Lección 11 Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden. Ecuaciones de segundo orden

Transcripción

1 Lección 11 Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden 1 En forma normal: Ejemplo: Ecuaciones de segundo orden x = f (t, x, x ) 2tx x + 1 x = 0 x = (x ) 2 1 2tx Casos Particulares Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente: x = f (t, x ): 2tx x + 1 x = 0 (t 0) Ecuaciones en las que no aparece la variable independiente: x = f (x, x ): 2xx = 1 + (x ) 2 2

2 Método de resolución de los casos particulares Reducción del orden mediante cambio de variables: u = x Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente: u como función de t. u = x x = u, x = f (t, x ) u = f (t, u) Se resuelve u = f (t, u) y se obtiene u = u(t). Luego se deshace el cambio: x (t) = u(t) x(t) = u(t) dt. 2tx x + 1 x = 0 (t 0) 2tu u + 1 u = 0 3 Método de resolución de los casos particulares (cont.) u = x Ecuaciones en las que no aparece la variable independiente: u como función de x: u = x x = d2 x dt = du dt = du dx x = f (x, x ) uu = f (x, u) dx dt = u u Se resuelve u f (x, u) = y se obtiene u = u(x). Luego se u deshace el cambio resolviendo x = u(x) (variables separables). 2xx = 1 + (x ) 2 2xuu = 1 + u 2 4

3 Ecuaciones Lineales Ecuación lineal de orden n: x (n) + p n 1 (t)x (n 1) + + p 1 x + p 0 x = r(t) Caso homogéneo: r(t) = 0 Caso no homogéneo: r(t) 0. Método de resolución: Reducción a un sistema lineal de primer orden y dimensión n mediante el cambio: x 1 = x, x 2 = x, x 3 = x,..., x n = x (n 1) x 1 = x 2 x 2 = x 3 x 3 = x 4.. x n 1 = x n x n = p 0 x 1 p 1 x 2... p n 1 x n + r(t) 5 Ecuaciones lineales de orden pequeño n = 2: x + p(t)x + q(t)x = r(t), x 1 = x, x 2 = x : { x 1 = x 2 x 2 = q(t)x 1 p(t)x 2 + r(t) x x1 = + q(t) p(t) x 2 x 2 0 r(t) n = 3: x + p 2 (t)x + p 1 (t)x + p 0 (t)x = r(t), x 1 = x, x 2 = x, x 3 = x : x 1 = x 2 x 2 = x 3 x 3 = p 0(t)x 1 p 1 (t)x 2 p 2 (t)x 3 + r(t) x x 1 x 2 = x x 3 p 0 (t) p 1 (t) p 2 (t) x 3 r(t) 6

4 Ecuaciones Lineales de Orden 2. Caso Homogéno x + p(t)x + q(t)x = 0 Teorema x 1 = x, x 2 = x (1) x(t) solución de (1) si y sólo si «««x x1 = q(t) p(t) x 2 x 2 x(t) x (t) solución de (2). ( x(t), y(t) ) soluciones de (1) linealmente independientes si y sólo si x(t) y(t) x y (t) y soluciones linealmente independientes de (2); (t) i.e. para algún t del intervalo en que p y q son continuas x(t) y(t) det x (t) y 0 (t) x(t) y(t) W [x, y](t) = det x (t) y =Wronskiano de x, y en t. (t) 7 (2) Solución general de las ecuaciones lineales homogéneas de orden 2 x + p(t)x + q(t)x = 0 x(t) = 0 siempre es solución. Solución general: x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) siendo x 1 (t) y x 2 (t) dos soluciones linealmente independientes. Objetivo. Encontrar dos soluciones linealmente independientes. 8

5 Ecuaciones con coeficientes constantes x + px x + qx = x1 x 2 = q p x 2 (x = x 1, x = x 2 ) Ecuación característica: λ 1 det = 0 λ 2 + pλ + q = 0 q λ + p La ecuación caracteritica se obtiene al sustituir x por λ 2, x por λ y x por λ 0 = 1 en la ecuación diferencial. Las raíces características de la ecuación diferencial son las raíces de la ecuación característica = valores propios de la matriz del sistema. 9 Solución General de las ecuaciones lineales de orden 2 de coeficientes constantes Supongamos λ 2 + pλ + q = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) Casos Soluciones Solución Posibles Lineal. indep. General λ 1 λ 2 reales x 1 (t) = e λ 1t x 2 (t) = e λ 2t x(t) = c 1 e λ1t + c 2 e λ 2t λ 1 = a + bi λ 2 = a bi x 1 (t) = e at cos(bt) x 2 (t) = e at sen(bt) x(t) = e at (c 1 cos(bt) + c 2 sen(bt)) λ 1 = λ 2 = λ x 1 (t) = e λt x 2 (t) = te λt x(t) = e λt (c 1 + c 2 t) 10

