ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Transcripción

1 ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Víctor Manuel Sánchez de los Reyes Departamento de Análisis Matemático Universidad Complutense de Madrid

2

3 Índice 1 Introducción 7 11 Conceptos básicos 7 12 Algunos modelos matemáticos Desintegración radiactiva Movimiento pendular La catenaria Cuerpos en caída libre con resistencia del aire La curva braquistócrona Oscilaciones en resortes Dinámica de poblaciones 14 2 Ecuaciones diferenciales de primer orden Ecuaciones de variables separadas Ecuaciones homogéneas Ecuaciones exactas Ecuaciones lineales Algunas ecuaciones especiales La ecuación de Bernoulli La ecuación de Ricatti Ecuaciones de grado n respecto a y 22 3

4 254 Ecuaciones de la forma f(y, y ) = Ecuaciones de la forma f(x, y ) = La ecuación de Lagrange La ecuación de Clairaut 23 3 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior Estructura del conjunto de soluciones La ecuación homogénea La ecuación no homogénea Ecuaciones con coeficientes constantes La ecuación homogénea La ecuación no homogénea 31 4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Introducción Estructura del conjunto de soluciones El sistema homogéneo El sistema no homogéneo Sistemas con coeficientes constantes El sistema homogéneo El sistema no homogéneo 40 5 Transformada de Laplace y método de series de potencias Transformada de Laplace Definición y propiedades La función de Heaviside y la delta de Dirac Traslación y periodicidad Transformadas de derivadas e integrales 46 4

5 515 La convolución La transformada inversa Aplicaciones Método de series de potencias Soluciones en torno a puntos ordinarios Soluciones en torno a puntos singulares 52 6 Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales Conceptos Sistemas lineales planos 56 7 Resolución numérica de ecuaciones diferenciales Método de Euler Método de Runge-Kutta 60 Apéndice Teoremas de existencia y unicidad 61 Bibliografía 63 5

6

7 Tema 1 Introducción 11 Conceptos básicos Definición 111 Una ecuación diferencial ordinaria (en adelante, ecuación diferencial) es la que establece una relación entre una variable independiente x, la función buscada f(x) y una o varias derivadas de esta función f (x), f (x),, f n) (x), lo que equivale, con y = f(x), a una expresión de la forma F (x, y, y, y,, y n) ) = 0 Definición 112 Se denomina orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que interviene en la expresión Definición 113 Una ecuación diferencial de orden n se dice lineal si es de grado uno respecto a la función y y todas sus derivadas, pudiéndose entonces expresar de la forma y n) + a 1 (x)y n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = g(x) Cuando las funciones a i (x), 1 i n, son constantes se dice que la ecuación tiene coeficientes constantes Si g(x) 0 la ecuación se denomina homogénea En caso contrario se llama no homogénea o completa Definición 114 Una solución de una ecuación diferencial es una función que sustituida en la ecuación la convierte en una identidad Si una solución es una función explícita (implícita), se dice que es una solución explícita (implícita) Definición 115 La solución general de la ecuación diferencial de orden n dada por F (x, y, y, y,, y n) ) = 0 es una función ϕ(x, C 1, C 2,, C n ) que depende de n constantes C 1, C 2,, C n de modo que la función ϕ satisface la ecuación para todos los valores de 7

8 las constantes, y si hay condiciones iniciales y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y0 1 y n 1) (x 0 ) = y n 1 0 se pueden elegir las constantes para que la función ϕ las satisfaga Una relación φ(x, y, C 1, C 2,, C n ) = 0 que define la solución general implícitamente se denomina integral general de la ecuación diferencial Definición 116 Una solución particular de una ecuación diferencial es la que se obtiene de la solución general para valores concretos de las constantes Una curva integral es la gráfica de una solución particular Definición 117 Una solución singular de una ecuación diferencial es una función que satisface la ecuación y que, sin embargo, no se obtiene de la solución general para ningún valor de las constantes Definición 118 Resolver o integrar una ecuación diferencial supone calcular la solución general si no se han dado condiciones iniciales, y cuando éstas existen, hallar la solución particular que las satisfaga Sea F (x, y, y ) = 0 una ecuación diferencial de primer orden que se puede expresar de la forma y = f(x, y) Esta función f asocia a cada punto de su dominio el valor de la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto Por lo tanto, la ecuación diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto de segmentos, cada uno de los cuales pasa por el punto (x, y) y tiene como pendiente y Resolver una ecuación diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva cuya tangente en cada punto tenga la misma dirección que el campo de direcciones en ese punto Para facilitar este cálculo se introducen las isoclinas: Definición 119 Se denomina isoclina al lugar geométrico de los puntos del plano en los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuación diferencial tienen la misma dirección La familia de isoclinas de la ecuación diferencial y = f(x, y) está determinada por la ecuación f(x, y) = k, siendo k un parámetro Dibujando la familia de isoclinas para valores de k próximos entre sí, es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales de la ecuación diferencial La isoclina f(x, y) = 0 informa de la posible situación de los máximos y mínimos locales de las curvas integrales Los puntos de inflexión, si existen, estarán situados en la curva definida por f x + f f(x, y) = 0 y 8

9 Ejercicios 1 Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas: a) y = 2 + x de la ecuación diferencial (x 2 + 1)y + xy = 2x b) y = x 1 x 2 de la ecuación diferencial yy = x 2x 3 c) y = e arc sen x de la ecuación diferencial xy = y tag log y { x = t log t d) y = t 2 de la ecuación diferencial y (2 log t + 1) log y = 4x 4 { x = log t + sen t e) de la ecuación diferencial x = log y y = t(1 + sen t) + cos t + sen y 2 Verifica que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas: a) y = log(e x + C) de la ecuación diferencial y = e x y b) y = x 2 Cx de la ecuación diferencial (x 2 + y 2 ) dx 2xy dy = 0 c) (x + C) 2 + y 2 = 4 de la ecuación diferencial y 2 ((y ) 2 + 1) = 4 Obtén en este caso dos soluciones singulares 3 Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas: a) e y Cx = 1 de la ecuación diferencial xy + 1 = e y b) y 2 + 2Cx = C 2 de la ecuación diferencial y(y ) 2 + 2xy = y c) x = y x 0 sen t2 dt de la ecuación diferencial y = xy + y 2 sen x 2 4 Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes: a) y = x + 1 b) y = y x y+x c) y = x + y d) y = y x 12 Algunos modelos matemáticos 121 Desintegración radiactiva Una reacción química se denomina reacción de primer orden si en ella una molécula se descompone en otras espontáneamente, y el número de moléculas que se descomponen 9

