Tema 1.- Cónicas y Cuádricas.

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1 Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química. Matemáticas I Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 1.- Cónicas y Cuádricas Las cónicas. Ecuaciones reducidas. Las secciones cónicas. Definición métrica y elementos notables. La propiedad focal. Ecuación reducida de una cónica no girada. Ecuaciones paramétricas Las cuádricas. Ecuaciones reducidas Ejercicios. Ecuación reducida de una cuádrica no girada. Los elipsoides. Los hiperboloides y el cono. Los paraboloides. Los cilindros y las cuádricas degeneradas Apéndice: MATLAB. Referente a la geometría del plano, el alumno conoce, de sus estudios de bachillerato, las curvas que se obtienen como gráfica de una función explícita, y = f(x). Además, conoce la ecuación general (o implícita) de la recta ax + by + c = 0, ecuación que salvo casos excepcionales (b = 0) define a y como función explícita de x, y = 1 (ax+c). Por otra parte, b conoce la circunferencia, curva que no puede obtenerse como gráfica de una función explícita. La relación que establece la ecuación de una circunferencia (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 entre las variables (x, y) es una relación implícita. Podemos obtener expresiones explícitas de y en función de x si dividimos la circunferencia en dos semi-circunferencias y = b± r 2 (x a) 2, pero el trabajar con estas expresiones obliga a no poder considerar y hacer cálculos sobre la curva completa. En este tema estudiaremos las ecuaciones y los aspectos elementales de las cónicas (curvas planas de segundo grado) y las cuádricas (las superficies de segundo grado). En dicho tratamiento elemental consideraremos las propiedades intrínsecas (propiedades que no dependen del sistema de coordenadas) y estudiaremos las ecuaciones de dichas curvas y superficies cuando sus elementos de simetría son paralelos a alguno de los ejes o planos coordenados. Más adelante, en la parte final de la asignatura, con las herramientas correspondientes al cálculo de autovalores y autovectores y a la diagonalización ortogonal de una matriz simétrica real, podrá completarse el estudio considerando las cónicas y cuádricas dadas por su ecuación en forma general. 1

2 2 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas Las cónicas. Ecuaciones reducidas. En primer lugar vamos a estudiar los aspectos básicos de las cónicas no degeneradas (parábola, elipse e hipérbola), considerando la definición de éstas como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que verifican una determinada propiedad métrica. Independientemente de que el resultado sea o no sea una cónica, algunos ejemplos sencillos de lugares geométricos definidos mediante condiciones métricas son los siguientes: La circunferencia: lugar geométrico de los puntos de un plano que están a una distancia prefijada de un punto fijo, La mediatriz de un segmento: el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de los extremos del segmento, El lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas que se cortan está formado por las dos bisectrices de los ángulos que determinan las rectas dadas, Una vez definida cada cónica, veremos que, adoptando un sistema de ejes adecuado, ésta queda caracterizada mediante una ecuación implícita en dos variables (x, y) que vendrá dada por una ecuación polinómica de segundo grado sin término en xy. Además de las ecuaciones implícitas de las distintas cónicas (referidas a ejes apropiados) consideraremos una descripción paramétrica. En términos generales, puede decirse que las descripciones paramétricas son las herramientas más apropiadas a la hora de representar gráficamente una curva (plana o tridimensional) o una superficie. Esto se pone de manifiesto a la hora de obtener las gráficas de curvas y superficies usando MATLAB (o cualquier otro paquete de programas que permita representar gráficamente curvas y superficies definidas mediante ecuaciones) Las secciones cónicas. Dejando al margen coordenadas, ecuaciones,...el nombre completo de las cónicas es el de secciones cónicas pues son las curvas que se obtienen al seccionar un cono mediante un plano. El tipo de curva que se obtiene al cortar un cono circular recto (más adelante obtendremos su ecuación) con un plano depende de si el plano pasa o no por el vértice del cono y de la relación entre el ángulo, 0 α π, de inclinación del plano respecto al eje del 2 cono y el ángulo, 0 < β < π, de inclinación de la recta generatriz del cono respecto del eje. 2 Tenemos los siguientes casos: Un punto, concretamente el vértice del cono, si cortamos con un plano que pasa por el vértice y β < α π 2. Dos rectas secantes, si cortamos con un plano que pasa por el vértice y 0 α < β. Una recta doble, si cortamos con un plano que pasa por el vértice y α = β. Una elipse, si cortamos con un plano que no pase por el vértice del cono y β < α π. En 2 particular, si cortamos con un plano perpendicular al eje del cono (α = π ), se obtiene 2 una circunferencia. Una parábola, si cortamos con un plano que no pase por el vértice y sea paralelo a una generatriz, α = β. Una hipérbola, si cortamos con un plano que no pase por el vértice y 0 α < β. Matemáticas I. 2Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

3 1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas. 3 Un punto Una recta doble Dos rectas que se cortan Elipse Circunferencia Parábola Hipérbola Definición métrica y elementos notables. Vamos a definir (cada una de) las cónicas como el conjunto de puntos del plano que verifican una determinada propiedad métrica (referida a distancias). Adoptando un sistema de referencia adecuado, obtendremos la ecuación implícita correspondiente y las coordenadas y ecuaciones de los elementos distintivos (centro, ejes,...) que tenga en cada caso. La parábola. Aunque sea una curva plana conocida por el alumno como la gráfica de una función polinómica de segundo grado y = f(x) = ax 2 + bx + c y como la trayectoria descrita por un proyectil, adoptaremos ahora otro punto de vista. Definición. Dada una recta L y un punto F (que no esté en L), se denomina parábola de foco F y directriz L al lugar geométrico de los puntos P (del plano determinado por la directriz y el foco) que equidistan de la directriz L y el foco F, d (P, L) = d(p, F). Ejercicio. Qué sucede si el punto F está en la recta L? Matemáticas I

