Ecuaciones Diferenciales

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES Ecuaciones Diferenciales 1

2 ECUACIONES DIFERENCIALES Una ecuación diferencial contiene una función desconocida y algunas de sus derivadas. He aquí algunos ejemplos: (1) y ' = xy () y' ' + y' + y = 0 (3) d 3 y d y + + y = e x En cada una de las ecuaciones diferenciales anteriores, y es una función desconocida de x.

3 La importancia de las ecuaciones diferenciales se debe a que cuando alguien formula una ley física en términos matemáticos, muchas veces esta formulación adopta la forma de una ecuación diferencial. El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de orden mayor que se encuentra en la ecuación. Así las ecuaciones (1), () y (3), son de primer, segundo y tercer orden ( o 1, y 3 ), respectivamente. Una función, f, se llama solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface cuando y = f( y sus derivadas se sustituyen en la ecuación. Así, f es una solución de la ecuación (1) si f ( = xf( para todos los valores de x en un intervalo. 3

4 Podemos comprobar con facilidad que tanto f( = sen( como g( = cos ( son soluciones de la ecuación diferencial, (4) y + y = 0 Pero cuando se nos pide resolver una ecuación diferencial, se espera que hallemos todas sus soluciones posibles. Se puede demostrar que cualquier solución de la ecuación (4) tiene la forma (5) y = A sen ( + B cos ( en la cual A y B son constantes. Por lo anterior, la ecuación (5) se denomina solución general de la ecuación diferencial, y las soluciones particulares se obtienen sustituyendo en ella los valores de las constantes arbitrarias A y B. 4

5 Ejercicio: Verifique que y = e x (x + C ) es una solución de + y = e x Ejercicio: Verifique que ( x C es una 1) + y = C solución de d y y = y hallar la solución particular si y=3, y`=-4/3 cuando x=5 0 5 Ejercicio: Demostrar que 4 y = + C 1 x + Cx es una 3x solución de x d y 5x + 5y = 1 x 1 5

6 Cómo resolver una ecuación diferencial? Las ecuaciones diferenciales mas simples son de la forma y`=f( y para resolverlas sólo integramos, es decir; y = f ( Pero, por lo general, resolver una ecuación diferencial no es tan sencillo. No hay una técnica sistemática que nos permita resolverlas todas. 6

7 Ecuaciones separables Una ecuación separable, o de variables separables, es una ecuación diferencial de primer orden que se puede expresar en la forma = g( f ( y) El nombre separable se debe al hecho de que la expresión del lado derecho se puede separar en una función de x y una función de y. La expresión que sigue equivale a la anterior (6) g( = h( y) Que reformulamos en términos de diferenciales para resolverla h ( y) = g( De modo que todas las y queden de un lado de la ecuación y todas las x del otro. 7

8 A continuación integramos ambos lados: (7) h ( y) = g( Ejercicio: Resuelva las ecuaciones diferenciales x y' + y = 0 x + senx = 3y ( 1+ x ) + xy = 0 y - (1- = 0 = ln x xy + xy 3 du u+ t dt = e 8

9 OBS: En muchos problemas necesitamos determinar la solución particular que satisfaga una condición de la forma y(x 0 )= y 0. Esto se llama condición inicial y el problema de hallar una solución de la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial es un problema de valor inicial Ejercicio: Resuelva el problema de valor inicial y grafique la solución. x y y' = e, y(0) = 1 Ejercicio: Encuentre la solución de la ecuación diferencial que satisfaga la condición inicial dada 3x e y y' =, y() = 0 x + y x + 1 = 0, y(0) = 1 1+ y, 9

10 Problema:El valor de reventa de una máquina industrial decrece durante un período de 10 años a razón de la edad de la máquina. Cuando la máquina tiene x años, la razón a la cual cambia su valor es 0(x 10) dólares al año. Exprese el valor de la máquina como función de la edad y el valor inicial. Si la máquina costaba originalmente $1.000, cuánto costará cuando tenga 10 años? Problema: Un tanque contiene 1000 lts de agua pura. A él entra una salmuera que contiene 0,05 kg de sal por litro, a un flujo de 5 lt/min. También entra salmuera a 0,04 kg de sal por litro, con un flujo de 10 lt/min. La solución se mantiene bien mezclada y sale a un flujo de 15 lt/min. Cuánta sal queda en el tanque a) a los t minutos b) después de una hora? 10

11 Problema: La relación entre la utilidad neta P y el gasto de propaganda x es tal que la tasa de incremento de la utilidad neta, a medida que crece el gasto de propaganda es proporcional a la diferencia entre una constante y la utilidad neta. Hallar la relación entre la utilidad neta y el gasto de propaganda si P=Po cuando x=xo. Grafique. Crecimiento logístico; Si formulamos la hipótesis de que la rapidez de crecimiento de la población es proporcional al tamaño de la población, y, y a la cantidad por la cual y es menor que el tamaño máximo, M-y, podemos formular la ecuación dt = ky( M y) en que k es una constante 11