10 en una unidad de tiempo es proporcional al número de moléculas existentes Por ejemplo, la desintegración radiactiva Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en función del tiempo por la función m = m(t), la velocidad de descomposición viene dada por m Si se supone que esta velocidad es directamente proporcional a la masa, se tiene la ecuación diferencial de primer orden m = km siendo k > 0 el coeficiente de proporcionalidad La solución general viene dada por m(t) = Ce kt Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial t = 0 y que tiene un valor m 0, de lo que resulta que m(t) = m 0 e kt 122 Movimiento pendular Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto fijo, que se mueve por la acción de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que está en un plano vertical Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la ecuación del movimiento en función del tiempo Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen está en el punto inferior de la circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto Sea L la longitud del radio de la circunferencia, t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto P, de forma que si P está a la derecha del origen, es s > 0 y si está a la izquierda, es s < 0 Se pretende determinar la función s = s(t) La fuerza de la gravedad F = mg se descompone en las componentes normal F n y tangencial F t, siendo ésta última la que produce el movimiento Se tiene que F t = mg sen α, siendo α el ángulo que forma la dirección de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad Así, la función del movimiento verifica la ecuación diferencial s = g sen s L Una solución aproximada de dicha ecuación diferencial viene dada por g s = s 0 sen L t donde s 0 es la longitud máxima que describe el punto P 10

11 123 La catenaria Estudiemos ahora la forma que toma un hilo flexible homogéneo suspendido entre sus dos extremos y que cuelga por su propio peso Sea M(0, b) el punto más bajo del hilo y P (x, y) un punto cualquiera La sección MP del hilo está equilibrada por las siguientes fuerzas: 1 La tensión T 1 que actúa a lo largo de la tangente al punto P y forma un ángulo α con el eje de abcisas 2 La tensión T 2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas 3 El peso del hilo, paralelo al eje de ordenadas, cuyo módulo es sp, siendo s la longitud del arco MP y p el peso específico del hilo Al descomponer T 1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio: { T1 cos α = T 2 T 1 sen α = sp luego, dividiendo ambas igualdades entre sí, se tiene que tag α = sp T 2 Llamando a = T 2 p, derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que s = (y ) se obtiene la ecuación diferencial y = 1 a (y ) La solución particular que pasa por M es y = a 2 ( x ) e a + e x x a + b a = a cosh a + b a 124 Cuerpos en caída libre con resistencia del aire Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m, sobre el que actúa, además de la fuerza de la gravedad, la resistencia del aire, que es proporcional a su velocidad de caída v = v(t), la cual se quiere calcular La aceleración es v, y k es el coeficiente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire Por tanto, mv = mg kv 11

12 que es una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes no homogénea Se puede comprobar que la función v(t) = Ce k m t + mg k verifica la ecuación para todo valor de la constante C Para determinar la constante C se supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un valor v 0, de lo que resulta que ( v(t) = v 0 mg k ) e k m t + mg k Si la resistencia del aire no existe, es decir, k = 0, la solución particular es v(t) = gt + v 0 Si y = y(t) es la función que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada, se tiene que y = v con lo que y(t) = 1 2 gt2 + v 0 t + y 0 siendo y 0 la posición inicial Si y 0 = v 0 = 0, se tiene que v 2 = 2gy 125 La curva braquistócrona Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se deja deslizar una bola esférica, supuestamente sin rozamiento El problema consiste en determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B, sin otra fuerza que la gravedad, sea el mínimo Si se supone que la bola va desde A hasta B a través de dos segmentos AO y OB, con velocidades v 1 y v 2, respectivamente, el tiempo total que invierte en su desplazamiento viene dado por x2 + a t = 2 (c x)2 + b + 2 v 1 v 2 donde A = ( x, a), O = (0, 0) y B = (c x, b) Para que el tiempo sea el mínimo debe suceder que dt = 0, con lo que dx x v 1 x2 + a 2 = c x v 2 (c x)2 + b 2 o bien sen w 1 v 1 = sen w 2 v 2 12

13 siendo w 1 = arctag x y w a 2 = arctag c x Si el número de segmentos pasa a ser infinito, b aumentando la velocidad de la bola de forma continua, se tiene que la trayectoria debe verificar que sen w sea constante Llamando α = π w se tiene que v 2 sen w = cos α = 1 (y ) Como v 2 = 2gy, la curva braquistócrona debe satisfacer la ecuación diferencial y((y ) 2 + 1) = C La solución de dicha ecuación viene dada por { x = r(θ sen θ) y = r(1 cos θ) siendo r = C y tag θ = y, que son las ecuaciones paramétricas de la cicloide, la curva 2 2 C y que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda, sin rozamiento, a lo largo del eje de abcisas 126 Oscilaciones en resortes Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte, sobre el que un dispositivo ejerce una fuerza de amortiguación, y además, existe una fuerza externa que actúa sobre el cuerpo Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al desplazamiento y la fuerza de amortiguación proporcional a la velocidad del movimiento Sea y = y(t) la función que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en función del tiempo, k 1 > 0 la constante de rigidez del resorte, k 2 > 0 la constante de amortiguación del dispositivo y g(t) la fuerza externa Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso del cuerpo se compense con las otras fuerzas, se obtiene la ecuación diferencial que describe el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas: my = mg k 1 (y + L) k 2 y + g(t) siendo L la elongación del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo, con lo que my + k 2 y + k 1 y = g(t) que es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes no homogénea 13

14 127 Dinámica de poblaciones Las ecuaciones de Lotka-Volterra modelizan un ecosistema formado por rapaces y presas, con sus interacciones, obteniéndose el sistema: { dx dt dy dt = ax bxy = cy + fxy donde las constantes a, b, c y f son positivas Sin presas (x), las rapaces (y) disminuirían en número por falta de alimento Y sin rapaces, las presas aumentarían al no tener enemigos Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene e integrando se tiene la solución a by y dy = c + fx x dx y a e by = kx c e fx 14

15 Tema 2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 21 Ecuaciones de variables separadas Definición 211 Una ecuación diferencial de la forma g(y) y = f(x) se denomina ecuación diferencial de variables separadas ya que se puede expresar como g(y) dy = f(x) dx Su solución general se obtiene integrando ambos términos: g(y) dy = f(x) dx + C Una ecuación diferencial de la forma f 1 (x)g 2 (y) dx = f 2 (x)g 1 (y) dy se reduce a una de variables separadas al pasar dividiendo a f 2 (x) y g 2 (y), aunque se pueden perder soluciones singulares que anulen a estas funciones Ejercicios 1 Resuelve la ecuación diferencial de la desintegración radiactiva 2 Halla una solución aproximada de la ecuación diferencial del movimiento pendular 3 Encuentra la expresión de la catenaria 4 Halla la curva braquistócrona 5 Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes: a) 4yy + x = 0 b) x dx + y dy = 0 15