4 4 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. En la definición considerada no hay ninguna referencia a sistema de coordenadas alguno. En el plano determinado por la recta y el punto dados, vamos a considerar un sistema de referencia adecuado, de forma que la ecuación que caracterice a los puntos de la parábola sea lo más sencilla posible. Como eje O, de la variable independiente, vamos a tomar la recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz L. Como origen del sistema de referencia tomamos el punto O de dicha recta que equidista del foco y de la directriz. Por último, como eje O de nuestro sistema de referencia tomamos la recta que pasa por O y es paralela a la directriz. En este sistema de ejes perpendiculares tendremos que las coordenadas del foco serán de la forma F = ( p, 0) y la ecuación de la directriz será L x = 2 p. U n punto P = (x, y) 2 pertenecerá a la parábola definida si y sólo si d (P, L) = x + p 2 =d (P, F) =Ö(x p 2 )2 + y 2. De aquí es fácil obtener que los puntos (x, y) que están en la parábola están caracterizados por la ecuación y 2 = 2p x p = d (F, L). La recta y = 0 (el eje O) es eje de simetría de la parábola anterior y el vértice (el punto de corte del eje de simetría con la parábola) es el origen de coordenadas O = (x = 0, y = 0). Vértice O directriz x = p 2 P = (x, y) Foco Eje de simetría F = ( p 2, 0) y 2 = 2p x El eje de simetría de una parábola también se suele llamar eje focal. La recta que pasa por el vértice y es perpendicular al eje de simetría se suele llamar eje secundario de la parábola. Una ecuación del tipo x 2 = 2q y define una parábola con eje de simetría el eje O y vértice en el origen de coordenadas. Si cuando hemos obtenido la ecuación de la parábola, y 2 = 2p x, hubieramos adoptado un sistema de ejes paralelo al que hemos adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos una traslación del sistema de coordenadas), en el cual el eje O sea paralelo al eje de simetría de la parábola (dicho eje de simetría tendría como ecuación y = β) y el vértice tuviera como coordenadas (α, β), la ecuación de la parábola en dicho sistema de coordenadas sería de la forma (y β) 2 = 2p (x α). Eje y = β O x = α Vértice (α, β) (y β) 2 = 2p (x α) Ejercicio. Determina el vértice, el eje de simetría, el foco y la directriz de las parábolas (y β) 2 = 2p (x α), (x α) 2 = 2q (y β). Matemáticas I. 4Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

5 1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas. 5 Las ecuaciones anteriores cubren todos los casos en los que el eje de la parábola es paralelo a uno de los ejes coordenados. No estamos todavía en condiciones de estudiar la ecuación de una parábola cuyo eje de simetría no sea paralelo a ninguno de los ejes del sistema de referencia que se considere. Ejercicio. Expresa la ecuación 2y 2 + 4y + 3x + 7 = 0 en la forma (y β) 2 = 2p (x α). Determina el vértice, el foco, la directriz y el eje de simetría de la parábola y haz la representación gráfica. La elipse. Definición. Dados dos puntos F 1 y F 2 (iguales o distintos) y una constante 2a (mayor que la distancia entre los focos), se llama elipse de focos F 1 y F 2 y constante 2a al lugar geométrico de los puntos, P, cuya suma de distancias a F 1 y F 2 es 2a, d (P, F 1 ) + d(p, F 2 ) = 2a. Ejercicio. Qué sucede si 2a es igual a la distancia entre los focos? y si es menor? Qué sucede si F 1 = F 2? Introducimos ahora un sistema de referencia respecto del cual la elipse estará caracterizada por una ecuación lo más simple posible. Tomamos como eje O la recta que une los focos F 1 y F 2 y como eje O la recta perpendicular en el punto medio de los focos, punto que será por tanto el origen de coordenadas del sistema de referencia. Respecto de éste de referencia los focos vendrán dados mediante F 1 = (c, 0) y F 2 = ( c, 0). Un punto P = (x, y) estará en la elipse si y sólo si d(p, F 1 ) + d(p, F 2 ) = (x c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2a. Sin más que hacer operaciones tenemos dejando una raíz cuadrada en cada uno de los miembros de la igualdad, (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad, (x c) 2 + y 2 = 2a (x + c) 2 + y 2 2 desarrollando, (x c) 2 + y 2 = 4a 2 + [(x + c) 2 + y 2 ] 4a (x + c) 2 + y 2 x 2 + c 2 2cx + y 2 = 4a 2 + x 2 + c 2 + 2cx + y 2 4a (x + c) 2 + y 2 Matemáticas I

6 6 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. simplificando y dejando en uno de los miembros de la igualdad sólo la raíz cuadrada 4a (x + c) 2 + y 2 = 4a 2 + 4cx simplificando y elevando al cuadrado cada uno de los dos miembros de la igualdad, desarrollando, a 2ä(x + c) 2 + y 2ç= a 2 + cx 2, a 2 [x 2 + c 2 + 2cx + y 2 ] = a 4 + c 2 x 2 + 2a 2 cx a 2 x 2 + a 2 c 2 + 2a 2 cx + a 2 y 2 = a 4 + c 2 x 2 + 2a 2 cx, simplificando, agrupando términos y despejando, (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 4 a 2 c 2 (a 2 c 2 )x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 c 2 ) denotando b 2 = a 2 c 2 (> 0) y dividiendo ambos miembros de la igualdad por a 2 b 2 tenemos x 2 a 2 + y2 b 2 = 1, siendo b2 = a 2 c 2. P = (x, y) (0, b) a ( a, 0) F 2 = ( c, 0) b O c (a, 0) F 1 = (c, 0) (0, b) x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 Es fácil comprobar que el eje O (la recta que une los focos) y el eje O (la perpendicular en el punto medio de los focos) son ejes de simetría de la elipse y su punto de corte (el origen de coordenadas) es centro de simetría. Notemos que si un punto (x, y) verifica la ecuación de la elipse, los puntos (±x, ±y) : (x, y), (x, y), ( x, y), ( x, y) también verifican dicha ecuación. El eje de simetría que pasa por los focos suele denominarse eje focal. Los puntos en los que los ejes de simetría cortan a la elipse (±a, 0) y (0, ±b) se denominan vértices. También suelen denominarse ejes de la elipse a los dos segmentos que se determinan Matemáticas I. 6Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

