Universidad de San Carlos de Guatemala

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA clave v CURSO: Matemática Básica SEMESTRE: Segundo CÓDIGO DEL CURSO: 103 TIPO DE EXAMEN: Primer Eamen Parcial FECHA DE EXAMEN: 16 de agosto del 017 RESOLVIÓ EL EXAMEN: Marvin Antonio Donis González DIGITALIZÓ EL EXAMEN: Marvin Antonio Donis González COORDINADOR: Ing. José Alfredo González Díaz

2 Primer eamen parcial Temario V Tema 1: (0 puntos) Determine cuales de las siguientes condiciones son aplicables a la gráfica dada. a. fa ( ) no está definida. e. f ( ) a b. f( a) f. f ( ) c. f es continua en a g. f ( ) d. f( ) h. f ( ) 0 a y L y f ( ) a Tema : (33 puntos) Utilice procedimientos algebraicos y las reglas de los límites para evaluar a b. sen 4 1 cos 0 c. Tema 3: (5 puntos) Dada la función f( ) 1 a. Obtenga f ( ) utilizando la definición de derivada. b. Obtenga la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función dada, si dicha recta pasa por el punto ( 1,0) Tema 4: ( puntos) a. Sea F ( ) f( ) g ( ) Obtenga F () si f() 1, f() 5, g() y g() 3 b. Obtenga f ( ) si f( ) tan cos 5

3 Tema 1: (0 puntos) SOLUCIÓN DEL EXAMEN Determine cuales de las siguientes condiciones son aplicables a la gráfica dada. a. fa ( ) no está definida. e. f ( ) a b. f( a) f. f ( ) c. f es continua en a g. f ( ) d. f( ) h. f ( ) 0 a a. fa ( ) no está definida. y L y f ( ) a No. Eplicación 1. El punto pertenece al dominio y tiene una imagen Está definida fa ( ) no está definida. = falso, si está definida b. f( a) No. Eplicación 1. Se valúa el punto a en la función y=f(). Observando en la gráfica se determina el valor de f(a) f( a) Y=f(a) F(a)=L = si cumple c. f es continua en a No. Eplicación 1. Se observa en la gráfica que para todos los valores del f() = y

4 dominio de la función f() corresponde una imagen, y la función no tiene discontinuidades ni saltos. f es continua en a= Verdadero, si cumple d. f( ) a No. Eplicación 1. Se observa el valor de f() resultante en la gráfica al acercarse en el valor de a por la derecha.. Se sustituye el valor de a en la grafica y se obtiene el valor de y en la función. f() = f(a) a + f(a)=l f() = L = si cumple el ite lateral a + e. f ( ) a No. Eplicación 1. Se observa el valor de f() resultante en la gráfica al acercarse en el valor de a por la derecha y por la izquierda.. Se observa si ambos ites f() = f(a) y a + f() = f(a) a f (a + )=L y f (a )= L

5 laterales llegan a un mismo punto f() = L = si cumple. a f. f( ) No. Eplicación 1. Se observa el valor de f() resultante en la gráfica al desplazarse sobre ella hacia la derecha, llegando al. Se determina la tendencia que toma la gráfica en su último valor. y L y f ( ) a Tiende a 0 f( ) = Falso, No cumple g. f ( ) No. Eplicación 1. Se observa el valor de f() resultante en la gráfica al desplazarse sobre ella hacia la derecha, llegando al. Se determina la tendencia que toma la gráfica en su último valor. y L y f ( ) a Tiende a 0

6 f( ) = Falso, No cumple tiende a 0 h. f ( ) 0 No. Eplicación 1. Se observa el valor de f() resultante en la gráfica al desplazarse sobre ella hacia la derecha, llegando al. Se determina la tendencia que toma la gráfica en su último valor. y L y f ( ) a Tiende a 0 a. f ( ) 0 = Verdadero, si cumple. Tema : (33 puntos) Utilice procedimientos algebraicos y las reglas de los límites para evaluar a b. sen4 1 cos 0 c. a No. Eplicación 1. Se encuentran las posibles

7 raíces del denominador y se deja epresado, se realiza el conjugado. Se realizan los procedimientos algebraicos, einando la raíz del denominador 3. Se simplifica la operación. 4. Se einan los factores comunes. 5. Se sustituye el valor de en el límite simplificado ( + 1)( 1) ( + 1)( 1) ( + 1) 1 ( + 1)( 1)( ) 1 1 ( + 1)( ) = 1 (1+1)( ) = 1 16 b. sen 4 1 cos 0 No. Eplicación 1. Separamos el límite en, para poder observar la identidad trigonométrica.. Se identifica la identidad: 1 cos = 0 y se multiplica por 4 el límite resultante sin 4 1 cos sin

8 3. Se obtiene la identidad: sin = 1 4. se opera aritméticamente sin (1) + 0= 8 0 sin 4+1 cos = 8 0 c. 5 No. Eplicación 1. Operamos por el conjugado.. Se opera el algebra. 3. Se simplifica la operación y se multiplica por el factor: 1 4. se opera algebraicamente 5. Se sustituye el valor por el que tiende 6. Se analiza que todo numero dividido infinito es 0 7. Se realiza el procedimiento aritmético. ( + 5 )*( +5+ ) *( = 5 ) 5 = 5

9 Tema 3: (5 puntos) Dada la función f( ) 1 a. Obtenga f ( ) utilizando la definición de derivada. b. Obtenga la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función dada, si dicha recta pasa por el punto ( 1,0) a. Obtenga f ( ) utilizando la definición de derivada. No. Eplicación 1. Conociendo la definición de la derivada: f () = h 0 f(+h) f() h reconocemos los valores a sustituir en la definición. Sustituimos lo valores en la definición de derivada. 3. Se simplifica la epresión realizando el procedimiento algebraico. 4. S factoriza el valor de h y se simplifica la epresión. 5. Se sustituye el valor por el que tiende h 6. Se obtiene la derivada de la función por definición., f( + h) = ( + h) + + h + 1 f() = f () = h 0 ( + h) + + h + 1 ( + + 1) h f () = h 0 h + h + h h f () = h 0 h( + h + 1) h f () = h f () = + 1 f () = + 1

10 b. Obtenga la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función dada, si dicha recta pasa por el punto ( 1,0) c. No. Eplicación 1. Establecemos la ecuación de la recta. Conocemos el punto por el que pasa la recta y y 0 = m( 0 ) y 0 = m( ( 1)) 3. Se simplifica la epresión. y = m( + 1) 4. Conocemos la otra función y la igualamos con la recta para conocer su intersección 5. La pendiente de la recta debe ser igual a la derivada de la función en ese punto, por lo tanto, se sustituye 6. Se realiza el procedimiento algebraico y se encuentran los posibles valores de. 7. Sustituimos los valores de en la pendiente que es la derivada de la función 8. Conociendo los valores de la pendiente las sustituimos en la ecuación de la recta. f() = y = m( + 1) m = = ( + 1)( + 1) X= 0 m = + 1 m 1 = (0) + 1= 1 m = ( ) + 1= -3 y = m( + 1) y 1 = 1( + 1) y 1 = + 1 y = 3( + 1) y = 3 3

11 9. Eisten posibles rectas. y 1 = + 1 y = 3 3 y = + 1 Tema 3: ( puntos) a. Sea F ( ) f( ) g ( ) Obtenga F () si f() 1, f() 5, g() y g() 3 b. Obtenga f ( ) si f( ) tan cos 5 a. Sea F ( ) f( ) g ( ) Obtenga F () si f() 1, f() 5, g() y g() 3 a. No. Eplicación 1. Se realiza la derivada de una fracción teniendo cuidado con la multiplicación del denominador y se aplica la regla de la cadena.. Se conocen los valores de f(), g() y g () valuados en =, y se sustituyen en la derivada 3. Se simplifica la epresión realizando los procedimientos aritméticos f () = g()[ f () + f()] g () f() (g()) f () = g()[( )f () + ()f()] g ()( )f() (g()) ()[4(5) + 4(1)] ( 3)(4)(1) f () = 4

12 f () = = 15 f () = 15 b. Obtenga f ( ) si f( ) tan cos 5 b. No. Eplicación 1. Se determina una derivada de la tan u du y se f () = tan cos( + 5) determina que se debe realizar aplicando la regla de la cadena.. Se aplica la regla de la cadena 1 f () = 1 + (cos + 5) ( sin + 5) (1 ( + 5) 1 ) () 3. Se simplifica la epresión realizando los procedimientos algebraicos. f () = f () = 1 ( + 5) sin (cos + 5) 1 ( + 5) sin (cos + 5)