ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. S O L U C I Ó N y R Ú B R I C A

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1 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS AÑO: 207 PERÍODO: PRIMER TÉRMINO MATERIA: Cálculo e una variable PROFESOR: EVALUACIÓN: PRIMERA FECHA: 26/junio/207 Examen: Lecciones: Deberes: Total: S O L U C I Ó N y R Ú B R I C A ) (5 PUNTOS) Ientifique el tipo e ineterminación y luego calcule: cos(x) lim x 0 sen 2 (x) Se evalúa la tenencia para ientificar el tipo e ineterminación: lim cos(x) cos(x) x 0 sen 2 = lim (x) x 0 sen 2 = (x) 0 2 = 0 0 Se realiza el trabajo algebraico corresponiente: lim cos(x) cos(x) x 0 sen 2 = lim (x) x 0 sen 2 + cos(x) (x) + cos(x) cos = 2 (x) lim x 0 sen 2 (x) + cos(x) sen = 2 (x) lim x 0 sen 2 (x) + cos(x) = lim x 0 + cos(x) = + = 2 = 2 2 ientifica el tipo e ineterminación, racionaliza, aplica límites conocios y el teorema e sustitución. No logra ientificar el tipo e ineterminación y tampoco resuelve el límite. Ientifica el tipo e ineterminación, pero no ientifica que ebe racionalizar o racionaliza mal. Ientifica el tipo e ineterminación, racionaliza, pero no resuelve el límite. Ientifica la ineterminación, racionaliza y resuelve el límite Elaborao Página e 3

2 2) (4 PUNTOS) Utilizano la efinición e límite, emuestre que: lim x 3 (2x2 4) = 4 Al aplicar la efinición, se ebe emostrar que: ξ > 0 δ > 0 [0 < x + 3 < δ (2x 2 4) 4 < ξ] Análisis preliminar: (2x 2 4) 4 = 2x 2 8 = 2 x 2 9 = 2 (x 3)(x + 3) < ξ Sea δ = (x + 3) < Pero: 2 x 3 = 2 x x 3 = 2 (x + 3) 6 2 x 3 2 x x 3 2 x x 3 2() x 3 4 Demostración formal: Sea ξ > 0, elegimos δ = min {, ξ 4 } = ξ 4 ξ > 0 δ > 0 [ x + 3 < δ 2 (x 3)(x + 3) < 4 δ] 2 x 2 9 < 4 2x 2 8 < ξ (2x 2 4) 4 < ξ ξ 4 sabe la efinición e límites y etermina el valor e δ que permite establecer la implicación lógica. No conoce la efinición e límites. Conoce la efinición e límites e intenta encontrar el valor e δ. Determina el valor e δ, pero no sabe concatenar. Plantea la efinicio n, etermina el valor e δ y emuestra la implicacio n lo gica corresponiente Elaborao Página 2 e 3

3 3) (4 PUNTOS) Calcule: lim ( x x x cos(x)) Ya que x R se tiene que: cos(x) entonces se puee emplear el TEOREMA DEL EMPAREDADO para calcular el límite solicitao. Sea la función: h(x) = x x Para x > 0 se tiene que h(x) > 0 y al multiplicar por encontramos que: h(x) h(x) cos(x) h(x) Por otro lao: Pero: x lim ( x x + x ) = lim ( x 2 x + x 2 x ) = x 2 lim ( x x + x ) = 0 + 4(0) lim h(x) = 0 x + lim ( h(x)) = lim (h(x)) = 0 x + x + lim ( x x ) = x 2 Por y las hipótesis el teorema se satisfacen y en conclusión: lim h(x) cos(x) = lim x + x + ( x x ) cos(x) = 0 lim x + x + 4 lim x + Para x < 0 se tiene que h(x) < 0 y al multiplicar por encontramos que: h(x) h(x) cos(x) h(x) y aemás que: lim (h(x)) = lim ( h(x)) = 0 x x Por y nuevamente se satisfacen las hipótesis el teorema y en conclusión: lim h(x) cos(x) = lim x De y se concluye que: x ( lim ( x x x ) cos(x) = 0 x x ) cos(x) = 0 x 2 Elaborao Página 3 e 3