7 1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas. 7 por los vértices en cada eje de simetría. Las distancias a > 0 y b > 0 del centro de la elipse a los vértices se denominan semiejes. Notemos que dichos semiejes son la mayor y la menor distancia de un punto de elipse a su centro. Cuando hay un único foco, F 1 = F 2, la definición de elipse corresponde a la circunferencia de centro F 1 = F 2 y radio r = a > 0. En este caso tenemos que 2c = d (F 1, F 2 ) = 0, b 2 = a 2 y la ecuación puede escribirse como x 2 + y 2 = a 2. En este caso cualquier recta que pase por el centro es eje de simetría y de la circunferencia hay un único foco que coincide con el centro y cualquier recta que pase por el centro es eje de simetría. Si tenemos un sistema de referencia respecto del cual el centro de simetría de la elipse tiene por coordenadas (α, β) y sus ejes de simetría son paralelos a los ejes coordenados (con lo cual serán las rectas x = α e y = β) la ecuación de la elipse será de la forma (x α) 2 a 2 + (y β)2 b 2 = 1 Si a = b tendremos una circunferencia y dependiendo de si a > b ó a < b, los focos de la elipse y el semieje mayor de la elipse estará sobre uno de los ejes de simetría o sobre el otro. y = β (α, β) y = β (α, β) a > b a < b O x = α O x = α La hipérbola. Al igual que la parábola, el alumno conoce la hipérbola como representación gráfica de una función explícita y = f(x) = k, k 0. Todas estas hipérbolas son equiláteras y tienen x como asíntotas a los ejes coordenados. Veamos la hipérbola desde otro punto de vista. Definición. Dados dos puntos distintos, F 1 y F 2, y una constante 2a > 0 (menor que la distancia entre los focos), se llama hipérbola de focos F 1 y F 2 y constante 2a al lugar geométrico de los puntos P cuya diferencia de distancias a F 1 y F 2 es 2a, d (P, F 1 ) d (P, F 2 ) = 2a. Ejercicio. Qué sucede si 2a es mayor que la distancia entre los focos? y si es igual? y si 2a = 0? Al igual que en el caso de la elipse, tomamos como sistema de referencia el que tiene como eje O la recta que une los focos y como eje O la perpendicular en el punto medio Matemáticas I

8 8 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. de los focos. En este sistema de referencia las coordenadas de los focos serán de la forma F 1 = (c, 0), F 2 = ( c, 0). Un punto P = (x, y) estará en la hipérbola si y sólo si d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = (x c) 2 + y 2 (x + c) 2 + y 2 =2a. Sin más que hacer operaciones se puede obtener que la anterior ecuación es equivalente a la ecuación x 2 a y2 2 b = 1, 2 b2 = c 2 a 2. Una hipérbola está formada por dos ramas (dos curvas sin puntos en común) que vienen dadas, respectivamente, por los puntos P que verifican d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a y por los que verifican d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a. Es fácil comprobar que el eje O (la recta que une los focos) y el eje O (la perpendicular en el punto medio de los focos) son ejes de simetría de la hipérbola y su punto de corte (el origen de coordenadas) es centro de simetría. Notemos que si un punto (x, y) verifica la ecuación de la hipérbola, los puntos F 2 F 1 (±x, ±y) : (x, y), (x, y), ( x, y), ( x, y) también verifican dicha ecuación. El eje de simetría que pasa por los focos suele denominarse eje focal. Notemos que uno de los ejes de simetría, el que hemos tomado como eje O, no corta a la hipérbola mientras que el otro, la recta que une los focos, corta a la hipérbola en dos puntos (±a, 0) que se denominan vértices. Los valores a > 0 y b > 0 se denominan semiejes de la hipérbola. Otro elemento característico de las hipérbolas son sus asíntotas. Las rectas y = ± b a x2 x que pasan por el centro de la hipérbola a y2 = 1 y tienen pendiente 2 b2 ± b son sus asíntotas. Se dice que la hipérbola es equilátera si sus dos semiejes son iguales a a = b, o lo que es equivalente, si sus asíntotas son perpendiculares entre sí. Asíntotas y = ± b a x Vértices (±a, 0) F 2 b c a F 1 x 2 a 2 y2 b 2 = 1 Centro Ejes de simetría Matemáticas I. 8Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

9 1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas. 9 Ejercicio. Siendo F 1 = (0, c) y F 2 = (0, c), determina la ecuación de la hipérbola formada por los puntos P que verifican d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = 2a. Si cuando hemos obtenido la ecuación de la hipérbola, x2 a y2 = 1, hubieramos adoptado 2 b2 un sistema de ejes paralelo al que hemos adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos una traslación del sistema de coordenadas), en el cual el eje O fuera paralelo a la recta que une los focos (y el eje O fuera la perpendicular en el punto medio de los focos), los ejes de simetría tendrían por ecuaciones respectivas x = α e y = β y la ecuación de la hipérbola sería (x α) 2 a 2 (y β)2 b 2 = 1. y = β Centro (α, β) x = α En el caso de que adoptaramos un sistema de ejes en el que los focos estuvieran sobre una recta paralela al eje O, tendríamos (x α) 2 a 2 (y β)2 b 2 = 1 y = β Centro (α, β) x = α Observación. Qué relación hay entre las gráficas y = k y las hipérbolas? Caundo estudiemos la ecuación de un giro veremos que, si giramos la hipérbola xy = k, con centro en x el origen de coordenadas, un ángulo de φ = π radianes obtenemos la hipérbola de ecuación 4 (x) 2 2k (y)2 2k = 1 que es una hipérbola equilátera con centro el origen de coordenadas y ejes los ejes coordenados. Cuando una hipérbola (equilátera) viene dada por una ecuación del tipo xy = k se dice que la hipérbola está referida a sus asíntotas y cuando viene dada por una ecuación del tipo x 2 a y2 = ±1 se dice que está referida a sus ejes. 2 b2 Matemáticas I

10 10 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas La propiedad focal. Aunque las tres cónicas (no degeneradas) tienen una propiedad focal, la más conocida es la propiedad focal de la parábola. Vamos a enunciar la propiedad focal de cada una de las cónicas en términos geométricos y en términos ópticos. Propiedad focal de la parábola. En cada punto P de la parábola, el ángulo que forma la recta tangente con el segmento PF, que une el punto con el foco, coincide con el ángulo que forma con la recta paralela al eje que pasa por el punto considerado. θ Foco Eje de Simetría Si colocamos una fuente luminosa en el foco de una parábola, los rayos emitidos se reflejan en la parábola en la dirección del eje. viceversa, todos los rayos de luz que incidan en una parábola en la dirección de su eje se reflejan en el foco. Si tenemos la superficie que se obtiene al girar una parábola, esta propiedad permite concentrar en el foco de la parábola todo lo que recibe la superficie (ondas, luz,...) paralelamente al eje. Recíprocamente, permite reflejar paralelamente al eje todo lo que se emite desde el foco. Ejemplos de utilización de esta propiedad son los faros de los automóviles, las antenas parabólicas de TV, los grandes reflectores de los telescopios que se usan en Astronomía, los hornos parabólicos,... Propiedad focal de la elipse. En cada punto P de la elipse, la recta tangente forma ángulos iguales con los segmentos PF 1 y PF 2 que unen el punto con los focos. θ θ F 2 F 1 Matemáticas I. 10Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

