UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M

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Valentín Aguirre Quiroga
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-103-1-M--00-017 CURSO: Matemática Básica SEMESTRE: Seguno CÓDIGO DEL CURSO: 103 TIPO DE EXAMEN: Primer

1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE M CURSO: Matemática Básica SEMESTRE: Seguno CÓDIGO DEL CURSO: 103 TIPO DE EXAMEN: Primer eamen parcial FECHA DE EXAMEN: 16 e agosto el 017 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Kevin Pinto DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Kevin Pinto REVISÓ EL EXAMEN: Dra. Mayra Castillo COORDINADOR: Ing. José Alfreo González Díaz

2 Matemática Básica Tema 1: (0 puntos) Primer eamen parcial Temario A Utilizano operaciones algebraicas y las leyes e los límites calcule a b. 9 3 Tema : (15 puntos) Si f( ) sen, calcule f utilizano la efinición e erivaa como un límite. Tema 3: (15 puntos) Determine toos los valores e la constante a, tales que la función sea continua en toos los reales. f( ) a si 0 a si 0 tan Tema 4: (30 puntos) a. Usano las reglas e erivación encuentre la primera erivaa f( t) sen 3 t3t 1 b. Utilizano reglas e erivación calcule la seguna erivaa c. Calcule (13) f( ) tan( ) f si ( ) ( ) h f g y g (3) 4, h (3), g (3) 4 Tema 5: (0 puntos) a. La curva y 1 se llama curva e María Agnesi. Encuentre la 1 ecuación e la recta tangente en el punto one 1. b. Trace una gráfica e la función f que cumpla con las coniciones siguientes f (0) 1, f (4) 0, f (6) 0, f( ) f( ), 3 f( ), 3 f( ) 0

3 Matemática Básica TEMA 1 (0 Pts) a. Calcule la integral inefinia: Eplicación Evaluamos la función y verificamos que la forma sea ineterminaa ( 1) 5( 1) 6 ( 1) + 4( 1) + ( 1) = 0 0 Primero proceeremos a einar el valor absoluto e la fracción, para ello necesitamos aplicar su concepto y separarlo en os funciones. ( ) sí = { sí = ( ) sí En nuestro caso el límite e tiene al valor e -1. En razón e ello, trabajamos el valor absoluto como la parte e la función que incluye icho ominio ( ) A continuación, realizaremos la manipulación algebraica para resolver el límite ( ) = ( + 1)( 6) 1 ( + )( + 1)

4 Matemática Básica Una vez realizaa la operatoria algebraica, einaremos los términos semejantes y proceeremos a evaluar el límite. u u + 1 = tan 1 (u) + c Finalmente regresamos a la variable original. tan 1 (u) + c = tan 1 ( ) + c R// tan 1 ( ) + c b. Calcule el límite Eplicación 9 3 Evaluamos el límite y verificamos que la forma sea ineterminaa ( ) + ( ) 3( ) = Ineterminao Una vez verificaa la ineterminación, proceemos a manipular e manera algebraica el límite. Por lo tanto, primero multiplicaremos por el conjugao para einar la raíz. ( 9 + 3) Ahora proceemos a simplificar el límite

5 Matemática Básica Seguiamente iviiremos entre toa la epresión para poer evaluar el límite. Nota: Diviimos solo entro e porque el límite tiene a infinito positivo, si este teniese a infinito negativo eberemos iviir entro e / 1/ Para operar las equis el raical ebemos ingresa la como su función equivalente es ecir. Por ejemplo: 5 = 5 = A continuación, se simplificará la epresión y luego se evaluará el ite al infinito. Recorano que: Un número ivio infinito es equivalente a cero = = = 1 3 R// El límite tiene a 1/3

6 Matemática Básica TEMA (15 Pts) Si f( ) sen, calcule f utilizano la efinición e erivaa como un límite. Eplicación Recoramos la erivaa por efinición: f( + h) f() h 0 h sen( + h) sen() h 0 h Con el fin e simplificar la operatoria, primero calcularemos la erivaa y luego proceeremos a evaluarla en pi meios. sen() cos(h) + sen(h)cos () sen() h 0 h sen()(cos(h) 1) + sen(h)cos () h 0 h h 0 sen()(cos(h) 1) sen(h)cos () + h h 0 h Por efinición tenemos que: cos() 1 = 0 0 sen = 1 0 Finalmente evaluamos la erivaa en pi meios (cos(h) 1) sen() h 0 h sen() 0 + cos() 1 cos() f () = cos() f (π/ ) = cos(π/) f (π/ ) = 0 + cos() h 0 sen(h) h R// f (π/ ) = 0