4 conoce el acotamiento e la función coseno, el teorema el empareao y sabe calcular límites al infinito. No conoce que la función coseno es acotaa, ni Acota la función coseno o calcula el límite al Acota la función coseno, calcula el límite al infinito e la función racional, pero Aplica el teorema el empareao y concluye. calcula límites al infinito, ni tampoco el teorema el empareao. infinito e la función racional. tiene ificulta en aplicar las hipótesis el teorema el empareao ) (0 PUNTOS) Obtenga x si: a) y = (x 2 ) 2x+3 + sen 3 (x) Aplicano la propiea e la erivaa e una suma e funciones: x = x [(x2 ) 2x+3 ] + x [sen3 (x)] Calculamos x [(x2 ) 2x+3 ] empleano erivaa logarítmica, la regla e la caena y la erivaa el proucto e funciones. Sea f(x) = (x 2 ) 2x+3, aplicano logaritmo natural y propieaes se tiene: ln[f(x)] = (2x + 3)ln (x 2 ) Derivamos ambos laos y espejamos la erivaa: x (ln[f(x)]) = x [(2x + 3)ln (x2 )] f(x) f(x) x = (2x + 3) x [ln (x2 )] + x [(2x + 3)] ln (x2 ) f(x) x = f(x) [(2x + 3) x 2 2x + 2 ln (x2 )] x [(x2 ) 2x+3 ] = (x 2 ) 2x+3 [ 2x(2x+3) x ln (x 2 )] Elaborao Página 4 e 3

5 Calculamos x [sen3 (x)] empleano erivaa e una función polinomial y la regla e la caena. x [sen3 (x)] = 3sen 2 (x) x [sen(x)] = 3sen2 (x)cos(x) Sustituyeno y en : x = (x2 ) 2x+3 2x(2x + 3) [ x ln (x 2 )] + 3sen 2 (x)cos(x) sabe erivar la suma y el proucto e funciones, erivación logarítmica, erivación e una función trigonométrica y la regla e la caena. No istribuye la erivaa en la suma e funciones o no conoce sobre técnicas e erivación. Solamente eriva la función trigonométrica. Aplica la erivaa e la suma, eriva bien la función trigonométrica pero tiene alguna ificulta en la erivación logarítmica. Deriva la expresión aa b) r = 5 + 3sen(θ) Para eterminar x tenieno en cuenta que: a partir e r = f(θ) = 5 + 3sen(θ), se emplea erivación polar x = r cos(θ) = [5 + 3 sen(θ)] cos(θ) y = r sen(θ) = [5 + 3 sen(θ)] sen(θ) Ahora, por efinición: x = θ x θ [[5 + 3 sen(θ)] sen(θ)] = θ [[5 + 3 sen(θ)] cos(θ)] θ x = [3 cos(θ)] sen(θ) + [5 + 3 sen(θ)] cos(θ) [3 cos(θ)] cos(θ) + [5 + 3 sen(θ)] [ sen(θ)] 3 sen(θ)cos(θ) + 5 cos(θ) + 3 sen(θ)cos(θ) = x 3 cos 2 (θ) 5 sen(θ) 3 sen 2 (θ) Elaborao Página 5 e 3

6 x = 6 sen(θ)cos(θ) + 5 cos(θ) 3(cos 2 (θ) sen 2 (θ)) 5 sen(θ) 3 sen(2θ) + 5 cos(θ) = x 3 cos(2θ) 5 sen(θ) sabe erivar una ecuación polar y funciones trigonométricas. No conoce sobre erivación polar. Obtiene la expresión para una erivación polar, pero no eriva bien. Tiene alguna ificulta para erivar la expresión e x o e y, o no conoce sobre ientiaes trigonométricas. Sabe la técnica e erivación polar y simplifica la expresión resultante ) (5 PUNTOS) Determine la ecuación e la recta normal a la curva paramétrica { x(t) = t2 + y(t) = t 3, en t = t Determinamos el punto P 0 (x 0, y 0 ) que pertenece a la curva cuano t = 2 : P 0 (x 0, y 0 ) = (x(t), y(t)) t=2 = (t 2 +, t 3 + 2t) t=2 = (2 2 +, ) = (5, 2) Por otro lao, la peniente e la recta normal viene aa por: m N = = m T x t=2 En one, por erivación paramétrica, la erivaa expresión: x = t x t x se calcula por meio e la siguiente Entonces: x = t [t3 + 2t] = 3t2 + 2 t [t2 + ] 2t Elaborao Página 6 e 3