11 1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas. 11 Si colocamos una fuente luminosa en uno de los focos de una elipse, los rayos emitidos se reflejan en la elipse y se concentran en el otro foco. Ejercicio: Qué dice la propiedad focal de la circunferencia, si es que tiene sentido plantearse dicha propiedad? Propiedad focal de la hipérbola. En cada punto P de la hipérbola, la recta tangente forma ángulos iguales con los segmentos PF 1 y PF 2 que unen el punto con los focos. F 2 F 1 θ Si tenemos una fuente luminosa situada en uno de los focos de una hipérbola, los rayos de luz se reflejan en (la correspondiente rama de) la hipérbola de forma divergente como si provinieran del otro foco Ecuación reducida de una cónica no girada. En general, una cónica es una curva formada por todos los puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) verifican una ecuación de segundo grado a 11 x 2 + a 22 y 2 + 2a 12 xy + 2a 1 x + 2a 2 y + a 0 = 0. Notemos que una ecuación de este tipo puede describir, junto a las cónicas previamente estudiadas, otro tipo de cónicas que se suelen conocer, unas como cónicas degeneradas y otras como cónicas imaginarias. Los siguientes ejemplos ilustran este tipo de cónicas: una pareja de rectas (que se corten en punto, x 2 y 2 = 0, que sean paralelas x 2 4 = 0 o que sean coincidentes, x 2 = 0), o un único punto, x 2 + y 2 = 0, o nada, x 2 + y = 0. En general, cualquier ecuación de segundo grado, en dos variables (x, y), sin término en xy (a 12 = 0) puede reducirse a uno de los siguientes tipos de ecuación a 2 + b 2 + c = 0, 2 + b = 0, 2 + c = 0 sin más que completar cuadrados. Estas ecuaciones representan a cónicas cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados (las cónicas no están giradas respecto al sistema de referencia considerado). A este tipo de ecuación se le denomina ecuación reducida de la cónica o ecuación de la cónica referida a sus ejes. Cuando el coeficiente de xy es distinto de cero, la ecuación también se puede reducir a uno de los tipos de ecuación anteriores, pero para eso será necesario hacer un giro y esta cuestión tendrá su lugar natural más adelante. Matemáticas I

12 12 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Dado un polinomio de segundo grado (en una o varias variables) en el que no aparecen términos cruzados (xy si tenemos dos variables (x, y), o bien xy, xz e yz si tenemos tres variables (x, y, z),...), completar cuadrados consiste en formar un cuadrado de un binomio a partir de un cuadrado de un monomio y un término de primer grado. Veamos algunos ejemplos de cómo completar cuadrados en un polinomio de segundo grado (en 1, 2,... variables). Ejemplo. La conocida fórmula x = b ± b 2 4ac, 2a de las soluciones de una ecuación de segundo ax 2 + bx + c = 0 (a 0), se obtiene sin más que completar cuadrados en x (esto es posible porque el coeficiente de x es distinto de 0), ax 2 + bx + c = aæx 2 + b a xé+c = aæx b 2a xé+c = a x b 2a x + b 2a 2 b 2a 2 +c = a x b 2a x + b 2a 2 a b 2a 2 + c = aæx + b 2aé2 b2 4a + c. Una vez que hemos completado cuadrados en x, basta manipular la expresión obtenida para obtener la fórmula que nos da las soluciones, aæx + b 2aé2 b2 4a + c = 0 æx + b 2aé2 = 1 aæb 2 4a cé æx + 2aé2 b = b2 4ac x + b 4a 2 2a = ± b2 4ac 4a 2 x = b 2a ± b 2 4ac 4a 2 = b ± b2 4ac. 2a Ejemplo. Consideremos la cónica de ecuación 2x 2 + 3x + y 2 5y 1 = 0 y obtengamos su ecuación reducida. Sin más que completar cuadrados en x y en y tenemos 2x 2 + 3x + y 2 5y 1 = 2 x x +äy 2 5yç 1 = 2 x y = 0 2 x y x y 5 = Por tanto, la ecuación original es equivalente a la ecuación x y = 1 = Matemáticas I. 12Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

13 1.1- Las cónicas. Ecuaciones reducidas. 13 y la cónica es una elipse con centro el punto 3 4, 2 ysemiejes 5 a = y b = Sobre que recta están los focos de la elipse? Cuáles son los ejes de simetría? Calcula los focos y los vértices de la elipse y dibújala Ecuaciones paramétricas. Para describir mediante ecuaciones una curva plana hemos utilizado distintos tipos: R En forma explícita mediante la cual una coordenada está expresada como variable dependiente de la otra que es una variable independiente recorriendo un cierto intervalo (o semirrecta o toda la recta real). Por ejemplo, la igualdad y = 3x 2 define a x como función explícita, y = f(x), de x y la curva está formada por los puntos (x, f(x)) R 2 : x I siendo I un determinado intervalo (finito o infinito) de la recta real. En forma implícita mediante la cual la curva está formada por los puntos cuyas coordenadas verifican una determinada ecuación, F(x, y) = 0, en las dos variables (x, y), llamada ecuación implícita de la curva. Por ejemplo, la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 1 queda determinada por la ecuación x 2 + y 2 = 1. En forma paramétrica mediante la cual las coordenadas, (x, y), de los puntos de la curva vienen definidas como funciones explícitas de una variable independiente t, denominada parámetro, que recorre un determinado intervalo, x = f(t), y = g(t), t I R. El ejemplo más simple nos lo proporcionan las ecuaciones paramétricas de una recta descrita a través de un punto A = (x 0, y 0 ) y un vector director v = (v 1, v 2 ), x = x 0 + tv 1 y = y 0 + tv 2 t R. Si quisieramos obtener un segmento de la recta, bastaría con restringir el recorrido del parámetro t a un cierto intervalo. Por ejemplo, cuando t recorre el intervalo [0, 1] el punto (x, y) dado por la anterior parametrización recorre el segmento de extremos A y A + v. En general, para una misma curva se pueden dar distintas parametrizaciones mediante las cuales se puede recorrer la curva de distintas formas: con distinto sentido, con distinta velocidad (constante o variable), etc. Por ejemplo, para la misma recta anterior, la parametrización x = x 0 λv 1 y = y 0 λv 2 λ R. permite, cuando λ va desde hasta +, recorrer la recta en sentido contrario al dado por el recorrido que se obtiene cuando t va desde hasta + en la primera parametrización Matemáticas I