16 c) y cos x = (sen x + x sec x) cotag y d) y x = xe y e) (xy 2 y 2 + x 1) dx + (x 2 y + x 2 2xy 2x + 2y + 2) dy = 0 f ) y = (x y) Dados m, n, p N cualesquiera, integra la ecuación diferencial y + 1 = (x + y) m (x + y) n + (x + y) p 7 Resuelve la ecuación diferencial (x 2 y 2 + 1) dx + 2x 2 dy = 0 mediante la sustitución xy = z 8 Integra la ecuación diferencial (e x + 1)yy = e x y encuentra la solución particular que pasa por (0, 0) 9 Halla la solución particular de la ecuación diferencial y sen x = y log y que satisface la condición inicial y( π 2 ) = e 10 Demuestra que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante, es una circunferencia 11 Halla la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas 12 La temperatura de un cuerpo T rodeado por aire a temperatura T 0 varía de modo que el ritmo de variación de su temperatura es proporcional a la diferencia de temperaturas T T 0 (ley del enfriamiento de Newton) Un cuerpo que inicialmente está a 120 C se pone en contacto con aire a 20 C Al cabo de una hora, su temperatura es de 70 C Cuánto tiempo más tiene que transcurrir para que ésta baje a 40 C? 13 Inicialmente un cultivo tiene un número B 0 de bacterias Al cabo de una hora se determina que el número de bacterias es 3 2 B 0 Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias B(t) presentes en el tiempo t, calcula el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias 22 Ecuaciones homogéneas Definición 221 Una función f(x, y) es una función homogénea de grado n en las variables x e y si f(tx, ty) = t n f(x, y) Definición 222 Una ecuación diferencial de primer orden de la forma y = f(x, y) se denomina ecuación diferencial homogénea si la función f es homogénea de grado 0 16

17 Las ecuaciones homogéneas se pueden expresar de la forma y = g ( y x) y al hacer el cambio de variable z = y la ecuación se reduce a una de variables separadas x Si la ecuación diferencial está expresada de la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado Una ecuación diferencial de la forma ( ) ax + by + c y = f a x + b y + c en la que las rectas ax + by + c = 0 y a x + b y + c = 0 no son paralelas (y c 0 o c 0 pues de lo contrario la ecuación ya es homogénea) se puede transformar en una ecuación homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto de intersección de dichas rectas (x 0, y 0 ) mediante el cambio de variables { x = X + x0 y = Y + y 0 Si las rectas son paralelas, el cambio de variable z = ax + by reduce la ecuación a una de variables separadas Ejercicios 1 Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes: a) y = x2 +y 2 xy b) (3y x)y = 3x y 4 c) (2x 4y + 5)y = x 2y + 3 d) (x + y + 1) dx + (2x + 2y 1) dy = 0 e) 4y(x 2 + 3y 2 ) dx = x(x 2 6y 2 ) dy f ) (x 2 + y 2 ) dx = x(x + y) dy g) y = (x + y) 2 h) x 2 y = (2x y + 1) 2 i) (x y) 2 y = (x y + 1) 2 2 Integra la ecuación diferencial (1 x 2 y 2 )y = 2xy 3 mediante un cambio de variable del tipo y = z α que la transforme en homogénea 3 Halla las curvas que posean la propiedad de que la distancia del origen de coordenadas a cualquier recta tangente sea igual al valor absoluto de la abscisa del punto de tangencia 17

18 23 Ecuaciones exactas Definición 231 Una ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 se denomina ecuación diferencial exacta si existe una función F (x, y) de forma que F F (x, y) dx + (x, y) dy = M(x, y) dx + N(x, y) dy x y La solución general será entonces de la forma F (x, y) = C Teorema 232 Si M, N son de clase C 1, la ecuación M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es exacta si y solo si se verifica M y N (x, y) = (x, y) x Demostración Si la ecuación es exacta, entonces existe una función F (x, y) tal que F (x, y) = M(x, y) y F x (x, y) = N(x, y) y Utilizando el Teorema de Schwartz se obtiene el resultado Recíprocamente, la función F (x, y) = M(x, y) dx + g(y) con g(y) = o bien la función F (x, y) = N(x, y) dy + f(x) con f(x) = ( N(x, y) y ( M(x, y) x ) M(x, y) dx ) N(x, y) dy dy dx cumple las condiciones para que la ecuación sea exacta Definición 233 Se denomina factor integrante de una ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx+n(x, y) dy = 0 a toda función µ(x, y) tal que al multiplicar la ecuación por µ(x, y) se transforma en exacta Sean M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 una ecuación diferencial no exacta y µ(x, y) su posible factor integrante Para ello es necesario y suficiente que se verifique la igualdad o, equivalentemente, log µ y (µm) y (x, y)m(x, y) log µ x (x, y) = (µn) (x, y) x (x, y)n(x, y) = N x 18 M (x, y) (x, y) y

19 Por lo tanto, toda función µ(x, y) que verifique esta condición es un factor integrante de la ecuación inicial La obtención de un factor integrante para una ecuación diferencial puede ser muy complicada puesto que la condición anterior es una ecuación en derivadas parciales que puede ser difícil de resolver Sin embargo, existen situaciones especiales en las que se puede calcular un factor integrante sin demasiada dificultad Por ejemplo, µ(x), µ(y), µ(ax+by), µ(x α y β ), etc Ejercicios 1 Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes: a) e y dx (2y + xe y ) dy = 0 b) (6xy 2 + 3x 2 ) dx + (6x 2 y + 4y 3 ) dy = 0 c) (xy 2 1) dx + y(x 2 + 3) dy = 0 ( ) ( ) d) 2x dx + x dy = 0 y y y 2 e) (sen xy + xy cos xy) dx + x 2 cos xy dy = 0 f ) (1 xy) dx + (1 x 2 ) dy = 0 g) (y 2 + x) dx 2xy dy = 0 h) 2xy log y dx + (x 2 + y 2 y 2 + 1) dy = 0 2 Integra la ecuación diferencial (x 2 y 2 + 1) dx + (x 2 y 2 1) dy = 0 sabiendo que tiene un factor integrante que depende de una combinación lineal de x e y 3 Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes si su factor integrante es de la forma µ(y 2 + x): a) (y 2 + 3x + 2y) dx + (4xy + 5y 2 + x) dy = 0 b) (3y 2 x) dx + (2y 3 6xy) dy = 0 4 Integra la ecuación diferencial (y 2 xy) dx+x 2 dy = 0 sabiendo que existe un factor integrante que es función de xy 2 5 Encuentra un factor integrante de la forma µ(x, y) = f(y 2 x 2 ) de la ecuación diferencial (x 2 + y 2 + 1) dx 2xy dy = 0 y resuélvela 6 Dada la ecuación diferencial (y xy 2 log x) dx + x dy = 0, encuentra un factor integrante de la forma µ(x, y) = f(xy) y resuélvela 19

20 7 Demuestra que toda ecuación diferencial de la forma yf(xy) dx + xg(xy) dy = 0 admite como factor integrante a µ(x, y) = 1 xy(f(xy) g(xy)) Aplica este resultado a la resolución de la ecuación x 3 y 4 dx (x 2 y x 4 y 3 ) dy = 0 8 Calcula un factor integrante de la ecuación diferencial (x 2 y 2 1) dx + 2xy dy = 0 sabiendo que admite como solución general a la familia de curvas x 2 +y 2 Cx+1 = 0 24 Ecuaciones lineales Vamos a estudiar tres métodos para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden y + f(x)y = g(x), siendo f y g funciones continuas en la región en la que se pretende integrar la ecuación Supondremos que la ecuación es no homogénea pues, en caso contrario, es de variables separadas En primer lugar, la ecuación se puede expresar como (f(x)y g(x)) dx + dy = 0, calculando posteriormente un factor integrante que dependa solo de x El segundo método consiste en realizar el cambio de variable y = uv Sustituyendo en la ecuación se tiene u v + u(v + f(x)v) = g(x) Pues bien, primero se calcula v como una solución particular no nula de la ecuación diferencial v + f(x)v = 0 y después se calcula u como la solución general de la ecuación u v = g(x) Finalmente, un método de resolución consiste en encontrar la solución general de la ecuación homogénea, y h, y una solución particular de la no homogénea, y p Se comprueba fácilmente que la suma de ambas es la solución general de la no homogénea Para obtener y p a partir de y h (x) = Ce f(x) dx se emplea el método de variación de las constantes que consiste en considerar C como una función C(x) e imponer que C(x)e f(x) dx sea solución de la ecuación no homogénea Ejercicios 1 Calcula la velocidad de un cuerpo en caída libre con resistencia del aire 2 Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes: a) xy + (1 x)y = xe x b) y = 1 e y x c) y + 2xy = 2xe x2 20

21 d) y = 1 x cos y+sen 2y e) y + y tag x = sec 2 x f ) y = 1 2x y 2 3 Integra la ecuación diferencial y + y x = 3 cos 2x buscando un factor integrante 4 Resuelve la ecuación diferencial y = y tag x + cos x realizando el cambio de variable y = uv 5 Calcula la solución particular de la ecuación diferencial y + 2y = cos x x x 2 la condición inicial y(π) = 0 que verifique 6 Halla la familia de funciones tales que el área del trapecio limitado por los ejes de coordenadas, la recta tangente a la gráfica de la función en un punto y la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto de tangencia sea constante e igual a a 2 7 Dado el problema de valor inicial { y y = sen x y(0) = y 0 encuentra el valor de y 0 para el que la solución permanece finita cuando x 8 Dada la ecuación diferencial 2x 2 y xy = 2x cos x 3 sen x, x > 0, estudia el comportamiento de las soluciones cuando x 0 y cuando x Hay alguna solución y tal que lím x y(x) = 0? 9 Dadas y 1, y 2 e y 3 soluciones particulares de una ecuación lineal y + f(x)y = g(x), demuestra que la expresión y 3 y 1 y 1 y 2 es constante 25 Algunas ecuaciones especiales 251 La ecuación de Bernoulli Definición 251 La ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial de la forma y + f(x)y = g(x)y n con n 0, 1 Para n = 0 se tiene una ecuación lineal y para n = 1 es una ecuación de variables separadas 21

22 Esta ecuación se reduce a una ecuación lineal dividiendo ambos miembros por y n y haciendo el cambio de variable z = y 1 n Otra forma de resolverla consiste en realizar el cambio de variable y = uv La ecuación de Bernoulli aparece, por ejemplo, en dinámica de poblaciones y en estabilidad del flujo de fluidos 252 La ecuación de Ricatti Definición 252 La ecuación de Ricatti es una ecuación diferencial de la forma con f(x), h(x) 0 y = f(x)y 2 + g(x)y + h(x) Si f(x) 0, entonces la ecuación es lineal, y si h(x) 0, entonces la ecuación es una de Bernoulli En general, esta ecuación no puede resolverse por métodos elementales Si se conoce una solución particular y 1, entonces haciendo el cambio de variable y = y 1 + u la ecuación se transforma en la ecuación de Bernoulli u = f(x)u 2 + (2y 1 f(x) + g(x))u la cual se resuelve a través del cambio de variable v = 1 Por lo tanto, se podría haber hecho u directamente el cambio de variable v = 1 y y 1 en la ecuación inicial La ecuación de Ricatti aparece, por ejemplo, en hidrodinámica 253 Ecuaciones de grado n respecto a y Se trata de ecuaciones diferenciales de la forma (y ) n + f 1 (x, y)(y ) n f n 1 (x, y)y + f n (x, y) = 0 Para hallar su solución general basta resolver la ecuación respecto a y e integrar todas las ecuaciones resultantes 254 Ecuaciones de la forma f(y, y ) = 0 Si en estas ecuaciones se puede despejar y, resultan ecuaciones de variables separadas Si se puede despejar y, y = g(y ), se realiza el cambio de variable y = t con lo que y = g(t) Diferenciando esta ecuación y sustituyendo dy por t dx se obtiene la solución general de la ecuación diferencial en forma paramétrica 22