7 Por tanto: x = 3(2)2 + 2 = 4 t=2 2(2) 4 = 7 2 Reemplazano este último resultao en, se obtiene: m N = = m T 7 = Basao en la expresión punto peniente e una recta, se etermina que la ecuación e la recta normal solicitaa es: y 2 = 2 (x 5) 7 sabe erivar una curva paramétrica, funciones polinomiales y sabe obtener la ecuación e la recta normal a partir e la peniente e la recta tangente. No obtiene la orenaa, ni la peniente e la recta tangente. Obtiene la orenaa y la peniente e la recta tangente. Obtiene la orenaa, pero no puee erivar para obtener la peniente e la recta tangente. Obtiene la orenaa, la peniente e la recta tangente, la peniente e la recta normal y su ecuación ) (4 PUNTOS) Calcule (f ) (8) one f(x) = x 3 + ln(x ). Por el teorema e erivaa e la función inversa, en el punto y 0 = 8 se tiene que: (f ) (8) = f (x 0 ) one x 0 es tal que: y 0 = f(x 0 ) = x ln(x 0 ) Por simple inspección se euce que x 0 = 2, ya que: ln(2 ) = 8 + ln() = = 8 Por otro lao: f (x) = x [x3 + ln(x )] = 3x 2 + x Elaborao Página 7 e 3

8 Entonces: (f ) (8) = = f (x) x0 =2 3x = x 0 x 0 =2 3(2 2 ) + 2 = 2 + = 3 aplica el teorema e la erivaa e las funciones inversibles. No logra realizar la erivaa e la función original, ni la e su inversa. Deriva la función original, pero no etermina el punto a Aplica el teorema e la erivaa e las funciones inversibles y etermina el Deriva bien la función inversa y expresa el valor solicitao. evaluar. punto, pero se equivoca al evaluar ) (5 PUNTOS) Obtenga una expresión matemática para: n x n ( 3 2x ) Sea: f(x) = 3(2x ) Se obtienen las primeras erivaas para observar el patrón: f (x) = 3( )(2x ) 2 (2) = (2)(3)()(2x ) 2 f (2) (x) = (2)(3)()( 2)(2x ) 3 (2) = (2 2 )(3)( 2)(2x ) 3 f (3) (x) = (2 2 )(3)( 2)( 3)(2x ) 4 (2) = (2 3 )(3)( 2 3)(2x ) 4 f (4) (x) = (2 3 )(3)( 2 3)( 4)(2x ) 5 (2) = (2 4 )(3)( 2 3 4)(2x ) 5... Se concluye entonces que: f (n) (x) = ( ) n (2 n )(3)(n!)(2x ) (n+) n x n ( 3 2x ) = 3 [( )n (2 n )(n!) (2x ) n+ ] Elaborao Página 8 e 3

9 sabe erivar funciones polinomiales; y, puee generalizar una expresión para la n-ésima erivaa. No logra realizar la primera erivaa e la función. Expresa la regla e la caena para la primera erivaa, pero se equivoca en la siguiente erivación. Deriva por lo menos hasta la cuarta/quinta erivaa para establecer la generalización. Deriva y establece una expresión para la n-ésima erivaa ) (5 PUNTOS) Determine la ecuación e la recta tangente a la curva efinia por la ecuación y(y 2 + x 2 ) 2 + xy = x en el punto P(0, 3). Se trata e una ecuación aa en forma implícita, la cual ebe erivarse. x (y2 + x 2 ) 2 + y [2(y 2 + x 2 ) (2y + 2x)] + x x x + y = (y 2 + x 2 ) 2 x + 4y2 (y 2 + x 2 ) x + 4xy(y2 + x 2 ) + x x + y = x [(y2 + x 2 ) 2 + 4y 2 (y 2 + x 2 ) + x] = 4xy(y 2 + x 2 ) y x = 4xy(y 2 + x 2 ) y (y 2 + x 2 ) 2 + 4y 2 (y 2 + x 2 ) + x = x = 4xy(y2 + x 2 ) y (y 2 + x 2 )(x 2 + 5y 2 ) + x Se etermina la peniente: 4xy(y 2 + x 2 ) y (y 2 + x 2 )(y 2 + x 2 + 4y 2 ) + x m = x 0 3 = (0,3) ( )(0 + (5)(3 2 )) + 0 = 2 9(45) = Basao en la expresión punto peniente e una recta, se etermina que la ecuación e la recta tangente solicitaa es: y 3 = x Elaborao Página 9 e 3