14 14 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. la parametrización x = x 0 + µ 2 v 1 y = y 0 + µ 2 v 2 µ R. permite, cuando µ va desde hasta +, recorrer dos veces una de las dos semirrectas que parten del punto A, la parametrización x = x 0 + s 3 v 1 y = y 0 + s 3 v 2 µ R. permite, cuando s va desde hasta +, recorrer la recta completa pero con velocidad variable: cuando s recorre, por ejemplo, los intervalos [0, 1] y [3, 4] se obtienen segmentos de recta de distinta longitud, si consideramos unas ecuaciones paramétricas tomando otro punto de la recta y otro vector dirección, la forma de recorrer la recta será distinta. Toda curva plana que venga dada en forma explícita, por ejemplo y = f(x), también está dada en forma implícita, mediante F(x, y) = y f(x) = 0, y en forma paramétrica, mediante x = t, y = f(t). Sin embargo, dada una ecuación implícita, F(x, y) = 0, no siempre es posible despejar una variable en función de la otra (como una única función). Por ejemplo, de la ecuación x 2 + y 2 1 = 0 no es posible despejar ninguna variable en función de la otra. Para describir la circunferencia completa necesitaríamos dos funciones explícitas. De la misma forma, no siempre es posible pasar de las ecuaciones paramétricas a una ecuación explícita o implícita. El estudio de las condiciones bajo las cuales una ecuación implícita, F(x, y) = 0, define a una de las variables como función explícita de la otra, cae dentro del campo de actuación del cálculo diferencial de varias variables. Desde el punto de vista de la representación gráfica de una curva, habitualmente se considera a ésta dada por unas ecuaciones paramétricas (o el caso más simple de una ecuación explícita). En la relación de ejercicios se consideran algunos ejemplos de parametrización de curvas en el espacio. Básicamente, las parametrizaciones se obtienen a partir de levantar una parametrización de una curva en uno de los planos coordenados. Referente a una parametrización de las cónicas no giradas (en el plano) tenemos: Parábola. Es inmediato parametrizar cualquier parábola con ejes paralelos a los coordenados. Según que el eje de simetría sea horizontal o vertical podremos expresar x como función explícita de y o y como función explícita de x. La parábola (y β) 2 = 2p(x α), (p 0), de vértice (α, β) y eje horizontal, define a x como función explícita de y y tenemos la parametrización asociada, (y β) 2 = 2p(x α) = x = α + 1 2p (t β)2, y = t µ( < t < ) Elipse. La elipse de centro (α, β) y semiejes a y b respectivamente, tiene por ecuación (x α) 2 (y β)2 + = 1. a 2 b 2 Matemáticas I. 14Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

15 1.2.-Las cuádricas. 15 Teniendo en cuenta que la circunferencia unidad, = 1, la podemos parametrizar tomando como parámetro el ángulo polar t, = cos(t), = sen(t), t [0, 2π]; podemos parametrizar la elipse dada mediante x α = a cos(t) y β = b sen(t) t [0, 2π]. Si quisiéramos obtener un arco de la circunferencia o de la elipse bastaría con considerar un intervalo apropiado de variación de t. Hipérbola. Para describir mediante ecuaciones paramétricas una hipérbola vamos a considerar por separado cada una de las ramas y vamos a utilizar las funciones hiperbólicas: la función coseno hiperbólico y la función seno hiperbólico dadas por cosh(t) = et + e t, senh(t) = et e t, t R 2 2 que tienen algunas similitudes con las funciones trigonométricas (paridad, derivadas,...) y algunas diferencias significativas (acotación,...). En particular tendremos en cuenta que senh(t) recorre toda la recta real cuando t varía desde a + y que cosh 2 (t) senh 2 (t) = 1. Ejercicio. Obtener la representación gráfica de las funciones hiperbólicas y comprobar la igualdad anterior. La rama derecha de la hipérbola x 2 y 2 = 1 puede obtenerse mediante la parametrización x = cosh(t) y = senh(t) t R. Ejercicio. Obtener una parametrización de la rama izquierda de la hipérbola anterior así como de cada una de las ramas de las hipérbolas (x α) 2 (y β)2 = ±1. a 2 b Las cuádricas. Ecuaciones reducidas La ecuación reducida de una cuádrica no girada. En general, una cuádrica es la superficie formada por todos los puntos del espacio cuyas coordenadas (x, y, z) verifican una ecuación de segundo grado a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 12 xy + 2a 13 xz + 2a 23 yz + 2a 1 x + 2a 2 y + 2a 3 z + a 0 = 0. Matemáticas I

16 16 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. Notemos que una ecuación de este tipo puede describir, además de las superficies que veremos más adelante, las llamadas cuádricas degeneradas: una pareja de planos (que se corten en una recta, que sean paralelos o que sean coincidentes), x 2 y 2 = 0, x 2 4 = 0, x 2 = 0 o una recta, x 2 + y 2 = 0, o un único punto, x 2 + y 2 + z 2 = 0, o nada x 2 + y 2 + z = 0. Cuando en la ecuación de la cuádrica no aparecen términos cruzados, la ecuación puede reducirse, sin más que completar cuadrados y términos lineales, a una ecuación en la que a lo sumo aparece un término en cada variable (y, posiblemente, un término independiente), es decir a uno de los siguientes tipos de ecuación: ax 2 + by 2 + cz 2 + d = 0 ax 2 + by 2 + cz = 0 ax 2 + by + cz = 0 ax 2 + by = 0 ax 2 + c = 0. Dependiendo de los signos de los coeficientes involucrados tendremos superficies con diferentes elementos distintivos (planos, ejes y centros de simetría, vértices, cortes con planos paralelos a los planos coordenados,...). Aunque todavía no estemos en condiciones de abordar el estudio de la ecuación general, la ecuación de cualquier cuádrica se puede reducir a uno de los tipos anteriores que se denomina ecuación reducida de la cuádrica correspondiente. A continuación estudiamos las diferentes cuádricas y sus elementos notables Los elipsoides. Los elipsoides se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos quedan tres términos de segundo grado con coeficientes del mismo signo, es decir la ecuación típica es: 2 a b 2 + Z2 = 1, 0, c 2 1 siendo a, b, c 0. El elipsoide (real). Los elipsoides propiamente dichos se tienen en el caso 2 a b 2 + Z2 c 2 = 1 que es una superficie que es simétrica respecto a cada uno de los planos coordenados. Si un punto (,, Z) pertenece a dicha superficie (sus coordenadas verifican la ecuación), los puntos (,, Z), (,, Z), (,, Z) también pertenecen. Por tanto, dicha superficie también es simétrica respecto a los ejes coordenados (rectas de corte de los planos de simetría) y respecto del origen de coordenadas (punto de corte de los tres planos de simetría). Por otra parte, cuando cortamos dicha superficie con un plano paralelo a alguno de los planos Matemáticas I. 16Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

