UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE V

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1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CLAVE V CURSO: Matemática Intermedia III SEMESTRE: Segundo CÓDIGO DEL CURSO: 114 TIPO DE EXAMEN: Primera Retrasada FECHA DE EXAMEN: 20 de noviembre de 2013 NOMBRE DE LA PERSONA QUE RESOLVIÓ EL EXAMEN: Elda Magally Calderón Motta NOMBRE DE LA PERSONA QUE REVISÓ EL EXAMEN: Inga. Helen Rocío Ramírez Lucas

2 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA PRIMERA RETRASADA FACULTAD DE INGENIERÍA 20 DE NOVIEMBRE DE 2013 MATEMÁTICA INTERMEDIA 3 JORNADA VESPERTINA TEMA No. 1 (20 puntos) Un termómetro se lleva del interior de una habitación, al exterior donde la temperatura del aire es de 5ºF. Después de un minuto, el termómetro indica 55ºF, 5 minutos después marca 30ºF. Cuál era la temperatura del interior? TEMA No. 2 (20 puntos) Un tanque que tiene 500 galones de agua pura le entra salmuera con 2 libras de sal por galón a razón de 5 gal / min. El tanque está bien mezclado y de él sale la solución con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante t. Cuál es la concentración de la solución en el tanque a los 5 minutos? TEMA No.3 (20 puntos) Se fija un contrapeso de 24 lb al extremo de un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico simple es 2/π oscilaciones por segundo. Cuál es la constante k del resorte? Cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si la masa original se reemplaza con una de 80 kg? TEMA No. 4 (40 puntos) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a. (10 6y + e 3x )dx 2dy = 0 1/2 dy b. y + dx y3/2 = 1 c. x dy dx x2 + y 2 = y d. dy dx = sin(x + y)

3 SOLUCIÓN DEL EXAMEN TEMA 1 Un termómetro se lleva del interior de una habitación, al exterior donde la temperatura del aire es de 5ºF. Después de un minuto, el termómetro indica 55ºF, 5 minutos después marca 30ºF. Cuál era la temperatura del interior? Solución: Datos: T (ºF)? t (min) Temperatura ambiente = Ta = 5ºF Ecuación diferencial que modela problema de temperaturas: dt dt = r(t T a) dt dt Resolviendo por variables separables: = r(t 5) dt (T 5) = rdt ln T 5 = rt + k T 5 = e rt+k T(t) = Ce rt + 5

4 Sustituyendo condiciones del problema: t = 1 min T = 55ºF 55 = Ce r + 5 t = 5 min T = 30ºF 30 = Ce 5r + 5 C = 50 (1) e r C = 25 e 5r (2) Igualando (1) y (2) para encontrar el valor de r: = er e 5r e 4r = 1 2 Sustituyendo r en (1): r = ln (1 2 ) 4 C = = e C = Ecuación que modela la temperatura del termómetro en cualquier instante t: T(t) = e t + 5 Encontrando temperatura del interior (instante t = 0): T(0) = 59.46e (0) + 5 T(0) = ºF

5 TEMA 2 Un tanque que tiene 500 galones de agua pura le entra salmuera con 2 libras de sal por galón a razón de 5 gal / min. El tanque está bien mezclado y de él sale la solución con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante t. Cuál es la concentración de la solución en el tanque a los 5 minutos? Solución: Datos: Vo = 500 gal b = 2 lb / gal e = f = 5 gal / min A (0) = 0 El tanque inicialmente contiene agua pura Ecuación diferencial para el modelado de mezclas: da dt = be fa V 0 + (e f)t Sustituyendo datos: da dt = (2)(5) 5A (5 5)t da dt = 10 A 100 da dt + A 100 = 10 Resolviendo como ecuación diferencial lineal: P(t) = dt FI = e 100 = e t e t 100A = 10e t 100dt 100

6 e t 100A = 1000e t/100 + C A(t) = Ce t/100 Sustituyendo condición inicial del problema: t = 0 min A = 0 lb de sal 0 = Ce 0/100 C = 1000 Ecuación que modela la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante t: A(t) = e t/100 Ecuación que modela la concentración de la solución en el tanque: C(t) = A(t) e t/100 = Volumen tanque 500 C(t) = 2 2e t/100 Concentración de la solución a los 5 minutos: C(5) = 2 2e 5/100 C(5) = lb sal / galón

7 TEMA 3 Se fija un contrapeso de 24 lb al extremo de un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico simple es 2/π oscilaciones por segundo. Cuál es la constante k del resorte? Cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si la masa original se reemplaza con una de 80 kg? Solución: Datos: Peso 1 = 24 lb f = 2/π oscilaciones por segundo Peso 2 = 80 kg Encontrando la masa 1 fijada al resorte: Contrapeso: W1 = 24 lb M1 = W1 / g = 24 / 32 m = 3 / 4 slug Frecuencia movimiento armónico simple: ω = k m f = ω 2π = k m 2π Sustituyendo datos: k 2 π = 3/4 2π

