Matemáticas. Segundo de Bachillerato. I.E.S. Los Boliches. Departamento de Matemáticas

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1 Matemáticas. Segundo de Bachillerato. I.E.S. Los Boliches. Departamento de Matemáticas Relación. Geometría en el espacio (II) 1. Estudiar la posición relativa de los siguientes conjuntos de planos: (a) π 1 x y + z 11 = 0 ; π x 1y + 16z + 0 = 0 π 1 x + y z + = 0 ; π x y + z 8 = 0 (c) π 1 x y + z + = 0 ; π x y + 6z + 10 = 0. Hallar las ecuaciones en forma implícita de la recta de ecuación x + = y. Hallar un punto y un vector de dirección de la recta de ecuación en forma implícita x y + z = 9 x + y + z = 0 = z +. Estudiar la posición relativa de los siguientes conjuntos de planos: (a) π 1 x + y z = 0 ; π y + z 1 = 0 ; π x + y + z = 0 π 1 x y + z = 0 ; π x y + z = 0 ; π x y + z = 0 (c) π 1 x y + z 1 = 0 ; π x + y z = 0 ; π x + y z + = 0. Dados los planos π 1 x y + z = 8, π x + 6y z = y π x + y z =, estudiar la posición relativa de cada dos de esos planos y además ver si los tres planos tienen algún punto en común. 6. Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas: (a) x 1 = y + = z 1 x + 1 = y = z x = y 1 = z + 1 x y = 1 y z = 1 (c) x 1 1 = y 1 = z 1 (d) x 7 = y 1 = z x x = y = z = y 1 1 = z 1 1 x = 1 7. Dadas las rectas de ecuación x = y = z a + t y = t, hallar el valor de la constante z = a para que las rectas sean secantes y, en ese caso, hallar el punto de corte y la ecuación del plano que determinan. 1

2 8. Estudiar la posición relativa de los siguientes conjuntos formados por una recta y un plano: (a) x = y + 1 = z 1 ; π x y + z = 0 x = y = ; π z = 1 (c) x + y z = 0 x y + z = 7 x = 7 ; π t + s y = t z = s 9. Razonar que la recta x 1 = y + = z está contenida en el plano π x y z = 0. x y + z = Dada la recta y el plano π x y + az =, estudiar la x + y + z = b posición relativa de esa recta y ese plano en función de las constantes a y b. 11. Hallar el ángulo que forman los pares de planos siguientes: (a) π 1 x y + z 1 = 0 ; π x + y + z = 0 π 1 x + y + 10z = 0 ; π x y + z + 10 = 0 1. Hallar a para que el ángulo formado por los planos π 1 x + y = 0 y π x + y + az = 0 sea de o. 1. Hallar el ángulo que forman los siguientes conjuntos de una recta y un plano: (a) x = y + 1 = z + x y + z = 10 x + y z = 17 ; π x y + = 0 1. Hallar el ángulo que forman los pares de rectas siguientes: (a) x = y + 1 = z 1 x y + z = x + y z = 0 ; π x + y z + 16 = 0 x + y z = x y = x = + t y = + t z = + t 1. Dado el punto P = (, 1, ), hallar las ecuaciones de los siguientes planos: (a) Paralelo al plano π x + y z + = 0 y que contiene a P. Perpendicular a la recta x = y = z + 1 y que contiene a P. 16. Determinar m y n para que el plano π 1 mx+y z 1=0 sea paralelo al plano π x+ny z =0. Pueden ser coincidentes?

3 17. Determinar b para que la recta x = y = z sea paralela al plano de ecuación π x+y+bz 1 = Hallar la ecuación del plano que pasa por P = ( 1,, ) y por la recta x 19. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas x = t y = + t z = 1 x = + t y = t z = = y 1 = z Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A = (, 0, ) y B = ( 1,, 1) y es perpendicular al plano π x + y + z = Hallar el valor de p para que las rectas sean perpendiculares. x = y 1 p = z x 11 = y + = z Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P = ( 1,, ) y es perpendicular a las rectas x 1 = y = z + x + 1 = y 1 = z 1 x y = 0. Dado el plano π x y + z + 1 = 0 y la recta, hallar la ecuación y + z = 0 del plano que pasa por el punto P = (1, 0, 1), es paralelo a la recta r y es perpendicular al plano π.. Calcular la distancia del punto P = (, 1, 7) al plano π x y + z 1 = 0.. Calcular la distancia entre los planos π 1 x 7y + z + = 0 ; x 7y + z + 7 = 0 6. Calcular la distancia entre los planos π 1 9x y 7z + 1 = 0 ; x = + t + s y = t + s z = + t + s x = 1 + t 7. Calcular la distancia de la recta y = + t z = + 10t x = 1 t 8. Calcular la distancia de la recta y = t z = + t al plano π x + y z =. al plano π x y z = 18. x = t 9. Calcular la distancia del punto P = (,, 1) a la recta y = + t z = + t