17 1.2.-Las cuádricas. 17 coordenados, por ejemplo Z = k, obtenemos una elipse para ciertos valores de k, o un punto o nada. La gráfica del elipsoide es la que se ve en la figura adjunta. Z 2 a b 2 + Z2 c 2 = 1 Elementos característicos de un elipsoide son: Centro de simetría, ( = 0, = 0, Z = 0). a c b Planos y Ejes de simetría, los coordenados. Vértices, puntos de corte del elipsoide con sus ejes de simetría con, es decir, los puntos (±a, 0, 0), (0, ±b, 0), (0, 0, ±c). Elipsoide Los semiejes a, b, c, distancias del centro a los vértices. Cuando los tres semiejes del elipsoide son iguales, a = b = c, tenemos una esfera Z 2 = a 2 de centro el origen de coordenadas ( = 0, = 0, Z = 0) y radio r = a. Cuando sólo dos de los semiejes sean iguales (y el otro distinto) tendremos un elipsoide de revolución (ver el epígrafe 3). El caso degenerado y el caso imaginario. Los otros dos casos que pueden aparecer cuando los tres coeficientes de los términos de segundo grado son (no nulos y) del mismo signo corresponden a situaciones geométricas que no se deben llamar elipsoides propiamente dichos. La ecuación 2 a b + Z2 = 0 tiene como única solución real ( = 0, = 0, Z = 0). 2 c2 Es decir, la cuádrica se reduce a un único punto. La ecuación 2 + Z2 = 1 no tiene ninguna solución real, es decir, no representa b 2 c 2 a ninguna superficie del espacio real tridimensional. A veces se denomina elipsoide imaginario. a Los hiperboloides y el cono. Los hiperboloides y el cono se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos quedan tres términos de segundo grado con dos coeficientes del mismo signo (y el otro distinto), es decir la ecuación típica es: 2 a b 2 Z2 = 1, 0, c 2 1 siendo a, b, c 0. El hiperboloide hiperbólico (o de una hoja). Una ecuación del tipo 2 a b Z2 2 c = 1 2 Matemáticas I

18 18 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. corresponde a una superficie denominada hiperboloide hiperbólico o de una hoja. Notemos que al cortar esta superficie con planos Z = k, paralelos al plano O, se obtienen elipses, al cortar con planos = k ó = k, paralelos a los otros dos planos coordenados, se obtienen hipérbolas. Elementos característicos de un hiperboloide de una hoja son su centro y su eje. En el caso considerado, 2 a b 2 Z2 c 2 = 1, el centro es el origen de coordenadas ( = 0, = 0, Z = 0) y el eje es OZ = 0 Z = 0 que es un eje de simetría. Z Hiperboloide hiperbólico 2 a b 2 Z2 c 2 = = 1 a 2 b 2 Z = 0 Al igual que el elipsoide, el hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los planos y ejes coordenados. Si un punto (,, Z) verifica la ecuación, los puntos (±, ±, ±Z) también verifican dicha ecuación. Los cortes con los planos coordenados son con Z = 0, la elipse (llamada elipse de garganta) 2 a b 2 = 1. con = 0, la hipérbola 2 a 2 Z2 c 2 = 1. con = 0, la hipérbola 2 b 2 Z2 c 2 = 1. El hiperboloide de una hoja tiene una particularidad que resulta sorprendente (desde un punto de vista intuitivo), esta particularidad es el ser una superficie reglada. Se dice que una superficie es reglada si por cada uno de sus puntos pasa una recta totalmente contenida en la superficie (es decir, puede considerarse formada por rectas). Por cada punto de un hiperboloide de una hoja pasan dos rectas totalmente contenidas en la superficie. Se puede comprobar que si tenemos un punto, A = (x 0, y 0, z 0 ), del hiperboloide de una hoja de ecuación x 2 +y 2 = 1+z 2, las rectas que pasan por A y tienen como vectores dirección respectivos =¾ x 0 z 0 + y 0 =¾ x0z0 y0 u y 0 z 0 0 y x 0 v y 0 z 0 + x z 2 están totalmente contenidas en el hiperboloide de una hoja. Para un hiperboloide de una hoja de ecuación 2 a b 2 Z2 c 2 = z 2 0 Matemáticas I. 18Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

19 1.2.-Las cuádricas. 19 basta hacer el cambio de variables x = a, y = b, z = Z c para obtener las rectas contenidas en el hiperboloide y que pasan por uno de sus puntos. El hiperboloide elíptico (o de dos hojas). Una ecuación del tipo 2 a b Z2 = 1 corresponde a una superficie denominada 2 c2 hiperboloide elíptico o de dos hojas. Notemos que al cortar esta superficie con planos Z = k, paralelos al plano O, se obtienen elipses (o un punto o nada) 2 a b 2 = k2 c 2 1. = k, paralelos al plano O Z, se obtienen hipérbolas 2 b Z2 k2 = 1 2 c2 a. 2 = k, paralelos al plano OZ, se obtienen hipérbolas 2 a Z2 k2 = 1 2 c2 b. 2 Elementos característicos de un hiperboloide de una hoja son su centro y su eje. En el caso considerado, Z 2 a b 2 Z2 c 2 = 1. el centro es el origen de coordenadas ( = 0, = 0, Z = 0) y el eje es el eje OZ = 0 = 0. Obviamente, teniendo en cuenta la ecuación considerada, el hiperboloide de dos hojas es simétrico respecto a los planos y ejes coordenados. Hiperboloide elíptico Z2 = 1 a 2 b 2 c 2 El cono. Una ecuación del tipo 2 a b Z2 = 0 corresponde a una superficie denominada cono. 2 c2 Se puede considerar como un caso límite de los dos tipos de hiperboloides que acabamos de ver. Sin más que despejar, podemos escribir la ecuación anterior de la forma Z 2 = 2 A B2, A, B 0. Notemos que al cortar esta superficie con planos Z = k paralelos al plano O se obtienen elipses (salvo en el caso k = 0 que obtenemos un único punto) y al cortar con planos paralelos Matemáticas I

20 20 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. a los otros dos planos coordenados se obtienen hipérbolas. Además, al cortar con planos que pasan por el origen de coordenadas pueden obtenerse: una pareja de rectas que se cortan, una recta doble o un único punto. Elementos característicos de un cono son su vértice, en los casos considerados es el origen de coordenadas (0, 0, 0), y su eje, que en los casos considerados es el eje OZ = 0 =. Cuáles son el eje y el vértice del cono de ecuación (x 3) 2 = 2 (y + 1) 2 + z 2? Z O Cono Z 2 = A 2 B 2 Notemos que un cono es una superficie que puede ser descrita fácilmente mediante rectas. Si tenemos una elipse en el espacio y un punto V que no está en el plano de la elipse, la superficie formada por (todos los puntos de) las rectas que pasan por V y por un punto de la elipse es un cono con vértice V Los paraboloides. Los paraboloides se obtienen cuando en la ecuación reducida aparecen dos términos de segundo grado y un término de primer grado. Es decir, dos de las variables aparecen elevadas al cuadrado y la otra aparece con exponente uno. Para fijar ideas, supongamos que la variable en la que no aparece ningún término de segundo grado es Z. En este caso, la ecuación se podrá expresar de una de las dos formas siguientes: Z = ± 2 a El paraboloide elíptico. Una ecuación del tipo b 2 ó Z = ± 2 Z = ± 2 a a 2 2 b 2 con a, b 0. b 2, a, b 0 corresponde a una superficie denominada paraboloide elíptico. Notemos que al cortar con planos paralelos a los planos coordenados, por ejemplo la superficie correspondiente al signo + en el segundo miembro, obtenemos: con = k, las parábolas dadas por Z k2 a 2 = 2 b 2 (en el plano = k). con = k, las parábolas dadas por Z k2 b 2 = 2 a 2 (en el plano = k). con Z = k, las elipses (o un punto o nada) dadas por 2 a b 2 = k (en el plano Z = k). Matemáticas I. 20Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

21 1.2.-Las cuádricas. 21 Elementos caraterísticos de un paraboloide elíptico son su vértice y su eje de simetría, en el caso considerado, Z = 2 a b, 2 el vértice es el origen de coordenadas Z ( = 0, = 0, Z = 0) = 0 y el eje es el eje OZ x. Por otra parte, la O y = 0 superficie es simétrica respecto a dos de los planos Z 2 = 2 a b 2 coordenados, O Z = 0 y OZ = 0. Paraboloide elíptico Z Paraboloide elíptico Si hubieramos considerado la ecuación Z = 2 a b O tendríamos una superficie de la misma forma pero abierta hacia los valores negativos de Z. 2 Z = a 2 b El paraboloide hiperbólico. Una ecuación del tipo Z = 2 a b 2, a, b 0 corresponde a una superficie, denominada paraboloide hiperbólico, que se asemeja a una silla de montar y a veces recibe ese nombre. Al cortar con planos paralelos a los planos coordenados obtenemos: con = k, las parábolas dadas por Z + k2 a = 2 (en el plano = k). 2 b2 con = k, las parábolas dadas por 2 b 2 = Z + k2 b 2 (en el plano = k). con Z = k, para k 0 las hipérbolas dadas por 2 a + 2 = k (en el plano Z = k) 2 b2 y para k = 0 las asíntotas comunes de (la proyección sobre el plano Z = 0 de) todas las hipérbolas anteriores. Matemáticas I

22 22 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. O Z Z = 2 a b 2 Paraboloide hiperbólico El paraboloide hiperbólico considerado es simétrico respecto a dos de los planos coordenados, respecto al plano OZ = 0 y respecto al plano O Z = 0. Por tanto, es simétrico respecto al eje coordenado intersección de los planos anteriores, el eje OZ = 0 puesto que si un punto de coordenadas (,, Z) verifica la ecuación, = 0 el punto de coordenadas (,, Z) también la verfica. Notemos además que el paraboloide hiperbólico también es una superficie reglada. De hecho, por cada uno de sus puntos pasan dos rectas totalmente contenidas en él. Se puede comprobar que si tenemos un punto A = (x 0, y 0, z 0 ) del paraboloide hiperbólico de ecuación z = x2 a + y2 2 b 2 las rectas que pasan por dicho punto y tienen como vectores dirección respectivos u = (a 2 b, ab 2, 2(ay 0 bx 0 )) y v = ( a 2 b, ab 2, 2(ay 0 + bx 0 )) están totalmente contenidas en el paraboloide hiperbólico Los cilindros y las cuádricas degeneradas. Las cuádricas de tipo cilíndrico corresponden a los casos restantes, es decir, cuando en la ecuación reducida en los que en la ecuación reducida no aparece alguna de las variables. Las posibles ecuaciones típicas son: Tipo elíptico: dos cuadrados del mismo signo y la otra variable no aparece, 2 a + 2 = b 2 1 Cilindro elíptico: 2 a b 2 = 1. Recta (doble): 2 a b 2 = 0 = = 0. Cilindro elíptico imaginario (Nada): 2 = 1. No hay ningún punto de R 3 b 2 cuyas coordenadas verifiquen la ecuación anterior. a Tipo hiperbólico: dos cuadrados de distinto signo y la otra variable no aparece, 2 a 2 = ±1 2 b 2 0 Cilindro hiperbólico: 2 a 2 2 b 2 = ±1. Matemáticas I. 22Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

23 1.2.-Las cuádricas. 23 Par de planos secantes: 2 a 2 2 b 2 = 0 a b = 0, ó a + b = 0. Tipo parabólico: Un único cuadrado 2 = a + bz + c Cilindro parabólico: a ó b distintos de cero. Por ejemplo 2 = 2pZ, p 0. Par de planos paralelos: 2 = c > 0 = ± c. Plano doble: 2 = 0. Nada: 2 = c < 0. Z Z Z 2 a b = 1 2 Cilindro Elíptico 2 = 2pZ Cilindro parabólico 2 a 2 2 b 2 = 1 Cilindro hiperbólico De forma genérica, todos los casos en los que la ecuación de segundo grado representa planos (secantes, paralelos o coincidendes), rectas, puntos o nada se suelen denominar casos degenerados. Obviamente, todos los cilindros (y los casos degenerados en los que hay superficie) son superficies regladas. Nota. Páginas web sobre cónicas, cuádricas y otras curvas y superficies: En alguna de ellas, como por ejemplo pueden verse en movimiento las cuádricas y otras superficies (poliedros, superficies de revolución,...) y pueden modificarse los parámetros en el applet asociado (subprograma que genera la superficie) para comprobar cómo afectan a la representación gráfica los cambios en los coeficientes de las variables. Matemáticas I

24 24 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas. A modo de resumén en lo que a cuádricas se refiere: Completando cuadrados, con cambios de variables de la forma = x α, = y β, Z = z γ, podemos reducir una ecuación de segundo grado en tres variables, (x, y, z), en la que no aparezcan productos cruzados (xy, xz, yz), a una ecuación de los tipos considerados al inicio, es decir a una ecuación en la que a lo sumo hay un sumando en cada una de las variables (,, Z). Las cuádricas regladas son: el cono, el hiperboloide de una hoja, el paraboloide hiperbólico y los cilindros además de los pares de planos y la recta (doble). Una ecuación de segundo grado en tres variables puede representar: Pares de planos,... Nada Punto Recta doble Par de planos x = 0 x 2 + y 2 + z 2 = 0 x 2 + y 2 = 0 Cilindros Z Z Secantes, (x 3)(y 2) = 0. Paralelos, (x 3)(x 4) = 0. Coincidentes, (x 3) 2 = 0. Z x 2 a + y2 2 b = 1 2 Cilindro elíptico y 2 = 2p z Cilindro parabólico y 2 a 2 x2 b 2 = 1 Cilindro hiperbólico Matemáticas I. 24Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

