Ecuaciones diferenciales

Transcripción

1 Ecuaciones diferenciales 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

2 Contenidos 1 Introducción Definición de solución general y solución particular 6 Solución de una ecuación con 2 miembro dependiente sólo de t 7 8 9

3 Índice 1 Introducción Definición de solución general y solución particular 6 Solución de una ecuación con 2 miembro dependiente sólo de t 7 8 9

4 Introducción En el modelo más simple de crecimiento de poblaciones, la velocidad de crecimiento en cualquier instante es proporcional al tamño de la población en dicho instante. Si N(t) es el tamaño de la población en el instante t,t 0, entonces podemos expresar matemáticamente esta relación como dn dt = rn(t),t 0 Como mencionamos en el tema anterior, este tipo de ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales. Dichas ecuaciones aparecen frecuentemente en el modelado de procesos biológicos.

5 Introducción En este tema consideraremos ecuaciones del tipo dx = f(x)g(y) Esta ecuación diferencial es de primer orden, ya que solo aparece una derivada. Más específicamente, este tipo de ecuaciones se denomina de variables separadas, por motivos que veremos más adelante. Este tipo de ecuaciones se dividen en dos tipos: dx = f(x) dx = f(y) Las segundas se usanjuan frecuentemente Ruiz Álvarez Matemáticas en modelos (Grado en biológicos. Biología)

6 Índice 1 Introducción Definición de solución general y solución particular 6 Solución de una ecuación con 2 miembro dependiente sólo de t 7 8 9

7 Forma estandar de una ecuación diferencial dt = f(t,y) Solución de una ecuación diferencial La solución de una ecuación diferencial será una función que sustituida en la variable dependiente, satisface la igualdad para todos los valores de la variable independiente.

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9 Tal y como se mencionó en el tema anterior, un problema de valor inicial viene dado por una ecuación diferencial y un valor inicial para la variable dependiente (por ejemplo en t = t 0 ): Ejemplo: = f(t,y) dt y(t 0 ) = y 0 y = t 3 2sin(t) y(0) = 3 Solución: y(t) = t4 4 +2cos(t)+c

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11 Volvamos al modelo de crecimiento de la introducción: dn dt = rn(t),t 0 Una posible solución de esta ecuación es: N(t) = N 0 e rt,t 0 Para comprobarlo, podemos derivar N(t): dn dt = rn 0e rt = rn(t),t 0 Vemos que en cualquier punto (t,n(t)) de la gráfica de N(t), la pendiente es igual a rn(t).

12 Una ecuación de primer orden indica el comportamiento de la derivada de la función. Por lo tanto, para encontrar la solución de dicha ecuación, tendremos que integrar. Como no siempre es posible integrar una función, no siempre es posible obtener anaĺıticamente en forma expĺıcita la solución de una ecuación diferencial.

13 Definición de solución general y solución particular Índice 1 Introducción Definición de solución general y solución particular 6 Solución de una ecuación con 2 miembro dependiente sólo de t 7 8 9

14 Definición de solución general y solución particular Comentaremos ahora un método general para resolver ecuaciones de la forma dx = f(x)g(y) 1 Dividimos ambos miembros por g(y) (suponiendo que g(y) 0): 1 g(y) dx = f(x) 2 Separamos las variables de forma que cada una quede en un miembro de la ecuación. Para ello tratamos dx y como si fueran variables normales. Una vez hecho esto, integramos : 1 g(y) = f(x)dx

15 Definición de solución general y solución particular Ejemplos Ejemplos de ecuaciones separables: dt = f(t) dt = f(y) (Ecuación autónoma). dt = t+1 ty+t Ejemplo de ecuación no separable: dt = xy +1

16 Definición de solución general y solución particular Solución general Es la solución de la ecuación diferencial cuando no nos proporcionan un valor inicial con el que despejar las constantes de integración. dt = f(t), y(t) = f(t)dt +C

17 Definición de solución general y solución particular Solución particular Es la solución del problema de valor inicial. = f(t) (1) dt y(t 0 ) = = y 0 (2) y(t) = t t 0 f(t)dt +y 0 (3) Ejemplo: dt = 1 t +e t, y(0) = 1

18 Solución de unaecuación con2 miembro dependiente sólode t Índice 1 Introducción Definición de solución general y solución particular 6 Solución de una ecuación con 2 miembro dependiente sólo de t 7 8 9

19 Solución de unaecuación con2 miembro dependiente sólode t En muchas aplicaciones, la variable independiente representa el tiempo. Si la velocidad de variación de una función depende sólo del tiempo, la ecuación diferencial resultante se denomina ecuación diferencial puramente temporal. Dicha ecuación es de la forma, dx = f(x),x I Siendo I un intervalo y x el tiempo. Según se vió en el tema anterior, y(x) y(x 0 ) = x x f(u)du y(x) = f(u)du +y(x 0 ) x 0 x 0

20 Solución de unaecuación con2 miembro dependiente sólode t Ejemplo: Suponga que el volumen V(t) de una célula en el instante t varía de acuerdo con Calcule V(t). dv dt = sin(t),con V(0) = 3.

21 Índice 1 Introducción Definición de solución general y solución particular 6 Solución de una ecuación con 2 miembro dependiente sólo de t 7 8 9

22 Muchas de las ecuaciones que modelan situaciones biológicas son de la forma, dx = g(y) Donde el miembro izquierdo no depende expĺıcitamente de x. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales autónomas. Podemos resolverlas por separación de variables: g(y) = dx

23 Estudiaremos dos casos: 1 g(y) = k(y a). Ejemplo de este caso es el modelo de crecimento dn dt = rn(t) (modelo Maltusiano). 2 g(y) = k(y a)(y b). Ejemplo de este caso es la ecuación logística dn dt = rn(1 N k ), con N(0) = N 0.

24 g(y) = k(y a) dx = k(y a) y a = kdx y = Ce kx +a Si conocemos el punto (x 0,y 0 ) de la solución, entonces podemos despejar C. Para obtener este resultado, hemos dividido por (y a). Esto solo se puede hacer si y a. Si y = a, entonces dx = 0 y la función constante y = a es la solución.

25 g(y) = k(y a)(y b) = k(y a)(y b) dx (y a)(y b) = Aquí se presentan dos posibilidades 1 Si a = b, (y a) 2 = kdx 2 Si a b, descomponemos en fraciones simples: kdx (y a)(y b) = A ( (y a) + B (y b) ) = kdx

26 Índice 1 Introducción Definición de solución general y solución particular 6 Solución de una ecuación con 2 miembro dependiente sólo de t 7 8 9

27 En el modelo Maltusiano, la velocidad de crecimiento de la población es proporcional al tamaño de la poblaciń: dn dt = rn Con N(0) = N 0 y siendo r una constante positiva.

28 Índice 1 Introducción Definición de solución general y solución particular 6 Solución de una ecuación con 2 miembro dependiente sólo de t 7 8 9

29 Ecuación Logística La ecuación logística describe la variación del tamaño de una población en la que el crecimiento per capita es dependiente de la densidad: ( dn dt = rn 1 N ) K Con N(0) = N 0 y siendo r y K constantes positivas.

30 Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. Pearson- Prentice Hall.