8 Constante del resorte: k = 12 lb/ft Conversión de la masa de 80 kg a slugs: m2 = 80 kg * 2.2 / 32 = 5.5 slug Encontrando frecuencia del movimiento con la masa de 80 kg: f = π f = oscilaciones / seg

9 TEMA 4 Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: a. (10 6y + e 3x )dx 2dy = 0 Solución: Sean: M = 10 6y + e 3x N = 2 Entonces: M y = 6 N x = 0 Resolver como ecuación diferencial reducible a exacta. Encontrando el factor integrante: P(x) = N x M y N = 0 ( 6) 2 = 3 FI = e P(x)dx = e 3dx = e 3x Multiplicando la ecuación por el factor integrante: (10e 3x 6ye 3x + 1)dx 2e 3x dy = 0 M y = 6e 3x N x = 6e 3x M y = N x Ecuación diferencial exacta

10 Integrando parcialmente a M: (10e 3x 6ye 3x + 1) dx = 10 3 e3x 2ye 3x + x Integrando parcialmente a N: ( 2e 3x ) dy = 2ye 3x Solución de la ecuación diferencial: 10 3 e3x 2ye 3x + x = C 1/2 dy b. y + dx y3/2 = 1 Solución: Dividiendo ambos lados de la igualdad entre el término y 1/2 : dy + y = y 1/2 dx Resolver como ecuación lineal de Bernoulli. Haciendo la sustitución: z = y 1 ( 1 2 ) = y 3/2 y = z 2/3 dy = 2 3 z 1/3 dz

11 2 dz z 1/3 3 dx + z2/3 = z 1/3 Dividiendo ambos lados de la igualdad entre 2 3 z 1/3 : dz dx z = 3 2 Encontrando el Factor Integrante: P(x) = 3 2 FI = e P(x)dx = e 3 2 dx = e 3x/2 Resolviendo la ecuación diferencial lineal: ze 3x/2 = 3 2 e3x/2 dx ze 3x/2 = e 3x/2 + C z = 1 + Ce 3x/2 Regresando a la variable y: y 3/2 = 1 + Ce 3x/2 Solución de la ecuación diferencial: y = (1 + Ce 3x/2 ) 2/3

12 c. x dy dx x2 + y 2 = y Solución: Multiplicando ambos lados de la ecuación por el diferencial dx: xdy x 2 + y 2 dx = ydx Agrupando términos semejantes: xdy + ( x 2 + y 2 y)dx = 0 Sean: f(x, y) = x g(x, y) = x 2 + y 2 y Entonces: f(kx, ky) = kx = kf(x, y) g(kx, ky) = k 2 x 2 + k 2 y 2 ky = k ( x 2 + y 2 y) = kg(x, y) Por lo tanto f y g son funciones homogéneas de grado uno. Resolviendo como ecuación diferencial homogénea: y = vx dy = xdv + vdx Sustituyendo: x(xdv + vdx) + ( x 2 + v 2 x 2 vx)dx = 0

13 x 2 dv + vxdx x 2 + v 2 x 2 dx vxdx = 0 x 2 dv = x 2 + v 2 x 2 dx x 2 dv = x 1 + v 2 dx Resolver con variables separables: dv 1 + v = dx 2 x Sustitución trigonométrica para la integral del lado izquierdo: v = tan θ dv = sec 2 θ dθ Resolviendo las integrales: sec θ = 1 + v 2 θ 1 v sec2 θ dθ sec θ = dx x sec θ dθ = ln x + ln C ln sec θ + tan θ = ln x + ln C ln sec θ + tan θ = ln Cx sec θ + tan θ = Cx

14 Regresando a la variable v: 1 + v 2 + v = Cx Regresando a las variables originales x e y: 1 + ( y x ) 2 + y x = Cx Solución de la ecuación diferencial: y2 x y x = Cx d. Solución: dy dx = sin(x + y) Haciendo la sustitución: u = x + y du dx = 1 + dy dx dy dx = du dx 1 Sustituyendo: du dx 1 = sin(u)

15 Resolviendo por variables separables: du sin(u) + 1 = dx du sin(u) + 1 sin(u) 1 = x + C sin(u) 1 sin(u) 1 sin 2 du = x + C (u) 1 sin(u) 1 cos 2 du = x + C u sin(u) cos 2 u du + sec2 u du = x + C 1 + tan u = x + C cos u Regresando a las variables originales x e y: 1 + tan(x + y) = x + C cos(x + y) Solución de la ecuación diferencial: tan(x + y) sec(x + y) = x + C