23 Si no se puede despejar ni y ni y pero se pueden expresar paramétricamente de la forma { y = g(t) y = h(t) entonces, diferenciando la primera ecuación y sustituyendo dy por h(t) dx se obtiene la solución general de la ecuación diferencial en forma paramétrica 255 Ecuaciones de la forma f(x, y ) = 0 Al igual que en el tipo anterior, si en estas ecuaciones se puede despejar y, resultan ecuaciones de variables separadas Si se puede despejar x, x = g(y ), se realiza el cambio de variable y = t con lo que x = g(t) Diferenciando esta ecuación y sustituyendo dx por dy se obtiene la solución t general de la ecuación diferencial en forma paramétrica Si no se puede despejar ni x ni y pero se pueden expresar paramétricamente de la forma { x = g(t) y = h(t) se obtiene la solu- entonces, diferenciando la primera ecuación y sustituyendo dx por dy h(t) ción general de la ecuación diferencial en forma paramétrica 256 La ecuación de Lagrange Definición 253 La ecuación de Lagrange es una ecuación diferencial de la forma y = xf(y ) + g(y ) Para resolver una ecuación de este tipo se realiza el cambio de variable y = t, reduciéndola diferenciando a una ecuación lineal considerando x en función de t La solución general vendrá dada entonces en forma paramétrica: { x = ϕ(t, C) y = ϕ(t, C)f(t) + g(t) 257 La ecuación de Clairaut Definición 254 La ecuación de Clairaut es una ecuación diferencial de la forma y = xy + g(y ) 23

24 Es, por tanto, un caso particular de la ecuación de Lagrange, cuyas soluciones son una familia de rectas junto con su envolvente, la cual es una solución singular Ejercicios 1 Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes: a) 3xy 2y = x 3 y 2 b) y = xy + (y ) 2 c) y = 2xy + sen y d) xy + y = y 2 log x e) y 2/3 + (y ) 2/3 = 1 f ) y = 2xy + log y g) y = xy + a siendo a una constante 2y h) 2y sen x + y cos x = y 3 (x cos x sen x) i) 2y = xy + y log y j ) y = (y ) 2 e y k) x = log y + sen y l) y 4 (y ) 4 y(y ) 2 = 0 2 Integra la ecuación diferencial xy = y + 2x x 4 1 (y2 x 2 ) sabiendo que admite soluciones particulares de la forma y = ax + b 3 Halla la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes coordenados tiene una longitud constante a 4 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden y de grado 2 respecto a y : a) y(y ) 2 + (x y)y x = 0 b) (y ) 2 (2x + y)y + x 2 + xy = 0 c) x(y ) 2 + 2xy y = 0 d) 4(y ) 2 9x = 0 e) (y ) 2 2yy = y 2 (e x 1) f ) x 2 (y ) 2 + 3xyy + 2y 2 = 0 24

25 Tema 3 Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 31 Estructura del conjunto de soluciones Vamos a analizar en esta sección la estructura del conjunto de soluciones de la ecuación diferencial lineal de orden n y n) + a 1 (x)y n 1) + + a n 1 (x)y + a n (x)y = g(x) siendo a i (x), 1 i n, y g(x) funciones continuas en un intervalo (a, b) Definición 311 Dado un conjunto de funciones {y 1, y 2,, y n } definidas en un intervalo (a, b) y derivables hasta el orden n 1, se denomina wronskiano de estas funciones y se denota por W [y 1, y 2,, y n ] a la función definida por el determinante W [y 1, y 2,, y n ] = y 1 y 2 y n y 1 y 2 y n y n 1) 1 y n 1) 2 yn n 1) Teorema 312 Si las funciones y 1, y 2,, y n son linealmente dependientes en el intervalo (a, b), entonces W [y 1, y 2,, y n ] 0 Demostración Trivial Esta condición no es suficiente pues basta considerar las siguientes funciones definidas en ( 1, 1): y 1 (x) = x 2 χ ( 1,0) e y 2 (x) = x 2 χ [0,1) 25

26 311 La ecuación homogénea Teorema 313 Si las funciones y 1, y 2,, y n son soluciones de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b), entonces cualquier combinación lineal suya también lo es Demostración Trivial Teorema 314 Si las funciones y 1, y 2,, y n son soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo no es idénticamente nulo Demostración Supongamos que W [y 1, y 2,, y n ] 0 Dado x 0 (a, b), el sistema homogéneo de ecuaciones lineales en las variables c 1, c 2,, c n n c k y k (x 0 ) = 0 k=1 n c k y k (x 0) = 0 k=1 n k=1 c k y n 1) k (x 0 ) = 0 tiene infinitas soluciones ya que el determinante de la matriz de coeficientes, es decir, el wronskiano, es nulo En particular existen c 1, c 2,, c n no todos nulos que son solución del sistema Por tanto, la función n c k y k k=1 es una solución de la ecuación homogénea por ser una combinación lineal de ellas, y tanto ella como sus derivadas hasta el orden n 1 se anulan en x 0, al igual que la función idénticamente nula que también es solución de la ecuación homogénea El teorema de unicidad nos da la contradicción A continuación demostraremos que bajo la hipótesis del teorema anterior el wronskiano no se anula nunca Lema 315 Si y 1, y 2,, y n son funciones derivables hasta el orden n, entonces y 1 y 2 y n y 1 y 2 y n W [y 1, y 2,, y n ] = y n 2) 1 y n 2) 2 yn n 2) y n) 1 y n) 2 yn n) 26

27 Demostración Por inducción, desarrollando W [y 1, y 2,, y n ] por la última fila antes de derivar Teorema 316 Si las funciones y 1, y 2,, y n son soluciones de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo o es idénticamente nulo o no se anula en ningún punto Demostración En primer lugar, se verifica que y n) i + a 1 (x)y n 1) i + + a n 1 (x)y i + a n (x)y i = 0 para todo 1 i n Multiplicando cada una de estas expresiones por el adjunto del elemento de la fila n y la columna i del wronskiano, sumándolas y aplicando el lema anterior se tiene la ecuación diferencial lineal de primer orden W [y 1, y 2,, y n ] + a 1 (x)w [y 1, y 2,, y n ] = 0 que tiene por solución general W [y 1, y 2,, y n ] = Ce a 1 (x) dx obteniéndose el resultado No se puede prescindir de la hipótesis de que las funciones sean soluciones de la ecuación homogénea Basta considerar, por ejemplo, las funciones definidas en ( 1, 1): y 1 (x) = x 2 e y 2 (x) = x 3 Definición 317 Se denomina conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea en un intervalo (a, b) a cualquier conjunto de n soluciones linealmente independientes en dicho intervalo Teorema 318 Siempre existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b) Demostración Sea x 0 (a, b) Por el teorema de existencia, para todo 0 i n 1 existe una solución y i de la ecuación homogénea tal que y i) i (x 0) = 1 e y j) i (x 0) = 0 si j i Las funciones y i con 0 i n 1 son linealmente independientes pues basta con derivar n 1 veces una combinación lineal suya idénticamente nula y evaluar cada una de esas expresiones en x 0 Teorema 319 Dado un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b), cualquier otra solución se puede expresar como combinación lineal de ellas Demostración Sean {y 1, y 2,, y n } un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b), ϕ otra solución cualquiera y x 0 (a, b) Entonces 27

