UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE V

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-11-1-V CURSO: Matemática Intermedia 3 SEMESTRE: Primero CÓDIGO DEL CURSO: 11 TIPO DE EXAMEN: Primer examen parcial FECHA DE EXAMEN: 19 de febrero de 015 NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN: NOMBRE DE LA PERSONA QUE REVISÓ EL EXAMEN: Luis Maldonado Inga. Ericka Cano

2 Universidad de San Carlos Guatemala Departamento de Matemática Escuela de Ciencias Guatemala, 19 de Febrero de 015 Facultad de Ingeniería Matemática Intermedia 3 Jornada vespertina Primer Examen Parcial Instrucciones: Trabaje de forma clara y ordenada dejando constancia de su procedimiento. No se permite el uso de calculadora programable ni de dispositivos electrónicos. Apague el celular. Al finalizar el examen debe entregar el temario. Tema 1 (8 puntos) Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales, establecer el tipo, orden, grado y linealidad (Copie la tabla en el cuadernillo de trabajo) Ecuación Diferencial Tipo Orden Grado Linealidad d y x dy a) x y 0 dy y xy xe x b) 0 Tema (17 puntos) Verifique que la solución general dada satisface la ecuación diferencial y posteriormente halle la solución particular que satisface las condiciones iniciales dadas y y 0; y c c cos x c senx 1 3 ; y 0, y, y 1 Tema 3 (15 puntos) Trace el campo de direcciones para la ecuación diferencial y los valores de "c" dados e identifique las isóclinas y grafique una posible curva solución dy y x ; c :, 1,0,1, Tema (60 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales indicando el método que utilizó para resolverla a) dy y x y x 3 6y 3xy x y y y( 3x y) ; (0 puntos) b) xdy 0 ; (0 puntos) x ; (0 puntos) c) 0 Nombre: Número de Carnet: Firma:

3 SOLUCION DE EXAMEN Tema 1 (8 puntos) Dadas las siguientes ecuaciones diferenciales, establecer el tipo, orden, grado y linealidad (Copie la tabla en el cuadernillo de trabajo) Ecuación Diferencial Tipo Orden Grado Linealidad d y x dy a) x y 0 dy y xy xe x b) 0 SOLUCION a) Al escribir la ecuación diferencial en su forma estándar se obtiene: De esta forma se puede ver que se trata de una ecuación diferencial ordinaria, de cuarto orden, grado uno y no lineal, debido a que la primera derivada es de grado, siendo necesaria la condición de que la variable dependiente y todas sus derivadas dentro de la ecuación diferencial sean de grado uno para que sea lineal. b) Reordenando los términos de la ecuación diferencial se obtiene: Escrita de esta forma se ve claramente que es una ecuación diferencial ordinaria, de primer orden, grado uno y es lineal en la variable dependiente. De manera que la tabla queda definida como se muestra a continuación: Ecuación Diferencial Tipo Orden Grado Linealidad d y x dy dy y xy xe a) x y 0 EDO Cuarto Uno No lineal b) 0 x EDO Primero Uno Lineal

4 Tema (17 puntos) Verifique que la solución general dada satisface la ecuación diferencial y posteriormente halle la solución particular que satisface las condiciones iniciales dadas y y 0; y c c cos x c senx 1 3 SOLUCION ; y 0, y, y 1 La solución propuesta de la ecuación diferencial y sus primeras tres derivadas son: Sustituyendo las derivadas correspondientes en la ecuación diferencial se obtiene: De esta forma se comprueba que diferencial. es solución de la ecuación Solución particular: Las condiciones iniciales determinan las constantes c 1, c y c 3. Para encontrarlas se sustituye en la solución y sus primeras dos derivadas como se muestra a continuación: (1) ()

5 A partir de la ecuación (1) se sabe que, entonces. Y la solución particular de la ecuación diferencial es: (3) Tema 3 (15 puntos) Trace el campo de direcciones para la ecuación diferencial y los valores de "c" dados e identifique las isóclinas y grafique una posible curva solución dy y x ; c :, 1,0,1, SOLUCIÓN Campo direccional de la ecuación diferencial Ecuación de isóclina: Cada isóclina es una parábola simétrica con respecto a y. C

6 Se procede a calcular el valor de la pendiente y la dirección en cada punto (x,y). Para este caso se seleccionan los puntos -3<x<3, -3<y<3. x y y-x^ cuadrante cuadrante Origen cuadrante cuadrante El campo direccional resultante es el siguiente: Y las isóclinas para los valores de c dados, cada una como posible solución son:

7 Tema (60 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales indicando el método que utilizó para resolverla a) c) x yy y( 3x y) 0 SOLUCION a) dy y x y x 6y 3xy ; (0 puntos) 3 b) xdy 0 ; (0 puntos) x ; (0 puntos) Reordenando los términos de la ecuación diferencial se obtiene: Se identifica a y a. Por lo tanto se comprueba que es una ecuación diferencial homogénea. Para resolverla se realiza la siguiente sustitución:, =0 Simplificando y agrupando términos se obtiene: Resolviendo por el método de separación de variables:

8 Luego se sustituye : b) Forma estándar: De esta forma se observa que tiene la forma de la ecuación de Bernoulli con lo tanto se procede de la siguiente manera:. Por Se realizan las siguientes sustituciones: Se aplica la regla de la cadena para determinar. Sustituyendo este resultado en la ecuación diferencial se obtiene:

9 Factor integrante: Luego se multiplica la ecuación diferencial por el factor integrante: [ ] [ ] [ ] Finalmente su expresa la solución en términos de y: c) En este caso, y. Se verifica si es una ecuación diferencial homogénea realizando:

10 De esta forma se comprueba que es una ecuación diferencial homogénea, ya que las funciones M(x,y) y N(x,y), ambas son homogéneas de grado. Para resolverla se realiza la siguiente sustitución:, Simplificando esta expresión se obtiene: Luego se resuelve por el método de separación de variables: Para resolver esta integral se realiza la sustitución:, Resolviendo esta ecuación se obtiene: Y finalmente la solución de la ecuación diferencial es: