por (3), con u= 3, tenemos Solución alterna: Por iii) e las lees e los logaritmos (teorema.6.), ln N c = c ln N así es posible volver a escribir ln 3 como 3 ln espués iferenciar: Aunque el ominio el logaritmo natural ln es el conjunto (0, q), el ominio e ln00 se etiene al conjunto ( q, 0) (0, q). Para los números en este último ominio, En consecuencia Las erivaas en (5) prueban que para 0, f () (3 ) 3. f() 3 ln 3., e, 60. para 70, ln ln00. Así, el resultao en (6) se generaliza por la regla e la caena. Para una función iferenciable u g(), u 0, ln0u0 u u. 3. para 60, ln( ). ( ). (5) (6) (7) (, ln ) ln (, ln ) FIGURA 3.9. Gráficas e las rectas tangentes función en el ejemplo 5 EJEMPLO 5 Uso e (6) Encuentre la peniente e la recta tangente a la gráfica e ln00 en. Solución Puesto que (6) proporciona > >, tenemos ` (8) `. Debio a que ln 0-0= ln, (8) proporciona, respectivamente, las penientes e las rectas tangentes en los puntos (-, ln ) (, ln ). Observe en la FIGURA 3.9. que la gráfica e ln00 es simétrica con respecto al eje ; las rectas tangentes se muestran en rojo. EJEMPLO 6 Uso e (7) Diferencie a) ln( 3) b) ln0 30. Solución a) Para 370, o 7 3, por (3) tenemos 3. ( 3) 3. b) Para 3 0, o 3, por (7) tenemos 3. ( 3) 3. (9) (0)

2 3.9 Funciones logarítmicas 75 Aunque (9) (0) parecen iguales, efinitivamente no se trata e la misma función. La iferencia consiste simplemente en que el ominio e la erivaa en (9) es el intervalo ( 3, q), mientras el ominio e la erivaa en (0) es el conjunto e números reales ecepto 3. EJEMPLO 7 Una istinción Las funciones f () ln 4 g() 4 ln no son las mismas. Puesto que para toa 0, el ominio e f es el conjunto e números reales ecepto =0. El ominio e g es el intervalo (0, q). Así, f () 4, 0 mientras g () 4, 70. EJEMPLO 8 Diferencie Simplificar antes e iferenciar Solución Al usar las lees e los logaritmos proporcionaas en la sección.6 para 70, poemos volver a escribir el miembro erecho e la función aa como e moo que o bien, ln > ( 7) 4 (3 ). ln > ( 7) 4 ln(3 ) ln(m>n) ln M ln N ln > ln( 7) 4 ln(3 ) ln(mn) ln M ln N ln 4 ln( 7) ln(3 ) Diferenciación logarítmica La iferenciación e una función complicaa f() que contiene prouctos, cocientes potencias puee simplificarse por meio e una técnica enominaa iferenciación logarítmica. El proceimiento consta en tres pasos. Directrices para iferenciación logarítmica i) Tome el logaritmo natural e ambos miembros e f(). Use las propieaes generales e los logaritmos para simplificar tanto como sea posible el miembro erecho e ln ln f(). ii) Diferencie implícitamente la versión simplificaa e ln ln f(): ln ln f(). ln N c c ln N iii) Puesto que la erivaa el miembro izquiero es multiplique ambos miembros por sustitua por, f(). Ahora a sabe cómo iferenciar cualquier función el tipo Por ejemplo, (constante) variable p p (lnp) Ha funciones one tanto la base como el eponente son variables: (variable) variable. (variable) constante. p p p. ()