28 W [y 1, y 2,, y n ](x 0 ) 0 Se determinan ϕ(x 0 ), ϕ (x 0 ),, ϕ n 1) (x 0 ) y se considera el sistema de ecuaciones lineales en las variables c 1, c 2,, c n n c k y k (x 0 ) = ϕ(x 0 ) k=1 n c k y k (x 0) = ϕ (x 0 ) k=1 n k=1 c k y n 1) k (x 0 ) = ϕ n 1) (x 0 ) que tiene solución única porque el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo El teorema de unicidad conduce al resultado Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea tiene estructura de espacio vectorial de dimensión n, y dado un conjunto fundamental de soluciones, la solución general se puede expresar como una combinación lineal suya 312 La ecuación no homogénea Teorema 3110 Si {y 1, y 2,, y n } es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea en el intervalo (a, b) y ϕ p es una solución cualquiera de la ecuación no homogénea, entonces para toda solución ϕ de la ecuación no homogénea existen constantes c 1, c 2,, c n tales que n ϕ = ϕ p + c k y k Demostración Basta comprobar que ϕ ϕ p es solución de la ecuación homogénea y aplicar el teorema anterior k=1 Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuación no homogénea tiene estructura de espacio afín de dimensión n construido sobre el espacio vectorial de soluciones de la ecuación homogénea Ejercicios 1 Demuestra que los conjuntos de funciones siguientes son linealmente independientes en R: a) {e λ 1x, e λ 2x,, e λnx } b) {e αx cos βx, e αx sen βx} 28

29 c) {e λx, xe λx,, x n 1 e λx } 2 Comprueba si el conjunto de funciones {log x, x log x, x 2 log x} es linealmente independiente en (0, ) 3 Pueden ser f(x) = x y g(x) = e x soluciones de la ecuación y +a 1 (x)y +a 2 (x)y = 0, a 1 (x) y a 2 (x) continuas, en el intervalo (0, 2)? Y en ( 6, 1)? 4 Comprueba si las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas: a) C 1 x + C 2 de la ecuación diferencial y = 0 b) C 1 cos x + C 2 sen x de la ecuación diferencial y + y = 0 c) C 1 e x + C 2 e x de la ecuación diferencial y y = 0 d) C 1 cos x + C 2 sen x + 1 de la ecuación diferencial y + y = 1 e) C 1 e x + C 2 e x + e2x 3 de la ecuación diferencial y y = e 2x 5 Resuelve la ecuación diferencial xy + 2y + xy = 0, con x > 0, sabiendo que y 1 = sen x es una solución particular Para ello busca otra solución particular de la x forma y 2 = y 1 z 6 Halla la solución general de la ecuación diferencial xy (x + 1)y + y = 0, con x > 0, buscando previamente una solución particular de tipo exponencial 7 Las ecuaciones de Cauchy-Euler son de la forma p 0 x n y n) + p 1 x n 1 y n 1) + + p n 1 xy + p n y = g(x) con p 0, p 1,, p n R y x 0 Resuelve la ecuación x 2 y + 2xy 6y = 0, con x > 0, buscando soluciones de la forma y = x r 32 Ecuaciones con coeficientes constantes 321 La ecuación homogénea Para resolver la ecuación homogénea se buscan soluciones de la forma y = e λx Al sustituir estas funciones en la ecuación se obtiene que (λ n +a 1 λ n 1 + +a n 1 λ+a n )e λx = 0 luego λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n = 0 expresión que se denomina ecuación característica de la ecuación homogénea, y polinomio característico al polinomio que la define Por tanto, y = e λx es solución de la 29

30 ecuación homogénea si y solo si λ es raíz de su ecuación característica Dichas raíces se denominan autovalores o valores propios de la ecuación homogénea Los autovalores reales o complejos y su multiplicidad determinan los distintos tipos de soluciones de la ecuación homogénea: 1 Si los autovalores son reales y simples, λ 1, λ 2,, λ n, entonces un conjunto fundamental de soluciones estaría formado por y 1 = e λ 1x y 2 = e λ 2x y n = e λnx y por tanto la solución general es una combinación lineal de estas funciones 2 Si hay un autovalor real de multiplicidad m, λ, entonces un conjunto fundamental de soluciones estaría formado por las siguientes funciones (ejercicio): y 1 = e λx y 2 = xe λx y m = x m 1 e λx 3 Si hay dos autovalores complejos simples, α ± βi, entonces un conjunto fundamental de soluciones en el plano complejo sería z 1 = e (α+βi)x y z 2 = e (α βi)x, y también { y1 = z 1+z 2 = e αx cos βx 2 y 2 = z 1 z 2 = e αx sen βx 2i 4 Si hay dos autovalores complejos de multiplicidad m, α±βi, utilizando los resultados de los dos casos anteriores se tiene que un conjunto fundamental de soluciones estaría formado por las siguientes funciones: y 1 = e αx cos βx y 2 = xe αx cos βx y m = x m 1 e αx cos βx y m+1 = e αx sen βx y m+2 = xe αx sen βx y 2m = x m 1 e αx sen βx 5 Finalmente, si los autovalores son de varios de los tipos anteriores, un conjunto fundamental de soluciones estaría formado por la conjunción de las funciones que aportara cada tipo 30

31 322 La ecuación no homogénea Por el Teorema 3110, obtener la solución general de la ecuación no homogénea se reduce a encontrar una solución particular de la misma y la solución general de la ecuación homogénea asociada Si g(x) = e αx (P m (x) cos βx+q r (x) sen βx), siendo P m (x) y Q r (x) polinomios de grados m y r, respectivamente, una solución particular de la ecuación no homogénea es ϕ p = x s e αx (R k (x) cos βx + S k (x) sen βx) siendo s el orden de multiplicidad de la raíz de la ecuación característica de la ecuación homogénea α ± βi, k = máx(m, r) y R k (x) y S k (x) polinomios de grado k de coeficientes indeterminados que hay que calcular Esta técnica es conocida como método de los coeficientes indeterminados Si g(x) es una combinación lineal de ese tipo de funciones, una solución particular de la ecuación no homogénea es la misma combinación lineal de las respectivas soluciones particulares para cada una de dichas funciones En general, se puede emplear el método de variación de las constantes que consiste en obtener primero la solución general de la ecuación homogénea n c k y k k=1 y buscar a continuación una solución particular de la no homogénea pero considerando las constantes como funciones que hay que determinar n ϕ p = c k (x)y k k=1 Para ello hay que imponer n condiciones que se obtienen derivando ϕ p n veces y sustituyendo los resultados en la ecuación diferencial Las n condiciones son: n c k (x)y k = 0 k=1 n c k (x)y k = 0 k=1 n k=1 n k=1 c k (x)yn 2) k = 0 c k (x)yn 1) k = g(x) El sistema tiene solución única pues el determinante de la matriz de coeficientes es W [y 1, y 2,, y n ] que no se anula en ningún punto de (a, b) 31

