Clave: V

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1 Clave: V Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Clave de Examen: V Curso: Matemática Intermedia 1 Semestre: Segundo Código del Curso: 107 Tipo de Examen: Primera Retrasada Fecha de Examen: 20/11/2013 Nombre de la persona que resolvió el examen: Nombre de la persona que revisó el examen: Gabriel Estuardo Solórzano Inga. Silvia Hurtarte 1

2 Primera Retrasada 20 de noviembre de 2013 Matemática Intermedia I Jornada vespertina Tema No. 1 (25 puntos) a) Determine el área de la región que está dentro de la curva r 3cos y fuera de r 1 cos. (15 p) b) Calcule la excentricidad, identifique la cónica, deduzca una ecuación de la directriz y trace la grafica, si su ecuación polar es: (10 p) r 5 2 2sen Tema No. 2 (25 puntos) a) Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto p(6, 0, -2) y contiene a la recta x 4 2t, y 3 5t & z 2 t. (15 p) b) Un coche de juguete se jala ejerciendo una fuerza de 25 libras sobre una manivela que forma un ángulo de 20 con la horizontal. Calcular el trabajo realizado al jalar el coche 50 pies. ( 10 p) Tema No. 3 ( 14 puntos) Encuentre la longitud de la astroide, cuyas ecuaciones paramétricas vienen dadas por: x cos 3 t; y 3 sen t; 0 t 2 2

3 Tema No. 4 ( 15 puntos) Identifique y grafique la superficie dada por la ecuación: a) b) 9 y z 2y 2z 0 4 x c) r 2 2z 2 4 Tema No. 5 ( 21 puntos) a) Determine los valores de p para los cuales la serie dada converge b) Determine el radio de convergencia de la serie de potencias n 1 n ( 1) ( x) 3 n 1 ( n) 1 c) Hallar una serie de potencias para la función f ( x) 2 x, centrada en 0. 3

4 Clave Examen de Primera Retrasada, Segundo Semestre 2013 Tema No. 1 (25 puntos) a) Determine el área de la región que está dentro de la curva r 3cos y fuera de r 1 cos. (15 p) Solución 1. Identificar las gráficas que se presentan en el enunciado según el tipo a que pertenece. a., la gráfica corresponde a un círculo trasladado en coordenadas polares. b., la gráfica corresponde a un cardiode que toca el polo en coordenadas polares. 2. Realizar una tabla utilizando diferentes puntos para poder platear y realizar cada una de las gráficas. a. r( ) π

5 b. r( ) π Se procede a graficar ambas ecuaciones en un solo plano, como se muestra a continuación: Se procede a determinar el punto de intersección entre ambas gráficas. a. Se igualan ambas ecuaciones y se procede a despejar, con el fin de la determinación del ángulo de intersección. 5

6 5. Se procede a determinar el área dentro del círculo pero fuera del cardiode. a. Ecuación para la determinación del área entre curvas polares. [Ecuación No. 1] b. El problema nos indica que se debe de encontrar el área de la región que está dentro de la curva del círculo y fuera del cardiode, por lo tanto se debe restar el área del cardiode del área del círculo en un intervalo de 0 a π/3. Como se observa en la gráfica esta tiene simetría, por lo tanto la integral se debe multiplicar por 2. A continuación se procede a sustituir los valores en la ecuación No. 1 c. A continuación se procede a integrar d. Se procede a sustituir los nuevos valores en la integral original, como se muestra a continuación. 6

7 e. Se sustituye el valor de μ en el resultado de la integral, Obteniendo así: f. Se procede a integrar g. Se procede a sustituir la integral encontrada en el inciso (e) y (f) en la integral de área obtenida en el inciso (b) para obtener el área de la región que está dentro de la curva del círculo y fuera de la curva del cardiode. R// El área de la región es de

8 b) Calcule la excentricidad, identifique la cónica, deduzca una ecuación de la directriz y trace la grafica, si su ecuación polar es: (10 p) r 5 2 2sen 1. Se procede a plantear las ecuaciones generales para poder determinar la cónica. Donde: e = Excentricidad d = Directriz 2. Se compara la ecuación que proporciona el problema con las ecuaciones del punto anterior para determinar la simetría de la cónica. Por lo tanto la cónica es simétrica en el eje y 3. Para obtener la forma de una cónica simétrica en el eje y se procede a dividir el numerador y el denominador de la ecuación que proporciona el problema entre 2. Por lo tanto la ecuación de la cónica es ahora: 8