3 76 CAPÍTULO 3 La erivaa Por ejemplo, f () ( >) es una función el tipo escrito en (). Recuere que en la sección.6 vimos que f () ( >) esempeñaba un papel importante en la efinición el número e. A pesar e que no se esarrollará una fórmula general para la erivaa e funciones el tipo ao en (), es posible obtener sus erivaas por meio el proceso e iferenciación logarítmica. El siguiente ejemplo ilustra el métoo para encontrar. FIGURA 3.9. Gráfica e la función en el ejemplo 9 EJEMPLO 9 Diferencie, 70. Diferenciación logarítmica Solución Al tomar el logaritmo natural e ambos miembros e la ecuación aa simplificar obtenemos Luego se iferencia implícitamente: ln ln ln.. c >. ln ln ( ln ). propiea iii) e las lees e los logaritmos. Sección.6 regla el proucto ahora se sustitue por enominaor común lees e los eponentes La gráfica e en la FIGURA 3.9. se obtuvo con aua e un ispositivo para graficar. Observe que la gráfica tiene una tangente horizontal en el punto one > 0. Por tanto, la coorenaa el punto e tangencia horizontal se etermina a partir e + ln=0 o ln= -. La última ecuación proporciona e. EJEMPLO 0 Diferenciación logarítmica Encuentre la erivaa e (8 3) 5 ( 7) >3. Solución Observe que la función aa no contiene logaritmos. Entonces poemos encontrar usano una aplicación orinaria e las reglas el cociente, el proucto e potencias. Este proceimiento, que es teioso, puee evitarse al tomar primero el logaritmo e ambos miembros e la ecuación aa, simplificar como se hizo en el ejemplo con las lees e los logaritmos luego iferenciar implícitamente. Se toma el logaritmo e ambos miembros e la ecuación aa se simplifica el miembro erecho: Al iferenciar la última línea con respecto a obtenemos n l ln (8 3) 5 ( 7) > (8 3) 5 ( 7) >3 c 43 3( 4 6 ) ln ln(8 3) 5 ln( 7) >3 3 ln(4 6 ) 5 ln(8 3) 3.. (4 3 ) c ( 4 6 ) 8 3 3( 7) ambos laos se multiplican por ln( 7) se sustitue por la epresión original 3( 7). Posata: Otro repaso a la erivaa e f () log b Como se afirmó en la introucción e esta sección, poemos obtener la erivaa e f () = log b al usar la efinición e la erivaa. Por () e la sección 3.,

4 78 CAPÍTULO 3 La erivaa 5. Encuentre una ecuación e la recta tangente a la gráfica e ln en. 6. Encuentre una ecuación e la recta tangente a la gráfica e ln ( 3) en. 7. Encuentre la peniente e la tangente a la gráfica e ln (e 3 ) en Encuentre la peniente e la tangente a la gráfica e ln (e 3 ) en. 9. Encuentre la peniente e la tangente a la gráfica e f en el punto en que la peniente e la tangente a la gráfica e f () ln es Determine el punto sobre la gráfica e =ln one la recta tangente es perpenicular a 4=. En los problemas 3 3, encuentre el o los puntos sobre la gráfica e la función aa one la recta tangente es horizontal. ln 3. f() 3. f() ln En los problemas 33-36, encuentre la erivaa inicaa simplifique tanto como puea lna B 35. En los problemas 37-40, encuentre la erivaa e oren superior inicaa. 37. En los problemas 4 4, C C son constantes reales arbitrarias. Demuestre que la función satisface la ecuación iferencial aa para C > C > ln ; C cosa ln B C sena ln B; En los problemas 43-48, use iferenciación implícita para encontrar. 43. ln 44. ln( ) ln(5 3); 4 (ln00) ; ln(sec tan ) ln ; 3 3 ln 46. lna b ln(csc cot ) ln ; ln 47. ln( ) 48. ln( ) En los problemas 49-56, use iferenciación logarítmica para encontrar ( ) sen ( )(3 ) 4 3 ( 3 ) 5 ( ) (7 5) Encuentre una ecuación e la recta tangente a la gráfica e en. 58. Encuentre una ecuación e la recta tangente a la gráfica e (ln ) en e. En los problemas 59 60, encuentre el punto sobre la gráfica e la función aa one la recta tangente es horizontal. Use un ispositivo para graficar a fin e obtener la gráfica e caa función sobre el intervalo [0.0, ] Piense en ello 6. Encuentre las erivaas e a) =tan b) e c). 6. Encuentre > para. 63. La función f () ln00 no es iferenciable sólo en = 0. La función g() = 0 ln 0 no es iferenciable en =0 ni en otro valor e 70. Cuál es? 64. Encuentre una manera para calcular log e. Problemas con calculaora/sac 65. a) Use una calculaora o un SAC para obtener la gráfica e (sen) ln sobre el intervalo (0, 5p). b) Eplique por qué en ciertos intervalos parece que no ha gráfica. Ientifique los intervalos. 66. a) Use una calculaora o un SAC para obtener la gráfica e =0 cos 0 sobre el intervalo [0, 5p]. cos b) Determine, por lo menos aproimaamente, los valores e en el intervalo [0, 5p] para los cuales la tangente a la gráfica es horizontal. 67. Use una calculaora o un SAC para obtener la gráfica e f() 3 ln. Luego encuentre al valor eacto el menor valor e f() (ln00) ( ) Funciones hiperbólicas Introucción Si alguna vez ha visitao el Arco e San Luis, Missouri, que mie 630 pies e altura, quizá se haa preguntao: cuál es la forma el arco?, recibio la respuesta críptica: la forma e una catenaria invertia. La palabra catenaria proviene e la palabra latina catena significa literalmente caena colgante (los romanos usaban una caena para suje-

5 3.0 Funciones hiperbólicas 79 tar a los perros). Es posible emostrar que la forma que asumen un alambre fleible, una caena, un cable o una cuera colgantes suspenios en os puntos es la gráfica e la función f () k (ec e c ) () para elecciones ióneas e las constantes c k. La gráfica e cualquier función e la forma aa en () se enomina catenaria. Funciones hiperbólicas Combinaciones como () que implican las funciones eponenciales e e ocurren tan a menuo en matemáticas que ameritan efiniciones especiales. Definición 3.0. Seno coseno hiperbólico Para cualquier número real, el seno hiperbólico e es el coseno hiperbólico e es senh cosh e e e e. () (3) El Arco e San Luis, Missouri. Puesto que el ominio e caa una e las funciones eponenciales e e es el conjunto e números reales ( q, q), el ominio e senh cosh es ( q, q). Por () (3) e la efinición 3.0., también resulta eviente que senh 0 0 cosh 0. En forma análoga a las funciones trigonométricas tan, cot, sec csc que están efinias en términos e sen cos, las cuatro funciones hiperbólicas aicionales se efinen en términos e senh cosh. Definición 3.0. Otras funciones hiperbólicas Para un número real, la tangente hiperbólica e es la cotangente hiperbólica e, 0, es la secante hiperbólica e es tanh coth sech la cosecante hiperbólica e, 0, es csch senh cosh cosh senh cosh senh Gráficas e funciones hiperbólicas Las gráficas el seno hiperbólico el coseno hiperbólico se proporcionan en la FIGURA Observe la semejanza e la gráfica en la figura 3.0.b) la forma el Arco e San Luis, Missouri, en la foto al principio e esta sección. Las gráficas e la tangente, cotangente, secante cosecante hiperbólicas se muestran en la FIGURA Observe que 0 es una asíntota vertical e las gráficas e coth csch. e e e e e, e e e, e e, e e. (4) (5) (6) (7) La forma el Arco e San Luis, Missouri, está basaa en el moelo matemático =A-Bcosh(C L). one A , B , L 99.39, C 3.00, se mien en pies. Cuano 0, se obtiene la altura aproimaa e 630 pies. e e a) senh (0, ) senh e cosh e b) cosh FIGURA 3.0. Gráficas el seno coseno hiperbólicos