UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. CLAVE V _sM

Transcripción

1 Universidad de San Carlos PRIMER PARCIAL Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería MATEMATICA INTERMEDIA 3 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE-4--V _sM CURSO: Matemática Intermedia 3 SEMESTRE: Primero CÓDIGO DEL CURSO: 4 TIPO DE EXAMEN: RESOLVIÓ EL EXAMEN: DIGITALIZÓ EL EXAMEN: REVISÓ EXAMEN: COORDINADOR: Primer Examen Parcial Albert Miguel Chuy Albert Miguel Chuy Ing. Francisco García Ing. José Alfredo González Díaz

2 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Cat.: Ing. Francisco García Jornada Vespertina Matemática Intermedia 3 M er. Semestre 08 Aux.: Albert Chuy Primer Examen Parcial INSTRUCCIONES: No se permite el uso de teléfono o dispositivos electrónica durante el examen. Deje constancia de todo su procedimiento. Respuestas sin procedimiento no tendrán validez. Para tener derecho a revisión sus respuestas deben estar escritas con lapicero. TEMA No. (0 puntos) Escriba las condiciones que debe cumplir una E.D. para ser lineal. TEMA No. (0 puntos) Verifique si la solución particular y = x e x es una solución de la Ecuación Diferencial y y + y = e x. TEMA No. 3 (0 puntos) y = /( + Ce x ) representa una familia de soluciones de un parámetro para la E.D. = y y. Encuentre y grafique una solución del PVI de primer orden que incluya esta E.D. y la condición inicial y(0) = 3 TEMA No. 4 (0 puntos) Encuentre el valor de k de manera que la E.D. sea exacta. Luego resuelva la E.D. TEMA No. 4 (0 puntos c/u) (6xy 3 + cos y) + (kx y x sin y) = 0 Resuelva, indicando el método utilizado y dejando constancia de todo su procedimiento.. (y + xy 3 ) + (5y xy + y 3 sin y) = 0. = y x 3. (x + ) + y = ln x; sujeto a y() = 0

3 SOLUCIÓN DEL EXAMEN TEMA NO. (0 puntos) Describa las condiciones que debe cumplir una E.D. para ser lineal.. La función F es lineal si, y,y,..., y n es lineal.. La variabla dependiente y así como tods sus derivadas y, y,...,y n son de primer grado, es decir, la potencia de cada uno de los términos que involucran a y es. 3. Los coeficientes a 0, a,...,a n de y, y,...,y n dependen a lo sumo de la variable independiente x. 4. La función F es lineal si no se encuentra ninguna funcón tal como sin, cos. TEMA No. (0 puntos) Verifique si la solución particular y = x e x es una solución de la Ecuación Diferencial y y + y = e x.. Para comprobar si es solución de la E.D., se deriva n veces la solución particular, donde n, es el orden de la E.D. y = 4x e x + 4xe x y = 8x e x + 6xe x + 4e x. Se sustitutyen las dos derivadas anteriores en la E.D., luego se simplifica para comprobar si los dos miembros de la E.D. son iguales. 8x e x + 6xe x + 4e x 8x e x 8xe x + x e x = e x 3. Se simplifica. 8xe x + 4e x + x e x = e x 4. Como se observa al momento de simplificar, los dos miembros de la E.D. no quedan iguales, entonces, la solución particular no es solución de la E.D. N O ES SOLU CION Respuesta: La solución particular y = x e x no es solución de la E.D. y y + y = e x.

4 TEMA No. 3 (0 puntos) y = /( + Ce x ) representa una familia de soluciones de un parámetro para la E.D. = y y. Encuentre y grafique una solución del PVI de primer orden que incluya esta E.D. y la condición inicial y(0) = 3. Se sustituye la condición inicial en y = /( + Ce x ) para encontrar el valor de C 3 = + Ce 0. Se simplifica y se encuentra el valor de C. C = 4 3. Se ecuentra la solución. y = 4c x 4. Se grafica. Respuesta:

5 TEMA No. 4 (0 puntos) Encuentre el valor de k de manera que la E.D. sea exacta. Luego resuelva la E.D. (6xy 3 + cos y) + (kx y x sin y) = 0. Para encontrar el valor de k, y que la E.D. sea exacta la M y = N x. M (x,y) = 6xy 3 + cos y N (x,y) = kx y x sin y. Se deriva parcialmente M (x,y) y N (x,y). M y = 8xy sin y N x = 4kxy sin y 3. Se igualan las dos derivadas parciales y se simplifica para encontrar el valor de k. 8xy sin y = 4kxy sin y k = 9/ 4. Se sustituye el valor de k en la E.D. original. (6xy 3 + cos y) + (9x y x sin y) = 0 5. Se resuelve la E.D. f x = 6xy3 + cos y 6. Se integra con respecto de x. f(x, y) = 3x y 3 + x cos y + g(y) 7. Se deriva con respecto de y. f y(x, y) = 9x y x sin y + g (y) 8. Tenemos que f (x, y) = N(x, y). 9x y x sin y + g (y) = 9x y x sin y 9. Por lo tanto. g (y) = 0 0. Se integra g (y) con respecto de y. g(y) = C

6 Respuesta: El valor de k, es k = 9/ La solución del sistema es: 3x y 3 + x cos y = C TEMA No. 5 (0 puntos c/u) Resuelva, indicando el método utilizado y dejando constancia de todo su procedimiento.. (y + xy 3 ) + (5y xy + y 3 sin y) = 0. = y x 3. (x + ) + y = ln x; sujeto a y() = 0 (y + xy 3 ) + (5y xy + y 3 sin y) = 0. Se utilizará el método de reducible a exacta, para eso se comprueba si la E.D. es exacta, donde M y = N x y + 3xy y. Como no son iguales se utilizará la siguiente definición para lograr que sean iguales. Nx M y µ(y) = e M 3. Se encontrará primero N x M y M y se simplifica. = y y 3xy y + xy 3 = 3y( + xy) y ( + xy) = 3 y 3 4. Se encuentra el factor integrante µ(y). = e y = e 3 ln y = eln y 3 = y 3

7 5. Se multiplica µ(y) por toda la E.D. original. y 3 [(y + xy 3 ) +(5y xy + y 3 sin y) = 0] 6. Se simplifica. ( ) ( 5 y + x + y x ) y + sin y = 0 7. Se comprueba si la E.D. es exacta. M y = y = N x 8. Se resuelve la E.D., integramos con respecto de x, f(x, y) = M(x, y) y + x = x y + x + g(y) 9. Se deriva con respecto de y. f y(x, y) = x y + g (y) 0. Tenemos que f y(x, y) = N(x, y). x y + g (y) = 5 y x y + sin y. Por lo tanto. g (y) = 5 y + sin y. Se integra g (y) con respecto de y. g(y) = 5 ln y sin y + C 3. La solución de la E.D. es x y + x + 5 ln y cos y = C Respuesta: x y + x + 5 ln y cos y = C

8 = y x. Se utilizará el método de separción de variables. y = x. Se factorizan los productos de los dividendos en ambos miembros de la E.D. (y + )(y ) = (x + )(x ) 3. Se aplica fracciones parciales. (y + )(y ) = A y + + B y = A(y ) + B(y + ) = Ay A + By + B = y(a + B) + ( A + B) 4. Se encuentran los valores de A y B. A = / B = / 5. Estos mismos valores de A y B se toman para las fracciones parciales del lado de x ya que las fracciones parciales son iguales. ( ) ( ) y = y + x x + 6. Se integra en ambos lados, dando como resultado lo siguiente. ln (y ) ln (y + ) = ln (x ) ln (x + ) + C 7. Se simplifica la solución de la E.D. para despejar y. Se agregará ln a C, con esto cambiaremos de variable a D, que sigue siendo una contante. ( ) y ln = ( ) x y + ln + x + ln D

9 8. Se simplifica. ln 9. Se agrupan ln y se termina de simplificar. ln ( ) ( ) y x = ln + ln D y + x + ln e ( ) ( ) y x = ln D y + x + ( ) y ln y + = e y y + = x ( ) x D x + y = (y + ) x ( x y = y ) + x ( ) x y y = x + ( y x ) = x + y = x + x Respuesta: y(x) = x + x

10 (x + ) + y = ln x ; sujeto a y() = 0. Se manipula la ecuación para poder ver con qué método la podemos resolver. ( (x + ) ) ( ) + y = ln x x +. Al simplificarla, se puede observar que es una E.D. lineal. + x + y = ln x x + ( ) 3. Se encuentra el F.I. F.I. = e x + = eln (x+) = x + 4. Se resuelve la E.D. y (x + ) + y = ln x [y(x + )] = ln x x y(x + ) = ln x y(x + ) = x ln x x + C 5. Resuelta la E.D., sustituimos la condición dada para encontrar el valor de la constante C. 0( + ) = ln + C 0 = + C C = 6. La solución de E.D. es y(x + ) = x ln x x + y(x) = x ln x x + x +

11 x ln x x + Respuesta: y(x) = x +