9 4. Se procede a determinar la excentricidad, el tipo de cónica, y la ecuación de la directriz. a. Determinación de la excentricidad: Con la ecuación general de una cónica simétrica en y, se procede a determinar e (excentricidad) en la ecuación obtenida anteriormente. Por la tanto, la excentricidad e = 1 b. Determinación del tipo de cónica: De acuerdo a la teoría se procede a determinar el tipo de cónica Si la excentricidad es menor que uno (e < 1 ), la cónica es una elipse Si la excentricidad es mayor que uno (e > 1 ), la cónica es una hipérbola Si la excentricidad es igual que uno (e = 1 ), la cónica es una parábola En el inciso (a) se determinó la excentricidad, siendo esta 1 por lo tanto, la cónica de la ecuación es una parábola. c. Determinación de la ecuación de la directriz: La ecuación de la cónica indica el signo de la ecuación de la directriz así como su valor. Para la determinación del valor de la directriz se despeja el valor para la variable d Como el signo de la ecuación polar para la cónica es negativo, el signo de la ecuación de la directriz es negativo. 9

10 5. Gráfica de la cónica obtenida. 10

11 Tema No. 2 (25 puntos) a) Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto p(6, 0, -2) y contiene a la recta x 4 2t, y 3 5t & z 2 t. (15 p) 1. Se utilizan las ecuaciones paramétrica para la determinación del vector unitario Ecuaciones Paramétricas: Se obtiene el vector Puntos que toca el plano: Ecuación del Plano: 2. Para la determinación de la ecuación del plano se procede a evaluar las ecuaciones de línea en la ecuación del plano como se muestra a continuación. Ecuación del Plano: 11

12 b) Un coche de juguete se jala ejerciendo una fuerza de 25 libras sobre una manivela que forma un ángulo de 20 con la horizontal. Calcular el trabajo realizado al jalar el coche 50 pies. ( 10 p) 1. Utilizando el producto punto se procede al cálculo del trabajo. Se determinan las componen en x & y de la fuerza y la distancia. Fuerza: Distancia: 2. Se aplica el producto punto para la determinación del trabajo. 12

13 Tema No. 3 (14 puntos) Encuentre la longitud del astroide, cuyas ecuaciones paramétricas vienen dadas por: x cos 3 t; y 3 sen t; 0 t 2 1. Se utiliza la ecuación general para la longitud de una curva paramétrica 2. Se procede a determinar la primera derivada de la ecuación x & y. 3. Se sustituyen los valores de las derivadas encontradas en el inciso anterior en la ecuación general para la longitud de curva. 13

14 Se Evalúa la integral en los puntos de 0 a π/2 y como se observa en la gráfica la curva es simétrica en los puntos de 0 a 2 π, por lo tanto la integral resultante se debe de multiplicar por 4. La longitud del astroide es de 6 unidades 14

15 Tema No. 4 (14 puntos) Identifique y grafique la superficie dada por la ecuación: a) La ecuación se encuentra en ecuaciones esféricas de la forma procede a realizar la gráfica por medio de trazas del eje x y del eje z. por lo tanto ese Al rotar la gráfica y realizarla en tercera dimensión obtenemos que La Superficie es un Cono 15

16 2 2 2 b) 9x y z 2y 2z 0 a. Se procede a completar el cuadrado para poder simplificar la ecuación Al observar la ecuación obtenida se procede a determinar la superficie la cual corresponde a un cono trasladado TRAZA YZ GRÁFICO EN 3D 16

17 c) r 2 2z 2 4 a. Al identificar la superficie se observa que se encuentra en coordenadas polares, por lo tante se debe convertir a coordenadas rectangulares. Se sustituye en la ecuación de la superficie. Al observar la ecuación obtenida se procede a determinar la superficie la cual corresponde a un hiperboloide de una hoja 17

18 Tema No. 5 (21 puntos) a) Determine los valores de p para los cuales la serie dada converge 1. Se procede a cambiar la variable n por la variable x, para tener una mejor visualización para la realización de la integral. 2. Se procede a evaluar el límite para encontrar los valores con los cuales la serie converge. Para p = 1 Por tanto si p=1 la serie diverge, 18

19 Para p < 1, Por tanto si p<1 la serie diverge Para p > 1, Por tanto si p>1 la serie Converge R// El valor de p para la convergencia de la serie es de p>1 c) Determine el radio de convergencia de la serie de potencias n 1 n 1 ( 1) ( x) 3 ( n) n 1. Se utiliza el criterio del cociente para determinar el radio de la serie de potencias como se muestra a continuación. 19

20 a. Se procede a utilizar el criterio del cociente y se aplica el límite cuando n tiende al infinito. Simplificando Se evalúa el límite Por lo tanto, (-1, 1) El radio es de 1 El radio de convergencia de la serie es de 1 20

21 1 c) Hallar una serie de potencias para la función f ( x) 2 x, centrada en Para la determinación de la serie de potencias, se procede a utilizar las ecuaciones generales de la serie geométrica en serie de potencias. [ Ecución No. 3] [Ecuación No. 4 ] a. Se procede a llevar la función que proporciona el problema a la forma de la ecuación 3. b. Se procede a llevar la función que proporciona el problema a la forma de la ecuación 4 para la determinación de la serie de potencias. R/ La serie de Potencias obtenida es 21