25 1.2.-Las cuádricas. 25 Z x 2 a Z c Z b a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. Elipsoide Secciones con planos paralelos a los coordenados: Elipses. Simetría respecto a los planos y ejes coordenados. Centro (de simetría): Origen de coordenadas. Es de revolución si dos de los coeficientes a,b y c son iguales. Es una esfera si a = b = c. x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 Hiperboloide hiperbólico (o de una hoja) Eje del hiperboloide: variable con coeficiente negativo. Secciones con planos paralelos al plano : elipses Secciones con planos paralelos al plano Z ó Z: hipérbolas Simetría respecto a los ejes y los planos coordenados. Centro: Origen de coordenadas. Es de revolución si a = b. x 2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 = 1 Hiperboloide elíptico (o de dos hojas) Eje del hiperboloide: variable con coeficiente positivo. No hay corte con el plano coordenado perpendicular al eje. Secciones con planos paralelos al plano ó Z: hipérbolas. Secciones con planos paralelos al Z: elipses (o un punto o nada). Simetría respecto a los ejes y los planos coordenados. Centro: Origen de coordenadas. Z z 2 = x2 a 2 + y2 b 2 Cono Eje del cono: OZ. Vértice: O. Secciones con planos paralelos al plano : elipses (o un punto). Secciones con planos paralelos al plano Z ó Z: hipérbolas. Simetría: respecto a los planos y ejes coordenados. Centro (de simetría): Origen de coordenadas. Es de revolución si a = b. Z O Z z = x2 a 2 + y2 b 2 Paraboloide elíptico Eje del paraboloide: OZ variable que aparece con grado uno. Vértice: Origen de coordenadas. Secciones con planos paralelos al : elipses (o un punto o nada). Secciones con planos paralelos al plano Z ó Z: parábolas. Simetría respecto a los planos Z e Z y al eje OZ. z = x2 a 2 + y2 b 2 Paraboloide hiperbólico Eje de simetría: OZ. Simetría respecto a los planos Z e Z. Secciones con planos paralelos al : hipérbolas (o dos rectas). Secciones con planos paralelos al plano Z ó Z: parábolas. Matemáticas I

26 26 Tema 1.- Cónicas y Cuádricas Ejercicios. Ejercicio 1. (1) Calcula la ecuación de la parábola de eje horizontal que tiene por foco F = ( 2, 3) y pasa por el punto ( 1, 3). (2) Calcula la ecuación de la elipse que pasa por el punto P = (4, 15 ) y tiene por focos los 4 puntos F 1 = (4, 2) y F 2 = ( 2, 2). Determina sus elementos notables y dibújala. (3) Calcula la ecuación de la hipérbola que tiene por vértices los puntos (1, 2) y (1, 6) y pasa por el punto (3, 8). Ejercicio 2. Indica la respuesta correcta: (1) La ecuación y 2 6x 4y 20 = 0 corresponde a: Una parábola cuyo vértice es V = ( 4, 2). Una parábola cuyo eje es la recta de ecuación y = 4. Dos rectas que se cortan en un punto. (2) La ecuación 5x 2 + y 2 = 1 corresponde a: Una elipse con focos en el eje de abscisas. Una elipse con focos en el eje de ordenadas. Una hipérbola. (3) La cuádrica x 2 y 2 + z 2 + 4y + 6z + 13 = 0 verifica: Tiene por centro C = (0, 2, 3). Contiene a la recta x 1 = y 2, z = 4. No tiene centro. Ejercicio 3. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de cónica que es, sus elementos notables y su representación gráfica: (1) 3x 2 + 3y 2 + x + 5y + 1 = 0. (2) 3x 2 3y 2 + x + 5y + 1 = 0. (3) 3y 2 + x + 5y + 1 = 0. Ejercicio 4. Determina, según los valores de α R, el tipo de cónica que corresponde a cada una de las ecuaciones siguientes: (1) 2x 2 + (α 2 1)y 2 2x + (α 1)y 3 = 0. (2) x 2 + αy 2 + x + 2y + α 1 = 0. (3) αx 2 + (α 2 α)y 2 2x 4y + 2 = 0. Matemáticas I. 26Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

27 1.3.- Ejercicios. 27 Ejercicio 5. Determina, si existen, los valores de α R para los que la siguiente ecuación corresponde a una circunferencia o a una hipérbola equilátera 2x 2 + αy 2 6x + 3y + α = 0. Ejercicio 6. Sea L una recta del plano y F un punto que no está en la recta. Tomando como eje O la recta L y como eje O la recta perpendicular a L que pasa por F, determina la ecuación del lugar geométrico de los puntos P para los que el cociente entre su distancia a F y su distancia a L es constante e > 0, Comprueba que: d (P, F) d (P, L) = e. (a) Si e = 1 dicho lugar geométrico es una parábola. (b) Si 0 < e < 1 dicho lugar geométrico es una elipse. (c) Si e > 1 dicho lugar geométrico es una hipérbola. En cualquiera de los casos se trata de una cónica y se dice que e es su excentricidad y que L y F son su directriz y su foco respectivamente. En el caso de la parábola, la directriz y el foco son únicos. Para la elipse y la hipérbola hay dos parejas foco-directriz. Observación. Notemos que con la definición anterior nunca se obtiene una circunferencia, aunque ésta pueda obtenerse como un caso límite. Siendo p = d(f,l) la distancia del foco a la directriz, tomando q = pe constante, cuando e 0 + (y p = q e + ) las elipses correpondientes tienden a la circunferencia con centro el foco y radio q. Ejercicio 7. Determinar en coordenadas cartesianas (x, y) la ecuación de la cónica que en coordenadas polares (r, θ) viene dada por r = p 1 + e cos(θ). Determina, en función de e, el tipo de cónica que se obtiene y sus elementos notables. Ejercicio 8. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de cuádrica que es, sus elementos notables y su representación gráfica: (1) x 2 + 3y 2 + z 2 + 2x + 5y 2z + 1 = 0. (2) 3x 2 + y 2 z 2 + x + 2y + 2z + 1 = 0. (3) x 2 + y 2 + x + 4y + 3z 1 = 0. (4) x 2 + y 2 + x + 4y z 2 1 = 0. (5) x 2 + y 2 + x + 4y 1 = 0. Matemáticas I