10 sabe erivar funciones polinomiales, la regla e la caena y puee obtener la ecuación e la recta tangente. No obtiene la peniente e la recta tangente. Obtiene la peniente e la recta tangente. Deriva en forma implícita, pero se equivoca al evaluar. Obtiene la peniente e la recta tangente y su ecuación De los siguientes ejercicios, SELECCIONE SOLAMENTE UNO y resuélvalo. 9) (8 PUNTOS) La altura e un triángulo isminuye a razón e 2 cm min mientras que el área el mismo isminuye a razón e 3 cm2. A qué velocia cambia la base el triángulo cuano min la altura es igual a 20 cm y el área es e 50 cm 2. Sean el área A, la longitu e la base b y la longitu e la altura el triángulo h, en el instante t. Esto se puee representar gráficamente así: h A = bh 2 b En los atos el problema se especifica que tanto la longitu e la altura h como el área A e la superficie el triángulo isminuyen, por lo tanto se consieran signos negativos para ambas variaciones respecto al tiempo: h t cm = 2 [ ] min y A = 3 [cm2 ] t min La función el área y las variables e las cuales epene serán erivaas respecto al tiempo: A t = 2 (b h t + h b t ) 2 ( A ) = b (h t t ) + h (b t ) Elaborao Página 0 e 3

11 b t = 2 ( A ) b (h t t ) h Se inica que h = 20 cm y A = 50 cm 2, por lo que: b = 2A h = 2(50) = 5 cm 20 La razón e cambio e la longitu e la base el triángulo se calcula con: b t 2( 3) 5( 2) = (b,h,a)=(5,20,50) 20 b t = = 24 (b,h,a)=(5,20,50) = 6 5 b t =.2 [ cm (b,h,a)=(5,20,50) min ] Por caa minuto transcurrio, la longitu e la base el triángulo aumenta.2 cm. plantea y resuelve un problema e razón e cambio. No logra interpretar la situación geométrica especificaa. Plantea la relación el área e la superficie el triángulo en función e las longitues e la base y la altura, pero no eriva bien. Plantea la relación el área e la superficie el triángulo en función e las longitues e la base y la altura y la eriva bien, pero no asocia bien los signos o no simplifica bien. Plantea y resuelve el problema e razón e cambio Elaborao Página e 3

12 0) (8 PUNTOS) Una fábrica e zapatos tiene costos mensuales por alquiler, servicios básicos y salarios e $ y un costo e proucción que está ao por la expresión: C(q) = q2 5q Si la empresa tiene la capacia e proucir 00 zapatos por quincena, etermine: a) El costo total e proucción mensual e la empresa. b) Si en un mes eterminao aparece un nuevo cliente solicitano le fabrique 200 pares para él, fuera e lo que se prouce en la fábrica, etermina la variación el costo e proucción e la fábrica para poer proucir este peio el cliente. c) Cree uste que sea necesarios incrementar el precio el zapato para este cliente o se le ebe mantener el mismo precio como a cualquier otro? Justifique su respuesta. a) Conocieno que el costo total es la suma el costo fijo con el costo e proucción: C T (q) = C F + C(q) C T (q) = q2 40 5q + 20 Y que en el mes (que tiene 2 quincenas) se proucen 200 pares e zapatos: C T (200) = (200)2 40 5(200) + 20 (40 5)2 C T (200) = C T (200) = C T (200) = 4 20 [$] b) Si un cliente requiere 200 pares más e lo que la empresa prouce mensualmente, eterminamos la variación el costo e proucción para fabricar el peio el cliente. C q = 2q 40 5 = q 20 5 C q = 2q 40 5 = q 20 5 C q q=200 = 0 5 = 5 [ $ par ] c) Dao que se incrementa el costo e proucción, también se le ebería incrementar el precio e venta en 5 [$ par]. Elaborao Página 2 e 3

13 plantea y resuelve un problema e razón e cambio. No logra interpretar la situación económica especificaa. Determina el costo total e proucción, pero no eriva bien. Determina bien el costo total e proucción, eriva bien, pero no evalúa. Plantea y resuelve el problema e razón e cambio Elaborao Página 3 e 3