7 Matemática Básica TEMA 3 (15 Pts) Determine toos los valores e la constante a, tales que la función sea continua en toos los reales. f( ) a si 0 a si 0 tan Eplicación Para que una función sea continua en toos los reales, el límite por la erecha ebe ser igual a ite por la izquiera. f() = f() Tenieno presente la efinición e límite, proceemos a plantear los ites para que eista continuia 0 a = 0 + a tan A continuación, resolveremos el izquiero límite. 0 a = a(0) = Y ahora resolveremos el ite erecho, para el cual recoraremos la ientia. sen = a tan a 1 sen cos a cos 0 + sen acos sen acos(0) (sen 0 + ) 1

8 Matemática Básica sen a ( 0 + a (1) ) 1 Una vez resueltos los límites, es necesario igualarlos para eterminar el valor e a que permita que la función sea continua. f() = f() a = = a 0 + a tan R// El valor e a ebe ser igual a - para que la función sea continua en toos los reales. TEMA 4 (30 Pts) a. Usano las reglas e erivación encuentre la primera erivaa f( t) sen 3 t3t 1 Eplicación Empezaremos inicano las erivaas que ebemos calcular e manera iniviual, con el fin e clarificar el proceimiento. t ((sen3 t)(3t 1) ) Primero plantearemos la erivaa el proucto. ((sen3 t)(3t 1) ) (3t 1) (sen3 t) + (sen 3 t) (3t 1)

9 Matemática Básica Calcularemos la erivaa e la primera función aplicano las siguientes reglas: Etraemos la constante e la erivaa Derivamos por regla e la caena Derivamos el argumento t (sen3 t) (3 (sent) 3 1 ) t (sent) 6 (sent) cost Calcularemos la erivaa e la seguna función aplicano las siguientes reglas: Derivamos por regla e la caena Derivamos el argumento (3t 1) t ( (3t 1) 1 ) (3t 1) t (3t 1) 3 Ahora se sustituyeron las erivaas antes calculaas. (3t 1) (sen3 t) + (sen 3 t) (3t 1) (3t 1) 6 (sent) cost +(sen 3 t) 6 (3t 1) t ((sen3 t)(3t 1) ) = (3t 1) 6 (sent) cost + (sen 3 t) 6 (3t 1) b. Utilizano reglas e erivación calcule la seguna erivaa f( ) tan( ) Eplicación Calcularemos la primera erivaa e la función aplicano las siguientes reglas: Derivamos por regla e la caena Derivamos el argumento tan ( ) sec ( ) ( ) sec ( )

10 Matemática Básica tan( ) = sec ( ) c. Calcule (13) f si ( ) ( ) h f g y g (3) 4, h (3), g (3) 4 Calcularemos la primera erivaa e la función aplicano las siguientes reglas: La parte e la izquiera, se inicará que la función fue erivaa La parte e la erecha primero se erivó por regla e la caena Derivamos el argumento e la función f. [f(g() + )] [h() = f(g() + )] [h()] = h () = f (g() + ) [g() + ] f (g() + ) (g () + ) Una vez erivaas ambas partes proceemos a igualarlas. h () = f (g() + ) (g () + ) El problema nos solicita calcular f (13), sin embargo, los atos que nos proporciona son evaluaos en =3: g (3) = 4 h (3) = g(3) = 4 A razón e ello, evaluaremos la función y las erivaas en =3. h () = f (g() + ) (g () + ) sí =3 h (3) = f (g(3) + 3 ) (g (3) + (3)) = f (4 + 3 ) (4 + (3)) = f (13) (10) f (13) = 10 = 1 5 R// f (13) = 1 5

11 Matemática Básica TEMA 5 (0 Pts) a. La curva y 1 se llama curva e María Agnesi. Encuentre la 1 ecuación e la recta tangente en el punto one 1. Eplicación Primero evaluaremos la función en el valor e =-1, con el fin e eterminar el punto e tangencia. = 1 y( 1) = = ( 1) = 1 ( 1, 1 ) y() = Determinamos la peniente, erivano la función y evaluánola en el punto e tangencia, =-1. y () = y ( 1) = (1 + ) ( 1) (1 + ( 1) ) = 1 Finalmente calculamos la ecuación e la recta tangente, utilizano la función e punto peniente; con los atos antes calculaos P (-1,1/) m = 1/ (y y 0 ) = m( 0 ) (y 1/) = 1/( ( 1)) y = + 1 R// La recta tangente en el punto =-1 es + 1

12 Matemática Básica b. Trace una gráfica e la función f que cumpla con las coniciones siguientes f (0) 1, f (4) 0, f (6) 0, f( ) f( ), 3 f( ), 3 f( ) 0 Eplicación Realizamos la gráfica paso a paso e acuero a las inicaciones solicitaas, empezano con un plano en blanco: Punto sobre el eje y. f(0) = 1

13 Matemática Básica Punto sobre el eje (4,0). f(4) = 0 Punto sobre el eje (6,0). f(6) = 0

14 Matemática Básica Límites para 3. 3 f() =, f() = Límites al infinito. f() = 0, f() = +

15 Matemática Básica Finalmente unimos toos los valores, ientificaos anteriormente.

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