12 La expresión anterior se llama ecuación logística diferencial. ( la empleó el biólogo matemático holandés Verhulst, para modelar el crecimiento demográfico mundial) La ecuación logística es separable y la escribiremos de la forma = kdt y( M y) Si la población es y(0)=yo cuando el tiempo es t=0, obtenemos y0m y = kmt y + ( M y0 ) e 0 1

13 Problema: Suponga que el precio p(t) de cierto artículo varía de tal forma que su razón de cambio respecto al tiempo es proporcional a D S, donde D(p) y S(p) son las funciones de oferta y demanda lineales D(p) = 8 p y S(p) = + p. a) Si el precio es $5 cuando t=0 y $3 cuando t=, halle p(t). b) Determine qué ocurre a p(t) a largo plazo ( cuando t tiende a infinito) 13

14 Ecuaciones diferenciales homogéneas Una ecuación diferencial de la forma M (x,y)+n(x,y)=0 se dice homogénea si M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas de un mismo grado en x e y. OBS: F(x,y) es una función homogénea de grado n en x e y ssi; F(kx,ky)=k n F(x,y) donde k es una constante cualquiera. Cuando una ecuación diferencial es homogénea, sus variables pueden separarse por la sustitución y=vx = v + x dv 14

15 O en forma equivalente, por la sustitución x=vy = v + y dv Entonces las ecuaciones diferenciales resultantes pueden escribirse, respectivamente en la forma M(+N(v)dv=0 o en la forma M(v)dv+N(y)=0 y resolverse por los métodos usuales de integración. La solución general de la ecuación original se obtiene entonces sustituyendo, respectivamente v=y/x o v=x/y en la solución de la ecuación diferencial separable. 15

16 Ejercicio: Resuelva las ecuaciones diferenciales ( x + y) + ( x y) = 0 ( ) y xy + x = 0 sen x cos y + cos x = 0 x 3 y 3 + 3xy = 0 16

17 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden + yp( = Q( La ecuación cuyo miembro de la izquierda es lineal tanto en la variable dependiente como en su derivada se llama una ecuación lineal de primer orden. Si multiplicamos la ecuación anterior por el factor integrante P( e la ecuación resultante e P( P x + yp x e ( ) ( ) = Q( e P( 17

18 puede integrarse para obtener ye P( P x = e ( ) Q( + C Por lo tanto la ecuación + yp( = Q( Tiene como solución y = P( e e P( Q( + C 18

19 Del mismo modo, la ecuación + xp( y) = Q( y) Tiene como factor integrante P( y) e Y su solución es x = P( y) e e P( y) Q( y) Ejercicio: Resuelva las ecuaciones diferenciales x + ( y xy x ) = 0 + C y ln y + ( x ln y) = 0 19

20 Ejercicio: Resuelva la ecuación diferencial + y c tg x = 5e cos x Hallar la solución particular, dadas las condiciones iniciales x = π y = -4 Problema: Una empresa manufacturera ha encontrado que el costo c de operar y mantener su equipo está relacionado con la longitud x del intervalo entre las revisiones por la ecuación dc ( b 1) c = x ba x donde a y b son constantes. Hallar c como función de x si c = c 0,cuando x=x 0 0

21 Campos de pendientes y curvas solución Para analizar el posible comportamiento de las soluciones de una ecuación diferencial de la forma / =f(x,y), podemos pensar la ecuación diferencial de una manera muy geométrica: en varios puntos (x,y) del plano xy, el valor de f(x,y) determina una pendiente /. Una solución de esta ecuación diferencial es una función diferenciable cuya gráfica tiene pendiente /=f(x,y) en cada punto (x,y). En ocasiones, la gráfica de una solución de una ecuación diferencial se llama curva solución de la ecuación.en términos geométricos, una curva solución de /=f(x,y) es una curva en el plano cuya recta tangente en cada punto (x,y) tiene pendiente m=f(x,y). 1

22 Suponga que trazamos un pequeño segmento de recta con pendiente m=f(x,y) por cada punto de una colección representativa de puntos (x,y) en el plano xy. El conjunto de todos estos segmentos de rectas es un campo de pendientes o campo de direcciones, para la ecuación /=f(x,y). Podemos intentar bosquejar una curva solución que se desplace por el campo de pendientes de modo que la curva sea tangente a cada uno de los pequeños segmentos de recta que intersecta

23 Ejemplo: La figura muestra un campo de pendientes y las curvas solución típicas para la ecuación diferencial = xy 3

24 Los segmentos de recta indican la dirección que sigue la gráfica de la solución, de modo que el campo direccional ayuda a visualizar la forma general de esas curvas. Ejercicio: a) Trace el campo direccional de la ecuaciones diferenciales y' = x y y ' = xy + b) Considere el resultado anterior para trazar tres curvas de solución. y 4