4 0. Hallar la distancia entre los pares de rectas siguientes: (a) x 1 = y + 1 x = t y = 1 + t z = t = z 1 x = t y = 1 + t z = + t x y = 1 y + z = 0 1. Hallar el simétrico del punto P = (, 0, 1) respecto del plano π x + y + z = 0.. Hallar el simétrico del punto A = (, 0, 1) respecto de la recta x 1 Selectividad = y = z 1.. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A = (0, 1, ) y B = (,, ) y es paralelo a la recta x y + z = 0 definida por las ecuaciones x + y =. Se consideran los planos de ecuaciones π 1 x y + z = 0 y π x + y z = : (a) Determinar la recta que pasa por el punto A = (1,, ) y no corta a ninguno de los planos dados. Determinar los puntos que equidistan de A = (1,, ) y B = (, 1, 0) y pertenecen a la recta intersección de los planos dados.. Se considera el punto P = (,, 0) y la recta r de ecuaciones x + y z = x + z = 1 : (a) Hallar la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r. Determinar las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r. 6. Se considera el plano π x + y z + = 0 y la recta x = y = z 6 m : (a) Hallar la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m. Para m =, hallar el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π. (c) Para m =, hallar el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π. x = 0 7. Determinar los puntos de la recta y 1 = z del plano π y z =. que equidistan del plano π x + z = 1 y 8. Se consideran los puntos A = (1, 0, ) y B = (,, 1). Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la recta de ecuación x = y 1 = z. Depende el resultado de la elección concreta del punto C? 9. Se considera el punto P = (, 0, 1) y la recta r de ecuaciones x + y = 6 z = : (a) Hallar la ecuación del plano que contiene al punto P y a la recta r. Calcular el punto simétrico de P respecto de la recta r.

5 0. Calcular la ecuación de una recta que pasa por el punto de intersección del plano π x + y z + 6 = 0 con la recta s x = y = z + 1 y es paralela a la recta x + y = x y + z = 1 1. Calcular el punto de la recta de ecuaciones x 1 = y + = z + 1 más cercano al punto A = (1, 1, 1).. Los puntos A = (,, ) y B = (,, ) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C consecutivo de B está en la recta de ecuaciones x = y 6 1 = z + 1 : (a) Determinar el vértice C. Determinar el vértice D.. Se consideran los planos π 1 x + y + z = 1 ; π x y + z = ; π x + y + z = Se cortan π 1 y π? Hay algún punto que pertenezca a los tres planos?. Se consideran los puntos A = (1,, ), B = (,, 1) y C = (, 0, ). Hallar el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano que contiene a A, B y C.. Calcular a sabiendo que los planos ax + y 7z = ; x + y + a z = 8 se cortan en una recta que pasa por el punto A = (0,, 1) pero que no pasa por el punto B = (6,, ). 6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A = (1, 0, 1), es perpendicular al plano de ecuación x y = 0 x y + z + 1 = 0 y es paralelo a la recta de ecuaciones z = 0 7. Las rectas x + y = x + y + z = x + y = 6 x + y z = 6 contienen dos lados de un cuadrado. (a) Calcular el área del cuadrado. Hallar la ecuación del plano que contiene al cuadrado. Soluciones 1. (a) Paralelos Secantes (c) Coincidentes x y = 17. x + z = 9 ( ) 18. Punto, 9, 0. Vector ( 7, 1, ). (a) Los tres planos tienen un punto en común, distintos, tienen una recta en común, x = 1 y = 1 + t z = t ( 7, 1, 1 ) (c) Los tres planos, que además son Los tres planos son secantes dos a dos

6 . Los tres planos son secantes dos a dos y por lo tanto, no tienen los tres ningún punto en común 6. (a) Se cruzan Paralelas (c) Paralelas (d) Secantes con punto de corte (, 1, 1) x = 1 + t + s 7. a =. Punto de corte ( 1, 1, ). Plano que determinan y = 1 + t s z = + t 8. ((a) Paralelos Secantes, con punto de corte (,, 1) (c) Secantes, con punto de corte 7 ), 0, 1 9. La sustitución de las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación general del plano conduce a una identidad 10. Si a 1 la recta y el plano son secantes. Si a = 1 ; b = la recta está contenida en el plano. Si a = 1 ; b la recta y el plano son paralelos 11. (a) 9, o 8, 6 o 1. a = ± 1. (a) o, 98 o 1. (a) 1, 99 o o 1. (a) x + y z + = 0 x + y z = m = 6 ; n = 1. No pueden ser coincidentes 17. b = 1 x = 1 + t + s 18. y = t + s z = + t s 19. 6x + y + z 7 = 0 x = + t s 0. y = t + s z = + t s 1. p = 9.. x = 1 + t y = + t z = t x = 1 + t s y = t s z = 1 + t + s (a)

7 1. (, 6, 9). (0,, 9) x = t s. y = 1 + t + s z = t + s. (a). (a) x = 1 y = + t z = + t x = t s y = + t + s z = t ( 1, 17 8, 9 ) 8 ( 1, 0, ) 6. (a) Si m secantes. Si m = paralelos. 7. ( 0, ), ; (0,, 9) x = + t s y = t + s z = 6 t s (c) x+y z = 0 8. Área=. El área no depende del punto elegido. 9. (a) x = t + s y = t z = 1 + s x = 9 t 0. y = 1 + t z = + 1t ( ) 1. 7, 18 7, 1 7 (. (a), 9 ), (, 9 ), ( 18, 16 ),. Sí, se cortan en una recta. No, se cortan dos a dos.. (, 0, ). a = x = 1 + t + s 6. y = t s z = 1 + s 7. (a) 8 x = t + s y = t + s z = 0 Ecuación general z = 0 7