6 Ecuaciones Lineales no homogéneas Solución General: x + p(t)x + q(t)x = r(t) x(t) = x h (t) + x p (t) x h (t): solución general de x + p(t)x + q(t)x = 0. x p (t): solución particular de x + p(t)x + q(t)x = r(t). Dos métodos: Cómo encontrar una solución particular? Variación de las constantes. Coeficientes indeterminados 11 Si Método de variación de las constantes x h (t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) es la solución general de la ecuación homogénea, se busca una solución particular de la forma: x p (t) = c 1 (t)x 1 (t) + c 2 (t)x 2 (t) x p (t) solución de x + p(t)x + q(t)x = r(t) xp (t) x p(t) solución de x = 0 1 x + q(t) p(t) 0 r(t) 12

7 Método de variación de las constantes (cont.) x1 (t) x Como X(t) = 2 (t) x 1 (t) x 2 (t) es una matriz fundamental de 0 1 soluciones del sistema x = x q(t) p(t) Teorema x p (t) = c 1 (t)x 1 (t) + c 2 (t)x 2 (t) solución de x + p(t)x + q(t)x = r(t) si y sólo si X(t)c (t) = 0 { x1 (t)c 1 (t) + x 2(t)c 2 (t) = 0 x 1 (t)c 1 (t) + x 2 (t)c 2 (t) = r(t) Cramer, integrando y observando que X(t) = W [x 1, x 2 ](t): c 1 (t) = r(t)x2 (t) W [x 1, x 2 ](t) dt, y c 2(t) = r(t)x 1 (t) W [x 1, x 2 ](t) dt 13 Método de los coeficientes indeterminados Sólo válido si la ecuación x +px +qx = r(t) es de coeficientes constantes y r(t) = e at [P n (t) cos(bt) + Q m (t) sen(bt)] para algunos valores de a y b y para algunos polinomios P n (t) de grado n y Q m (t) de grado m. Teorema En tal caso, siempre existe una solución de la forma: x p (t) = t s e at [ P k (t) cos(bt) + Q k (t) sen(bt)] donde s es la multiplicidad de a+bi como raíz característica y P k (t) y Q k (t) son polinomios de coeficientes indeterminados de grado k = máx(n, m). Los coeficientes indeterminados de P k (t) y Q k (t) se obtienen sustituyendo esta expresión de x p (t) en la ecuación x + px + qx = r(t). 14

8 Observaciones sobre la expresión de x p (t) r(t) = e at [P n (t) cos(bt) + Q m (t) sen(bt)] x p (t) = t s e at [ P k (t) cos(bt) + Q k (t) sen(bt)] 1 Si a + bi no es raíz característica entonces s = 0. 2 Aún cuando P n (t) o Q m (t) sean cero, en la expresión de x p (t) deben aparecer tanto P k (t) como Q k (t), k = máx(n, m). 3 El grado del polinomio cero es. Ejemplos (i) x + 3x + 2x = 3t + 1 a = 0 b = 0 P 1 (t) = 3t + 1 Q m (t) = 0. (ii) x + x = 5 a = 0 b = 0 P 0 (t) = 5 Q m (t) = 0. (iii) x + 3x + 2x = e 3t a = 3 b = 0 P 0 (t) = 1 Q m (t) = 0. (iv) x 8x + 16x = e 4t a = 4 b = 0 P 0 (t) = 1 Q m (t) = 0. (v) x + 2x + x = te t cos t a = 1 b = 1 P 1 (t) = t Q m (t) = 0. (vi) x + 4x = sen(2t) a = 0 b = 2 P n (t) = 0 Q 0 (t) = 1. (vii) x + x = t sen t a = 0 b = 1 P n (t) = 0 Q 1 (t) = t. 15