32 Ejercicios 1 Halla la solución general de las ecuaciones diferenciales siguientes: a) y 3y + 2y = 0 b) y + 6y + 20y = 0 c) y 6) + y 4) y y = 0 d) y y = 12x 2 + 6x e) y + y = x sen x f ) y y = sen 2 x g) y 6y + 9y = 25e x sen x h) x 2 y 6x 2 y + 9x 2 y = e 3x con x > 0 i) y + y = sec x j ) y + y = cosec x k) y + 4y = tag 2x l) y + 2y + y = e x log x 2 Resuelve la ecuación diferencial y + 2y + y = 0 y encuentra la solución particular que verifique y(0) = y (0) = 1 3 Prueba que si xe λx es solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes homogénea, entonces su ecuación característica tiene a λ como raíz doble 4 Calcula la solución general de la ecuación diferencial y y + y y = x 2 + x y encuentra la solución particular que verifica y(0) = 0, y (0) = y (0) = 1 5 Halla las soluciones de la ecuación diferencial y + 4y + 4y = 2e x (sen x + 7 cos x) que verifican y(x) = 0 lím x 6 Calcula las soluciones de la ecuación diferencial (1 x)y + xy y = (x 1) 2 e x con x < 1, que verifican lím y(x) = 0 e y(0) = 1 sabiendo que y 1 = x e y 2 = e x x forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea asociada 7 Dos pesos iguales están colgados del extremo de un resorte Halla la ecuación del movimiento que efectuará uno de estos pesos si el otro se desprende 8 Integra la ecuación de Cauchy-Euler x 2 y + xy y = 0, con x 0, haciendo el cambio de variable x = e t 9 Halla la solución particular de la ecuación diferencial x 2 y xy +y = 2x que verifica y(1) = 0, y (1) = 1 32

33 Tema 4 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 41 Introducción Definición 411 Un sistema de n ecuaciones diferenciales de orden k se expresa mediante una función vectorial F de la forma F (x, f(x), f (x), f (x),, f k) (x)) = 0, siendo la función buscada f(x) = (f 1 (x), f 2 (x),, f n (x)) Si k = 1 y es posible despejar y = f (x), entonces el sistema se puede expresar de la siguiente forma: y 1 = F 1 (x, y 1, y 2,, y n ) y 2 = F 2 (x, y 1, y 2,, y n ) y n = F n (x, y 1, y 2,, y n ) (41) La solución general del sistema 41 está formada por n funciones ϕ i (x, C 1, C 2,, C n ), con 1 i n, que dependen de n constantes C 1, C 2,, C n y satisfacen las ecuaciones del sistema para todos los valores de las constantes, y si hay condición inicial y(x 0 ) = (y 1 (x 0 ), y 2 (x 0 ),, y n (x 0 )) = (y 01, y 02,, y 0n ) se pueden elegir las constantes para que dichas funciones la satisfagan Una solución particular del sistema es la que se obtiene de la solución general para valores concretos de las constantes El procedimiento para expresar una ecuación diferencial de orden n y n) = f(x, y, y, y,, y n 1) ) 33

34 como un sistema equivalente de n ecuaciones diferenciales de primer orden consiste en añadir más variables de la siguiente forma: y 1 = y y 2 = y y 3 = y y n = y n 1) con lo que un sistema de ecuaciones diferenciales (lineales) de orden n puede transformarse igualmente en un sistema de ecuaciones diferenciales (lineales) de primer orden Por esta razón, sin pérdida de generalidad, basta estudiar estos últimos Recíprocamente, si y 1, y 2,, y n son soluciones del sistema 41, derivando la primera ecuación con respecto a x y sustituyendo y 1, y 2,, y n por sus expresiones en el sistema se obtiene y 1 = G 2 (x, y 1, y 2,, y n ) Derivando esta expresión con respecto a x y sustituyendo del mismo modo se tiene y 1 = G 3 (x, y 1, y 2,, y n ) Repitiendo el proceso hasta la derivada de orden n se obtiene y n) 1 = G n (x, y 1, y 2,, y n ) Es decir, se tiene el sistema y 1 = G 1 (x, y 1, y 2,, y n ) y 1 = G 2 (x, y 1, y 2, y n ) y n) 1 = G n (x, y 1, y 2,, y n ) (42) De las n 1 primeras ecuaciones se calculan y 2, y 3,, y n en función de x, y 1 y sus derivadas: y 2 = H 2 (x, y 1, y 1,, y n 1) 1 ) y 3 = H 3 (x, y 1, y 1,, y n 1) 1 ) y n = H n (x, y 1, y 1,, y n 1) 1 ) (43) Introduciendo estas expresiones en la última ecuación de 42 se obtiene la ecuación diferencial de orden n y n) 1 = H 1 (x, y 1, y 1,, y n 1) 1 ) Resolviendo esta ecuación se obtiene la solución general y 1 = ϕ 1 (x, C 1, C 2,, C n ) y calculando sus derivadas y sustituyendo en 43 se determinan y 2, y 3,, y n Definición 412 Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se expresa de la siguiente forma: y 1 = a 11 (x)y 1 + a 12 (x)y a 1n (x)y n + g 1 (x) y 2 = a 21 (x)y 1 + a 22 (x)y a 2n (x)y n + g 2 (x) y n = a n1 (x)y 1 + a n2 (x)y a nn (x)y n + g n (x) 34

35 siendo a ij (x) y g i (x), 1 i, j n, funciones continuas en un intervalo (a, b) Si g i (x) 0, 1 i n, el sistema se denomina homogéneo La equivalente ecuación matricial es y = A(x)y + g(x) donde A(x) = (a ij (x)) y g(x) = (g i (x)) Ejercicios 1 Expresa en forma matricial el sistema de ecuaciones diferenciales asociado a la ecuación y + 2y + y = 0 2 Resuelve los sistemas de ecuaciones diferenciales siguientes a través de sus ecuaciones asociadas: ( ) ( ) ( ) y a) y1 y 2 = 3 2 y 2 y y 1 b) y 2 = y 2 y y 3 42 Estructura del conjunto de soluciones Definición 421 Dado un conjunto de funciones vectoriales {y 1, y 2,, y n } siendo cada y k = (y k1, y k2,, y kn ), 1 k n, se denomina wronskiano de estas funciones y se denota por W [y 1, y 2,, y n ] a la función definida por el determinante y 11 y 21 y n1 y 12 y 22 y n2 W [y 1, y 2,, y n ] = y 1n y 2n y nn 421 El sistema homogéneo Teorema 422 Si las funciones y 1, y 2,, y n son soluciones del sistema homogéneo en el intervalo (a, b), entonces cualquier combinación lineal suya también lo es Demostración Trivial Teorema 423 Si las funciones y 1, y 2,, y n son soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano no se anula en ningún punto de ese intervalo 35

36 Demostración Supongamos que existe x 0 (a, b) tal que W [y 1, y 2,, y n ](x 0 ) = 0 Por tanto, una columna del wronskiano es combinación lineal de las otras Supongamos que es la primera, es decir, y 1 (x 0 ) = c 2 y 2 (x 0 ) + c 3 y 3 (x 0 ) + + c n y n (x 0 ) Sea z = y 1 + c 2 y 2 + c 3 y c n y n Esta función es solución del sistema y se anula en x 0 Por el teorema de unicidad, z 0 lo que contradice que las funciones y 1, y 2,, y n sean linealmente independientes en el intervalo (a, b) Teorema 424 Si las funciones y 1, y 2,, y n son soluciones del sistema homogéneo en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo o es idénticamente nulo o no se anula en ningún punto Demostración Se puede comprobar por inducción la siguiente expresión para la derivada del wronskiano: W [y 1, y 2,, y n ] = W [y 1, y 2,, y n ] + W [y 1, y 2,, y n ] + + W [y 1, y 2,, y n] Ya que y k = A(x)y k para todo 1 k n, sustituyendo en la expresión anterior se tiene la ecuación diferencial lineal de primer orden W [y 1, y 2,, y n ] = (a 11 (x) + a 22 (x) + + a nn (x))w [y 1, y 2,, y n ] que tiene por solución general W [y 1, y 2,, y n ] = Ce traza A(x) dx obteniéndose el resultado Este último resultado puede obtenerse también directamente del anterior Definición 425 Se denomina sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo en un intervalo (a, b) a cualquier conjunto de n soluciones linealmente independientes en dicho intervalo Teorema 426 Siempre existe un sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo en el intervalo (a, b) Demostración Sea x 0 (a, b) Por el teorema de existencia, para todo 1 k n existe una solución y k del sistema homogéneo tal que y kk (x 0 ) = 1 e y ki (x 0 ) = 0 si i k Las funciones y k con 1 k n son linealmente independientes pues basta evaluar en x 0 cualquier combinación lineal suya para obtener la nulidad de todos los coeficientes Teorema 427 Dado un sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo en el intervalo (a, b), cualquier otra solución se puede expresar como combinación lineal de ellas 36

37 Demostración Sean {y 1, y 2,, y n } un sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo en el intervalo (a, b), ϕ otra solución cualquiera y x 0 (a, b) Entonces W [y 1, y 2,, y n ](x 0 ) 0 Se determina ϕ(x 0 ) y se considera el sistema de ecuaciones lineales en las variables c 1, c 2,, c n n c k y k1 (x 0 ) = ϕ 1 (x 0 ) k=1 n c k y k2 (x 0 ) = ϕ 2 (x 0 ) k=1 n k=1 c k y kn (x 0 ) = ϕ n (x 0 ) que tiene solución única porque el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo El teorema de unicidad conduce al resultado Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema homogéneo tiene estructura de espacio vectorial de dimensión n, y dado un sistema fundamental de soluciones, la solución general se puede expresar como una combinación lineal suya Definición 428 Se denomina matriz fundamental del sistema homogéneo en un intervalo (a, b) a una matriz Φ cuyas columnas forman un sistema fundamental de soluciones del sistema en dicho intervalo Y se denomina matriz fundamental principal a aquella tal que Φ(x 0 ) = I para algún x 0 (a, b) Definición 429 Se denomina matriz solución del sistema homogéneo en un intervalo (a, b) a una matriz cuyas columnas son soluciones del sistema en dicho intervalo, linealmente independientes o no La solución general del sistema homogéneo se puede expresar en términos de una matriz fundamental: y = Φ C donde C es un vector de constantes indeterminadas Una matriz fundamental queda caracterizada por verificar que Φ = A(x)Φ y que su determinante es no nulo 422 El sistema no homogéneo Teorema 4210 Si {y 1, y 2,, y n } es un sistema fundamental de soluciones del sistema homogéneo en el intervalo (a, b) y ϕ p es una solución cualquiera del sistema no homogéneo, entonces para toda solución ϕ del sistema no homogéneo existen constantes c 1, c 2,, c n tales que n ϕ = ϕ p + c k y k 37 k=1

38 Demostración Basta comprobar que ϕ ϕ p es solución del sistema homogéneo y aplicar el Teorema 427 Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema no homogéneo tiene estructura de espacio afín de dimensión n construido sobre el espacio vectorial de soluciones del sistema homogéneo Ejercicios ( ) ( e 2x xe 1 Prueba que Φ 1 (x) = 2x (x + 1)e 2x xe e 2x (1 x)e 2x y Φ 2 (x) = 2x xe 2x (1 x)e 2x son matrices fundamentales del sistema ( y 1 y 2 ) = ( ) ( y1 y 2 ) ) 2 Comprueba que Φ(x) = es una matriz fundamental del sistema 0 2e x 0 0 e x 2e 3x e x xe x e 3x y 1 y 2 y 3 = Encuentra un ( sistema de) ecuaciones diferenciales lineales de primer orden para el 2e 2x 3e que Φ(x) = x e 2x 2e x sea una matriz fundamental 4 Dadas las funciones vectoriales y 1 = (x, 1) e y 2 = (x 2, 2x): y 1 y 2 y 3 a) Calcula su wronskiano b) En qué intervalos son linealmente independientes? c) Qué conclusión puede formularse acerca de los coeficientes del sistema homogéneo satisfecho por ellas? d) Encuentra dicho sistema y verifica las conclusiones del apartado anterior 5 Contesta a las mismas preguntas del ejercicio anterior para las funciones vectoriales y 1 = (x 2, 2x) e y 2 = (e x, e x ) 38